2020_2021学年高中数学第二章函数课时作业12简单的幂函数含解析北师大版必修1

2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第2章§4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析4.2简单幂函数的图象和性质学习目标核心素养1。

了解幂函数的概念．(重点）2．掌握y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝错误!，y＝x错误!的图象与性质．(重点)3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．（重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．1．幂函数的概念形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．思考：y＝1错误!是幂函数吗？提示:是．因为它可写成y＝x0错误!的形式．2．幂函数的图象如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；（2）y＝x错误!；(3）y ＝x2;（4）y＝x－1；(5）y＝x3的图象．3．幂函数的性质(1）所有的幂函数在（0,＋∞)上都有定义，并且图象都过点（1,1）;（2)α〉0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0，＋∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸;当0<α〈1时，幂函数的图象上凸；（3)α〈0时，幂函数的图象在区间（0,＋∞)上是减函数．1．已知幂函数f错误!＝kxα的图象过点错误!，则k＋α等于(）A．错误!B．1C．错误!D．2C[由幂函数的定义知k＝1.又f错误!＝错误!，所以错误!错误!＝错误!，解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!。

]2．函数y＝x错误!的图象是（）A B C DB[当0<x〈1时，x错误!>x；当x〉1时，x错误!<x，故选B。

］3．已知幂函数f(x)＝（t3－t＋1)x错误!(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的,则函数的解析式为________．f（x）＝x2［∵f(x)是幂函数,∴t3－t＋1＝1，解得t＝－1或t＝0或t＝1.当t＝0时,f(x）＝x错误!是非奇非偶函数，不满足题意；当t＝1时，f（x）＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞）上是减少的，不满足题意；当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．综上所述,实数t的值为－1，所求解析式为f(x)＝x2.］4．已知函数f(x）＝（2m－3)x m＋1是幂函数．(1）求m的值；（2)判断f(x）的奇偶性．[解］(1）因为f(x)是幂函数，所以2m－3＝1,即m＝2。

学习资料§5简单的幂函数（一）内容标准学科素养1.理解幂函数的概念．2。

学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法．3。

理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.精确数学概念提升数学运算熟练数形结合授课提示：对应学生用书第33页[基础认识]知识点一幂函数的概念错误!任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数y＝mxα是幂函数，m应满足什么条件？提示:并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y＝x和y＝x2是幂函数．若y＝mxα是幂函数，则必有m＝1。

知识梳理幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二简单的幂函数的图像和性质错误!幂函数y＝xα在区间(0，＋∞）上为增函数时，α满足的条件是什么？在区间(0，＋∞）上为减函数时,α满足的条件是什么?提示：当α＞0时,y＝xα在（0，＋∞）上为增函数；当α＜0时，y＝xα在（0,＋∞）上为减函数．知识梳理幂函数的图像与性质幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x－1图像定义域R R R［0，＋∞）｛x｜x≠0} 值域R[0，＋∞)R［0，＋∞){y｜y≠0｝奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数x∈［0，＋∞）是增函数，x∈（－∞,0）是减函数在R上是增函数在[0，＋∞)上是增函数x∈(0,＋∞)是减函数，x∈(－∞，0）是减函数公共点（1,1)提示：如果幂函数的图像能过第四象限，则当x＞0时，y＜0,但x a＞0恒成立，故y＜0不成立，所以幂函数的图像不过第四象限．[自我检测]1．下列函数中,不是幂函数的是（）A．y＝2x B．y＝x－1C．y＝错误!D．y＝x2解析:由幂函数定义知y＝2x不是幂函数．答案:A2．下列函数中，定义域为R的是()A．y＝x－2B．y＝x错误!C．y＝x2D．y＝x－1解析：A、D的定义域为｛x|x≠0},B的定义域为［0，＋∞），C的定义域为R。

4．2 简单幂函数的图象和性质水平11．函数y ＝－x 2是幂函数．( ) 2．幂函数y ＝x 2是偶函数．( ) 3．幂函数y ＝x －1是减函数．( ) 4．幂函数都过点(0，0)，(1，1).( )5．当0<x <1时，y ＝x 12的图象在y ＝x 2图象的下方．( ) 【解析】1.提示：×.所给函数的系数为－1，不满足幂函数的定义． 2．√.3．提示：×.y ＝x －1在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，但在整个定义域上不具有单调性． 4．提示：×.只有α>0时过(0，0)，(1，1)点．5．提示：×.0<x <1时，y ＝x 12图象位于y ＝x 2的图象的上方．·题组一 幂函数的概念1．在函数y ＝x －2，y ＝2x 2，y ＝(x ＋1)2，y ＝3x 中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C.2 D ．3【解析】选B.根据幂函数的定义：(1)x α的系数为1；(2)x 为自变量；(3)α为常数．所以只有y ＝x －2是幂函数．2．已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( ) A.2 B ．1 C.12D ．0 【解析】f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0， 即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.3．若定义域为R 的函数f (x )＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数，则m ＝________．【解析】因为f (x )是幂函数，所以m 2－4m －4＝1，即m 2－4m －5＝0，解得m ＝5或m ＝－1. 当m ＝5时，f (x )＝x 5的定义域为R ，合乎题意．当m ＝－1时，f (x )＝x －1的定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，不合题意．所以m ＝5. 答案：5·题组二 幂函数的图象及其应用1．如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A.－2，－12，12，2B.2，12，－12，－2C.－12，－2，2，12D.2，，－2，－12【解析】y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象变化为：当n >0时，n 越大，y ＝x n 的递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2.2．下列关于函数y ＝x α与y ＝αx ⎝⎛⎭⎫α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，3的图象正确的是( )【解析】y ＝x α是幂函数，而y ＝αx 是一次函数，选项A ，直线对应函数y ＝x ，曲线对应函数为y ＝x －1；选项B ，直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 12；选项C ，直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 2；选项D ，直线对应函数为y ＝－x ，曲线对应函数y ＝x 3，故C 正确．3．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )【解析】a <0时，函数y ＝ax －1a 是减函数，且在y 轴上的截距－1a >0，y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以A ，D 项均不正确；对于B ，C 项，若a >0，则y ＝ax －1a 是增函数，B 项不正确，C 项正确．·题组三 利用幂函数的性质比较大小 1．下列不等式成立的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13－12>⎝⎛⎭⎫12－12B ．⎝⎛⎭⎫3423<⎝⎛⎭⎫2323C.⎝⎛⎭⎫232>⎝⎛⎭⎫322D ．8－78<⎝⎛⎭⎫1978【解析】y ＝x －12是减函数，所以，⎝⎛⎭⎫13－12>⎝⎛⎭⎫12－12，A 正确． 因为幂函数y ＝x 23是增函数， 所以⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，B 错误．因为幂函数y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增， 所以⎝⎛⎭⎫232<⎝⎛⎭⎫322，C 错误． 因为幂函数y ＝x 78是增函数， 所以8－78>⎝⎛⎭⎫1978，D 错误． 2．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 【解析】f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .αα，则α的取值X 围是________．【解析】αα，所以y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．故α<0. 答案：(－∞，0)4．已知幂函数f (x )＝x 12，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值X 围是________．【解析】因为f (x )＝x 12(x ≥0)，易知f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (10－2a )<f (a ＋1)，所以解得所以3<a ≤5.答案：(3，5]易错点 幂函数的图象不清楚导致错误1．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是( )A ．④⑦B ．④⑧ C.③⑧ D ．①⑤【解析】y ＝x 12的图象形状是上凸形，在经过(1，1)点以前在y ＝x 上方，而过了(1，1)点后在y ＝x 下方，故可知y ＝x 12过①⑤“卦限”．2．函数y ＝ax 2＋a 与y ＝ax(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )【解析】a ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋a 的图象开口向上，且对称轴为x ＝0，顶点坐标为(0，a )，故排除A ，C ；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋a 的图象开口向下，且对称轴为x ＝0，顶点坐标为(0，a )，函数y ＝ax的图象在第二、四象限．【易错误区】对幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象在同一坐标系中的相对位置关系不清楚而出错．水平1、2限时30分钟 分值60分 战报得分______ 一、选择题(每小题5分，共30分)1.如图所示，幂函数y ＝x α在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4，1的大小( )A ．α1<α3<0<α4<α2<1 B.0<α1<α2<α3<α4<1 C.α2<α4<0<α3<1<α1 D.α3<α2<0<α4<1<α1【解析】x ＝2得0<2α3<2α2<1<2α4<2α1，所以α3<α2<0<α4<α1.又α1>1，0<α4<1，所以α3<α2<0<α4<1<α1. 2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(16，4)，则f ⎝⎛⎭⎫164的值为( ) A.3 B ．13 C ．18 D ．14【解析】y ＝f (x )＝x α的图象经过点(16，4)， 所以16α＝4，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以f ⎝⎛⎭⎫164＝⎝⎛⎭⎫16412＝18.3．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －m －1为减函数，则实数m 等于( ) A.1＋ 52B ．－1C.2或－1 D ．2【解析】x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －m －1为减函数， 所以m 2－m －1＝1，且－m －1＜0， 解得m ＝2或－1，且m ＞－1， 即m ＝2.4．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 等于( ) A.0 B ．1 C ．2 D ．0或1【解析】f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意； 当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意． 综上知，m ＝1.5．(多选)下列不等式在a <b <0的条件下成立的是( ) A.a －1>b －1B ．a 13<b 13C.b 2<a 2D ．a －23>b －23【解析】y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x 2，y ＝x －23，其中函数y ＝x －1，y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，而y ＝x 13，y ＝x －23为(－∞，0)上单调递增，故D 不成立，其余都成立．6．(多选)下列说法中错误的是( )B.y ＝x 0的图象是一条直线y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y <12 y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}【解析】选BCD.由幂函数的图象易知A 正确；y ＝x 0的图象是直线y ＝1上去掉点(0，1)，B 错误；函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0＜y ＜12，C 错误；若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域也可能是{x |0≤x ≤2}，D 错误．所以说法错误的有BCD. 二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，14，则f (2)＝________． 【解析】设幂函数为y ＝x α，因为幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，14，所以14＝4α，所以α＝－1，所以y ＝x －1，所以f (2)＝2－1＝12.答案：128．已知y ＝(2a ＋b )x a ＋b ＋(a －2b )是幂函数，则a ＝________，b ＝________.【解析】由题意得解得答案：25159．给出以下结论：①幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；②若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ③幂函数的图象可能在第二象限． 则正确结论的序号为________．【解析】当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0，0)点，故①不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故②不正确．③正确． 答案：③10．有四个幂函数：①f (x )＝x －1；②f (x )＝x －2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 13．某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： (1)偶函数；(2)值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； (3)在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号). 【解析】对于函数①f (x )＝x －1，这是一个奇函数，值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件．答案：②三、解答题11．(10分)已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．【解析】(1)若函数f(x)为正比例函数，则所以m＝1.(2)若函数f(x)为反比例函数，则所以m＝－1.(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，所以m＝－1±2.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，某某数k的取值X围．【解析】(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0.(2)由(1)可知f(x)＝x2.当x∈[1，2]时，f(x)，g(x)单调递增，所以A＝[1，4]，B＝[2－k，4－k].因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以⇒0≤k≤1.所以实数k的取值X围是[0，1].。

第二章函数§4函数的奇偶性与简单的幂函数4.2简单幂函数的图象和性质课后篇巩固提升基础达标练1.函数y=3xα-2的图象过定点()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x-2C.f(x)=x3D.f(x)=3.(多选题)下列结论不正确的是()A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα都是增函数D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是()A.0<α<1B.α<0C.α<1D.α>1α<1.5.幂函数y=x m与y=x n在第一象限内的图象如图所示,则()A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>1y=x m在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=x n在区间(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=x n的图象在y=x-1的图象的下方,故n<-1.故选B.6.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是.f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<.7.已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m=.f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数,所以m2-2m为奇数.又因为f(x)在第一象限内是单调递减,所以m2-2m-3<0,即-km<3,又m∈Z,所以m=1.8.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是.y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.9.已知函数y=(a2-3a+2)(a为常数),问:(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,解得a=.(2)由题意知解得a=4.(3)由题意知解得a=3.能力提升练1.(多选题)(2020山东日照高一期末)已知函数f(x)=xα图象经过点(4,2),则下列命题正确的有()A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>1D.若0<x1<x2,则<ff(x)=xα的图象经过点(4,2),所以α=.所以f(x)=.显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确;当0<x1<x2时,2-f2=2-===-<0.即<f成立,所以D正确.2.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,函数f(x)单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.3.已知幂函数f(x)=mx n的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<cf(x)=mx n的图象过点(,2),则所以幂函数的解析式为f(x)=x3,且函数f(x)单调递增.又ln2<1<3,所以f(ln 2)<f(1)<f(3),即c<a<b,故选B.4.(多选题)已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是()A.0<b<a<1B.-1<a<b<0C.1<a<bD.a=by=与y=的图象如图所示,设=m,作直线y=m.从图象知,若m=0或m=1,则a=b;若0<m<1,则0<b<a<1;若m>1,则1<a<b.故其中可能成立的是ACD.5.已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求实数m的值;(2)当x∈(1,2]时,记ƒ(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.∴m=0.(2)由(1)可知f(x)=x2,当x∈(1,2]时,函数f(x)和g(x)均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k,4-k].∵A∪B=A,∴B⊆A.∴∴0≤k≤1.∴实数k的取值范围是[0,1].6.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)x m+1为偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2是偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x3为奇函数,不符合题意,舍去.故f(x)=x2.(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,函数y的对称轴为x=a-1,由题意知函数y在区间(2,3)上为单调函数,∴a-1≤2或a-1≥3,解得a≤3或a≥4.∴a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).素养培优练已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.(2)若F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.(3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为,若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.由题意知(2-k)(1+k)>0,解得-1<k<2.又k∈Z,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f(x)=x2.(2)由已知得F(x)=2x2-4x+3.要使函数F(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.(3)由已知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1.假设存在这样的正数q符合题意,则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x==1-<1,因而,函数g(x)在区间[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得,又g(2)=-1≠-4,从而必有g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g(x)=-2x2+3x+1,其图象的对称轴x=∈[-1,2],∴g(x)在区间[-1,2]上的最大值为g=-2×+3×+1=,符合题意.∴存在q=2,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

5 简单的幂函数如果一个函数的底数是自变量x ，指数为常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．例如y ＝x 2，13y x -=，y =y ＝x π等都是幂函数． 谈重点 幂函数的形式特征(1)幂x α的系数是1；(2)幂的底数为自变量x 而不是x 的其他代数式，如2x 或x －1等；(3)幂的指数位置的数是常数，指数α确定则幂函数确定．对于形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…等形式的函数都不是幂函数．【例1－1】下列函数是幂函数的为( )．①21y x=；②y ＝2x 2；③y ＝x 2＋x ；④y ＝(x －2)3；⑤y ＝1. A ．①⑤ B ．② C ．① D ．①②④ 解析：函数21y x=可写成y ＝x －2的形式，是幂函数；y ＝2x 2的系数不是1，y ＝x 2＋x 等式右边是两个幂和的形式，y ＝(x －2)3底数不是自变量x ，y ＝1与y ＝x 0(x ≠0)不是同一函数，所以它们都不是幂函数．答案：C解技巧 幂函数的本质特征幂函数y ＝x α(α∈R )的本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．【例1－2】若函数y ＝(a 2－3a －3)x 2为幂函数，则a 的值为________．解析：根据幂函数的定义，若函数y ＝(a 2－3a －3)x 2为幂函数，则x 2的系数必为1，即a 2－3a －3＝1，所以a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或a ＝4.答案：－1或42．几个常见幂函数的图像特征及性质 根据课程标准的要求，在中学阶段我们只关注y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，12y x =和y ＝x －1这5从上面的5(1)幂指数α＝－1,1,3时，对应幂函数的图像分布于第一、三象限，且都关于原点对称．(2)幂指数α＝2时，对应幂函数的图像分布于第一、二象限，它关于y 轴对称．(3)幂指数12α=时，对应幂函数的图像只分布于第一象限．(4)在第一象限内，①图像都过点(1,1)；②当幂指数12α=，1,2,3时，对应的幂函数图像从左向右呈上升趋势，且在(1，＋∞)上，α的值越大，图像越靠上；③当幂指数α＝－1时，对应的幂函数图像从左向右呈下降趋势．析规律幂函数的性质一般地，幂函数y＝xα有以下性质：当α＞0时：①图像都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；③在第一象限内，α＞1时，图像是向下凸的；0＜α＜1时，图像是向上凸的；④在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展，而且α的值越大，图像越靠上．当α＜0时：①图像都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像是向下凸的；③在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；④在第一象限内，过(1,1)点后，|α|越大，图像下落的速度越快．当α为奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图像关于y 轴对称．【例2－1】幂函数y＝xα中α的取值集合C是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为( )．A．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C．11,,1,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭解析：根据幂函数y＝x－1，y＝x0，12y x=，y＝x，y＝x2，y＝x3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．答案：C【例2－2】下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )．A．13y x= B．y＝x2C．y＝x3 D．y＝x－2解析：对于函数13y x=和y＝x－2的单调性我们不太熟悉，但对于y＝x2的图像和性质我们记忆深刻，知道y＝x2在(－∞，0)上为减函数．故选B.答案：B【例2－3】图中的曲线是四个幂函数在第一象限内的图像，记曲线C1，C2，C3，C4.对应幂函数的幂指数分别为a，b，c，d，则a，b，c，d的大小顺序正确的一组是( )．A ．a ＞b ＞c ＞dB ．C ．a ＞b ＞d ＞cD ．c ＞d ＞b ＞a解析：因为在第一象限内，曲线C 1，C 2的函数值随x 的增大而增大，所以a ＞0，b ＞0；又因为C 1的图像是下凸的，C 2的图像是上凸的，所以a ＞1,0＜b ＜1.因为曲线C 3，C 4的函数值随x 的增大而减小，所以c ＜0，d ＜0；又因为当指数为负时，过(1,1)点后，|a |越大，图像下落的越快，所以d ＜c .故a ，b ，c ，d 的大小顺序为a ＞b ＞c ＞d .答案：A析规律 幂函数的图像变化规律在第一象限内，幂函数y ＝x α的过(1,1)点后的图像越靠上，幂指数越大；图像越靠下，幂指数越小．【例2－4】比较下列各数的大小：(1)1.10.9与0.90.9；(2)2.5－2与2.4－2.分析：两个幂比较大小，若两个幂指数相同，则构造幂函数，利用幂函数的单调性比较幂的大小．对于幂函数y ＝x α，当α＞0时，在区间(0，＋∞)上是增函数；当α＜0时，在区间(0，＋∞)上是减函数．解：(1)考察幂函数y ＝x 0.9，由于该函数在(0，＋∞)上是增函数，且1.1＞0.9，所以1.10.9＞0.90.9.(2)考虑幂函数y ＝x －2，由于该函数在(0，＋∞)上是减函数，又2.5＞2.4，所以2.5－2＜2.4－2.3．幂函数解析式的确定幂函数y ＝x α的解析式比较简单，仅含有一个参数α，因此，指数α确定则幂函数确定．常见的求幂函数解析式的题型有：(1)已知幂函数图像上一个点的坐标，求其解析式．这时，常用待定系数法，先设幂函数的解析式为y ＝x α，再把已知点的坐标代入，得到关于参数α的一个指数方程，然后解方程求出α，从而确定幂函数的解析式．(2)已知一个含有参数的幂函数解析式和此函数的一个性质，求其解析式．这时常常结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征来确定参数的值．【例3－1】已知函数f (x )为幂函数，并且过(2点，则f (x )＝________. 解析：∵函数f (x )为幂函数，∴可设其解析式为f (x )＝x α.∵f (x )的图像过(2点，∴f (2)2α∴12α=.故f (x )＝12x .答案：12x【例3－2】已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则m的值为( )．A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝－1，或m ＝2 D．m ≠解析：因为函数2223(1)m m y m m x --=--是幂函数，所以，根据幂函数的定义可得，m2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝－1，或m ＝2.又因为当x ∈(0，＋∞)时幂函数为减函数，所以，根据幂函数的性质可知，m 2－2m －3＜0，把m ＝－1,2依次代入不等式，经检验m ＝－1不符合不等式，故只有m ＝2.此时幂函数解析式为y ＝x －3.答案：A4．幂函数的单调性证明我们常用函数单调性的定义证明幂函数的单调性，其基本步骤为：取值—作差变形—定号—判断．在比较两个函数值的大小时，除了用作差法外，结合幂函数的特点亦可采用作商法，即任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，作商21()()f x f x ，当此值大于1时为增函数，当此值小于1时为减函数(此时f (x 1)＞0)．【例4】证明函数f (x )[0，＋∞)上是增函数．证明：(方法1)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)0，即f (x 1)＜f (x 2)．由函数单调性的定义可知，f (x )[0，＋∞)上是增函数． (方法2)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则12x x ＜1，且f (x 2)＞0，∴12()1()f x f x ==<， 即f (x 1)＜f (x 2)，由函数单调性的定义可知，f (x )[0，＋∞)上是增函数． 5．函数奇偶性的概念及图像特征一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f (x )中，f (x )和f (－x )的绝对值相等，符号相反，即f (－x )＝－f (x )；反之，满足f (－x )＝－f (x )的函数y ＝f (x )一定是奇函数．图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f (x )中，f (x )和f (－x )的值相等，即f (－x )＝f (x )；反之，满足f (－x )＝f (x )的函数y ＝f (x )一定是偶函数．当函数f (x )是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性．谈重点 奇函数、偶函数定义的理解 (1)如果函数f (x )是奇函数或偶函数，那么函数f (x )的定义域一定关于原点对称．因为若x 属于f (x )的定义域，－x 也必须属于f (x )的定义域，这样才能保证函数图像关于原点对称或关于y 轴对称．所以，定义域无此特征的函数一定既不是奇函数也不是偶函数．(2)当函数f (x )是奇函数或偶函数时，f (－x )＝－f (x )与f (－x )＝f (x )应对定义域内的每一个x 都成立．(3)若函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－f (x )与f (－x )＝f (x )同时成立，则函数f (x )既是奇函数又是偶函数．如函数f (x )＝0，x ∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(4)若奇函数f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.因为f (x )为奇函数时，对于定义域内的任意x，有f(－x)＝－f(x)成立，从而有f(－0)＝－f(0)，故f(0)＝0，这是奇函数的一条非常重要的性质，在做题时要引起重视．(5)在研究函数时，如果知道其图像具有关于y轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少工作量．【例5－1】下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定过原点；③偶函数的图像一定关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是y＝0(x ∈R)．其中正确的个数是( )．A．1 B．2C．3 D．4解析：可结合我们已学过的函数及奇、偶函数的图像特征来判断．偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如函数y＝x0，y＝x－2都是偶函数，但它们的图像不与y轴相交，故①错误，③正确；奇函数的图像关于原点对称，但不一定过原点，如y＝x－1，故②错误；若函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如x∈(－1,1)，只要其定义域关于原点对称即可，故④错误．所以，四个结论中只有③正确，故选A.答案：A【例5－2】已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，则下列各点中必在函数y＝f(x)图像上的是( )．A．(－a，f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，－f(a))解析：因为函数f(x)(x∈R)是偶函数，所以，若点(a，f(a))在函数y＝f(x)的图像上，由偶函数的图像关于y轴对称可知，点(a，f(a))关于y轴的对称点(－a，f(a))必在函数图像上．判断函数奇偶性的方法主要有定义法和图像法．利用定义判断函数y＝f(x)奇偶性的步骤是：(1)首先考查函数的定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点对称，再进行第二步；若不关于原点对称，则说明函数是非奇非偶函数．(2)验证f(－x)与f(x)的关系．若f(－x)＝－f(x)，则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则函数为偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则函数既不是奇函数，也不是偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数．也可利用函数的图像特征来判断函数的奇偶性，即函数图像关于原点对称，则为奇函数；函数图像关于y轴对称，则为偶函数；函数图像关于原点和y轴均对称，则既是奇函数也是偶函数；函数图像关于原点和y轴均不对称，则既不是奇函数也不是偶函数．【例6－1】下列函数中是偶函数的是( )．A．y＝2|x|－1，x∈[－1,2]B．y＝x2＋xC．y＝x3D．y＝x2，x∈[－1,0)∪(0,1]解析：在A中，因为函数y＝2|x|－1的定义域[－1,2]不关于原点对称，故不是偶函数；在B中，函数y＝x2＋x的定义域为R，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x≠f(x)，不是偶函数；在C中，函数y＝x3的定义域为R，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，此函数是奇函数；在D中，函数y＝x2的定义域[－1,0)∪(0,1]关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，故此函数是偶函数．答案：D【例6－2】下图是根据y＝f(x)绘出来的，则表示偶函数的图像是图中的________．(把正确图像的序号都填上)解析：(3)关于y答案：(3)7．利用函数的奇偶性求值或比较大小利用函数的奇偶性可以求函数值或代数式的值，也可以比较两个函数值的大小．例如，如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，试作出y轴右侧的图像并求出f(3)的值．根据奇函数的定义，函数y＝()的轴左侧图像上的任意一点关于原点的对称点必在函数图像上，由此可将图像补充如下：由图像可知f(3)＝－2.该题也可用奇函数的定义来解．由图像可得，f(－3)＝2.根据奇函数定义，得f(－3)＝－f(3)，所以，f(3)＝－f(－3)＝－2.【例7－1】函数f(x)＝x＋a2－1是定义在区间(－a2,2a＋3)上的奇函数，则a2 013的值为________．解析：因为函数f(x)＝x＋a2－1是定义在区间(－a2,2a＋3)上的奇函数，所以，其定义域应关于原点对称，故(－a2)＋(2a＋3)＝0，即a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.又因为函数f(x)在x＝0处有意义，所以f(0)＝0，即a2－1＝0，所以a＝1或a＝－1.综上可知a ＝－1，因而a2 013＝(－1)2 013＝－1.答案：－1【例7－2】定义在R上的偶函数f(x)在x＞0上是增函数，则( )．A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)解析：∵f(x)在实数集R上是偶函数，∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．而3＜π＜4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(3)＜f(π)＜f(4)，即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．答案：C【例7－3】已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝( )．A．4 B．2 C．0 D．不确定解析：因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.当x＝2时，由f(2＋x)＝f(2－x)得f(4)＝f(0)＝0.答案：C8．利用函数的奇偶性求函数的解析式定义域关于原点对称的函数，若已知它一侧的解析式，可利用它的奇偶性求出另一侧的解析式．求解方法是：求谁设谁，然后转化到已知的区间上，再利用函数的奇偶性解出要求的f(x)．【例8】已知函数是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)＝－x＋1，则f(x)的解析式为________．解析：设x＜0，则－x＞0.∵当x≥0时，f(x)＝－x＋1，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1.∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴当x＜0时，f(x)＝x＋1.∴f(x)的解析式为f(x)＝1010.x xx x-+≥⎧⎨+<⎩，，，答案：f(x)＝1010x xx x-+≥⎧⎨+<⎩，，，9．利用函数的奇偶性判断函数的单调性函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质．根据奇偶函数的图像特征，可以发现，奇函数在y轴的一侧图像上升时，那么它在y轴的另一侧图像也上升；偶函数在y轴的一侧图像上升时，那么它在y轴的另一侧图像则下降．利用这一性质，我们可以判断函数的单调性．例如：下图是偶函数f(x)的一部分图像，则该函数的单调递增区间是________．因为函数是偶函数，所以其图像一定关于轴对称，据此可画出函数f(x)左侧的图像，如下图，观察图像可得该函数的单调递增区间是(－4，－2)，(0,2)，(4，＋∞)．也就是说，偶函数在y轴右侧的单调递减区间关于原点的对称区间，就是函数在y轴左侧的单调递增区间．根据这一结论，不补充图像也可写出该函数的所有单调递增区间．【例9】已知y ＝f (x )是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )＜0，试问F (x )＝1f x ()在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论． 分析：根据函数奇偶性与单调性的关系可知，f (x )在(－∞，0)上是增函数，故F (x )＝1f x ()在(－∞，0)上是减函数，要证明此函数的单调性，根据函数的增减性的定义，可以任取x 1＜x 2＜0，进而判定F (x 1)－F (x 2)＝21121211f x f x f x f x f x f x ()-()-=()()()⋅()的正负．为此，需分别判定f (x 1)，f (x 2)与f (x 2)－f (x 1)的正负，而这可以从已知条件中推出．解：函数F (x )＝1f x ()在(－∞，0)上是减函数，下面进行证明：任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则有－x 1＞－x 2＞0.∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )＜0， ∴f (－x 2)＜f (－x 1)＜0.①又∵f (x )是奇函数，∴f (－x 2)＝－f (x 2)，f (－x 1)＝－f (x 1)．② 由①②得f (x 2)＞f (x 1)＞0.于是F (x 1)－F (x 2)＝21121211f x f x f x f x f x f x ()-()-=()()()⋅()＞0， 即F (x 1)＞F (x 2)．∴F (x )＝1f x ()在(－∞，0)上是减函数．解技巧 抽象函数单调性的证明1．本例为抽象函数问题，证明函数单调性的主要方法是定义法，证明时，应在(－∞，0)内任取x 1，x 2，且令x 1＜x 2，并通过考察其相反数－x 1＞－x 2＞0，充分利用已知条件有针对性地进行证明．2．本题最容易发生的错误是受已知条件的影响，一开始就在(0，＋∞)内任取x 1＜x 2展开证明．这样就不能保证－x 1，－x 2在(－∞，0)内的任意性而导致错误．10．利用函数的奇偶性和单调性解抽象函数不等式例如：设f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f (2a 2＋a ＋1)＜f (3a 2－2a ＋1)，求a 的取值范围．要求a 的取值范围，就要列关于a 的不等式(组)，因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”是关键．由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增知，f (x )在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78＞0，3a 2－2a ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －132＋23＞0，且f (2a 2＋a ＋1)＜f (3a 2－2a ＋1)，∴2a 2＋a ＋1＞3a 2－2a ＋1，即a 2－3a ＜0. 解得0＜a ＜3.故a 的取值范围是(0,3)．【例10】若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f(x)＞0的x的取值范围是( )．A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以它的图像关于y轴对称．又它在(－∞，0]上是减函数，所以可知该函数在(0，＋∞)上为增函数．根据这些特征及f(2)＝0，可作出它的图像(如下图)，观察图像可得，使f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：D析规律抽象函数不等式的解法求解抽象函数不等式，一般是借助于函数的图像，利用函数的性质(奇偶性、单调性等)，等价转化不等式，得出不等式的解集．判断分段函数的奇偶性时，往往不知如何下手，突破方法是理解分段函数与函数奇偶性的含义，利用定义法判断分段函数的奇偶性．其判断方法是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系．这里要特别注意x与－x的范围，将它代入相应段的函数表达式中，不能混代．虽然f(x)与f(－x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较即可．有些时候，可以先画出分段函数的图像，再借助对称性来判断奇偶性．【例11】判断函数f(x)＝(1),0,(1),0x x xx x x->⎧⎨-+≤⎩的奇偶性．解：函数f(x)的定义域是(－∞，0]∪(0，＋∞)＝R，其关于原点对称．当x＞0时，有f(x)＝x(x－1)，－x＜0，∴f(－x)＝－(－x)·(－x＋1)＝－x(x－1)＝－f(x)；当x＜0时，有f(x)＝－x(x＋1)，－x＞0，∴f(－x)＝f(－x)(－x－1)＝x(x＋1)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，f(－0)＝0＝－f(0)，综上可得，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)是奇函数．谈重点分段函数奇偶性的判断1．分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用．2．判断分段函数的奇偶性，首先要判断其定义域是否关于原点对称．12．抽象函数奇偶性的判断方法没有给出函数f(x)的解析式，仅给出了f(x)满足的条件(通常至少有一个恒等式)，这样的函数f(x)称为抽象函数．由于解决抽象函数的策略是赋值法，因此判断抽象函数的奇偶性也是利用赋值法凑出f(－x)与f(x)的关系式．例如：已知函数f(x)的定义域是不为0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．求证：f(x)是偶函数．函数的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称．根据偶函数的定义，只需证f(－x)＝f(x)．令x1＝x2＝1，由f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)可得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0.∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f[(－1)·x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．【例12】已知定义在实数集上的函数y＝f(x)满足条件：对于任意的x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．求证：(1)f(0)＝0.(2)f(x)是奇函数，试举出两个这样的函数．(3)若当x≥0时，f(x)＜0，①试判断函数f(x)在R上的单调性，并证明之；②判断函数|f(x)|＝a所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围．证明：(1)∵对于任意的x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.(2)令y＝－x，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，即f(0)＝f(x)＋f(－x)．∵f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．故f(x)是奇函数．例如：y＝－2x，y＝3x.(3)①函数f(x)在R上是减函数，下面进行证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0.∵当x≥0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.又∵f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)，∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．∴函数f(x)在R上是减函数．②根据函数f(x)的单调性可知，当a＞0时，|f(x)|＝a的解有两个；当a＝0时，|f(x)|＝a的解有一个；当a＜0时，|f(x)|＝a无解．。

课时分层作业(十九) 简单幂函数的图象和性质(建议用时：40分钟）一、选择题1．函数y＝x错误!的图象大致是(）B［函数y＝x错误!＝错误!的定义域为R，且此函数在定义域上是增函数，排除A，C.另外，因为53>1，在第一象限图象下凸．故选B.］2．已知幂函数f错误!的图象经过点错误!,则f错误!的值等于()A．16B．116C．2D．12［答案］D3．函数y＝x错误!－1的图象关于x轴对称的图象大致是（)B[y＝x错误!－1的定义域为［0，＋∞）且为增函数,所以函数图象是上升的,所以y＝x错误!－1关于x轴对称的图象是下降的，故选B.］4．当x∈（1,＋∞)时,下列函数中图象全在直线y＝x下方的增函数是()A．y＝x错误!B．y＝x2C．y＝x3D．y＝x－1A［对任意x∈（1,＋∞)，都有x－x错误!＝x错误!（x错误!－1)＞0，x－x－1＝x－1(x2－1)＞0，x－x2＝x(1－x)＜0，x－x3＝x(1＋x)(1－x)＜0,故当x∈(1,＋∞)时,函数的图象全在直线y＝x下方的函数有y＝x错误!和y＝x－1,而函数y＝x错误!是单调递增函数，函数y ＝x－1是单调递减函数,所以选A.]5．已知幂函数f错误!＝(n2＋2n－2）x n2－3n（n∈Z)在（0，＋∞)上是减函数，则n的值为（)A．－3 B．1C．2 D．1或－3B[由于f错误!为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n ＝－3，当n＝－3时，f（x）＝x18在（0，＋∞）是增加的,不合题意,故选B.]二、填空题6．判断大小：5.25－1________5。

26－1。

（填“〉”或“〈”）〉[∵y＝x－1在（0，＋∞)上是减函数，又5。

25〈5.26,∴5。

25－1>5。

26－1。

]7．函数f错误!＝(x＋3）－2的单调增区间是________．(－∞,－3)［y＝x－2＝错误!的增区间为(－∞，0),y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位长度得到的．∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为（－∞,－3）。