2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案苏教版选修2_1

抛物线的几何性质1．设抛物线 y 2＝ mx 的准线与直线[ 基础达标 ]x ＝ 1 的距离为 3，则抛物线的方程为 ________．m分析：当 m >0 时，准线方程为 x ＝－ 4＝－ 2， ∴ m ＝ 8，此时抛物线方程为 y 2＝ 8x ；当 <0 时，准线方程为xm＝－ ＝4，m4∴ ＝－ 16，此时抛物线方程为y 2＝－ 16 x .m∴所求抛物线方程为 y 2＝ 8x 或 y 2＝－ 16x .答案： y 2＝ 8 x 或 y 2 ＝－ 16x 2．已知抛物线 C 的极点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 y ＝ x 与抛物线 C 交于 A ， B 两点．若 P (2,2) 为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为 ________．222 2y ＝ 2px11? y 1－y 2＝ 2p ( x 1分析：设抛物线方程为 y ＝ 2px ， A ( x 1，y 1) ， B ( x 2， y 2) ，则2px 2y 2＝ 2 －x 2) ，y 1－ y 212p ＝ 2.即 x 1－ x 2·(y ＋ y ) ＝ 2p ? 2p ＝1×4?故 y 2＝ 4x .答案： y 2＝ 4x3．设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y 2＝ 2px ( p >0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， →FA 与 x→轴正向的夹角为 60°，则 | OA |＝ ________.分析：如图，过 A 作 AD ⊥x 轴于 D .在 Rt △ AFD 中，∠ AFD ＝60°.令 FD ＝ m ，则 FA ＝ 2m .AD ＝ 3m .依据抛物线的定义可知．p ＋ m ＝2m . ∴ m ＝p . ∴ → ＝ 2＋ 2＝ p＋ p 2＋3p| OA |OD AD 2答案： 21p 24．若抛物线 y 2＝2x 上的一点 M 到坐标原点离为 ________．2＝21p .2O 的距离为 3，则 M 到该抛物线焦点的距1y 2＝ 2x析：依题意，设点M ( x ， y ) ，此中 x >0，则有 x 2＋ y 2＝3 ，由此解得 x ＝ 1，又该 x >011抛物线的准线方程为 x ＝－ 2，联合抛物线的定义， 点 M 到该抛物线的焦点的距离等于 1＋2＝ 3 2.3 答案： 2 2＝ 45．直线 y ＝ － 3 与抛物线 y 交于 ， 两点，过， 两点向抛物线的准线作垂线，xx A BA B垂足分别为 P ， Q ，则梯形 APQB 的面积为 ________．分析：直线 y ＝ x － 3 与抛物线 y 2＝4x 交于 A ， B 两点，过 A ， B 两点向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为P ， Q ，联立方程组得 y 2＝ 4x ，消元得 x 2－ 10x ＋9＝ 0，y ＝ x －3x ＝ 1x ＝ 9＝ 10，＝ 2，＝ 8，解得，和，∴y ＝－ 2y ＝ 6APBQPQ∴梯形的面积为 48.APQB答案： 486. 如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管＝ 1 m ，水从喷头 P 喷出后呈抛物线状，OP先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2 m ， P 距抛物线对称轴 1 m ，则为使水不落到池外，水池直径最小为 ________m.分析：如图，成立平面直角坐标系，设抛物线方程为 x 2＝－ 2py ( p >0) ，则 P ( － 1，－ 1) ，代入抛物线方程得＝ 1 ，抛物线 x 2＝－ y ，代入点 ( x ，－ 2) ，得 x ＝ 2，即水池半径最小为 p 2r ＝ (1 ＋ 2)m ，水池直径最小为 2r ＝(2 ＋ 2 2)m.答案： 2＋2 2F 在 x 轴上，直线 l 过点 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于 A 、 B7．已知抛物线的焦点 两点， O 为坐标原点，若△ OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y 2＝ 2px ( p ≠0) ，pp焦点 F 2，0 ，直线 l ： x ＝2，pp∴ A 、B 两点坐标为 2， p ， 2，－ p ，∴ AB ＝2| p |.∵△ OAB 的面积为 4，1 p·2| p | ＝4，∴ p ＝±2 2.∴ · 22∴抛物线的标准方程为 y 2＝±4 2 x .8. 如图，过抛物线 y 2＝ x 上一点 A (4,2) 作倾斜角互补的两条直线 AB ，AC 交抛物线于 B ，C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值．证明：设 k AB ＝ k ( k ≠0) ，∵直线 AB ， AC 的倾斜角互补， ∴ k AC ＝－ k ( k ≠0) ，∵直线 AB 的方程是 y ＝ k ( x － 4) ＋2.由方程组 y ＝k x － ＋ 2，消去 y 后，整理得y 2＝ x ，k 2x 2＋ ( － 8k 2＋ 4k － 1) x ＋ 16k 2－ 16k ＋ 4＝ 0. ∵ A (4,2) ， B ( x B ，y B ) 是上述方程组的解．16 k 2－16 ＋ 44 2－ 4 k ＋ 1 ∴4· x B ＝ k k ，k 2 ，即 x B ＝ k 2BC4k 2＋ 4k ＋ 1 以－ k 代换 x 中的 k ，得 x ＝ k 2 ，yB －yC∴ k BC ＝ xB － xCk－ ＋2－[ － k －＋2]xBC ＝ xB － xC＋－ k 8k 2＋ 2kk 2 － 8 1xBxC＝－ xC＝－8k＝－4，xBk 2∴直线 BC 的斜率为定值．[ 能力提高 ]1．等腰直角三角形 OAB 内接于抛物线 y 2＝ 2px ( p >0) ， O 是抛物线的极点， OA ⊥OB ，则△的面积为 ________．OABOAB 的极点 A ( x 1， y 1) 、 B ( x 2， y 2) ，则 y 21＝ 2px 1， y 22＝ 2px 2，分析：设等腰直角三角形2222由 OA ＝ OB ，则 x 1＋y 1＝ x 2＋ y 2，22∴ x 1－ x 2＋2px 1－ 2px 2＝0，即 ( x 1－ x 2)( x 1＋ x 2＋ 2p ) ＝ 0， ∵ x 1>0，x 2>0,2 p >0，∴ x 1＝ x 2，即 A 、 B 对于 x 轴对称．故直线 OA 的方程为： y ＝x tan 45 °，即 y ＝x .y 2＝2pxx ＝ 0x ＝ 2p由，解得，( 舍) 或，故 AB ＝ 4p ，y ＝xy ＝ 0y ＝ 2p等腰三角形 OAB 的面积为 1×2p ×4p ＝ 4p 2.2答案： 4p 22．对于极点在原点的抛物线，给出以下条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为 (2,1) ．此中能得出抛物线方程为 y 2＝ 10x 的条件是 ________( 要求填写适合条件的序号 ) ． 分析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为 y 2＝ 2px ( p >0) ；对p 2于③，由焦半径公式 r ＝ 1＋ 2＝ 6，∴ p ＝ 10，此时 y ＝ 20x ，不切合条件；对于④， 2p ＝ 5，此时 y 2＝5x ，不切合题意；p 1 1－ 0对于⑤，设焦点为2， 0 ，则由题意，知足 2 ·p ＝－ 1.2－ 2解得 p ＝ 5，此时 y 2＝ 10x ，因此②⑤能使抛物线方程为 y 2＝10x .答案：②⑤3．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5 m 时，水面宽为 8 m ，一木船宽 4 m 高 2 m ，3载货后木船露在水面上的部分高为4 m ，问水面上升到与拱顶相距多少时，木船开始不可以通航？x 2＝－ 2py ( p >0) ，过点 (4 ，－ 5) ，解：如下图成立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为16∴ 16＝－ 2p ( － 5) ，∴ 2p ＝ 5 ，216 5∴抛物线方程为 x ＝－ 5 y ，x ＝ 2 时， y ＝－ 4，3 5 ∴相距为 4＋ 4＝ 2 时不可以通行．4．( 创新题 ) A ，B 为抛物线 y 2＝2px ( p >0) 上两点， O 为原点，若 OA ⊥ OB ，求证：直线 AB过定点．2 2证明：设 A ( x 1， y 1) 、B ( x 2， y 2) ，则 y 1＝ 2px 1， y 2＝ 2px 2.由于 OA ⊥ OB ，因此 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，则 y 21y 22＝ 2px 1·2px 2＝ 4p 2 x 1 x 2＝－ 4p 2y 1y 2， 因此 y 1y 2＝－ 4p 2.22＋ y 1)( y 2 －y 1) ＝ 2p ( x 2－x 1) ，由于 y 2－y 1＝ ( y 2 y 2－ y 1 2p ，若 x 1≠ x 2，则 ＝x 2－ x 1 y 1＋y 2 因此直线AB 的方程为 y － 1＝ 2p ( － 1) ．yy 1＋ y 2xx2由于 y 21＝2px 1，因此 y － y 1＝2px － y1 ，y 1 ＋y 22p2px2因此 y ＝y 1＋y 1y 1 －y 1＋＋ y 2 y 22pxy 1y 22p＝y 1＋ y2＋y 1＋ y 2＝y 1＋ y 2(x －2p )，因此直线 AB 过定点 (2 p, 0) ．若 x 1＝ x 2≠0，则 y 1＝－ y 2.由于 OA ⊥ OB ，因此 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，2 2 2故直线 x1－ y1＝0，即 x1－2px1＝0，因此x1＝2p.故直线 AB过定点(2 p, 0)，因此存在定点(2 p, 0) ，使得命题成立．5。

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(2)求证：直线AB过定点. 证明
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反思与感悟
在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这 类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这 类问题的关键是代换和转化.
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跟踪训练 3 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于不 同的 A、B 两点. (1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求O→A·O→B的值； 解答
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(2)求直线AB的方程. 解答
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 y21＝4x1，
①
y22＝4x2，
②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 由②－①，得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)， 所以yx22－－yx11＝2. 所以直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
2
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(3)设直线l：y＝x＋m，当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？
解答
由题意，联立y＝x＋m和x2＝4y， 消去y并整理得x2－4x－4m＝0， 因为直线与曲线C有交点，所以Δ＝(－4)2＋16m≥0，解得m≥－1.
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类型二 与弦长、中点弦有关的问题 例2 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0)， 线段AB恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E的方程； 解答 由于抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，p＝2， 所以抛物线E的方程为y2＝4x.
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∵kAB＝xy22－－xy11，
④
y1＋y2＝2y0，
⑤
由③④⑤得 kAB＝yp0，即弦 AB 的斜率只与焦参数 p 和弦 AB 中点的 纵 坐 标有关.
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2。

4。

2 抛物线的几何性质[基础达标]1．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3,则抛物线的方程为________．解析：当m>0时,准线方程为x＝－错误!＝－2，∴m＝8,此时抛物线方程为y2＝8x；当m〈0时，准线方程为x＝－错误!＝4，∴m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x.∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x。

答案：y2＝8x或y2＝－16x2．已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为________．解析：设抛物线方程为y2＝2px,A(x1,y1)，B（x2，y2)，则错误!⇒y错误!－y错误!＝2p（x1－x2），即错误!·(y1＋y2）＝2p⇒2p＝1×4⇒p＝2。

故y2＝4x。

答案：y2＝4x3．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px（p>0）的焦点，A是抛物线上的一点,错误!与x 轴正向的夹角为60°，则|错误!|＝________.解析：如图,过A作AD⊥x轴于D.在Rt△AFD中，∠AFD＝60°.令FD＝m,则FA＝2m.AD＝错误!m。

思想
课后回顾：
1、平面内到定点（1，1）和到定直 线 x+y-2=0 距离相等的点的轨迹 是____________
2、过点 （1，-2）的抛物线的标 准方程是_______________
课后回顾：
3、已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点 且斜率为1的直线交抛物线于A、B两 点，若线段AB的中点的纵坐标为2， 则该抛物线为_________
（2）已知抛物线型拱桥的顶点距水面 2m，测量得水面的宽度为8m，当水 面上升1m后，水面宽度为_____
（3）已知点M是抛物线 y2 4x 上的一 点，F为抛物线的焦点，A点在圆C (x-4)2+(y-1)2=1上，则MF+MA的最 小值为_____
（4）已知抛物线 y2 2x 的焦
点弦为AB，则 OA OB 的值为___
4、在抛物线y=x2上有一点，则该点到 直线2x-y-4=0的距离最短时的点坐标 为________
课后回顾：
5、设P为抛物线y2=4x上的动点，若有 点B（2，3）则PB+PF的最小值为___
6、直线l过y2=4x的焦点与抛物线交于A、 B两点，当线段AB中点的横坐标为2时 线段AB的长为_____
• 直线改为y-2=0呢？
• 抛物线 y 4x2上的一点M到焦点的距离为
1，则点M的纵坐标为_____
• 变式：已知抛物线上两点A、B到焦点的距 离之和为5，则线段AB的中点到y轴的距离 为_____
• 抛物线 yax2(a0) 的焦点坐标是____
• 该抛物线的准线是什么？
• 若抛物线 y2 2px 的焦点与双曲
• 求直线时，已知直线过一点可以求斜率 （注意斜率是否存在），也可再求一点