高中数学必修四《两角差的余弦公式》优秀教学设计

人教A版必修四《两角差的余弦公式》教案及教学反思一、教学目标1.掌握余弦定理的两角差公式；2.能够通过两角差公式解决相关问题；3.培养学生运用数学方法解决实际问题的能力；4.培养学生基本的计算技能和思维能力。

二、教学重点难点教学重点：掌握余弦定理的两角差公式。

教学难点：能够通过两角差公式解决相关问题。

三、教学过程1. 导入教师通过学生已经掌握的知识，引出余弦定理的推导过程，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解通过解释“两角差的余弦公式”的概念和应用，让学生了解余弦定理的两角差公式的基本形式和运用方法。

3. 练习通过讲解例题，带领学生一步一步地掌握余弦定理的两角差公式，培养学生对于公式的理解和灵活运用能力。

例如，教师可以通过如下例题的讲解来帮助学生掌握两角差公式：已知$\\tan A =\\frac{1}{3}$，$\\tan B=\\frac{1}{2}$，且$A−B=\\frac{π}{4}$，求$\\sin A$。

解析：设$A=\\alpha+B$，则$\\alpha=\\frac{π}{4}+B$。

由$\\tan A =\\frac{1}{3}$和$\\tan B=\\frac{1}{2}$得$\\frac{\\tan A}{\\tanB}=\\frac{2}{3}$。

又因为$\\tan(\\alpha+B)=\\frac{\\tan \\alpha+\\tan B}{1- \\tan \\alpha \\tanB}=\\frac{\\frac{1}{3}+\\frac{1}{2}}{1-\\frac{1}{6}}=1$，所以$\\alpha+B=kπ+\\frac{π}{4}$，其中k为整数。

又因为$0<B<\\frac{π}{2}$，所以$\\alpha$在$\\fr ac{π}{4}$和$\\frac{5π}{4}$之间。

由余弦定理的两角差公式可得：$\\cos(\\frac{π}{4})=\\cos(\\alpha-B)$$\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\cos\\alpha \\cosB+\\sin\\alpha \\sin B$$\\frac{1}{\\sqrt{2}}=(\\cos B+\\sinB)(\\frac{1}{3}\\cos B+\\frac{1}{2}\\sin B)$$2\\sqrt{2} =6\\cos^2B+8\\sin^2B+5\\sin B \\cos B$令$u=\\cos B$，则$2\\sqrt{2}=6u^2+8(1-u^2)+5u\\sqrt{1-u^2}$。

高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解和掌握两角差的余弦公式，并能运用该公式解决相关问题。

通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解两角差的余弦公式的定义和意义；2. 熟练掌握两角差的余弦公式的推导过程；3. 能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。

教案内容：一、教学目标1. 理解两角差的余弦公式的定义和意义；2. 掌握两角差的余弦公式的推导过程；3. 能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：两角差的余弦公式的定义和意义，推导过程；2. 教学难点：两角差的余弦公式的运用。

三、教学准备1. 教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔；2. 学生准备：课本、笔记本、文具。

四、教学过程1. 导入：引导学生回顾已学过的三角函数知识，为新课的学习做好铺垫；2. 讲解：讲解两角差的余弦公式的定义和意义，通过示例让学生理解公式的应用；3. 推导：引导学生通过图形和逻辑推理，推导出两角差的余弦公式；4. 练习：布置一些练习题，让学生运用两角差的余弦公式解决问题；五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固两角差的余弦公式的理解和运用；2. 完成课后练习题，提高运用两角差的余弦公式解决问题的能力。

教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对两角差的余弦公式的理解和运用能力。

关注学生的学习反馈，及时解答学生的疑问，提高教学质量。

六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对两角差的余弦公式的理解程度，观察学生是否能清晰地解释公式的含义和应用；2. 练习题目：评估学生运用两角差的余弦公式解决问题的能力，检查解答的准确性；3. 课后作业：检查学生完成作业的情况，观察是否能正确运用公式并解决实际问题。

七、教学拓展1. 引导学生思考：两角差的余弦公式在实际生活中的应用，例如测量角度、建筑设计等；2. 介绍进一步的研究：引导学生探索更多关于三角函数的性质和公式，激发学生的学习兴趣。

3.1.1 两角差的余弦公式
【课题】：两角差的余弦公式
【学情分析】：《两角差的余弦公式》是高中数学必修4第三章《三角恒等变换》的的第一节。

《三角恒等变换》这一章是在学习了《三角函数》与《平面向量》的基础上学习的内容，是从实际出发，为了解决实际问题而准备的知识。

通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，掌握它们在数学中的一些应用。

而作为本章的第一节《两角差的余弦公式》，是本章学习的基础，推导公式的方法和思维过程都是非常重要的。

【教学目标】
1.知识与技能目标：能用单位圆上的三角函数线和向量方法探索得到两角差的余弦公式，并能进行简单的三角恒等变换；通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础。

2．过程与方法目标：通过公式的探究，使学生体验由简单到复杂的变换思想方法，让学生树立并学会研究性学习的方法，树立主动学习的意识；通过公式的运用，培养和提高运用已有知识分析问题和解决问题的能力，并从中反思方程思想、整体性思想和转化思想。

3．情感、态度与价值观目标：通过课堂互动营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，以提高学生的学习兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

【教学重点】：通过探索得到两角差的余弦公式。

【教学难点】：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。

【课前准备】：布置学生预习、准备课件。

人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解和掌握两角差的余弦公式，并能灵活运用到实际问题中。

通过本章的学习，学生将能够理解两角差的余弦公式的概念，学会如何运用该公式进行角度计算和问题求解。

教案内容：一、教学目标1. 了解两角差的余弦公式的定义和推导过程。

2. 学会运用两角差的余弦公式进行角度计算和问题求解。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 两角差的余弦公式的理解和推导。

2. 运用两角差的余弦公式解决实际问题。

三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，展示两角差的余弦公式。

2. 准备一些实际问题，用于学生练习和应用。

四、教学过程1. 引入：通过一些实际问题，引导学生思考如何计算两个角的差值。

2. 讲解：讲解两角差的余弦公式的定义和推导过程，让学生理解和掌握该公式。

3. 练习：让学生通过一些例题和练习题，运用两角差的余弦公式进行计算和解决问题。

4. 应用：让学生解决一些实际问题，运用两角差的余弦公式进行分析和求解。

五、教学评价1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对两角差的余弦公式的理解和掌握程度。

2. 通过学生解决问题的能力，评价学生对两角差的余弦公式的应用能力。

教案总结：本章通过引入实际问题，讲解两角差的余弦公式，并进行练习和应用，旨在帮助学生理解和掌握该公式，并能够灵活运用到实际问题中。

通过本章的学习，学生将能够掌握两角差的余弦公式的概念和运用方法，提高他们在数学问题求解中的能力。

六、教学拓展1. 引导学生思考：两角差的余弦公式是否可以推广到其他三角函数？2. 探讨：如何将两角差的余弦公式应用于解决更复杂的问题，如三角函数的和差化积、积化和差等？3. 推荐学习资源：提供一些相关的书籍、网络教程或视频，供有兴趣深入研究的学生自学。

七、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结两角差的余弦公式的定义、推导过程及应用。

2. 强调两角差的余弦公式在数学问题求解中的重要性，激发学生学习三角函数的兴趣。

3.1.1 两角差的余弦公式教学目标(1) 了解两角差的余弦公式的推导，能够借助单位圆，运用向量的方法，推导出公式;(2) 掌握其公式并能利用它解决简单的求值和证明问题;(3) 通过对公式的推导，感受知识间的相互联系，培养逻辑思维能力，树立创新和运用意识，提高数学素养.教学重难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式难点：探索过程的组织和适当引导教学过程一、复习引入前面我们已经学习了特殊角的三角函数，请回答： 3sin 60=1cos 602= tan 603=2sin 45= 2cos 45= tan 451= 对于上述特殊角，我们可以通过简单的-+、运算得到一系列新的角，比如6045105+=、 604515-=等等，那么如何求出它们的三角函数值呢？问题：cos15的三角函数值是多少？因为604515-=，那么能否用60,45的三角函数值表示出cos15呢？cos15cos60cos 45sin 60sin 45=+二、新课我们将问题一般化, 对于任意的角,αβ, cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+都成立?下面我们运用向量的知识来探究.在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角,αβ， 它们的终边与单位圆O 的交点分别为,A B . 则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==由数量积的坐标表示，有(cos ,sin )(cos ,sin )OA OB ααββ⋅=⋅cos cos sin sin αβαβ=+设OA 与OB 的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ⋅=⋅==+ (**)注意：[0,]θπ∈下面关键就是找到θ和,αβ之间的关系。

由图(1)知，2k αβθπ=++；由图(2)知，2k αβθπ=-+，所以(2)k θβαπ=±-+所以cos cos()θβα=-，由 (**)得，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+所以，对于任意的角,αβ,此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-。

高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。

设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。

已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。

（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。

分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。

例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。

分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。

求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。

例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。

两角差的余弦公式教学设计(第一课时)【三维目标】1.知识与能力：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

2.过程与方法：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感态度与价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导。

【教学过程】一创设情境，引入课题（1）问题1思考cos (60°-30°) =cos60°-cos30°吗？cos（60°+30 ）=cos60°+cos30°吗？那么cos（α- β）=cos α - cos β吗？（2）我们已经学习了向量的数量积，请用数量积的知识完成下列练习：θo s =⋅ ),,11y x （=),22y x （= 则 2121y y x x +=⋅二 层层深入，得出结论。

问题2：（一）两角差的余弦公式 设),sin ,cos αα（=),sin ,cos ββ（= 则，βαβαsin sin cos cos b a +=⋅θ=⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴如果],0[πβα∈-，那么βαθ-=。

故，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-思考：当βα-任意角时，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-吗？ 由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。

综上所述，βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+= ，对于任意的角βα,都成立。

三 自主探索，小试牛刀。

教学设计表格（不少于4000字）探索研究、引导归纳问题1：我们把α、β放到单位圆中，找到βα-，通过向量的数量积定义和坐标表示得到公式()=-βαcosβαβαsinsincoscos+问题2：在向量中βα-角的范围是？那么这个公式适用于βα-是任意角的情况吗？问题3：引导学生关注两个向量的夹角θ与βα-的联系与区别，并通过讨论弄清θπβα±=-k2；问题4：归纳出两角差的余弦公式()=-βαcosβαβαsinsincoscos+观察公式的结构特征。

1.让学生经历怎样用向量知识做出探索过程，学生构造向量→→OBOA.，让学生通过观察、联想到α、β终边与单位圆的交点()ααsin,cosA()ββsin,cosB，同时发现公式右边与数量积的坐标表示十分接近，进而联想→→•OBOA=+βαcoscosβαsinsin，最后得到结论。

2.让学生知道结论中α、β可以取任意角最终公式推广到一般性。

3.学生观察公式的结构特征“,CCSS符号相反”。

1.加强新旧知识的联系，体会数学的化归思想方法；2.通过探索数量积两种表示形式的过程，这样有助于“为什么想得到”和“怎样想到”，凸现数学思维的自然与合理，并突破思维难点，再现“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”这种真实的探究过程。

3.通过弄清θ与βα-，增强学生用数形结合、分类讨论的思想方法解问题的意识，感受数学思维的严谨性。

4.引导学生回顾与反思探究思路，记忆公式，强化思维发展。

巩固新知、理论迁移例1、求的值。

引导学生用和两种方法求解。

思考：如何求75sin？例2、已知54sin=α，),(2παπ∈，135cos-=β，β是第三象限角，求)cos(βα-的值。

例3、求+15cos60cos15sin60sin变式：求+15cos60cos75cos30cos课本127页练习1,2,3,4例1,引导学生用两种方法解答，又提出一个问题，让学生知道互余的两个角的正余弦值相等，为例3做铺垫。

两角差的余弦公式一、教材分析1、教材的地位和作用本节课教学内容是人教版《高中数学》必修４第三章３.１.１《两角和与差的余弦》（要三个课时），这是第一课时。

本节内容是三角函数公式的推广，它还涉及到平面向量的内容。

同时，它又是本节及其后面各节公式的“源头”。

因此，两角和与差的余弦公式起着承上启下的核心作用。

两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

2、教学目标知识与技能：能够推导两角差的余弦公式，了解单角与复角三角函数间的联系，理解两角差的余弦公式，并且能够运用两角差的余弦公式求非特殊角的余弦。

过程与方法：通过猜想、探索等数学活动，发现并推导“两角差的余弦公式”，体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过创设问题情景，学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和激发学生的学习兴趣。

3、教学的重点和难点教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式；教学难点：探索过程的组织和恰当引导。

二、教法与学法分析教法：启发引导学生自主学习，调动学生的积极性学法：积极主动探究问题三、教学流程1、提出问题，引入课题如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F 与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F 的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F 作用在物体上的功W ．解：co s(60)W F S F S β=⋅=⋅⋅︒-=30cos(60)β⋅︒-6m Sβ β 8m F提问：1）解决问题需要求什么？2）你能找到哪些与β有关的条件?3）能否利用这些条件求出)60cos(β-︒？2、分析问题，猜想结论要求()β-60cos ︒我们可以转化到求()βα-cos从特殊情况去猜测公式的结构形式令ββπβαπαcos )cos()cos(,-=-=-=则： 令ββπβαπαsin )2cos()cos(,2-=--=--=则：请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想．令︒=︒=30,120βα则：︒=︒-︒=-90cos )30120cos()cos(βα＝0 学生思考、交流、猜想：我们的公式的形式应该与αcos ，βcos ，αsin ，βsin 均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“⨯”、“÷”？3、引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示．我们先来讨论最简单的情况：βα、为锐角，且βα>方法一：（利用三角函数线）证明：在单位圆O 中，作α=∠OXP 1， 交单位圆于点1P ，作1P O P β∠=， y O P 1 βα-B αβc o s xM βs i n C α 1 P β1 A则βα-=∠XOP ．过点P 作PM 垂直x 轴于M ，A OP PA 于点1⊥，过B OM AB A 于点作点⊥ ，过点C AB PC P 于点，作⊥，则：βcos =OA ，βsin =AP ， 且α=∠=∠OX P PAC 1co s sin co s co s sin sin O M O B B M O B C PO A A P ααβαβα=+=+=+=+∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-（βα、为锐角，且βα>）提问：当αβ、取任意角的时候，结果又会怎样呢？大家思考一下． 方法二：（利用向量）启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？证明：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角βα、，它们终边与单位圆O 的交点分别为A 、B ，则：OA =)sin ,(cos αα，OB =)sin ,(cos ββco s()||||(co s ,sin )(co s ,sin )O A O B O A O B αβααββ⋅-===αβαβsin sin cos cos +y-1 -1 1 1B )sin ,(cos ββ )sin ,(cos αα αβx 0∴)cos(βα-=αβαβsin sin cos cos + （0≤βα-≤π）公式称两脚差的余弦公式，简记作()βα-C4、运用结论，多方练习1）解决引例中的问题2）例：利用差角余弦公式求cos15°的值。

《两角差的余弦公式》教学设计教学设计说明一、教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简．在数学中通过恒等变换,可以把复杂的关系用简单的形式表示出来．三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系,因而需要推出一个公式作为基础。

由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系,因此现行的课改教材（人教A 版)安排学生学完三角函数后,先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-作为建立其它公式的基础,使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。

本节课的作用承前启后，非常重要。

二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。

但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式Ｃ(α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流,体会向量法的作用,探索两角差的余弦公式。

由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心,这对教学是非常有利的。

根据学生的认知结构和心理特点,我制定了本课的学习目标如下： 1．知识与技能（１)通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。

（２)通过公式的灵活应用,使学生掌握两角差的余弦公式的作用。

２.过程与方法（１)利用两角差的余弦公式推导过程,使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。

(2)在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。

３．情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣,形成探究、证明、应用的获取知识的方式。