上海市松江二中高三数学上学期期中考试试题 文【会员独享】

上海市松江二中2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力． 2． 已知函数，，若，则（ ）A1 B2 C3 D-13． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力．5． 自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）A ．86210x y --=B ．86210x y +-=C ．68210x y +-=D ．68210x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．6． 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞7． 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．8． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ）A.110B.15C.310D.259． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．2,2x R x x ∃∈≤-B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是 “//m n ”的必要不充分条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 10．若集合,则= ( )ABC D11．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i 1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．012．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．14． 设函数()xf x e =，()lng x x m =+．有下列四个命题：①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <； ②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2ln 2m e <-；③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22em <-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <．其中所有正确结论的序号为 .【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.15．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于 _________ 。

上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若集合，则________2.函数的值域为3.已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是4.已知某区的绿化覆盖率的统计数据如下表所示，如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么到第年年底该区的绿化覆盖率可超过年份第1年年底第2年年底第3年年底第4年年底5.方程的解是___6.若，则7.根据下图所示的程序框图，最后一个打印出的值应为_________8.若为等比数列的前项的和，，则=___________9.函数的图像与图像关于直线对称，则函数的单调增区间是__________10.已知等差数列的公差为且。

若当且仅当时，该数列的前项和取到最大值，则的取值范围是11.若数列是首项为1、公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是_________12.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________13.已知函数的图像关于点对称，且满足。

当时，，则当时，____________14.个正数排成如右表所示的行列：，其中第一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均相等。

若已知，则二、选择题1.设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（）A．若成立，则成立；B．若成立，则成立；C．若成立，则当时，均有成立；D．若成立，则当时，均有成立2.下列函数中既是奇函数且又在区间上单调递增的（）A．B．C．D．3.等差数列前项的和为，若为一个确定的常数，则下列各数中也必为常数的是（）A．B．C．D．4.定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示：现有以下命题：（1）方程有且仅有三个解；（2）方程有且仅有三个解；（3）方程有且仅有一个解；（4）方程有且仅有九个解则其中正确的命题是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（3）（4）三、解答题1.（本题12分）已知函数.（1）当不等式的解集为时，求实数的值；（2）若，且函数在区间上的最小值是，求实数的值。

1上海中学2023学年第一学期高三年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16∼题每题4分,第7-12题每题5分） 1．若集合{}12,A x x x N =−<≤∈，{},,B x x ab a A b A ==∈∈，则集合B 的非空真子集的个数为______． 2．函数()f x =______．3．函数12y x x =+−−的值域是______． 4．关于x 的不等式4131xx <−的解是______． 5．已知函数1101()f x x=，若()()182f a f a −<−，则a 的取值范围是______． 6．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则当[]1,2x ∈时，()f x =______．7．若2(n )si x f x x =+，则0()limh f h h→=______． 8．已知存在[]11,3x ∈，对任意[]21,1x ∈−，不等式2121423x x a x +≥++成立，则实数a 的取值范围是______．9．设函数()24,()2,ax x af x x x a−+< = −≥ 存在最小值，则实数a 的取值范围是______． 10．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则()()2214a b ab+++的最小值为______．211．已知正实数a ，b 满足221125a b +=______．12．给定一张()21n ×+的数表（如下表），统计1a ，1a ，⋅⋅⋅，n a 中各数出现次数．若对任意0k =，1，⋅⋅⋅，n ，均满足数k 恰好出现n a ，次，则称之为1n +阶自指表，举例来说，下表是一张4阶自指表． 0123⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1n −n0a 1a2a3a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1n a −n a0 1 2 3 121对于如下的一张7阶自指表．记654320123456101010101010N a a a a a a a =++++++，N 的所有可能值为______． 01234560a 1a 2a 3a 4a 5a 6a二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．已知1sin 62πθ+=，则2cos 3πθ+=（ ）． A ． B C ．12−D ．1214．设函数(),(,)f a bx x c a b c Z x =++∈，则点()()()22f f −，不可能在函数 （ ）的图像上．A ．2023y x =+B ．2024y x =+C ．2023y x= D ．2024y x=15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、3现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，8AC =（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数()f x =图像的一部分，BC 为一次函数图像的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF （如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）A ．2B ．1169 CD ．35227 16．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x 依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记{}()max (),(),()K x f x g x h x =．则对于下列命题： �若()K x 是严格增函数，则()()K x f x =； �若()K x 是严格减函数，则()()K x g x =；�若()K x 是周期函数，则()()K x h x =．正确的有（ ） A ．无一正确 B ．�� C ．� D ．���三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 已知:31x m α<−或x m >−，:2x β<或4x ≥． （1）若α是β的充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围．418．(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 已知0a >，关于x 的不等式223bx x c a +≤+≤． （1）若{}{},,1,0,1a b c =−，且2c c >，求解该不等式；（2）若该不等式解集为[]2,3，求a 的取值范围．19．(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 设实数a ，b ，c 满足1a b c ++=． （1）若a ，b ，c 均为正实数，求111111a b c  −−−   的最小值； （2）求()()()222112a b c −++++的最小值．520.（本题满分16分.)已知a R ∈，函数()xf x e ax =−，()lng xax x =−． （1）当a e =时，若斜率为0的直线l 是()g x 的一条切线，求切点的坐标； （2）若()f x 与()g x 有相同的最小值，求实数a ．21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)给定自然数i ．称非空集合A 为减i 集，若A 满足： （i ）*A N ⊆，{1}A ≠；（ii ）对任意x ，*y N ∈，只要x A y +∈，就有xy A i −∈．问： （1）直接判断{}1,2P =是否为减0集，是否为减1集；（2）是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由； （3）是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．6参考答案一、填空题1.14;2.()2,+∞;3.[]3,3−; 4. ()3,4; 6.()2log 3x −;; 9.[]0,2; 10.36； 11.12512.3211000 11．已知正实数a ，b 满足221125a b +=______． 【答案】125【解析】由2222221125a b a b a b++==,则222225a b a b +=,且,0a b >, 341555b a ab+−∣ 令110,0x y a b=>=>,1435x y xy +−,且2225x y +=, 22252x y xy ∴+=…,即252xy …,仅当xy ==,对于43t x y xy xy =+−≥−恒成立,当且仅当43x y =,即3,4x y ==时,等号成立, 综上,若k =,则(2212y k k −=−−+,而0−>−,即12t =,即11,34a b ==时,等号成立,112555tt=≥,仅当12t=,即11,34a b==时,等号成立,∴目标式最小值为125.二、选择题13.C 14.A 15.D 16.D15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，8AC=（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数()f x=图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（）A．2 B．1169 C D．35227【答案】D【解析】(1)由图可知,直线AB过点()4,4B,所以4=解得2k=,所以曲线AB方程为())04f x x=≤≤;设函数BC的解析式为y ax b=+,由直线过点()()4,4,8,0B C,得4408a ba b=+=+,解得1,8a b=−=,所以BC的解析式为8(48)y x x=−+<…,所以折线ABC的函数解析式为()4;8,48xf xx x≤≤=−+<≤78(2)设(),0D t ,则04t <<,所以E y =,又F Ey y ==,所以8F x =−+,得8F x =−,则8EF t =−−,又8,DC t DE =− 所以())31221188221622CDEFS DE EF DC t t t t t =+=×−−+−=−−+梯形 设()31222216(04)g t t t t t =−−+<<,则()1213822g t t t −′=−+− 令()1609g t t =⇒=′,当1609x <<时,()0g t ′>,函数()g t 单调递增,当1049x <<时,()0g t ′<,函数()g t 单调递减, 所以()16352927max g t g== ,即梯形CDEF 的面积的最大值为35227. 故选D 三．解答题17.（1）(],4−∞ （2）1,4+∞18.（1）（2）19.（1）8 (2) 320.（1）（221.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)给定自然数i ．称非空集合A 为减i 集，若A 满足： （i ）*A N ⊆，{1}A ≠；（ii ）对任意x ，*y N ∈，只要x A y +∈，就有xy A i −∈．问： （1）直接判断{}1,2P =是否为减0集，是否为减1集；（2）是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由；9（3）是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．【答案】（1）P 是“减0集”不是“减1集”.（2）不存在，理由见解析（3）存在，理由见解析【解析】（1）{}*,1,112P N P P ⊆≠+=∈ ,110,P P ×−∈∴是“减0集”同理,{}*,1,112P N P P ⊆≠+=∈ ,111,P P ×−∉∴不是“减1集”.（2）不存在，理由如下：假设存在A 是“减2集”,则若x y A +∈,那么2xy A −∈,�当2x y xy +=−时,有()()113x y −−=,则,x y 一个为2,一个为4,所以集合A 中有元素6 但是33,332A A +∈×−∉,与A 是“减2集”,矛盾;�当2x y xy +≠−时,则1x y xy +=−或者(2)x y xy m m +=−>,若1,1x y xy m +=−=时M 为除1以外的最小元素,则1,1x M y =−=时,23xy M −−小于M ,如果要符合题意必须4M =,此时取2x =,2,22y xy =−=不属于A ,故不符合题意.2m >时,()()111x y m −−=+,同样得出矛盾.综上可得:不存在A 是“减2集”.（3）存在“减1集”{}.1A A ≠.假设1A ∈,则A 中除了元素1以外,必然还含有其它元素. 假设2,11A A ∈+∈,而111A ×−∉,因此2A ∉.假设3,12A A ∈+∈,而121A ×−∈,因此3A ∈.因此可以有{}1,3A =. 假设4,13A A ∈+∈,而131A ×−∉,因此4A ∉.假设5,14,141A A A ∈+∈×−∈,235,231A +=×−∈,因此5A ∈. 因此可以有{}1,3,5A =.以此类推可得:{}()*1,3,5,,21,,,A n n N =……−……∈{}{}{}*:1,3,1,3,5,|21,A x x k k N =−∈以及的满足以下条件的非空子集。

2012学年松江二中高三数学（文）期中考试题一．填空题（每题4分，共56分） 1．不等式12≤x的解是_______ . 2．函数22xy -=的值域为_______________.3．若(2)()()x m x f x x--=为奇函数，则实数m =________.4．设{}{}1),(,0)(),(===-=y y x B x y x y x A ，则B A 用列举法可表示为_________________.5．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S =__________. 6．在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知4,2,b c ==且sin sinB 00 -20cos 0 1C b c A =，则ABC ∆的面积S= .7．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x 表示的平面区域的面积是 .8. 已知)(x f y =是周期为π的偶函数，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，x x f sin )(=. 若(3)x ππ∈5，2且21)(=x f ，则x = . 9．由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则=x ________,=y .10．已知()sin 4f x a x =++（a , b 为实数）且[]3lg(log 10)5f =，则[]lg(lg 3)f = .11. 设两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果5()24n n S n N T n *=∈+，则34a b = . 12．对于任意(],1m ∈-∞，不等式2(5)410x m x m -+++<恒成立，则实数x 的取值范围是 .13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足575,7S S =-=，则使得12m m m a a a ++⋅为数列{}n a 中的项的所有正整数m 的值为 .14. 数列}{n a 满足21=a ,nn a a 111-=+，若该数列有一个形如B n A a n ++=)sin(φω的通项公式，其中A,B ，ω,φ均为实数且A>0，ω>0,2||πφ<，则=n a .二、选择题（每题5分，共20分）15．若,,4x y R x y +∈+≤，则下列不等式中恒成立的是（ ）A.114x y ≤+ B. 111x y +≥2≥ D. 11xy≥16．已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 ( ) A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在5(,)26ππ上是增函数17. 已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增．如果124x x +<,且()()12220x x --<，则()()12f x f x +的值（ ）A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负18. 设集合{12}n P n =，，，…,*N n ∈.记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数:①n A P ⊆;②若x A ∈,则2x A ∉;③若A C x n p ∈,则2n p x C A ∉.则(7)f = （ ）A ．10B ．12C ．14D ．16三、解答题（12+14+14+16+18=74分）19．（本题满分12分，第1小题满分8分，第2小题满分4分） 设P 表示幂函数22c c y x--=在()+∞,0上是减函数的c 的集合；Q 表示不等式121>-+-c x x 对任意R x ∈恒成立的c 的集合。

2024学年上海市松江二中高一数学上学期期中试卷一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合{}1,1,A m =-，集合{}21,B m =，若B A ⊆，则实数m =______.2.不等式311x x +≤-的解集为______.3.函数1()2x f x x -=-的对称中心是______.4.已知2lg a =，3lg b =，则用a 、b 表示12log 25=______.5.若关于方程22520x ax a -++=的两实根的平方和为14，则实数a 的值为______.6.已知函数()()01f x xαα=<<在区间()1,0-上严格减，则α的一个取值为______.7.若正数x ，y 满足220x xy -+=，则x y +的最小值是______.8.在平面直角坐标系xOy 中，设点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，定义：1212||||||||PQ x x y y =-+-．若点(1,0)A ，点B 为直线2y x =+上的动点，则||||AB 的最小值为______.9.人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从(11024)TB TB GB =级别跃升到(11024)PB PB TB =，(11024)EB EB PB =乃至(11024)ZB ZB EB =级别．国际数据公司()IDC 的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.500ZB ，2010年增长到1.125ZB ．若从2008年起，全球产生的数据量P 与年份t 的关系为20080t P P a -=，其中0P ，a 均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍．10.已知常数0a >，函数33x x y ax=+经过点8(,5P p 、3(,5Q q -．若316p qpq +=，则a =______.11.若关于x 的方程26x kx x =+有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围是______.12.已知集合[]341,,A a a a ⎡⎤=⎣⎦ ，集合12{|B x x x x ==-，其中}12,x x A ∈．若集合B 表示的区间为一个闭区间，则a 的取值范围为______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.“0x y >>”是“11x y x y ->-”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14.标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是（）A ．3410-B ．3510-C ．3610-D ．3710-15.已知函数34,1()32,1x x x f x x +<⎧=⎨-≥⎩，若m n <，且()()f m f n =，则()mf n 的取值范围是（）A ．4[,7]3-B ．[]1,7-C ．[)1,7-D ．4[,7)3-16.已知()(){}2,1,12,01A x y y txt x x t ==+-≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集．设d 是M 中两点间的距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >C ．1d S <D ．1d S =>三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）记全集U R =，集合{}{}221,,21A x a x a a R B x x x =-≤≤+∈=->.（1）若A B R = ，求a 的取值范围；（2）若A B =∅ ，求a 的取值范围.18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）.（1）若()f x 在区间[]4,16上的最大值与最小值之差为2，求实数a 的值；（2）若函数()()22log 2g x x x a =-+的值域为[)1,+∞，求使得()11f t -≤的实数t 的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d ，1d ，2d ，3d ，如图所示．当车速为v （米/秒），且(]0,33.3v ∈时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]1,2)k ∈．阶段0．准备1．人的反应2．系统反应3．制动时间0t 10.8t =秒20.2t =秒3t 距离010d =米1d 2d 2320v d k=米（1）请写出报警距离d （米)与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求当2k =，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数()()262f x ax a x =+-+，其中a R ∈.（1）若“存在0x R ∈，使得()006f x x ≤-成立”是假命题，求实数a 的取值范围；（2）求不等式()8f x x ≥-的解集；（3）已知函数()()222f x g x x ax a=-+的定义域是使得解析式有意义的x 的集合。

2024-2025学年上海市松江二中高三（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“|a|=|b|”是“a2+b2=2ab”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x)+f(6−x)=0，当x∈(0,3)时，有f(x)=lnx，则f(2024)=( )A. 0B. 1C. ln2D. ln43.在直二面角α−l−β的棱l上取一点A、过A分别在α，β内A的同侧作与l成45°的直线，则这两条直线所夹的角为( )A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4.设非空集合A，B满足A∪B=R,A∩B=⌀,f(x)={x2,x∈A,2x−1,x∈B.给出下列两个命题：(1)存在唯一的非空集合对(A,B)，使得y=f(x)为偶函数；(2)存在无穷多个非空集合对(A,B)，使得方程f(x)=2无解．则下列判断正确的是( )A. (1)(2)均成立B. (1)成立，(2)不成立C. (1)不成立，(2)成立D. (1)(2)均不成立二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

<2的解集为．5.不等式1x(a∈R)在复平面内对应的点的横坐标为2，则a=______．6.已知复数z=1+ai1−i7.向量a=(−3,3)在b=(1,0)方向上的数量投影为______．+α)=______．8.已知点P(−3,4)是角α的终边上一点，则sin(π29.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为______．)5的二项展开式中的常数项为______.(结果用数值表示)10.(x+3x211.魔都是上世纪二三十年代上海的别称之一.国庆期间，甲、乙两人相约来到上海旅游，两人分别从A ，B ，C ，D 四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为______．12.若不等式|x +2|≤t +|x−3|对于任意实数x 都成立，则实数t 的取值范围是______．13.如图，椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点和上顶点分别为F 和A ，连接AF 并延长交椭圆C 于B ，记△AOB 的面积为S 1，△AOF 的面积为S 2，且S1S 2=32，则椭圆C 的离心率为______．14.已知函数f(x)={−x 2+2x +3,x ≤26+log a x,x >2(a >0且a ≠1)，若函数f(x)的值域是(−∞,4]，则实数a 的取值范围是______．15.某地计划建一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 中，AB =2百米，BC =4百米，三角形区域ACD 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，现计划将三角形区域BCD 建为水上项目区，则三角形区域BCD 的最大面积为______平方百米．16.已知首项a 1=2的无穷等差数列{a n }满足“对任意正整数i ，j ，i ≠j ，都存在正整数k ，使得a k =a i ⋅a j ，则数列{a n }公差d 的值为______．三、解答题：本题共5小题，共60分。

2020-2021学年上海市松江二中高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．若复数z满足iz＝1+i（i为虚数单位），则z＝．2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为．3．已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2，则扇形的周长为．4．若（1+x）n＝1+a1x+a2x2+a3x3+…+x n，（n∈N*），且a1：a2＝1：3，则n＝．5．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为．（结果保留π）6．双曲线的左、右焦点为F1、F2，若点P在双曲线上，，则＝．7．某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为．8．已知正数a．b满足4a+b＝30，使得取最小值时，则实数对（a，b）是．9．已知不等式4x﹣a•2x+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立，则实数x的取值范围是．10．已知点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A且与l相切，其圆心分别为C1、C2，若动点M满足，则M的轨迹方程为．11．已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x l）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是．12．对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，…满足a12+a2n+12≤R，则S＝a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为．二、选择题（共4小题）.13．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2＞b2D．lga＞lgb14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定15．若定义域为R的奇函数y＝f（x）有反函数y＝f﹣1（x），那么必在函数y＝f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t）B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t）D．（﹣f（t）+1，﹣t）16．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f（x），则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．三、解答题17．已知A＝{x|2x＜4}，．（1）求A∪B；（2）已知集合U＝R，C＝∁U（A∪B），D＝{x|ax﹣1＝0}，若C∩D＝∅，求实数a的取值范围．18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．19．已知函数f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣．（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；（2）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．20．（理）已知向量，（n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，对任意正整数n，都有b n•（4a n2﹣5）＝1成立，设S n为数列{b n}的前n项和，求；（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、A n（n，a n）、…中是否存在两点A i，A j（i，j为正整数）使直线A i A j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．21．（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）＝0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）＝0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ＝2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；（3）对抛物线C1：y2＝2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2＝2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2＝2p3x，如此进行下去，对抛物线∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y），得抛物线C n+1：y2＝2p n+1x，…．若，求数列{p n}的通项公式p n．参考答案一、填空题（共12小题）.1．若复数z满足iz＝1+i（i为虚数单位），则z＝1﹣i．解：由iz＝1+i，得z＝＝1﹣i故答案为：1﹣i．2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为6．解：∵A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．又A＝{1，2}，B＝{0，2}，∴A*B＝{0，2，4}所以集合A*B的所有元素之和为0+2+4＝6故答案为：63．已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2，则扇形的周长为16cm．解：设扇形半径为r，面积为s，圆心角是α，则α＝2，扇形的面积为：s＝αr2＝×2×r2＝16 （cm2），解得：r＝4cm，则周长l＝2r+αr＝2r+2r＝4r＝4×4＝16cm．故答案为：16cm．4．若（1+x）n＝1+a1x+a2x2+a3x3+…+x n，（n∈N*），且a1：a2＝1：3，则n＝7．解：（1+x）n展开式的通项为T r+1＝∁n r x r令r＝1得a1＝∁n1＝n令r＝2得∵a1：a2＝1：3，∴解得n＝7故答案为：75．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为．（结果保留π）解：球的内接正方体的对角线就是球的直径，求出半径可得体积．正方体的体积为8，则棱长为2，正方体的对角线为2，球的半径为：球的体积：故答案为：6．双曲线的左、右焦点为F1、F2，若点P在双曲线上，，则＝10．解：由题意知，a＝4，b＝3，所以c2＝a2+b2＝16+9＝25，所以F1（﹣5，0），F2（5，0），因为点P在双曲线上，，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2＝（2c）2＝100，所以|+|＝＝＝10，故答案为：10．7．某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为．解：某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，基本事件总数n＝C63＝20，物理和化学同时被选中的情况有：C41＝4，∴物理和化学不同时被选中的概率为：P＝1﹣＝．故答案为：．8．已知正数a．b满足4a+b＝30，使得取最小值时，则实数对（a，b）是（5，10）．解：∵正数a．b满足4a+b＝30，∴＝（4a+b）（）＝≥•（5+）＝0.3，当且仅当，即a＝5，b＝10时，取最小值0.3．∴实数对（a，b）是（5，10）．故答案为：（5，10）．9．已知不等式4x﹣a•2x+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立，则实数x的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．解：不等式4x﹣a•2x+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立，所以设t＝2x，t＞0，则t2﹣at+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立，即a＜t+，于a∈（﹣∞，3]恒成立，所以t+＞3，即t2﹣3t+2＞0，解得t＞2或t＜1，即2x＞2或2x＜1，解得x＞1或x＜0，综上，x的取值范围为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．10．已知点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A且与l相切，其圆心分别为C1、C2，若动点M满足，则M的轨迹方程为y2＝2x﹣1．解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2＝4x，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则∵动点M满足，∴2（x﹣m，y﹣n）＝（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），∴2x＝a+1，2y＝b，∴a＝2x﹣1，b＝2y，∵b2＝4a，∴（2y）2＝4（2x﹣1），即y2＝2x﹣1．故答案为：y2＝2x﹣1．11．已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x l）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是（27，）．解：画出函数f（x）＝的图象，令f（x l）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝a，作出直线y＝a，由x＝3时，f（3）＝﹣cosπ＝1；x＝9时，f（9）＝﹣cos3π＝1．由图象可得，当0＜a＜1时，直线和曲线y＝f（x）有四个交点．由图象可得0＜x1＜1＜x2＜3＜x3＜4.5，7.5＜x4＜9，则|log3x1|＝|log3x2|，即为﹣log3x1＝log3x2，可得x1x2＝1，由y＝﹣cos（x）的图象关于直线x＝6对称，可得x3+x4＝12，则x1•x2•x3•x4＝x3（12﹣x3）＝﹣（x3﹣6）2+36在（3，4.5）递增，即有x1•x2•x3•x4∈（27，）．故答案为：（27，）．12．对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，…满足a12+a2n+12≤R，则S＝a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为．解：数列{a n}等差数列，∴a2n+1+a4n+1＝a2n+2+a4n＝…2a3n+1，∴S＝（2n+1）a3n+1，∵＝≤R，化简得：﹣8dna3n+1+10n2d2﹣R≤0，关于d的二次方程，10n2d2﹣8dna3n+1+﹣R≤0，有解，∴△＝﹣40n2（﹣R）≥0，化简得：8﹣10+5R≥0，∴≤，∴，S≤．故答案为：．二、选择题13．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2＞b2D．lga＞lgb解：A．|a|＞|b|，a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，b＝1，因此不符合题意；B.，a＞b不一定成立，例如取a＝1，b＝2，因此不符合题意；C．a2＞b2，a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，b＝1，因此不符合题意；D．lga＞lgb⇒a＞b＞0⇒a＞b，因此使a＞b成立的充分不必要条件是lga＞lgb．故选：D．14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC 的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B＝a sin A，则由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，即sin（B+C）＝sin A sin A，可得sin A＝1，故A＝，故三角形为直角三角形，故选：B．15．若定义域为R的奇函数y＝f（x）有反函数y＝f﹣1（x），那么必在函数y＝f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t）B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t）D．（﹣f（t）+1，﹣t）【解答】解；∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f（﹣t）＝﹣f（t），∴f﹣1（﹣f（t））＝﹣t，即（﹣f（t），﹣t）在y＝f﹣1（x）的图象上，∵y＝f﹣1（x+1）图象是由y＝f﹣1（x）的图象向左平移1个单位得到的，∴（﹣f（t）﹣1，﹣t）在y＝f﹣1（x+1）图象上．故选：C．16．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f（x），则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．解：当x∈[0，π]时，y＝1，当x∈[π，2π）时，∵＝﹣设与的夹角为θ，||＝1，||＝2，∴θ＝π﹣x∴y＝|O1P|2＝（﹣）2＝5﹣4cosθ＝5+4cos x，x∈（π，2π），∴函数y＝f（x）的图象是曲线，且为单调递增，当x∈[2π，4π）时，∵＝﹣，设与的夹角为α，||＝2与||＝1，∴α＝2π﹣x，∴y＝|O1P|2＝（﹣）2＝5﹣4cosθ＝5+4cos x，x∈（2π，4π），∴函数y＝f（x）的图象是曲线，且为单调递减．故选：A．三、解答题17．已知A＝{x|2x＜4}，．（1）求A∪B；（2）已知集合U＝R，C＝∁U（A∪B），D＝{x|ax﹣1＝0}，若C∩D＝∅，求实数a的取值范围．解：（1）A＝{x|2x＜4}＝（﹣∞，2），＝[1，3），所以A∪B＝（﹣∞，3）．（2）因为集合U＝R，所以C＝∁U（A∪B）＝[3，+∞），又D＝{x|ax﹣1＝0}，C∩D＝∅，当a＝0时，D＝∅，符合题意；当a≠0时，D＝{}，则＜3，解得a＜0或a＞，综上，实数a的取值范围是（∞，0]∪（，+∞）．18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解：（1）由题意可得：200（5x+1﹣）≥3000，即5x﹣≥14，解得x≥3，又1≤x≤10，∴3≤x≤10．（2）设生产1200千克产品的利润为y，则y＝100（5x+1﹣）•＝120000（﹣++5）＝120000[﹣3（﹣）2+]，∴当＝即x＝6时，y取得最大值610000．故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元．19．已知函数f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣．（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；（2）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．解：（1）f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣＝sin x（cos x+sin x）+﹣＝sin2x++cos2x＝sin（2x+）+，当2x+＝2kπ+（k∈Z），即x＝kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值．函数f（x）的最大值时x的取值集合为{x|x＝kπ+（k∈Z）}；（2）若f（x0）＝，即sin（2x0+）+＝，整理得：sin（2x0+）＝，∵x0∈[，]，∴2x0+∈[，]，∴cos（2x0+）＝﹣，∴cos2x0＝cos[（2x0+）﹣]＝cos（2x0+）cos+sin（2x0+）si'n＝﹣×+×＝．20．（理）已知向量，（n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，对任意正整数n，都有b n•（4a n2﹣5）＝1成立，设S n为数列{b n}的前n项和，求；（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、A n（n，a n）、…中是否存在两点A i，A j（i，j为正整数）使直线A i A j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．解：（1）f（x）＝…函数y＝f（x）的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为，开口向上，在（0，+∞）上，当时函数取得最小值，所以；…（2）将（1）中{a n}的表达式代入，得．…∴，…所以所求的极限为：＝；…（3）任取A i、A j（i、j∈N*，i≠j），设A i A j所在直线的斜率为k ij，则＝．因此不存在满足条件的数对（i，j），使直线A i A j的斜率为1．…（16分）21．（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）＝0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）＝0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ＝2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；（3）对抛物线C1：y2＝2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2＝2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2＝2p3x，如此进行下去，对抛物线∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y），得抛物线C n+1：y2＝2p n+1x，…．若，求数列{p n}的通项公式p n．【解答】解（1）由条件得，得C2：；（2）∵C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C2，解方程组得点A的坐标为；解方程组得点B的坐标为；＝＝，化简后得3λ2﹣8λ+4＝0，解得，因此椭圆C2的方程为或．（漏写一个方程扣2分）（3）（理）对∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y）得抛物线C n+1：（λn y）2＝2p nλn x，得，又∵y2＝2p n+1x，∴，即，＝2•22•23•…•2n﹣1，则，（16分）（或解：）p1＝1，∴．（18分）。

高三期中数学卷一.填空题1.已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 4α=-，则x 的值为_________【答案】8【解析】【分析】直接利用三角函数定义得到答案.【详解】角α的终边经过点(,6)P x -，63tan 84x x α-==-∴=故答案为：8【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于简单题.2.函数y x=的定义域为_________【答案】[2,0)(0,2]- 【解析】【分析】定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，计算得答案.【详解】函数4x y x =的定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩解得22x -≤≤且0x ≠故答案为：[2,0)(0,2]- 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.3.已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数1()f x -过点(2,4)，则()f x 的解析式是_________【答案】()f x =【解析】【分析】根据反函数性质得到函数()f x 过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()f x -过点(2,4)，则函数()f x 过点(4,2)设幂函数()a f x x =代入点(4,2)得到12a =，解析式为()f x =故答案为：()f x =【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握.4.(1n -展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为_________【答案】56-【解析】【分析】通过二项式系数和计算得到8n =，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】(1n 展开式的二项式系数之和为25682n n =∴=3188((1)r r rr rr T C C x+==-，当3r =时，3348(1)56T C x x=-=-故答案为：56-【点睛】本题考查了二项式定理，混淆二项式系数和系数是容易发生的错误.5.已知cos()63πα-=，则5cos()6πα+=_________【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=，所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

上海市松江二中2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合{}2650A x x x =-+<，{}0,1,2B =，则A B =2．已知向量()()1,2,3,2a b =-= ，则b 在a方向上的数量投影为．3．曲线e x y =在点()0,1处的切线方程是．4．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为5．二项式63x ⎛⎝的展开式中，常数项为6．关于x 的方程100910152024x x x +++-=的解集为7．已知0x >，0y >，4x y xy +=，则x y +的最小值为8．《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”.若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为.9．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为e e sh 2x xx --=，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移12个单位，再向上平移2个单位，得到函数()y f x =的图象，并且数列{}n a 满足条件2025n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前2024项和2024S =10．已知椭圆22:143x y Γ+=，点1F 和2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则12PF F 内切圆半径的最大值为11．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为.12．已知关于x 的方程2e (ln )20x x a x x a -⋅-+-=在(0,1]上有两个不相等的实很，则实数a 的取值范围是.二、单选题13．设z ∈C ，则1z z+∈R 是1z =的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要14．在ABC V 中，10BC =，M 为BC 中点，4AM =，则⋅=AB AC （）A ．9-B ．16-C ．9D ．1615．已知定义在R 上的函数()y f x =，其导数为()f x '，记()()g x f x '=，且()()4f x f x x --=，()()20g x g x +-=，则下列说法中正确的个数为（）①()01g =；②()f x y x=的图象关于()0,2对称；③()()20f x f x +-=；④()21nk g k n n ==-∑.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．已知正项数列{}n a 满足1112ln n n n a a a ++=-，下列说法正确的是（）A ．当101a <<时，数列{}n a 单调递减B ．当11a >时，数列{}n a 单调递增C ．当101a <<时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，012n n a <D ．当11a >时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，02nn a <三、解答题17．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为[]80,100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18．已知函数=是定义在−1,1上的奇函数，并且当0x >时，()πcos sin223x x f x ⎛⎫=⋅+-⎪⎝⎭22x(1)求函数=的表达式；(2)求关于x 的不等式()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭的解集.19．如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC ⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC AC ===，4BC =，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ．(1)求证：直线l ⊥平面PAC ；(2)若直线l 上存在一点Q （与B 都在AC 的同侧），且直线PQ 与直线EF 所成的角为4π，求平面PBQ 与平面AEF 所成的锐二面角的余弦值．20．已知点G 是圆T :()22116x y ++=上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为()1,0，线段GH的垂直平分线交线段TG 于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线OM 、ON 的斜率分别为1k 和2k ，且1234k k =-，则MON △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)设P 为曲线C 上任意一点，延长OP 至Q ，使3OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求AQB 面积的最大值.21．已知函数()y f x =的表达式为()()()2ln f x x ax x a =-∈R .(1)当1a =时，求()y f x =的单调增区间；(2)若当1x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；(3)证明：5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯ .。