揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试文数试卷
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揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第1页（共4页）绝密★启用前揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合={|23,}B y y x x A =-∈，则A B 中元素的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）已知点(01)A ，，(3,2)B ，向量(7,4)BC =--，则向量AC = （A ）(10,7) （B ）(10,5) （C ）(4,3)-- （D ）(4,1)--（3）若直线20mx y m ++=与直线3(1)70mx m y +-+=平行，则m 的值为（A ）7（B ）0或7 （C ）0（D ）4（4）已知命题:,,sin()sin sin p x y R x y x y ∃∈+=+，命题:[0,cos q x x π∀∈=，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）曲线xy )31(=与12y x =的交点横坐标所在区间为（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（6）阅读图1的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为36-时，输出x 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）3 (D ）15揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第2页（共4页）（7）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ， 那么2x y -的最大值为 （A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）3-（8）清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4层的灯盏数应为（A ）3 （B ）12 （C ）24 （D ）36（9）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m , n 为点P 的坐标(,)m n ，那么点P 在圆2217x y +=内部（不包括边界）的概率是（A ）14 （B ）16 （C ）518（D ）29（10）某工件的三视图如图2所示，现将该工件通过 切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则 新工件的棱长为（A ）12（B ）1 （C ） 2 （D）2（11）已知抛物线221y ax x a =+--()a R ∈，且点A 在直线310mx ny ++=(0,0m n >>）上，则11m n+ (A)4 (B) 12 (C) 24 (D) 36(12)已知函数()=|sin |([,])f x x x ππ∈-，()g x 为]4,4[-上的奇函数，且⎩⎨⎧≤<-≤<-=)42(124)20(2)(x x x x x g ，设方程(())0f f x =，(())0f g x =，(())0g g x =的实根的个数分别为m 、n 、t ，则m n t ++=（A ）9 (B)13 (C)17 (D) 21俯视图揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第3页（共4页）ACBA 1C 1B 1DE图31105x1210频率图4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知函数3()1f x ax bx =++，若()8f a =，则()f a -=_________.（14）已知数列{}n a 对任意的n N *∈都有112n n n n a a a a ++=-，若112a =，则8a = .（15）已知△ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O-ABC的体积为，则该球的表面积等于 .（16）已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P为双曲线左支上一点，点A ,则△APF 周长的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知：复数12sin sin ()z A C a c i =++,212cos cos 4 z A C i =++,且12z z =，其中A 、B 、C 为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC 的面积． （18）（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1，11AB A B E = ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ；（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）若1,AB =且1AC AD =⋅，求三棱锥A-BCB 1的体积．（19）（本小题满分12分）某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水 量发电．图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的 日泄流量X （单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整）， 已知)120,0[∈X ，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平 均天数为156，一年按364天计． （Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）已知一台小型发电机，需30万立方米以上的日泄流 量才能运行，运行一天可获利润为4000元，若不运行，则每天揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第4页（共4页）1701105x1210频率亏损500元；一台中型发电机，需60万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利10000元，若不运行，则每天亏损800元；根据历年日泄流量的水文资料，水电站决定安装一台发电机，为使一年的日均利润值最大，应安装哪种发电机？ （19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=------------------------------------------------1分 31==73070⨯频率组距，----------------2分设在区间[0，30）上，a =频率组距， 则130)21011051701(=⨯+++a ， 解得2101=a ，-------------------------------------------------3分 补充频率分布直方图如右；-----------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）记水电站日利润为Y 元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为71，恰好运行一台发电机的概率为73，恰好运行二台发电机的概率为72，恰好运行三台发电机的概率为71，①若安装1台发电机，则Y 的值为-500，4000，其分布列为E (Y )＝72350076400071500=⨯+⨯-；----------------------------------8分 ②若安装2台发电机，则Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为E (Y )＝3335001000350080007777-⨯+⨯+⨯=；-----------------------------10分 ③若安装3台发电机，则Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为E (Y )＝7345007112000775007300071500=⨯+⨯+⨯+⨯-；∵345003350023500777>>揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第5页（共4页）∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分 （20）（本小题满分12分）已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的离心率为2，点,M N 是椭圆C 上的点，且直线OM与ON 的斜率之积为12-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点()00,P x y 满足2OP OM ON =+，是否存在常数λ，使得P 是椭圆2222x y a λ+=上的点. （21）（本小题满分12分）已知函数x e ax f x ln )(+=．()a R ∈ （Ⅰ）若函数在区间],1[e e上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）试讨论函数()f x 在区间(0,)+∞内极值点的个数．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l ：αθ=)),,0[(R ∈∈ρπα与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求||OM 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数)1()(-=x a x f ．（Ⅰ）当1a =时，解不等式|()||()|3f x f x x +-≥； （Ⅱ）设1||≤a ，当1||≤x 时，求证：45|)(|2≤+x x f ． 揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第6页（共4页）一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分题目解析：（8）依题意知，此塔各层的灯盏数构成公比2q =的等比数列，且前7项和7381S =，由 71(12)381,12a -=-解得13a =，故34124a a q ==．（10）依题意知该工件为圆锥，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x 222x-=，解得12x =，故2x=1，即新工件棱长为1．（11）易得(1,3)A --,则13m n +=，又11m n+n n m m n m )(3)(3+++=)(36n mm n ++= 1266=⋅+≥n mm n ，当且仅当m n =时等号成立．(或112122m nm n +≥=≥=+．) （12）因[,]x ππ∈-，所以函数()f x 的值域为[0,1]，函数()g x 的 图象如图示，由图象知，其值域为[4,4]-，注意到方程()0f x =的 根为0，π-，π，所以方程(())0f f x =的根为方程()0f x =或(),f x π=-()f x π=的根，显然方程()0f x =有3个实根，因 ,[0,1]ππ-∉，所以(),f x π=-与()f x π=均无实根；所以方程(())0f f x =的实根的个数为3，即3m =；方程(())0f g x =的实根为方程()0g x =或(),()g x g x ππ=-=的根，方程(),()g x g x ππ=-=各有3个根，同时方程()0g x =也有3个根，从而方程(())0f g x =根的个数为9，即9n =；方程()0g x =有三个实根-3、0、3，方程(())0g g x =的实根为方程3)(-=x g 或()0g x =或3)(=x g 的根，方程3)(-=x g 或揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第7页（共4页）3)(=x g 各有3个根，同时方程()0g x =也有3个根，从而方程(())0g g x =根的个数为9，即9t =，故m n t ++=21.（12）二、填空题：部分题目解析：(14) 由112n n n n a a a a ++=-得1112n n a a +-=，故数列1{}n a 是112a =，公差2d =的等差数列122(1)2nn n a =+-=，故8116a =.（15）依题意知△ABC为直角三角形，其所在圆面的半径为152AC =，设三棱锥O-ABC 的高为h ，则由116832h ⨯⨯⨯=h =设球O 的半径为R ，则由2225h R +=得10R =，故该球的表面积为400π.（16）易得点F ,△APF 的周长l =||||||AF AP PF ++ ||2|'|||AF a PF AP =+++，要△APF 的周长最小，只需|||'|AP PF +最小，如图，当A 、P 、F 三点共线时取到，故l 2||24(1AF a =+=.三、解答题：(17)解：（Ⅰ）∵12z z =∴2sin sin 12cos cos A C A C =+----①,4a c +=----② --------------------------------2分由①得2(cos cos sin sin )1A C A C -=- 即1cos()cos()cos 2A CB B π+=-=-=-----------③ -----------------------------------4分 ∴1cos 2B =,∵0B π<< ∴3B π=-------------------------------------------------------------6分 (Ⅱ) ∵b =由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⇒228a c ac +-=,--④-------------------------------------------------------------------------------8分由②得22216a c ac ++=------------⑤揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科EDB 1C 1A 1BCA1701105x1210频率 由④⑤得83ac =， -------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴1sin 2ABCS ac B ∆==1823⨯=-------------------------------------------------------12分 （18）解：（Ⅰ）连结ED ，----------------------------------------------------------------------------------1分∵平面AB 1C ∩平面A 1BD=ED ，B 1C ∥平面A 1BD ，∴B 1C ∥ED ，----------------------------------------------------------------------------------------------3分∵E 为AB 1中点，∴D 为AC 中点，∵AB=BC ， ∴BD ⊥AC ①， -------------------------------4分法一：由A 1A ⊥平面ABC ，⊂BD 平面ABC ，得A 1A ⊥BD ②， 由①②及A 1A 、AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线， 得BD ⊥平面11ACC A .-------------------------------------------6分 【法二:由A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面11ACC A∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，又平面11ACC A 平面ABC=AC ，得BD ⊥平面11ACC A .】 （Ⅱ）由1AB =得BC=BB 1=1，由（Ⅰ）知AC DA 21=，又1=⋅DA AC 得22AC =,----------------------------------------8分 ∵2222BC AB AC +==，∴BC AB ⊥， ---------------------------------------------------10分∴1122ABC S AB BC ∆=⋅= ∴11111113326A BCB ABC V S BB -∆=⋅=⨯⨯=.---------------------------------------------------------12分 其它解法请参照给分．（19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=------------------------------------------------1分 31==73070⨯频率组距，-------------------------2分 设在区间[0，30）上，a =频率组距，揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第9页（共4页）则130)21011051701(=⨯+++a ， 解得2101=a ，----------------------------------------3分补充频率分布直方图如右；--------------------------5分（Ⅱ）当日泄流量X ≥30（万立方米）时，小型发电机可以运行，则一年中一台小型发电机可运 行的天数为：136430364312210-⨯⨯=（天）；-----------------------------------------------------7分 当日泄流量X ≥60（万立方米）时，中型发电机可以运行，则一年中一台中型发电机可运行 的天数为：11()30364156105210+⨯⨯=（天）；------------------------------------------------------9分 ①若运行一台小型发电机，则一年的日均利润值为：11(312400052500)33573647⨯⨯-⨯=（或723500）（元）------------------------------10分 ②若运行一台中型发电机，则一年的日均利润值为：14(15610000208800)38283647⨯⨯-⨯=（或726800）（元）----------------------------11分 因为413828335777>，故为使水电站一年的日均利润值最大，应安装中型发电机．----12分（20）解：（Ⅰ）由22=a c 得22222a c a b =-=，又22=b ，解得2=a ，故椭圆的标准方程为22142x y +=.--------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设()()1122,,,M x y N x y ,则由2OP OM ON =+，得 0120122,2x x x y y y =+=+----------------------------------------------------------------------6分又点,M N 在椭圆22142x y +=上，∴2222112224,24x y x y +=+= 设,OM ON k k 分别为直线,OM ON 的斜率，由题意知，212121-==⋅x x y y k k ON OM ，∴12122=0x x y y +，---------------------------------------------------8分 222222000012122(2)2(2)4244x y x y x x y y ++++∴+=== 222211221212(2)4(2)4(2)20544x y x y x x y y ++++⋅+⋅==--------------------------------------11分揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第10页（共4页）因此，存在常数5,λ=使得P 点在椭圆22542x y +=上． ------------------------------------------12分 （21）解：（Ⅰ）由题意知：对∈∀x ],1[e e ，01)('≤+-=x ea x f x ，即xe a x≥，对∈∀x ],1[e e 恒成立，-----------------------------------------------------------------1分令2(1)(),()x xe x e g x g x x x -'==，当01x <<时，()0,g x '<当1x >时，()0,g x '>所以函数()g x 在)1,1[e上单调递减，在],1(e 上单调递增，----------3分由e e eg 11)1(+=，1)(-=e e e g ，e e e e 111+->，得区间],1[e e 上1max )(-=e e x g ，所以1-≥e ea ． ------------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）解法1：1().xx x x xe aa e ax xf x e x xe e--'=-+== ----------------------------------------------6分 令2(1)(),()x xe x e g x g x x x -'==-------------------------------------------------------------------------7分且当01x <<时，()0,g x '<当1x >时，()0,g x '>所以函数()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，-----------------------------------------8分min ()(1)g x g e ∴==，当a e ≤时，()g x a ≥恒成立，()0.f x '∴≥函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增，()f x 无极值点----------------------------------------------9分 当a e >时，min ()(1)g x g e a ==<，故存在1(0,1)x ∈和2(1,)x ∈+∞，使得12()()g x g x a == 当10x x <<时，()0,f x '>当12x x x <<时，()0,f x '<当2x x >时，()0,f x '> 所以函数()f x 在12(,)x x 单调递减，在1(0,)x 和2(,)x +∞单调递增，所以1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点.--------------------------------11分 综上可知：当a e ≤时，函数()f x 无极值点当a e >时，函数()f x 有两个极值点----------------------------------------------------------------12分【解法二：xx xeaxe xf -=)(')0(>x ，---------------------------------------------------------------------6分揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第11页（共4页）设ax e x h x -=)()0(>x ，则a e x h x -=)('，由0>x 得1>x e ，(1)当1≤a 时，0)('>x h ，)(x h 递增，1)0()(=>h x h ，得0)('>x f ，)(x f 递增，()f x 在区间(0,)+∞内无极值点；--------------------------------7分(2)当1>a 时，由0)('>-=a e x h x 得a x ln >，可知)(x h 在)ln ,0(a 内递减，在),(ln ∞+a 内递增，所以)ln 1()(ln )(min a a a h x h -==， ①当e a ≤<1时，0)()(min ≥≥x h x h ，得0)('>x f ，)(x f 递增，()f x 在区间(0,)+∞内无极值点；--------------------------------9分 ②当e a >时，0)(min <x h ，又0)0(>h ，x 很大时0)(>x h ，所以存在∈1x )ln ,0(a ，),(ln 2∞+∈a x ，使得0)(1=x h ，0)(2=x h ，即0)('1=x f ，0)('2=x f ，可知在21,x x 两边)('x f 的符号相反，所以函数()f x 有两个极值点21,x x ，--------------------------------------------------------------11分 综上可知：当a e ≤时，函数()f x 无极值点当a e >时，函数()f x 有两个极值点--------------------------------------------------------------12分】 选做题：（22）解：（I ）曲线C 的普通方程为222(1)(1)2x y ++-=，--------------------------------------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；---------------------------------------5分 （II ）解法1：联立αθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得22(cos sin )20ρραα+--=，------------------------------------------------------------------6分 设),(1αρA 、),(2αρB ，则)4sin(22)c os (sin 221παααρρ-=-=+--------------8分 由|2|||21ρρ+=OM ， 得2|)4sin(|2||≤-=παOM ，---------------------------------9分 当34πα=时，|OM |取最大值2．----------------------------------------------------------------10分 【解法2：由（I ）知曲线C 是以点P (1,1)-为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线l 的方程为x y ⋅=αtan，则||PM = ---------------------------------------------------6分∵2222||||||2OM OP PM =-=-22tan 11tan αα=-+， -----------------------------8分揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)试题 第12页（共4页） 当(,)2παπ∈时，tan 0α<，21tan 2|tan |αα+≥，222|tan |||121tan OM αα=+≤+，当且仅当tan 1α=-，即34πα=时取等号，∴||OM 即||OM 的最大值为2．-----------------------------------------------------------10分】（23）解：（I ）当1a =时，不等式|()||()|3f x f x x +-≥即|1||1|3x x x -++≥当1x ≤-时，得113x x x ---≥0x ⇒≤，∴1x ≤------------------------------------------1分当11x -<<时，得113x x x -++≥23x ⇒≤，∴213x -<≤ -----------------------------2分 当1x ≥时，得113x x x -++≥0x ⇒≤，与1x ≥矛盾，-------------------------------------3分 综上得原不等式的解集为2{|1}{|1}3x x x x ≤--<≤ =2{|}3x x ≤------------------------5分 （II ）|)1(||)(|22x x a x x f +-=+|||)1(|2x x a +-≤-----------------------------------------------6分∵1||≤a ，1||≤x∴2|()|f x x +||)1(||2x x a +-≤||12x x +-≤-------------------------------------------------7分 4545)21|(|1||||22≤+--=++-=x x x ， ----------------------------------------------------9分 当21||=x 时取“=”，得证． -----------------------------------------------------------------------10分。
