两角和与差的正弦、余弦、正切公式2教案

两角和与差的正弦、余弦和正切公式——二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计教学过程一引入回忆上节课的内容两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)=sinαcosβ±sinβcosα，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)=tanα±tanβ。

1∓tanαtanβ二新知探究问题如何借助S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式？（通过复习和引导，让学生自己动手完成推导过程。

）1.角2α与α的关系：2α=α+α，2.二倍角的正弦公式令S(α+β)公式中括号里的βα=，sin(α+α)=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα。

思考1：除了通过S(α+β)推导出sin2α的公式外，能不能借助S(α−β)推导出sin2α的公式？令S(α−β)公式中括号里的β=−α，借助诱导公式得到sin(α−(−α))=sinαcos(−α)−sin(−α)cosα=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα即sin2α=2sinαcosα.3.二倍角的余弦公式令C(α+β)中括号里的βα=，cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinα=cos2α−sin2α，或令C(α−β)中括号里的β=−α，通过诱导公式得到cos(α−(−α))=cosαcos(−α)+sinαsin(−α)=cosαcosα−sinαsinα=cos2α−sin2α。

思考2: 能不能根据同角三角函数的平方和关系表示出cos2α的其他形式呢？由平方和关系可知cos2α=1−sin2α，再代入回原来的式子，可得cos2α=1−sin2α−sin2α=1−2sin2α.或将sin2α=1−cos2α代入可得出cos2α=cos2α−(1−cos2α)=2cos2α−1。

两角和与差的正弦、正切公式及其应用【第一课时】【教学目标】1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．2．能利用公式解决简单的化简求值问题．【教学重难点】利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.【教学过程】一、问题导入怎样借助30°，45°的三角函数值求出sin75°，sin15°的值？二、新知探究1．利用公式化简求值【例1】（1）sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝()A．－32B．－12C．12D．32（2）求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；（3）求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．[思路探究]（1）化简求值应注意公式的逆用．（2）（3）对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．（1）C[sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin(17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.]（2）解：原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1． （3）sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)· cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0. 【教师小结】 （一）对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．（二）在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．2．给值(式)求值【例2】设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值． [思路探究]应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．[解]因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin β＝－32，所以cos β＝12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32.【教师小结】（1）当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．（3）角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．三、课堂总结1．两角和与差的正弦公式的结构特点(1)公式中的α，β均为任意角．(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．2．两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系3．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.四、课堂检测1．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B ．7210C ．－210D ．210A [∈cos α＝－45，α为第三象限角，∈sin α＝－35，由两角和的正弦公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.]2．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[]－3，3C ．[－1,1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B [f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 故选B ．]3．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________.32 [原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝sin(25°＋35°)＝sin 60°＝32.]4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β.[解] ∈α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，∈sin β＝31010，cos α＝255.∈sin α<sin β，∈α<β，∈－π2<α－β<0， ∈sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∈α－β＝－π4.【第二课时】 【教学目标】1．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．【教学重难点】利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.【教学过程】一、问题导入怎样借助30°，45°的三角函数值求出tan75°，tan15°的值？ 二、新知探究 1．利用公式化简求值【例1】求下列各式的值： （1）tan 15°；（2）1－3tan 75°3＋tan 75°；（3）tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如（1）)及公式的逆用(如（2）)与活用(如（3）)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解]（1）tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3. （2）1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1． （3）∈tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∈tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∈原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.【教师小结】（1）公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．（2）一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．2．条件求值(角)问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.（1）求tan(α＋β)的值；（2）求α＋2β的值．[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tanα，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．[解]由条件得cos α＝210，cos β＝255，∈α，β为锐角，∈sin α＝7210，sin β＝55，∈tan α＝7，tan β＝1 2.（1）tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3．（2）tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(α＋β)＋tan β1－tan(α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∈α，β为锐角，∈0＜α＋2β＜3π2，∈α＋2β＝3π4.【教师小结】（一）通过先求角的某个三角函数值来求角． （二）选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．（三）给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角． 3．公式的变形应用 [探究问题]（1）判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．（2）在∈ABC 中，tan(A ＋B )与tan C 有何关系？ [提示]根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π， ∈A ＋B ＝π－C ，∈tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ．【例3】已知∈ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断∈ABC 的形状．[思路探究]化简条件→求出tan A ，tan C → 求出角A ，C →判断形状. [解]由tan A ＝tan[π－(B ＋C )] ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－ 3. 而0°＜A ＜180°， ∈A ＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∈C＝30°，∈B＝30°.∈∈ABC是顶角为120°的等腰三角形．【教师小结】公式T α＋β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T α＋β中，如果分子中出现“1”常利用 1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的， 如1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α；3tan α＋31－tan α＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．三、课堂总结1．公式T (α±β)的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．2．两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)； tan α tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋ β)等.四、课堂检测1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A ．15B ．－15C ．5D ．－5A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A ．]2．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A ．33 B ．1 C ． 3D ．6B [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1．]3．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.1 [3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1．]4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5的值．[解] ∈α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5，∈tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×14＝322.。

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计 富锦一中 陈金生教学目的：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.2、了解公式间的内在联系，能用公式进行简单的求值.3、培养学生的创新意识与应用意识.教学重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其简单应用.教学难点：1、两角和余弦与两角差余弦之间的关系2，两角和差正弦与相应的余弦之间的关系.授课类型：新授课教 具：多媒体、导学案 教 法：合作探究、启发引导 教学过程：一、 复习巩固上节课我们学习了两角差的余弦公式，可以解决类似于cos15º=cos(45º-30º) 之类问题，而cos75º=cos(45º+30º) 之类问题我们又如何解决？我们能否由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，以及其他的三角函数公式？二、 公式推导借助于两角差的余弦公式cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β,则有： 思考途径一：把βα+转化为)(βα--cos(βα+)=cos[)(βα--]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.思考途径二：把任意角β换成-βcos(βα+)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 即：两角和的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β. 注意：1两角和差余弦公式的异同之处.2两角和、差余弦公式间的关系.3公式中的角具有任意性.4 cos(βα+)=cos α + cos β一定成立吗？练习1、利用和角余弦公式求下列各三角函数的值（1） cos75º （2） cos105º如何利用两角和与差的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β和 cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β推导出两角和与差的正弦公式？运用公式cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β及诱导公式有：sin()βα+=cos[)(2βαπ+-]=cos[βαπ--)2(] =cos(απ-2)cos β+sin(απ-2)sin β= sin αcos β+cos αsin β 即：两角和的正弦公式 sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β. 在上式中用-β代换β 得：sin()βα-= sin αcos （-β）+cos αsin （-β） 即：两角差的正弦公式 sin()βα-= sin αcos β-cos αsin β注意：1公式的推导应启发学生自己完成，老师做归纳总结.2 两公式间的关系、异同.3明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号.4牢记公式，熟练左右互化.练习2、利用和角正弦公式求下列各三角函数的值(1) sin75º (2) sin105º如何根据两角和与差的正、余弦公式推导出利用两角和与差的正切公式？利用正切函数与正、余弦函数的关系，当cos(βα+)≠0时，将公式sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β 与cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β两边分别相除，有：βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若cos αcos β≠0 时，上式即为:两角和的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 用-β代换β，则有：两角差的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 练习3、利用和与差的正切公式求下列各三角函数的值(1) tan75º (2) tan105º注意：1、 和角公式: S )(βα+、 C )(βα+ 、 T )(βα+差角公式： S )(βα-、 C )(βα- 、 T )(βα-2、公式之间的内在联系.3、明确各三角函数的意义.4、公式的逆向变换、多向变换.5、理解公式推导中角的代换的实质.6、和差公式可看成是诱导公式的推广，诱导公式可看成是和差公式的特例 如：ααααπαπαπcos sin 0cos 1sin 2sin cos 2cos )2cos(=⋅-⋅=-=+7、形如asinx+bsinx(a 、b 不同时为0)的变化.三、例题例4：:课堂练习：1.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 2.已知sin α－sin β＝－31, cos α－cos β＝－31,求cos(α－β)的值。

第三章三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：15012.P T T -。

一、一周知识概述（一）、和（差）角的正、余弦公式的“加”、“减”、“乘”规律1、sin(α＋β)＋sin(α－β)=2sinαcosβ2、sin(α＋β)－sin(α－β)=2cosαsinβ3、sin(α＋β)·sin(α－β)=sin2α－sin2β4、cos(α＋β)＋cos(α－β)=2cosαcosβ5、cos(α＋β)－cos(α－β)=－2sinαsinβ6、cos(α＋β)·cos(α－β)=cos2α－sin2β注：其中3、6见课本41页的第7题。

（二）、和（差）角的正切公式的变形形式由tan(α＋β)=变形得tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)=tan(α＋β)由tan(α－β)=变形，得. （三）、形如asinθ＋bcosθ的三角函数式可化成一个角的一个三角函数即asinθ＋bcosθ=令.故asinθ＋bcosθ=，此即为化一公式，其中.二、重难点归纳及讲解1、熟练掌握和（差）角公式的有关规律能迅速破题例1、已知sin(α＋β)·sin(β－α)=m，求cos2α－cos2β.分析：由结论sin(α＋β)·sin(α－β)=sin2α－sin2β可得.解：∵sin(α＋β)·sin(β－α)=sin2β－sin2α而sin2β－sin2α=1－cos2β－1＋cos2α=cos2α－cos2β.∴cos2α－cos2β=sin(α＋β)·sin(β－α)=m.例2、△ABC中，已知sin(A＋B)＋sin(A－B)=，而cos(A＋B)＋cos(A－B)=－，则A、B分别为（）A．A=60°，B=45°B．A=90°，B=60°C．A=120°，B=45°D．A=60°，B=90°分析：由规律：sin(A＋B)＋sin(A－B)=2sinAcosBcos(A＋B)＋cos(A－B)=2cosAcosB可得sinAcosB=，cosAcosB=－∴tanA=－，即A=120°.从而cosB=，即B=45°.答案： C例3、求值：(3＋tan30°tan40°＋tan40°tan50°＋tan50°tan60°)·tan10°.分析：注意到式子中有三个积的形式，可考虑把3分成三个1相加，然后利用差角的正切公式的变形式.解：原式2、运用化一公式可求三角函数式的最值例4、求函数y=3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值.分析一：由于涉及到的两角不一致，故可考虑利用和角公式先展开，然后再重新组合。