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线性系统的时域分析法

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自动控制原理(3-1)

自动控制原理(3-1)

动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%% ==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间ttss
tt
动态性能指标定义2 h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t)
A
σ%=
A B
100%
B tr tp
一阶系统对典型输入的输出响应
输入信号
输出响应
1(t) 1－e－t/T t≥0
δ(t)
1 et T t 0
T
t
t－T(1－e－t/T) t≥0
1 t2
1 t 2 Tt T 2 (1 et T ) t 0
2
2
由表可见，单位脉冲 响应与单位阶跃响应 的一阶导数、单位斜 坡响应的二阶导数、 单位加速度响应的三 阶导数相等。
自动控制原理
朱亚萍 zhuyp@ 杭州电子科技大学自动化学院
第三章 线性系统的时域分析法
3.1 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的暂态响应 3.3 二阶系统的暂态响应 3.4 高阶系统的暂态响应 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 利用MATLAB对控制系统进行时域分析
超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即
% h(tp ) h() 100%
h()
在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升 时间tr、调整时间ts和超调量σ％。 用上升时间tr或峰值时间tp评价系统的响应速度； 用超调量σ％评价系统的阻尼程度；

线性系统的时域分析法二阶系统稳态误差

线性系统的时域分析法二阶系统稳态误差
ess lim sE ( s) lim s
s 0 s 0
r (t ) t
1 r (t ) t 2 2
R( s)
1 s2
Ts 1 2 T Ts 1 s
1 R( s) 3 s
Ts 1 ess lim sE ( s) lim s 3 s 0 s 0 Ts 1 s
H (s )
e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)
若按输出端定义：输出量的期望值与实际值之差。 对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。在系统分析 和设计中，一般采用按输入端定义误差。 稳态误差是指误差信号的稳态值，即： ess lim e(t ) t 若系统的误差传递函数为Φ e(s)，则E(s)=Φ e(s)R(s)，若E(s) 满足拉氏变换终值定理的条件（要求系统稳定，且R(s)的所有 极点在左半s开区间），可以利用终值定理来求稳态误差，即
a1 a0 0 0 0 0 a3 a2 a1 a0 0 0 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 0 0 0 0 0
1 a1
a1 3 a 0 0
2
a3 a2 a1
a1 a0
a3 a2
a5 a4 a3
n
例
设线性系统特征方程式为：
D(s) s 4 2s 3 3s 3 4s 5 0
若输入信号为正弦信号，则不能应用拉氏变换终值定理。
r (t ) sin t R( s)

s2 2
Ts 2 Ts 1 s 2 T 1 T s (T ) 2 2 2 (T ) 2 1 s 1 / T (T ) 2 1 s 2 (T ) 2 1 s 2 E ( s)

时域分析方法时域分析方法

时域分析方法时域分析方法
3.2.1、时域分析方法：
所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，来分析系统的稳定性、快 速性和准确性。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准 确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
自动控制系统暂态响应性能指标
暂态响应性能指标是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼 振荡过程）为标准来定义的。系统在其它典型输入作用下定义的暂态响应性能指 标，均可以直接或间接求出与这一指标的关系。用来表述单位阶跃输入时暂态响 应的典型性能指标通常有：最大超调量、上升时间、峰值时间和调整时间。图 3.11 说明一个线性控制系统的典型单位阶跃响应。上述指标就是用系统阶跃响 应来定义的。
=
K
p (1 + Td s)
=
K
p
+
KDs
PD 有助于增加系统的稳定性.
PD 增加了一个零点 z = − K p ,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能. KD
（2） PI 控制:
∫ u2 (t)
=
K
pu1 (t ) +
Kp Ti
t 0
u1
(t
)dt
G(s)
=
K
p 1 +
1 Ti s

=
K
3.2.3、频域分析方法：
频率响应法是一种工程方法，是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法。 这种方法不仅能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应，而且 还能判别某些环节或参数对系统性能的影响，提示改善系统性能的信息。控制系 统的频域分析方法不仅可以对基于机理模型的系统性能进行分析，也可以对来自 于实验数据的系统进行有效分析。它同根轨迹法一样是又一种图解法，研究的主 要手段有极坐标图(Nyquist 图)和伯德图(Bode 图)法。

8第三章 线性系统的时域分析(第八讲)

8第三章 线性系统的时域分析(第八讲)

主导极点 如果系统中有一个(极点或一对)复数极点距虚轴最近， 且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚 轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极 点所产生。
3.5 线形定常系统的稳定性
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提
求的 K和值，计算该系统的上升 时间tr ,tS ,td .
解：

＝e 1 2 0.2
R(s)
—
K
C(s)
s(s 1)
1
ln( )


0.456
2 (ln 1 )2

tp
d
1s
d 3.14rad / s d n 1 2
n
Td ，改变 d 阻尼的大小
比例－微分控制可以不该变自然频率 n ，但可增大系统的阻尼比
1 由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点， z Td
故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
当输入为单位阶跃函数时
C(s)
(s)R(s)

S2

SZ
2n S
n2

S2
Td n 2
(S

1 Td
)
(2n Tdn 2 )S
n2
Tdn2 2 'n
令z 1 Td
' Tdn
2
d '

z(S 2
n2 (S z) 2dnS n2 )
Td n
2
(3-36)
(3-35)
结论 可通过适当选择微分时间常数

系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应

系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0

第三章 线性系统的时域分析法(第三四五讲)

第三章 线性系统的时域分析法(第三四五讲)
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表
s4 1 s3 5 1 s2 6 1 s1 0 2 s0 1 7 6 1 5 6 1 这是零行
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
或 %
100%
tg
e
100%
欠阻尼二阶系统动态性能计算
tr d
tr 特征根的虚部
弧度
tp d
tp 特征根的虚部
cos
5%
3.5 ts n
% e

1 2
100%
tg
3.5 ts 特征根的实部
n=[0.05 10]; d=[0.0025 0.5125 2.52 4.01 3]; sys=tf(n,d); step(sys)
第三章 系统的时域性能指标
3.1 系统的时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时域分析
3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差计算
1
t T 2 2
0＜ξ＜1 s1, 2 n jjn 1 2 ξ＝0 0＜ξ＜1
0
h( t ) 1 ξ＝0 e n t 1
2
j 0 0 j
sin(,d jn 欠阻尼t ) s1 2
0 零阻尼 h(t ) 1 cos n t
欠阻尼二阶系统动态性能分析
它们的阶跃响应曲线如图所示，试在同一平面画出3个系统闭环 极点的相对位置，并说明理由。

第3章 线性系统的时域分析第九节_3


（3）根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点
说明 当根轨迹增益K1从0变化到∞时，在s平面就会画 出一条一条的根轨迹，每条根轨迹都有起点和终 点，对应于K1 =0的s点叫根轨迹的起点，对应于 K1 →∞的s点叫根轨迹的终点。 由幅值条件
可见 当s=pj时， K1 =0 ；根轨迹起始于开环极点； 当s=zi时， K1 →∞ ；终止于开环零点； 当|s|→∞且n≥m时， K1 →∞。如果开环零点个 数m少于开环极点个数n，则有(n-m)条根轨迹终 止于无穷远处。
（5）两条根轨迹的交点方程为
其中sd为交点。
说明： 交点sd是指两支根轨迹会合后分离的点， 该点为闭环特征方程的重根
假设闭环特征方程有2个重根，则可将其 改写为
例3-6 单位负反馈系统开环传递函数为
试画出系统实轴上的根轨迹并求出系统根轨迹 的交点。
解： 由规则1），系统有3条根轨迹； 由规则3），3条根轨迹的起点为
（4）实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、 极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 （如红线所示）
红色部分 为根轨迹
说明：以实轴上的s0点为例，根据相角条 件，分三个方面说明这个法则。
G ( s ) H ( s )
m n
(s z ) (s p )
解 系统有3条根轨迹分支，且3条根轨迹都趋 于无穷远处。 实轴上的根轨迹： ,2 1,0 渐近线：
根轨迹的交点满足以下方程
交点必须在根轨迹上，所以交点取
根轨迹与虚轴的交点及临界增益。
令s=iω
令实部及虚部分别为0
解得
第一组解为根迹的起点,第二组得根迹和虚轴的 交点 ,临界根轨迹增益为6
K s ( s 1)( s 2） K 1 s ( s 1)( s 2）

2-连续时间线性定常系统时域分析


- f (t) g(t) g(t) f (t) （可交换性） - f (t) {g(t) h(t)} { f (t) g(t)} h(t) （可结合性）
- { f (t) g(t)} h(t) f (t) h(t) g(t) h(t) （线性）
- 定义：
f (t) 1
• 对任意两个信号 f1(t) 、f2(t) ，两者的卷积运 算定义为：
• 性质
f1(t) f2 (t) @ f1( ) f2 (t )d
– 代数性质 – 拓扑性质
设 f (t)、g(t)、h(t) L1()
定义：L1()，是绝对可积函数的集合。
27
卷积的性质：
• 代数性质（课后可自行推导）
y(t) 零输入响应yzi (t) 零状态响应yzs (t)
| n
齐次解 Aieit
1 4 4 2i 41 43 自由响应
特1 4解2 B43t 带入 y(0+ ) y(0 )＝0 强迫响应
yzi (t) Azikekt，Azik由Y 0 =Y 0 代入求得；
k
yzs (t) 齐次解 Azskekt 特解B t ，
@H ( p)v(t)
N( p)
n
v(t)
( p i)
i 1
N ( p)[ent L e1t v(t)]
()
其中，
互异；
i
n
yzs (t) 齐次解项 Aieit 特解项 B t i 1
结论：系统响应 y t = yzi t + yzs t
21
• 4. 系统响应 = 自由响应 + 强迫响应
k
Ait
k i
e1t
i1
特解：将v t 代入右端，选取特解形式，求待定系数，

实验二 线性系统时域响应分析

实验二 线性系统时域响应分析一、实验目的1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。

2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。

3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。

二、基础知识及MATLAB 函数（一）基础知识时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。

为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。

本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB 环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。

用MATLAB 求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s 的降幂排列写为两个数组num 、den 。

由于控制系统分子的阶次m 一般小于其分母的阶次n ，所以num 中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。

1．用MATLAB 求控制系统的瞬态响应1）阶跃响应求系统阶跃响应的指令有：step(num,den) 时间向量t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出step(num,den,t) 时间向量t 的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10）[y ，x]=step(num,den) 返回变量y 为输出向量，x 为状态向量在MATLAB 程序中，先定义num,den 数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。

考虑下列系统：25425)()(2++=s s s R s C 该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s 的降幂排列。

则MATLAB 的调用语句：num=[0 0 25]; %定义分子多项式den=[1 4 25]; %定义分母多项式step(num,den) %调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲线grid %画网格标度线xlabel('t/s'),ylabel('c(t)') %给坐标轴加上说明title('Unit-step Respinse of G(s)=25/(s^2+4s+25)') %给图形加上标题名则该单位阶跃响应曲线如图2-1所示：注意：在figure 中点鼠标右键，在右键菜单中选择“Characteristics”，其中包括四个系统性能指标：“Peak Response 峰值”、“Settling Time 调节时间”、“Rise Time”和“Steady State 稳态值”，选中其中的任何一个指标后，都会用大点点在图上标出指标对应的位置。

自动控制原理第3章


自动控制原理
17
调量越小， 响应的振荡 越弱，系统 的平稳性越 好,灵敏性？
越大，超
自动控制原理
18
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
一定时 ，瞬态分 量衰减速 度取 n e 决于 n 故 衰减系数

自动控制原理
19
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
（2）等幅振荡型
h(t ) 0 1 e nt 1
c (s)
自动控制原理
12
3-3-1 二阶系统的数学模型
开环传递函数
K G(s) s(Tm s 1)
c ( s) K ( s) r ( s ) Tm s 2 s K
R(S) C(S)
闭环传递函数
二阶系统微分方程 系统的闭环传递函数的标准形式：
2 n ( s) 2 2 s 2 n s n
自动控制原理
4
3-1 系统的时域性能指标
动态性能指标
在阶跃函数作用下测定或计算系统的动态性能指标 因为阶跃输入可以表征系统受到的最严峻的工作状态 （1）延迟时间
td
h ()
（2）上升时间
（3）峰值时间 （4）调节时间
tr
tp
0.9h() 0.5h() 0.1h()
td
ts
tr
ts
tp
5
误差带：±5%， ±2%
3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
（3）峰值时间 t p 的计算
dh(t ) n t e n p sin( d t p ) 0 dt t t p 1 2
则 sin( d t p ) 0
d t p 0, ,2 , d t p
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1 第3章 线性系统的时域分析法 3-1 一单位反馈系统的开环传递函数为)1(1)(sssGK，求系统的单位阶跃响应及动态性能指标psrttt和,%,。 由题意可解得：5.0,1n 所以，系统的单位阶跃响应为： )sin(11)(2tetyd

tn

其中047.1601arctan,23122nd 所以)047.123sin(231)047.123sin(5.011)(5.025.0tetetytt 其动态性能性能指标为：

stststpnsr628.3615.033473.2%3.16%



3-2 一单位反馈系统的开环传递函数为)1()(TssKsGk，其中单位阶跃响应曲线如图所示，图中stypp5.1,25.1。试确定系统参数K、T值。 图 题3-2图 4.0

28.2n

可得TTKnn12,2 将参数（n,）值代入以上两式可得54.0,86.2TK 2

3-3 一单位反馈系统的开环传递函数为)2()(2nnKsssG，已知系统的)(1)(ttr，误差时间函数为tteete74.37.14.04.1)(，求系统的阻尼比、自然振荡角频率n、系统的闭环传递函数及系统的稳态误差。 系统的闭环极点为74.3,7.121ss 相应的特征方程为 0358.644.5)74.3)(7.1(2ssss 相应的特征方程为 0222nnss 由此解得 079.1,52.2n 系统为І型系统，稳态误差为0。

3-4 一闭环反馈控制系统的结构图如图所示。 求：①当sts8.1%)5(%,20%时，系统的参数K和τ的值； ②求上述系统的位置误差系数pk，速度误差系数vk，加速度误差系数ak。 图 题3-4图 由已知条件sts8.1%)5(%,20%可知

stens8.13%)5(%20%100%21/



由此解得 21.0，因此取3.0 则有 56.5n

因此 1.02312KKnn 由于线性定常二阶系统各项系数均大于零，可推断系统稳定。 3

01avpKKK

3-5 某随动系统结构图如图所示，已知radVsTsVradKradVK/2,2.0),/(5.0,/4021。

试求：①加入速度反馈前后闭环系统动态性能指标st%,； ②为使加入速度负反馈后的闭环系统出现临界阻尼的非振荡阶跃响应，τ应如何取值？计算其调节时间。 图 题3-5图

① 未加入速度负反馈前系统的开环传递函数为 则有52,1002nn 由此解得 25.0,10n ② 加入速度负反馈后系统的开环传递函数为 则有102,1002nn 由此解得 5.0,10n ③ 要使系统出现临界阻尼状态，此时1 从②的推导过程可知212Kn 由此可得 38 处于临界阻尼状态时，系统的调节时间为

sTtns475.0175.475.4

3-6 如图所示，随动系统的对象特征同题3-5。采用微分顺馈校正方法，使闭环系统的n,值和题3-5采用速度反馈时闭环系统的n,一样。试求：①'1',K的 4

值；②系统性能指标st%,及题3-5性能作比较，结果如何，为什么？ 图 题3-6图 ① 加入微分顺馈后系统的开环传递函数为 使闭环系统的n,值和题3-5采用速度反馈时闭环系统的n,一样

即 105.252,1005.2''12nnK 由以上关系可得 2,40''1K ② 系统的动态性能指标st%,

sts6.0%)5(%3.16%

3-8 已知系统如图所示，试分析参数τ取何值时，系统方能稳定？ 图 题3-8图

系统的特征方程为 0101023sss 系统要稳定，劳斯表第一列元素必要大于0，且特征方程各项系数必大于0 则有 01001010且 即1

3-9 已知如图所示，图中的G(s)为12.010)(ssG，引入HK和0K的目的是使过渡过程时间st减小为原来的1/10，又保证总放大系数不变。试选择HK和0K的值。 图 题3-9图 系统仍为一阶系统，要使过渡过程时间st减小为原来的1/10 06.03%)5(''Tts

则有 9.0HK

要保证总放大系数不变 5

10101100'HKKK 则有100K

3-10 有闭环系统的特征方程如下，试用劳斯判据判定系统的稳定性，并说明特征根在复平面上的分布。

①05042023sss的系统劳斯表为：

劳思表第一列系数无符号变化，特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，所有特征根均位于复平面虚轴的左边，即均为负实数或为具有负实部的复数。 ②08862234ssss的系统劳斯表为：

（辅助方程F(s)=0系数） 用导数方程的系数取代全零行相应的元，便可按劳斯表的规则运算下去，得到

由于劳思表第一列系数无符号变化，特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定。 ③0121222189323456ssssss的系统劳斯表为：

5005.15020410123ssss082828611234ssss

84828286101234sssss

2345612018312813122291sssss 6

以(s+1)乘以原特征方程 由于出现全零行，故用4s构造如下辅助方程： 04612183)(2424sssssF 取辅助方程对变量s的导数，得方程 0124)(3ssds

sdF

由新的劳斯表可知，第一列系数无符号变化，特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定。

3-11 单位反馈系统的开环传递函数为)15.0)(1()15.0()(2sssssKsGK，试确定使系统稳定的K值范围。 02)2(43)(234KsKssssD 列劳斯表 要使系统稳定，劳斯表第一列元素必须要大于零，即 可得K稳定范围为705.10K。

3-12 已知系统的结构图如图所示，试用劳斯判据确定使系统稳定的fK的聚会范围。 图 题3-12图 列劳斯表： 要使系统稳定，劳斯表第一列系数必满足：100fK

即0fK

3-13 设有单位反馈系统，其开环传递函数分别为

)15)(4()1.0(10)()15)(4(10)(2sssssG

ssssG

KK 7

求输入量为ttr)(和2542)(tttr时系统的稳态误差。 ① 从系统的开环传递函数可知系统型别为І型，开环增益K=2.5。 当ttr)(时，4.01,5.24101KeKkssv 当2542)(tttr时，0,,avpkKkk 则有Kess402 ②由开环传递函数可求得系统的闭环传递函数为：

1104215110)(234ssssss

上述系统的特征方程为01104215234ssss 由于劳斯表第一列系数不全为正，不满足稳定的充分条件，所以系统不稳定。不稳定的系统不存在稳态误差。

3-14 设具有单位反馈的随动系统，开环传递函数分别为

)33(12)()5)(10(150)(12.01)(22sssssG

ssssGssG

KKK

试求系统的位置、速度和加速度误差系数。 ①给定系统为0型系统，开环增益K=1 故有：0,1avpkkKk

②给定系统为1型系统，开环增益350150K 故有：0,3,avpkKkk ③给定系统为2型系统，开环增益31K 故有：31,Kkkkavp 8

3-15 一单位反馈控制系统的开环传递函数为 iccffKKssTKsTKKsG)1(1)(0

输入信号为),()(1)(均为常数babttatr 要使闭环系统的稳态误差sse不大于0，试求系统各参数应满足的条件。 从开环传递函数的形式可知，该系统为1型系统，系统的开环增益icfKKKKK0。

故有KKKKKkkcfvp0, 当bttatr)(1)(时， 要使闭环系统的稳态误差sse不大于0

00icfKKKK

b 即 00bKKKKicf

3-16 已知系统如图所示， ①问当12K时，系统对r(t) 是几型的？ ②若使系统对r(t)为1型的，试选择2K的值。 图 题3-16图 ①当12K时，系统的开环传递函数为

)1)(1()(211sTsTKsGK

从开环传递函数的形式上看出来，系统的型别为0型系统。 ②系统的开环传递函数为

)1)(1()(2121sTsTKKsGK

若使系统对r(t)为1型的，则可选择sAK2