下载文档原格式
答《关于〈论极限理论的微分之谜〉的思考》
师教民
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2012(015)006
【摘要】The paper "A Note About' 'On the Riddle of the Differential in the Limit Theory'' does not illustrate that the paper "On the Riddle of the Differential in the Limit Theory" is wrong.%论文《关于（论极限理论的微分之谜〉的思考》未说明论文《论极限理论的微分之谜》错误．
【总页数】2页(P29-30)
【作者】师教民
【作者单位】石家庄广播电视大学科学技术部,河北石家庄050081 石家庄经济学院信息工程学院,河北石家庄050031
【正文语种】中文
【中图分类】O172
【相关文献】
1.《论极限理论的微分之谜》一文存在问题的分析 [J], 徐嘉;姚勇
2.评《论极限理论的微分之谜》 [J], 张乔;黄晓芬
3.论极限理论的微分之谜 [J], 师教民
4.关于《论极限理论的微分之谜》的思考 [J], 张景中
5.综述《论极限理论的微分之谜》引发的论战 [J], 曾志强;刘淑玉
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
微积分极限法问题详析沈卫国（西北工业大学前逻辑与人工智能研究所，西安710072）摘要：为了解决牛顿、莱布尼兹求导法所产生的贝克莱悖论问题，微积分极限法（标准分析）被提出。
但后者成立的前提是这个极限必须存在。
笔者经分析得到结论，增量比值函数在0点的极限与函数值一样，也不存在。
于是极限法并没有也不可能解决根本问题。
此问题的解决，必须要有新的思想。
关键词：微积分；极限；增量比值函数；贝克莱悖论；导数微积分极限法（标准分析）的提出是为了解决（而且通常也被“主流”看法认为已经解决）牛顿、莱布尼兹求导法产生的贝克莱悖论的。
在极限存在的前提下，单纯从逻辑上讲，这没有问题。
但它显然没有回答既然这个增量比值函数在0点的极限值永不可达、只能无限接近，那么，我们是如何得到或“达到”这个永不可达的极限值的？此外，作为一个永远不能被实际“达到”、“取值”的极限值（只可以无限逼近），为什么它又可以作为一个“实体”参与各种实际计算的？就好像它已经被实际“达到”了一样。
更何况极限法的全部合理性，彻底依赖于这个极限在0点的存在性。
过去包括笔者在内的所有文献，均未见对此提出异议。
但在此文中，笔者经分析发现，增量的比值函数在0点的极限根本就不存在，于是极限法赖以成立的依据就不存在了。
以往那种本来就很牵强的以极限值（尽管还是永不可达的）取代增量比值函数在0点本无定义的函数值（为0/0）的做法也随之彻底不能成立了。
笔者在【文献26】围绕该文中的公式11也就是下面的公式1，已经对此进行了讨论，实际上几乎已经得到正确的结论了，但可惜尚未明确。
下面详细分析这个问题。
上面公式1就是极限法求导数的最经典的式子。
由此式右数第二个等号两边可知，当△x趋于0时，其自身也就是△x本身明确等于0。
由此上式中左数第一个等号的右边项，只能等于0/0。
因为同理，当△x趋于0时，此项无论分子还是分母中的△x均为0，也就是当△x趋于0时，整个比式的极限为0/0，也就是没有极限。
浅谈极限的求解方法毕业论文1000字一、引言极限是微积分中最基本的概念之一，也是微积分理论的重要组成部分。
求极限可以帮助我们对函数的性质有更全面的了解，进而掌握一些更深入的微积分及数学分析知识。
本文将从定义、性质和求解方法三个方面进行讨论，希望能够帮助读者深入理解极限的概念和应用。
二、极限的定义在微积分中，极限是用来描述一个函数在某一点处的趋势性质的。
一般来说，我们将自变量不断逼近某一个值时，对应的函数值是否会逐渐趋近于一个确定的数，就称这个数为函数在该点的极限。
严格来说，极限的定义应该满足以下要求：（1）函数在无穷远点时也应有极限；（2）左极限等于右极限；（3）如果函数有极限，那么极限值应该是唯一确定的。
三、极限的性质（1）极限的唯一性：如果一个函数在某一点处有极限，那么它的极限值应该是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设一个函数f在某一点x0处有两个不同的极限L1和L2，那么我们就可以得到一个矛盾。
如果L1≠L2，那么我们就可以找到一个足够小的邻域，使得f(x)与L1的距离和f(x)与L2的距离之和小于某一个正数e。
但这与L1和L2不相等的前提矛盾，即假设不成立。
（2）局部有界性：如果一个函数在某一点x0处有极限，那么它在该点的某个邻域内是有界的。
因为如果函数在x=x0处有极限，那么意味着随着x越来越靠近x0，f(x)与L的差距会越来越小，也就是说函数值的范围将会越来越集中在一个很小的区域内。
（3）保号性：如果一个函数在某一点x0处有极限且不等于0，那么在该点的某个邻域内，函数与极限值之间的关系将会有一个明确的规律。
具体来说，如果极限值L>0，那么在一个充分小的邻域内，函数值将始终大于0；如果极限值L<0，那么在一个充分小的邻域内，函数值将始终小于0。
四、极限的求解方法(1)初值法：初值法又称数列逼近法，是一种基本的极限求解方法。
这个方法的具体过程是，我们先找到一个充分靠近极限的初始点，然后不停地不断逼近目标值，直到误差达到所需精度。
以极限为话题的议论文以极限为话题的议论文（精选32篇）相信大家都尝试过写作文吧，特别是议论文，议论文是对某个问题或某件事进行分析、评论，表达自己的观点和主张的文章体裁。
我们应该怎么写这类型的作文呢？下面是小编收集整理的以极限为话题的议论文，欢迎大家分享。
以极限为话题的议论文篇1一位学者曾这样概括人生的三种境界：昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路、衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴、众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。
人们都希望能到达人生的最高境界，即这第三境界，体味那战胜自我，超越极限后一览众山小的胜利感，然而在这自我提炼、自我实现的过程中，许多优秀的品质都是不可或缺的。
要战胜自我，超越极限，首先要有坚定的信念。
坚定的信念是一个人取得成功的先决条件，伟大着作《史记》的创作者司马迁，曾饱受牢狱之灾，但他立志要通古仿之变，成一家之言，终于达成心愿，孙子膑脚，《兵法》修列；不韦迁蜀，世传《吕览》；韩非囚秦，《说难》、《孤愤》，这些例子无一不说明了坚定的信念对成功的重要。
外国也不乏这样的例子，在无产阶级饱受资产阶级剥削与压迫之时，马克思、恩格斯凭着对共产主义无比坚定的信念，完成了《资本论》一书，为人类社会的进步指出了一条光明的大道。
战胜自我，超越极限，还要有过人的勇气，首先从动物界来看，见过蝉蜕壳的人都知道，要破茧新生，关键在于震裂蝉壳时使出了多大的力气，倘若力气不够或半途而废，蝉最终会窒息而死。
动物界沿尚且有这样的规律，何况于人哥白尼提出日心说之时，正值教皇统治无比黑暗的时候，他不畏惧教皇势力对他的残酷打击，坚持扞卫自己的观点，为人类科学的进步作出了卓越的贡献。
战胜自我，超越极限，还要有足够的智慧。
要取得成功，一味只知蛮干的莽夫显然是不行的，他们只会遗留在历史冰冷的笑声里，如堂吉诃德大战风车一样毫无意义。
看过《飘》的人应该对其中描写荞麦的一段话记忆犹新：我们不要做小麦，而要做荞麦，小麦在大风过后会被刮断，而荞麦不同，它的体内有足够的水分，在大风吹来之时，能柔韧地弯腰，大风过后，仍能立起，昂起头茂密茁壮地生长。
极限思想毕业论文目录摘要 (I)Abstract (II)第1章极限思想的形成与发展 (1)1.1 极限思想的萌芽 (1)1.2 极限思想的发展 (1)1.3 极限思想的形成 (2)1.4 极限思想的完善 (3)第2章极限思想在数学分析中的应用 (3)2.1 极限思想在概念里的渗透 (3)2.2极限思想在导数中的应用 (4)2.3 极限思想在积分中的应用 (5)第3章证明极限存在以及求极限的方法 (6)3.1 极限的四则运算法则和简单求极限技巧 (6)3.2 用迫敛性准则求极限 (7)3.3 用泰勒公式求极限 (7)3.4 用等价无穷小求极限 (8)3.5 用洛必达法则求极限 (8)3.6 用微分中值定理和积分中值定理求极限 (9)第4章总结 (10)参考文献 (11)致谢 (12)第1章 极限思想的形成与发展极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要地位，是研究数学、应用数学、推动数学发展必不可少的有力工具.本文通过论述极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的应用来说明极限在数学中的重要地位.按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程，可将它分为4个阶段.1.1极限思想的萌芽古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限理论的雏形.在我国，极限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著作《庄子.天下篇》中就引进了惠施的著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，它可以写成一个无穷等比递减数列： ，，211⋯⋯，，，，n 32212121当n 无限增大（n=1,2,3，……）时， ……可取无限的小数，它的极限为零，这样借助实物，极限的概念便被形象的表达出来了.然而在我国最早创立极限概念，并用它来解决实际问题的却是数学家刘徽.他指出：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”并最终利用这极限思想求得了圆周率的近似值，独立的创造出了“割圆术”.然而当时人们在直观上对极限概念有了清楚的理解，但由于没有无穷小的概念，因此也就不可能用数学语言准确的描述出极限概念，并且极限思想也没有作为单独的研究对象真正独立出来.这在某种程度上是由于当时的经济状况和生产力水平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范围内决定的.1.2极限思想的发展17世纪以天文学、力学及航海为中心的一系列问题导致了微积分的产生.微积分尽管在实践中非常成功，但它的思想基础——无穷小量在逻辑上却有很多缺陷，被称为“失去了量的鬼魂”，并由此直接导致了第二次数学危机.为了消除危机，许多数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证和说明的工具.于是，他们对极限思想进行了深入研究，其阶段性的主要成绩如下.（1）达朗贝尔“理性的”极限概念达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣”（马克思语），首次尝试将微分学建立在“理性的”极限观念基础上.他认为“一个量永远不会重合，但它总是无限的接近它的极限，并且与极限的差要有多小有多小”，这样达朗贝尔给出了极限的描述性定义，但这个定义比较模糊，缺乏严密性.（2）罗伊里埃用极限奠定的微积分基础数学家罗伊里埃用极限思想对古希腊的“穷竭法”做了修改，并用极限定义导数，进而由导数来定义微分，排除了无穷小量和00等有神秘色彩的概念和符号.表明极限思想作为微积分基础的正确思想，然而他的缺点是只有单侧极限的概念.（3）柯西的变量极限概念19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有 其他值得极限”.柯西的变量极限概念的提出，标志着极限概念向“算术话”迈出了决定性的一步，是数学史上的重大创新之一.此外，柯西还把无穷小定义为一个极限为零的变量，从而把极限原理和无穷小量有机的联系在一起.在此基础上，柯西又给出了函数的连续性、导数和微分的概念，特别是他首先给出了定积分作为和式极限的定义.然而，虽然柯西把纷乱的极限概念理出了头绪，为精确极限定义的产生做出了开拓性的工作，但他的工作任然不够严格、精确.例如，他在定义中提到的“无限趋近”和“要多小有多小”只是一种直观的定性语言，而不是一种精确的数学语言.1.3极限思想的形成在柯西关于变量极限的直观动态基础上，德国数学家维尔斯特拉斯从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间的数），给出了严格定义的极限概念，即他本人在1856年首先提出的现今广泛采用的δε—极限定义：（1）N —ε的数列极限定义：{}是一个数列设n a ，a 是一个确定的数，若对于，,a ,,0εε<->∃>∀a N n N n 时，有当{}的极限为数列则称n a a .(2)δε-的函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心领域),(00δ'x u 内有定义，A 是一个确定的数，若对任给的ε，总存在某个正数)(δδ'<，使得当δ<-<00x x 时都有ε<-A x f )(，则称函数f 当x 趋向于0x 时极限存在，且以A 为极限.这样极限的δε-定义便用静态的有限量刻画了动态的无限量，不仅排除了无穷小这个有争议的概念，而且排除了柯西在定义函数的连续性中用到的“变为并且保持小于任意给定的量”这种说法的含糊性，这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立.此外，维尔斯特拉斯还用这一方法定义了连续函数、函数的导数和积分的概念，使微积分的定义摆脱了几何直观所带来的含糊观念最终成了今天的形式.1.4极限思想的完善尽管用ε-语言定义的极限概念非常严密，并以占领微积分课堂100年之久，但他复杂的课堂逻辑结构却成为微积分入门难以理解和掌握的难点之一.近年来众多的专家学者在该研究领域取得了突破性的进展.特别是广州大学张景中院士提出了和ε-语言同样严格但易于被初学者所掌握的D-语言极限.(1)D-数列极限定义：若存在恒正递增无界数列{}n D ，使得对一切数列n ，总有nn D a a 1<-，则aa n n =∞→lim .(2)D-函数极限定义：设函数f(x)在0x 的空心领域)(00x u 有定义，A x f x x =→)(lim 0是指存在零的某右领域),0(δ内的恒正递增无界函数)(1h D ，使得当δ<-<00x x 时，总有)(1)(0x x D A x f -<-.从极限概念的“ε-语言”到“D-语言”的过程其实就是不断简化ε-语言的逻辑结构，化逻辑为运算的过程，他的基本思想是用简单的单调过程刻画一般的，复杂的极限过程，并且在刻画极限的过程中ε-语言与D-语言还具有实质的等价性.D-语言的提出，为数学分析课程的教学改革指出了一个新的方向，也为极限思想的进一步完善开辟了道路.第2章 极限思想在数学分析中的应用2.1极限思想在概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.（1） 如以函数()y f x =在点0x 连续的定义.记0x x x ∆=-称为自变量x （在点0x ）的增量或改变量，设00()y f x =，相应的函数y （在点0x ）的增量记为0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-，可见，函数()y f x =在点0x 连续等价于0lim 0x y ∆→∆=，是当自变量x 得增量x ∆时，函数值得增量y ∆趋于零时的极限.（2）函数()y f x =在点0x 导数的定义.设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限000()()limx x f x f x x x →--存在，则称函数f 在点0x 处可导，令0x x x =+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，则可写为0000()()limlim x x x f x x f x yx x→→+∆-∆==∆∆()0'f x ，所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比yx ∆∆的极限.（3） 函数()y f x =在区间[],a b 上的定积分的定义。
《稳定性分析的微分极限理论》论文
稳定性分析的微分极限理论是从极限理论出发来分析复杂稳定性问题的一种新技术。
它将传统的极限理论应用于复杂的稳定性问题，立足于不等式理论，提供了一种通用的、系统的解决复杂稳定性问题的思路。
本文将阐述稳定性分析的微分极限理论的基本原理和解决方法，并讨论其在工程应用中的实践意义。
稳定性分析的微分极限理论是把传统的极限理论应用到稳定性分析的有效解决方案。
它的核心思想是：在不同的环境下，当系统接近失稳或过度稳定时，可以利用不等式理论，利用如微分方程、微分拉格朗日方程、运动方程等工具对失稳系统进行分析，从而识别出可能引发失稳或过度稳定的因素，指出调整配置和运行非线性系统参数等调节措施，从而改进系统的稳定性。
稳定性分析的微分极限理论是当前复杂稳定性问题分析方法的重要组成部分，它可以有效地帮助系统设计者识别稳定性问题的根源，为参数调整和控制手段的选择提供合理的理论依据，从而改善系统的稳定性。
稳定性分析的微分极限理论的发展为稳定性研究提供了新的思路，并且在工程领域得到了广泛的应用。
例如，在机械设计和结构力学技术方面，可以利用不等式理论对复杂的稳定性问题进行深入探讨，以提高系统的性能和可靠性；在航天技术领域，可以利用可变空气动力学参数分析系统稳定性，从而指导航天器设计、精确控制它们的轨道。
综上所述，稳定性分析的微分极限理论的发展对于提高复杂稳定性问题的研究价值具有重要意义，它可以帮助设计者有效识别出系统可能出现的失稳或过度稳定的原因，并提供一种能够解决这些问题的可靠技术手段。
同时，它也将为系统设计提供有力的理论支撑，带来更高效的设计结果。
大学极限数学论文2700字_大学极限数学毕业论文范文模板导读：想要写作出优秀的大学极限数学论文2700字，想必大家都会觉得不容易的，不管是从标题还是内容上，每一个结构都是不容小觑的，所以学习一下前辈的写作方式也是会有收获的，本文分类为大学数学论文，下面是小编为大家整理的几篇大学极限数学论文2700字范文供大家参考。
大学极限数学论文2700字(一)：关于高等数学极限部分教学的几点改进论文极限既是整个高等数学的基础，也是学生在学习高等数学中接触的第一个和初高中掌握的概念形式不同的知识点。
如果极限的概念和应用掌握不好，一方面对于后续的导数、积分等概念难以理解，还极易产生厌学的情绪。
本文根据极限部分知识特点，针对极限概念引入及极限求解等方面给出了相关的教学改进建议，以达到引起学生兴趣，便于学生理解和应用的目的。
高等数学是指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。
广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡极限作为高等数学中最先引入的知识点，既是难点也是重点，如果极限的概念和应用掌握不好。
一方面对于后续的导数、积分等概念难以理解，还极易产生厌学的情绪。
同时，除本科数学专业开设数学分析课程外，很多学习高等数学课程的专业并非数学类专业，因此学生本身的不重视加上课程有一定难度，经常会导致学生成绩不理想的结果，因此对于高等数学基本概念，极限的引入与展开是一个值得深入探索的课题。
我国高校高等数学课程的教学水平各不相同，根据以往的研究？l现，目前在高等数学课程的开设方面，仍然存在着许多问题，就课程的内容而言，高等数学课堂上教师在教学中向学生灌输大量的“定义、定理、推导、证明、计算”等，而对于概念的深入思考却十分欠缺，导致概念与习题不能有效的对接，学生忽略对于理论本身的理解，进而在遇到更复杂的知识点时难以掌握，只能靠硬背来学习数学。
附件05-1：论文《论极限理论的微分之谜》讨论微积分的五篇论文第1篇（本文发表在《高等数学研究》2012年第4期上，以原文为准）论极限理论的微分之谜师教民1,2（1.石家庄广播电视大学科学技术部，河北石家庄050081；2.石家庄经济学院信息工程学院，河北石家庄050031）摘要：第一代微积分存在第二次数学危机（微分之谜），第二代微积分没有解决第二次数学危机．关键词：第一代微积分；第二次数学危机（微分之谜）；第二代微积分中图分类号：O172文献标识码：A文章编号：1008-1399(2012)04-0044-03极限理论(标准分析法或第二代微积分)存在三大错误：①没有揭开微积分之谜，②形成严重的逻辑困难，③与物理实践不相符合．本文用在极限理论求导公式中加入公式的方法，证明上述三大错误的①．牛顿、莱布尼茨的微积分理论——无穷小量分析法(第一代微1[-：令函数y=x2的自积分)定义并求函数y=x2的导数的过程为]8变量x变化无穷小量d x≠0，则y随之变化增量d y，所以d y=(x+d x)2-x2=x2+2x d x+(d x)2-x2=2x d x+(d x)2，收稿日期：2012-04-07；修改日期：2012-07-28作者简介：师教民（1945-），男，河北晋州人，教授，从事数学、物理、电工、电子的教学与研究．Email：shijm618@4950 xy d d =x x x x d )d (d 22+=2x +d x ． 把函数F (d x )=2x +d x 在d x =0时的函数值定义为函数y =x 2的导 数，记做y ′或xy D D ，于是有 y ′=xy D D =F (d x 0d )=x =(2x +d x 0d )=x =2x +0=2x ． (1) 从上述(1)式的推导知，第一代微积分在推导出函数F (d x )=2x +d x时，无穷小量或微分d x ≠0，然而在定义并求函数y =x 2的导数时，又改成无穷小量或微分d x =0．因此，第一代微积分说不清楚到底是d x ≠0还是d x =0，即产生了d x ≠0和d x =0的矛盾．这个矛盾由于d x 叫做微分而叫做微分之谜，由于微分之谜是微积分理论中的重要内容，所以这个谜也叫做微积分之谜；因为这个谜主要是英国大哲学家贝克莱指出的，所以这个谜又叫做贝克莱悖论；因为这个谜很难揭开，所以这个谜还叫做第二次数学危机．贝克莱悖论和第二次数学危机把这个微分之谜推上了世界数学大难题的宝座，使它著名于天下．柯西等人创立的微积分理论——标准分析法（极限理论或第二代微积分）定义并求函数y =x 2的导数的过程为]8421[--，：令函数y =x 2的自变量x 变化任意增量Δx ≠0，则函数y 随之变化增量Δy ，所以Δy =(x +Δx )2-x 2=x 2+2x Δx +(Δx )2-x 2=2x Δx +(Δx )2，x y ∆∆=xx x x ∆∆∆+2)(2=2x +Δx ． 把函数 G (Δx )=xy ∆∆= 2x +Δx 在自变量Δx →0 时的极限值定义51为函数y =x 2的导数，记做y ′或xy d d ，于是有 y ′=x y d d =0lim →∆x ⎢⎣⎡∆∆xy (Δx ≠0)]=0lim →∆x [(2x +Δx ) (Δx ≠0)]= 0lim →∆x [(2x +Δx ) (Δx 可等于0)]=(2x +Δx 0)=∆x =2x +0=2x ．(2)文[2]170说：“最后我们来看看自变量x 的本身：它的增量Δx ，就叫做它的微分，即规定d x =Δx ，…”．所以(2)式就可改为：y ′=x y d d =0d lim →x ⎢⎣⎡∆xy d (d x ≠0)]=0d lim →x [(2x +d x ) (d x ≠0)]= 0d lim →x [(2x +d x ) (d x 可等于0)]=(2x +d x 0d )=x =2x +0=2x ．(2a )从上述(2a )式的推导知，第二代微积分在推导出函数G (d x )=xy d ∆=2x +d x 并定义函数y =x 2的导数时，任意增量或微分d x ≠0，然而在求出函数y =x 2的导数时，又改成任意增量或微分d x =0．因此，第二代微积分说不清楚到底是d x ≠0还是d x =0，即产生了d x ≠0和d x =0的矛盾．比较对式(1)和式(2a )的分析知，第二代微积分和第一代微积分一样有d x ≠0和d x =0的矛盾，即第二代微积分没有解决微分之谜或微积分之谜或贝克莱悖论或第二次数学危机这个著名于天下的世界数学大难题．但是，第二代微积分和第一代微积分也略有不同：第一代微积分是直接把函数F (d x )=2x +d x 在其自变量d x =0时的函数值定义为函数y =x 2的导数的．而第二代微积分则是通过极限拐了一个52 弯儿后，才把函数F (d x )=2x +d x 在其自变量d x =0时的函数值定义为函数y =x 2的导数的．拐的这个弯儿就是：先把函数y =x 2的 导数定义为极限0d lim →x [(2x +d x ) (d x ≠0)]，又把这个极限定义为函 数[(2x +d x )(d x ≠0)]在其自变量d x 无限趋向于0时无限趋近的目标，这个目标也是函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在其自变量d x 无限趋向于0时无限趋近的目标，因而又是函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在其自变量d x 无限趋向于0时的极限，根据连续的充要条件（该条件简述为：极限值等于函数值，详见文[8]138）可知，这个极限还是函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在其自变量d x 等于0时的函数值[注意：这句话说明了(2a )式各步都成立的理由]．所以 把函数y =x 2的导数定义为极限0d lim →x [(2x +d x ) (d x ≠0)]，就是定义 为函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在其自变量d x 等于0时的函数值．这样，第二代微积分通过极限拐了一个弯儿后，还是与第一代微积分定义的导数完全相同了．然而，就是第二代微积分通过极限拐的这个弯儿，把不少人拐迷糊了．换句话说，从第二代微积分的(2a )式的推导知：0d lim →x [(2x +d x ) (d x ≠0)]=(2x +d x 0d )=x ．这个等式的左边是第二代微积分把y =x 2的导数定义成的极限值，右边是第一代微积分把y =x 2的导数定义成的函数值．因此这个等式说明了第二代微积分定义的导数与第一代微积分定义的导数本质相同，只不过是它们使用的名称不同而已：第一代微积分使用的名称是函数值，第二代微积分使用的名称是极限值．如果我把它叫做猪狗值，那么也是未尝不可的，第二代微积分不就是把表示分得微小的微分概念叫做可以是任意大、充分大、足够大的增量（即d x =Δx ）吗？所以，把它叫做函数值也好，极限值53也好，猪狗值也好，只是名称的不同，而本质上都是上述的函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在其自变量d x =0时的函数值．这个等式也说明第二代微积分定义的导数与第一代微积分定义的导数是一回事，只不过是它们使用的语言不同而已．也就是说，第一代微积分使用了朴实的直言快语（函数值）、而第二代微积分则改成了婉转的花言巧语（极限值）．然而，就是第二代微积分改成的花言巧语把不少人说晕糊了．为了更加容易地理解上述内容，第二代微积分拐的那个弯儿还可以据(2a )式和(1)式用下述语言描述：第二代微积分把函数y =x 2的导数先定义为函数G (d x )=xy d ∆=2x +d x (d x ≠0) 在d x →0时的极限值，再替换成函数F (d x ) = 2x +d x （d x 可等于0）在d x →0时的极限值，又换成函数 F (d x )=2x +d x （d x 可等于0）在d x =0时的函数值；第一代微积分则是把函数y =x 2的导数直接定义为函数F (d x )=2x +d x (d x 可等于0)在d x =0时的函数值．所以，第二代微积分和第一代微积分分别定义的y =x 2的导数，因为都是函数F (d x )=2x +d x （d x 可等于0）在d x =0时的函数值而本质相同，只不过是第一代微积分是直接确认、第二代微积分是用极限符号倒换了两次以后才确认而已．所以，如果把导数2x 比做白骨精，那么第一代微积分是直接把导数2x 说成是真实面目的白骨精的，而第二代微积分则是迂回进行的，即把导数2x ：先说成是肉眼看来的美丽村姑，就是0d lim →x x y d ∆=0d lim →x [(2x +d x ) (必须有d x ≠0)]； 再说成是披上美丽村姑画皮的白骨精，就是0d lim →x [(2x +d x ) (可以有d x =0)]；又说成是脱下美丽村姑画皮的、露出真实面目的白骨54 精，就是(2x +d x 0d )=x =2x +0=2x （必须有d x =0）．以上各式中的极限符号0d lim →x 就是那张美丽村姑的画皮！在此画皮的掩盖下，第 二代微积分把“必须有d x ≠0”经过“可以有d x =0”换成了“必须有d x =0”，因此循序渐进地产生出d x ≠0和d x =0的矛盾，从而便与第一代微积分本质相同了（因为在第一代微积分中也产生了d x ≠0和d x =0的矛盾，只不过是直接了当地产生而已）．正是第二代微积分为了掩盖d x ≠0和d x =0的矛盾以及它与第一代微积分的本质相同，所以它才去涂抹那张美丽村姑的画皮（即加上极限符号）．然而，猪八戒只顾欣赏村姑的美丽，沙和尚只顾感激客人的热情，唐玄奘只顾体味人民的善良，竟然都忘记了洞察和审视美丽村姑的本质（白骨精），从而被白骨精所蒙蔽．一些人也像唐僧师徒们一样，只顾赞美极限的玄妙而忘记了考察极限的本质（本例是函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在它的自变量d x =0时的函数值2x ），因而也被第二代微积分所蒙蔽．但是，我们为什么就不能像孙悟空那样打开火眼金睛，去看清第二代微积分的导数到底是不是白骨精呢？其实做到这一点并不难．因为第二代微积分上述的拐弯儿术并不复杂．它就像一个到西餐馆去吃西餐的人，尽管他想吃奶酪，但却故意拐一个弯儿说要面包．服务员拿来面包后，他又要求换成奶酪．服务员换回奶酪后，他吃完就走．服务员让他交奶酪钱，他说，奶酪是用面包换来的，为何要交奶酪钱？服务员说，那么你就交面包钱．他说，我已经退回面包，为何要交面包钱？服务员无言以对，眼巴巴地看着他走了．大家想一想：西餐是否就是导数，面包是否就是d x →0时的极限值，奶酪是否就是d x =0时的函数值，服务员是否就是被蒙的学习者！参考文献：[1]中国科学院数学研究所资料室．非标准分析[C]．北京：中国科学院数学研究所，1976：321，332，337，339．[2]菲赫金哥尔茨．数学分析原理：第1卷第1分册[M].吴亲仁，陆秀丽，译．北京：高等教育出版社，1959：147-150；169-170．[3]贝克莱．人类知识原理[M]．关文运，译．上海：商务印书馆，1973：80-90．[4]马克思．数学手稿[J]．复旦学报，自然科学版（专辑），1975(1)：52-54．[5]师教民．微积分之谜与美[M]．石家庄：河北科学技术出版社，2007：14-16；28-35．[6]师教民．两地书中论科学[M]．石家庄：河北科学技术出版社，2007：173-182．[7]樊映川．高等数学讲义：上册[M]．北京：人民教育出版社，1964：279-280．[8]菲赫金哥尔茨．微积分学教程：第1卷第1分册[M]．叶彦谦，译．北京：高等教育出版社，1959：138．On the Riddle of the Differentialin the Limit TheorySHI Jiao-min1,2(1.Department of Science and Technology, Shijiazhuang Radioand Television University, Shijiazhuang 050081, PRC；rmation Engineering College in Shijiazhuang EconomicInstitute, Shijiazhuang 050031, PRC)Abstract：The second mathematics crisis（the riddle of the differential）exists in the first generation calculus, the second generation calculus does not overcome the second mathematics crisis. Key words：the first generation calculus；the second mathematics crisis（the riddle of the differential）；the second generation calculus55。
