对高中新教材一个补充的补充

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对高中新教材一个补充的补充
安徽省涡阳一中蒲荣飞(邮编:233600)
文[1]给人教版新教材(选修2-3)补充了
超几何分布的期望和方差公式,读后颇受启发,
但同时也发现了一些疏漏,本文提出笔者的一点
拙见,供参考.
为叙述方便,将文[1]中的超几何分布的定
义抄录如下:
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任
取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生
的概率为P(X=k)=C k M C n-k
N-M
C n N
,k=0,1,,m,
其中m=min{M,n}且n N,M N、n、M、N !N*.
称分布列
X01k m
P
C0M C n N-M
C n N
C1M C n-1
N-M
C n N
C k M C n-k
N-M
C n N
C m M C n-m
N-M
C n N
为超几何分布.
质疑从含3件次品的5件产品中,任取4
件,其中次品数X还能取到0吗?
可见,上定义中的k=0,1,,m#确有不妥.为此,笔者又查阅了北师大版新教材,也没有明确的表述.事实上,k的初始值由产品中的正品数N-M来决定.当n N-M时,k=0,1,, m,其中m=min{M,n};而当n>N-M时,k= a,a+1,,m,其中a=n-(N-M).
因此文[1]仅片面地研究了n N-M时超几何分布的期望和方差,那么对于n>N-M时超几何分布的期望和方差又是什么呢?下面就作以补充.
为证明方便,先给出几个结论:
结论1kC k M=MC k-1M-1.
结论2k2C k M=M(M-1)C k-2M-2+M C k-1M-1.
结论3m
=
M N M=
m
=
M
()()
N M
=N
此式所表达的意义是:若从M-1件次品中取a-1件,则需从N-M件正品中取(n-1)-(a-1)件;若从M-1件次品中取a件,则需从N -M件正品中取(n-1)-a件;;若从M-1件次品中取a-m件,则需从N-M件正品中取(n-1)-(a-m)件.即相当于从N-1件产品中取出n-1件.
于是EX=
m
k=a
k%
C k M C n-k
N-M
C n N
=1
C n N
m
k=a
M%C k-1M-1C n-k
N-M=
M
C n N
m
k=a
C k-1M-1C n-k
N-M =
M
C n N
%C n-1N-1=n%
M
N
.
EX2=
m
k=a
k2%
C k M C n-k N-M
C n N
=1
C n N
m
k=a
M%(M-1)
%C k-2
M-2C n-k N-M+
1
C n N
m
k=a
M%C k-1M-1C n-k
N-M
=M
C n N
(M-1)%
m
k=a
C k-2M-2C n-k N-M+
m
k=a
C k-1M-1C n-k N-M
=M
C n N
[(M-1)%C n-2N-2+C n-1
N-1]
=Mn(M-1)(n-1)+M n(N-1)
N(N-1)
.
DX=EX2-(EX)2
=M n(M-1)(n-1)+M n(N-1)
N(N-1)
-n%
M
N
2 =n%
M
N
%
(N-M)%(N-n)
N%(N-1)
,
与n N-M时的结论相同,因此对于X服从N、M、n的超几何分布的期望EX=n%
M
N
,方
差DX=n%M
N
%(N-M)%(N-n)
N%(N-1)
.
参考文献
1陈和平.对高中新教材(选修2-3)的一个补充[J].
数学通讯,2009(2)下半月(教师).
(收稿日期6)
9
2010年第1期中学数学教学
k a C k-1-1C n-k-
k a
C k-1-1C n-1-k-1
-
C n-1-1.
:2009102。