浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：计数原理

高考数学第一轮复习：计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有( )A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【答案】B2．将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1、3的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种【答案】B3．有5名毕业生站成一排照相,若甲乙两人之间至多有2人,且甲乙不相邻,则不同的站法有( )A ．36种B ．12种C ．60种D ． 48种【答案】C4．设5n x -（的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N,若M-N ＝240, 则展开式中x 3的系数为( )A ．-150B ．150C ．-500D ．500 【答案】B5．若2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．10－B ．10C ．－45D ．45 【答案】D6．若三个连续的两位数满足下列条件：①它们的和仍为两位数；②它们的和的个位数字比原来的三个数的每一个数的个位数字都大；则称这样的三个数为“三顶数”，则这样的“三顶数”的组数有（ ）组。

A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C7．从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数( )A ．2448C C ⋅B ．3438C C ⋅ C ．612CD ．2448A A ⋅ 【答案】A8．将4名志愿者分配到3所不同的学校进行学生课外活动内容调查,每个学校至少分配一名志愿者的方案种数为( )A ．24B ． 36C ． 72D ． 144【答案】B 9．用直线y=m 和直线y=x 将区域x 2+y 26≤分成若干块。

浙江省2013届高三数学一轮复习单元训练：计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．二项式的展开式中的常数项是（)A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．:第7项 【答案】B2．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2n x 2n，则a 2＋a 4＋…＋a 2n 的值为( )A ．3n ＋12B ．3n －12C ．3n －2D ．3n【答案】B 3． 321(2)2x x-10的展开式中常数项是（ ） A ．210 B ．1052 C ．14D ．－105【答案】B4．从10名大学毕业生中选3人，担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( ) A ．85 B ．56 C ．49 D ．28 【答案】C5．当n 为偶数时，011220(1)(1)(1)(1)n n n nnn n n S C x C x C x C x --=+-+++-++，则S 等于A ．n xB ．(1)n x +C ．(1)n x -D ．(1)n x -【答案】A6． (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )A ．80B ．40C ．20D ．10 【答案】B7．三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为( )A ．720 B.144 C ．36 D ．12 【答案】B 8．若(x +12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4项的系数为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B 9．二项式83(2x x-的展开式中常数项是( ) A ．-28 B ．-7C ．7D ．-28【答案】C10．从5名男同学，4名女同学中选出3名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数共有( ))(A140)(B100)(C80)(D70【答案】D11．二项式的展开式中的常数项是（ )A．第10项B．第9项C．第8项D．:第7项【答案】B【解析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出r的值代入通项，求出展开式的常数项.解：展开式的通项公式520211052,20082rr rrT C x r r-+=-==令，得展开式中常数项是第9项，故选B同的三位数的个数是( )A．36B．48C．52D．54【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在(x ＋1x－2)20的展开式中含x －17项的系数是________(用数字作答)．【答案】－988014．已知55443322105)1(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 . 【答案】256-15．已知)1()1(6-+ax x 的展开式中，3x 的系数为10，则实数a 的 值为 【答案】216．若10(21)a x dx =+⎰，则二项式（1ax x+）6的展开式中的常数项为 . 【答案】160三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的图案中的1,2,3,4,5,6,7所处的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，求不同的摆放方法．【答案】用间接法.7盆花在7个位置的全排列为A 77；3盆兰花在同一条直线上的排列方法有以下几类：在1,2,3，或1,4,7，或3,4,5，或5,6,7，或2,4,6，每一类的排列方法数都是A 33，4盆玫瑰花的排列方法有A 44种．故所求排列方法数共有A 77－5A 33A 44＝4320.18．已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56．(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项．【答案】根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧C rn ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7.(1)令x ＝1得展开式中所有项的系数和为(1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数和为27＝128.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72rx r2，r ≤7且r ∈N.于是当r ＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T 1＝C 0720x 0＝1，T 3＝C 2722x ＝84x ，T 5＝C 4724x 2＝560x 2，T 7＝C 6726x 3＝448x 3.19．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，求正整数n 的最小值．【答案】∵T r ＋1＝C r n (3x 2)n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝(－1)r ·C r n ·3n －r ·2r ·x 2n －5r ， ∴若T r ＋1为常数项，必有2n －5r ＝0.∴n ＝5r 2，∵n 、r ∈N *，∴n 的最小值为5.20． 已知n 4)x 21x (+的展开式前三项中的x 的系数成等差数列。

单元质检十一 计数原理(时间:45分钟 满分:100分)单元质检卷第22页一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.从6个盒子中选出3个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有( )A.16种B.18种C.22种D.37种答案:A解析:从6个盒子中选出3个来装东西,有C 63=20(种)方法,甲、乙都未被选中的情况有C 43=4(种)方法,故甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20-4=16(种),故选A .2.若(x 2-1x )n 展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x 2的系数为( )A.-21B.-35C.35D.21 答案:C解析:由已知得2n =128,n=7,所以T r+1=C 7r x 2(7-r )·(-1x )r =C 7r (-1)r x 14-3r ,令14-3r=2,得r=4,所以展开式中x 2的系数为C 74(-1)4=35,故选C .3.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )A .12种B .10种C .9种D .8种答案:A解析:将4名学生均分为2个小组共有C 42C 22A 22=3(种)分法,将2个小组的同学分给2名教师带有A 22=2(种)分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22=2(种)分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12(种).4.(x 2-1x )6的展开式中常数项等于( )A.15B.10C.-15D.-10答案:A 解析:(x 2-1x )6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r ·(-1)r ·x 12-3r .令12-3r=0,解得 r=4,故常数项为C 64=15.5.甲、乙、丙3名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,若甲同学不值周一的班,则可以排出的不同值班表有()A.90种B.89种C.60种D.59种答案:C解析:特殊元素优先考虑,甲同学不值周一的班,则先考虑甲,分步完成:①从除周一外的5天中任取2天安排甲,有C52种;②从剩下的4天中选2天安排乙,有C42种;③仅剩2天安排丙,有C22种.由分步乘法计数原理,可得一共有C52·C42·C22=60(种).6.5名大学生分配到三个村庄任职,每个村庄至少有一名大学生,其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为()A.14B.35C.70D.100答案:C解析:由题意可知分两步,第一步,甲村庄恰有一名大学生有5种分法;第二步,另外四名大学生分为两组,共有C41C33+C42A22=7(种),再分配到两个村庄,有7×A22=14(种)不同的分法;故每个村庄至少有一名大学生,其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为5×14=70.7.若(x+1x )n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中1x2的系数为()A.56B.51C.87D.78答案:A解析:由题意可得,C n2=C n6,解得n=8,故展开式的通项为T r+1=C8r x8-r·(1x )r=C8r x8-2r.令8-2r=-2,可得r=5.故1x2的系数为C85=56.8.若(x-1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则a6等于()A.112B.28C.-28D.-112答案:A解析:∵(x-1)8=[(x+1)-2]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,∴a6=C82(-2)2=4C82=112.9.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为()A.72B.120C.192D.240答案:D解析:由题意,末尾是2或6,不同的偶数个数为C21A53=120;末尾是4,不同的偶数个数为A55=120,故共有120+120=240(个),故选D.10.已知a=2∫π0cos(x+π6)d x,则二项式(x2+ax)5的展开式中x的系数为()A.10B.-10C.80D.-80 答案:D解析:a=2∫π0cos(x+π6)d x=2sin(x+π6)|π=-2,则(x2+ax )5=(x2-2x)5,故T r+1=C5r x2(5-r)(-2x )r=(-2)r C5r x10-3r.令10-3r=1,得r=3.故展开式中x的系数为(-2)3C53=-80.11.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案:B解析:由题意可知分两步,第一步,先将3个歌舞类节目全排列,有A33=6(种)情况,排好后,有4个空位,第二步,因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,分2种情况讨论:①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有C21A22=4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在两端,有2种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48(种);②将中间2个空位安排2个小品类节目,有A22=2(种)情况,排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72;故同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,故选B.12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,则不同的染色方案共有()种.A.14 400B.28 800C.38 880D.43 200答案:C解析:从点P出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有A64=360(种)不同的方案,接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数:①不使用新的颜色,有2种染色分类方案.②使用1种新的颜色,分为2类:第一类,染一条边,有2×4×4=32(种)方案;第二类,染两条对边,有2×2×4=16(种)方案.③使用2种新的颜色,分为4类:第一类,染两条邻边,有4×2×3=24(种)方案:第二类,染两条对边,有2×2×4=16(种)方案;第三类,染三条边,有4×2×2=16(种)方案;第四类,染四条边,有2种方案.因此不同的染色方案种数为360×[2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38 880,故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(x-2+1x )4展开式中的常数项为.答案:70解析:二项式(x-2+1x )4可化为(x2-2x+1x)4=(x-1)8x4,可知常数项为分子中含x4的项,为C84x4,故常数项为C84=70.14.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案:1 260解析:若不取0,则有C52C32A44个;若取0,则有C52C31A31A33个,因此一共有C52C32A44+C52C31A31A33=1 260(个)没有重复数字的四位数.15.已知(x3+2x )n的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为.答案:40解析:由题意,得二项式(x3+2x )n的展开式中各项系数和为243,令x=1,则3n=243,解得n=5,所以二项式(x3+2x )5的展开式的通项为T r+1=C5r(x3)5-r(2x)r=2r C5r x15-4r,令r=2,则T3=22C52x15-4×2=40x7,即x7的系数为40.16.某班组织文艺晚会,准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出,要求A,B两个节目至少有一个选中,且A,B同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,则不同演出顺序的种数为.答案:1 140解析:分两类:第一类,A,B只有一个选中,则不同演出顺序有C21·C63·A44=960(种)情况;第二类:A,B同时选中,则不同演出顺序有C62·A22·A32=180(种)情况.故不同演出顺序的种数为960+180=1 140.。

第3讲　二项式定理【2013年高考会这样考】1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【复习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝Ca n＋Ca n－1b＋…＋Ca n－r b r＋…＋Cb n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数C(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的Ca n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝Ca n－r b r.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项C n取得最大值；当n是奇数时，中间两项C n，C n取得最大值．(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r＋1＝Ca n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．双基自测1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )．A．80 B．40 C．20 D．10解析　T r＋1＝C(2x)r＝2r Cx r，当r＝2时，T3＝40x2.答案　B2．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝( )．A．45 B．55 C．70 D．80解析　(1＋)5＝1＋5＋10()2＋10()3＋5()4＋()5＝41＋29由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70.答案　C3．(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )．A．9 B．8 C．7 D．6解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16∴a0＋a2＋a4＝8.答案　B4．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( )．A．6 B．7 C．8 D．9解析　T r＋1＝C(3x)r＝3r Cx r由已知条件35C＝36C即C＝3C＝3整理得n＝7答案　B5．(2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.解析　T r＋1＝Cx21－r(－1)r＝(－1)r Cx21－r由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C，∴a10＋a11＝C－C＝0.答案　0考向一　二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．解　通项公式为T r＋1＝Cx(－3)r x－＝(－3)r Cx.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，解得n＝10.(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，∴x2的项的系数为C(－3)2＝405.(3)由题意知令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k，∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．【训练1】 (2011·山东)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．解析　二项式6展开式的通项公式是T r＋1＝Cx6－r(－)r x－2r＝Cx6－3r(－)r，当r＝2时，T为常数项，即常数项是Ca，根据已知Ca＝60，r＋1解得a＝4.答案　4考向二　二项式定理中的赋值【例2】►二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．[审题视点] 此类问题要仔细观察，对二项式中的变量正确赋值．解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C＋C19＋C＋…＋C＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即为所有奇数项系数之和．二项式定理给出的是一个恒等式，对a，b赋予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方法．赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f(a，b)＝(a＋b)n＝Ca n＋Ca n－1b＋…＋Ca n－r b r＋…＋Cb n.对a，b赋予一定的值，就能得到一个等式．【训练2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.考向三　二项式的和与积【例3】►(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．[审题视点] 求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式．解析　(1＋2x)3(1－x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C(2x)0·C(－x)1＋C(2x)1·C14(－x)0，其系数为C03·C(－1)＋C·2＝－4＋6＝2.答案　2对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．【训练3】 (2011·广东)x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)．解析　原问题等价于求7的展开式中x3的系数，7的通项T r＋1＝Cx7－rr＝(－2)r Cx7－2r，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系数为(－2)2C＝84，即x7的展开式中x4的系数为84.答案　84难点突破23——排列组合在二项展开式中的应用(a＋b)n展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定从n个相同的a＋b中各取一个(a或b)乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是ma p b q，其中p∈N，q∈N，p＋q＝n.(2)项数的确定满足条件p＋q＝n，p∈N，q∈N的(p，q)共n＋1组．即将(a＋b)n展开共2n项，合并同类项后共n＋1项．(3)系数的确定展开式中含a p b q(p＋q＝n)项的系数为C(即p个a，q个b的排列数)因此(a ＋b)n展开式中的通项是T r＋1＝Ca n－r b r(r＝0,1,2，…，n)(a＋b)n＝Ca n＋Ca n－1b＋Ca n－2b2＋…＋Cb n这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．【示例】►若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝( )．A．9 B．10 C．－9 D．－10。

§10.3 数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N ＋)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立． ( × ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明． ( × ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ ) (6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )2． 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 凸n 边形的边最少有三条，故第一个值n 0取3. 3． 若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案答案 C解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5，故选C.4． 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n ∈N *，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.答案12n ＋1－12n ＋2解析 f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋1n ＋1＋n ＋1n ＋1＋n ＋1－(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 5． 用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推理n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________． 答案 2k解析 当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1.左边增加了2k 项．题型一 用数学归纳法证明等式例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N ＋)．思维启迪 证明时注意等式两边从n ＝k 到n ＝k ＋1时的变化． 证明 ①当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)，这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立． 由①②可知，对所有n ∈N ＋等式成立． 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法． 用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13， 右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即有 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式例2 已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈[14，12]时，f (x )≥18.(1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1.思维启迪 (1)利用题中条件分别确定a 的范围，进而求a ； (2)利用数学归纳法证明．(1)解 由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32(x －a 3)2＋a 26.又f (x )max ≤16，所以f (a 3)＝a 26≤16.所以a 2≤1.又x ∈[14，12]时，f (x )≥18，所以⎩⎨⎧f (12)≥18，f (14)≥18，即⎩⎨⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立．因为当x ∈(0，12)时，0<f (x )≤16，所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13.故n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a k <1k ＋1成立．因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈(0，13]时，f (x )为增函数．所以由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f (1k ＋1)．于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据①②，知对任何n ∈N *，不等式a n <1n ＋1成立．思维升华 用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12n －1)>2n ＋12均成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，即 (1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)>2k ＋12.则当n ＝k ＋1时，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)[1＋12(k ＋1)－1]>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 题型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．思维启迪 通过计算a 1，a 2，a 3寻求规律猜想{a n }的通项公式，然后用数学归纳法证明． (1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0. ∴a 1＝3－1(a 1>0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)．同理可得a 3＝7－ 5. 猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k ，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得：a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)． 即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．思维升华 (1)猜想{a n }的通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：①准确计算a 1，a 2，a 3发现规律(必要时可多计算几项)；②证明a k ＋1时，a k ＋1的求解过程与a 2、a 3的求解过程相似，注意体会特殊性与一般性的辩证关系．(2)“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由． 解 ∵f ′(x )＝x 2－1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1，∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1在[1，＋∞)上单调递增．于是由a 1≥1得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1， 进而a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1.当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n －1， 即1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n ，∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n <1.归纳—猜想—证明问题典例：(12分)设a >0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．思维启迪 通过计算a 2，a 3，a 4观察规律猜想a n ，然后用数学归纳法证明． 规范解答(1)解 ∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ； a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a3＋a .[2分] 猜想a n ＝a(n －1)＋a(n ∈N *)．[4分] (2)证明 ①易知，n ＝1时，猜想正确．[6分] ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a(k －1)＋a ，[8分]则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k＝a ·a (k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a(k－1)＋a＋1＝a[(k＋1)－1]＋a.这说明，n＝k＋1时猜想正确．[11分] 由①②知，对于任何n∈N*，都有a n＝a(n－1)＋a. [12分]归纳—猜想—证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0∈N*)成立．第三步：假设n＝k(k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．第四步：下结论，由上可知结论对任意n≥n0，n∈N*成立．温馨提醒解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．(2)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法．(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．方法与技巧1． 数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2． 归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设． 3． 利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． 失误与防范1． 数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1；2． 推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法.A 组 专项基础训练一、选择题1． 用数学归纳法证明2n >2n ＋1，n 的第一个取值应是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ∵n ＝1时，21＝1,2×1＋1＝3,2n >2n ＋1不成立； n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n >2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n >2n ＋1成立． ∴n 的第一个取值应是3.2． 用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C3． 用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·2·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从“n ＝k 到n ＝k＋1”时，左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1B ．2k ＋3C ．2(2k ＋1)D ．2(2k ＋3)答案 C解析 左边应增添的式子等于 (k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k ＋1)](k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)·…·(2k )＝2(2k ＋1)．4． 对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．5． 在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)答案 C解析 当n ＝2时，13＋a 2＝(2×3)a 2，∴a 2＝13×5.当n ＝3时，13＋115＋a 3＝(3×5)a 3，∴a 3＝15×7.故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).二、填空题6． 设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝________.答案12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n解析 ∵S n ＋1＝1＋12＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋2n ，S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，∴S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n .7． 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 答案 2k ＋1解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1.8． 设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示)． 答案 5 12(n ＋1)(n －2)解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (n )＝f (3)＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋…＋(n －1) ＝12(n ＋1)(n －2)． 三、解答题9． 用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n－1n (n ＋1)2. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k－1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k－1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2.∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)知对任意n ∈N *有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n－1n (n ＋1)2. 10．已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n .求证：当n ∈N *时，a n <a n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，因为a 2是方程a 22＋a 2－1＝0的正根，所以a 1<a 2.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，0≤a k <a k ＋1，则由a 2k ＋1－a 2k＝(a 2k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2k ＋1＋a k ＋1－1)＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)>0，得a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，a n <a n ＋1也成立，根据(1)和(2)，可知a n <a n ＋1对任何n ∈N *都成立．B 组 专项能力提升1． 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上 ( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2答案 D解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n 2.故n ＝k ＋1时，最后一项是(k ＋1)2，而n ＝k 时，最后一项是k 2，应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2． 下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )答案 D 解析 (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么当k ＝n ＋1时有3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36. 这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)知，命题对k ∈N *成立．3． 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n ＝________. 答案 2n －12n －1 解析 ∵a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋1＝32，a 3＝12a 2＋1＝74，a 4＝12a 3＋1＝158. 猜想a n ＝2n －12n －1. 4． 已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)． (2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立，②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为12(k ＋1)2－[12k 2－1(k ＋1)3] ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0， 所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．5． 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24， 即2624>a 24，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)当n ＝1时，已证得不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524.则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1 ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]． 因为13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＝6(k ＋1)(3k ＋2)(3k ＋4)－23(k ＋1)＝18(k ＋1)2－2(9k 2＋18k ＋8)(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)＝2(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)>0， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， 所以a 的最大值等于25.。

2013届高三一轮复习理科数学全能测试（九） 计数原理与概率、统计 算法初步、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）； 球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）；锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）； 台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、（2012安徽理）如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．82、若5)1(-ax 的展开式中3x的系数是80，则实数a 的值是开 始i=1, s=0s=s+12ii=i +1输出S结 束否是（ ）A ．-2 B. 22 C.34 D. 23、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是A ．16 B ．13C ．12 D ．234、如图给出的是计算11112462012++++L 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ） A ．1005i ≤ B ．1005i > C ．1006i ≤ D ．1006i >5、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有A ．30种B ．90种C ．180种D ．270种6、有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种7、如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）A.3B.5C.6D.108、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有( )A.48个B.12个C.36个D.28个9、定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln (1)h x x =+，()co s x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是：（ ）A ．γβα<<B ．βγα<<C ．βαγ<<D ．γαβ<<10、将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为A ．3B ．6C ．12D ．18非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、（2012 江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取____名学生.12、（2012浙江理）若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是______________. 13、在72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3的系数是 ．14、设随机变量X 的分布列如下：X 0 5 10 20 P0.1αβ0.2若数学期望E (X )＝10，则D (X )＝ ．15、某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 ．（用数字作答） 16、已知等式141422104232)21()1(xa xa x a a x x x ++++=-⋅-+ 成立，则+++321a a a 1413a a ++ 的值等于 .17、用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1 的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：千克）情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图4），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12。

11.2 二项式定理挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点二项式定理及其应用1.了解“杨辉三角”的特征,掌握二项式系数的性质及其简单应用.2.掌握二项式定理,会用二项式定理解决有关的简单问题.2018某某,14 求常数项★★★2017某某,13求系数多项式乘法2016某某,自选042015某某,自选04求系数2014某某,5分析解读 1.二项式定理是高考常考内容之一,考查集中在“性质”上,尤其是对于通项的考查.2.主要集中在对系数和常数项的考查上.3.预计2020年高考试题中,考查二项式定理的可能性较大.破考点【考点集训】考点二项式定理及其应用1.(2018某某新高考调研卷五(某某一中),7)若(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)2017=a0+a1x+a2x2+…+a2 017x2 017,则a3的值为( )A. B.-1 C. D.-1答案 D2.(2018某某新高考调研卷四(某某一中),12)已知的展开式中各项系数绝对值之和为256,则n=,该展开式中含项的系数为.答案4;54炼技法【方法集训】方法1 求指定项或指定项系数的方法1.(2018某某嵊州第一学期期末质检,13)的展开式的第3项的系数为,展开式中x的系数为.答案21;-352.(2018某某“七彩阳光”联盟期初联考,11)(1+x)6的展开式中含x3项的系数为.答案14方法2 求二项式系数或展开式系数之和的方法1.(2018某某某某第一学期期末质检,14)若(x2-2x-3)n的展开式中所有项的系数之和为256,则n=,含x2项的系数是(用数字作答).答案4;1082.(2018某某某某第一学期期末,12)已知(1-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则含x2项的二项式系数是;|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=.答案15;64过专题【五年高考】A组自主命题·某某卷题组考点二项式定理及其应用1.(2014某某,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )A.45B.60C.120D.210答案 C2.(2017某某,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.答案16;43.(2016某某自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,求a2的值.解析因为(1+2x)4的展开式的通项为T r+1=(2x)r,r=0,1,2,3,4,(1-x2)3的展开式的通项为T r+1=(-x2)r,r=0,1,2,3,所以a2=·22·+··(-1)=21.4.(2015某某自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知n为正整数,在(1+x)2n与(1+2x3)n展开式中含x3项的系数相同,求n的值.解析(1+x)2n中含x3项的系数为,(1+2x3)n中含x3项的系数为2n.由=2n得=2n,解得n=2.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点二项式定理及其应用1.(2018课标全国Ⅲ理,5,5分)的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.80答案 C2.(2017课标全国Ⅲ理,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )A.-80B.-40C.40D.80答案 C3.(2018某某理,10,5分)在的展开式中,x2的系数为.答案4.(2017某某,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.答案 45.(2016,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为.(用数字作答)答案606.(2016某某,12,5分)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=.答案-2C组教师专用题组考点二项式定理及其应用1.(2017课标全国Ⅰ理,6,5分)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35答案 C2.(2016某某,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( )A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案 A3.(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60答案 C4.(2015某某,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212B.211C.210D.29答案 D5.(2015某某,6,5分)已知的展开式中含的项的系数为30,则a=( )A.B.- C.6 D.-6答案 D6.(2015某某,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=( )A.4B.5C.6D.7答案 C7.(2014某某,2,5分)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=( )A.2B.C.1D.答案 C8.(2014某某,4,5分)的展开式中x2y3的系数是( )A.-20B.-5C.5D.20答案 A9.(2014某某,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )A.30B.20C.15D.10答案 C10.(2013某某,8,5分)设函数f(x)=则当x>0时, f(f(x))表达式的展开式中常数项为( )A.-20B.20C.-15D.15答案 A11.(2013课标Ⅰ,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )A.5B.6C.7D.8答案 B12.(2013课标Ⅱ,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )A.-4B.-3C.-2D.-1答案 D13.(2016课标全国Ⅰ,14,5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)答案1014.(2016某某,10,5分)的展开式中x7的系数为.(用数字作答)答案-5615.(2015课标Ⅱ,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.答案 316.(2015,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为.(用数字作答)答案4017.(2015某某,12,5分)在的展开式中,x2的系数为.答案18.(2015某某,12,5分)的展开式中x8的系数是(用数字作答).答案19.(2015某某,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)答案8020.(2015某某,9,5分)在(-1)4的展开式中,x的系数为.答案 621.(2015某某,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案).答案-4022.(2015某某,11,5分)的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案)答案3523.(2014大纲全国,13,5分)的展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)答案7024.(2014某某,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i,a i)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.答案 325.(2014某某,14,5分)若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.答案 226.(2014课标Ⅱ,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)答案27.(2014课标Ⅰ,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)答案-20【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019届某某、某某、某某三地教学质量检测,2)(1+x)6的展开式中含x4项的系数是( )A. B. C. D.答案 B2.(2019届某某“超级全能生”9月联考,3)二项式的展开式中的常数项为( )A.6B.12C.15D.20答案 C3.(2018某某新高考调研卷三(某某二中),2)设(1-3x)8=a0+a1x+…+a8x8,则|a0|+|a1|+…+|a8|的值为( )A.28B.38C.48D.58答案 C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共52分)4.(2019届某某名校协作体高三联考,13)已知(1+2x)n的展开式中第三项的二项式系数为15,则n=,含x2项的系数是.答案6;605.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,11)已知n∈N*,若的展开式中存在常数项,则n的最小值为,此时常数项为.答案5;26.(2019届某某某某九校联考,14)已知(1+x)5=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a5(1-x)5,则a3=.答案-407.(2019届某某名校新高考研究联盟第一次联考,13)若的展开式中,x3的系数为6,则a=,展开式中的常数项为.答案1;158.(2018某某“七彩阳光”联盟期中,13)若(x+1)6+x6=a0+x+a2(x+1)4x2+a3(x+1)3x3+a4(x+1)2x4+a5(1+x)x5,且a i(i=0,1,2,3,4,5)是常数,则a0=;a1+a3=.答案1;269.(2018某某某某、某某、某某第一学期质检,12)在(x+1)·(2-x)3的展开式中,常数项是,含x项的系数是.答案8;-410.(2018某某某某十校模拟(4月),13)若(x+y)(2x-y)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2+a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6,则a4=,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=.答案40;211.(2018某某某某高三上学期期末,14)已知(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+…+a6=;a2=.答案1;6012.(2018某某新高考调研卷二(镇海中学),13)已知x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a10(x+1)10,则a9=;系数a i(i=0,1,2,…,10)中最大的是.答案-10;a4或a6。