概率习题答案
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二维随机变量及其分布
习题1
设(X, Y)的分布律为X\Y 1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2
1/3a1/9
求a.
分析：
dsfsd1f6d
解答：
由分布律性质Zi- jPij=1,
解得
习题2⑴
2.设(X.Y)的分布函数为F(X, y)，试用F(x, y)表示:
⑴P{a〈XWb, YWc};
解答：
P {a〈X Wb. YWc}二F (bt c) -F (a, c)・
习题2⑵
2.设(X, Y)的分布函数为F (x.y)，试用F (x, y)表示:
(2) P{0〈YWb};
解答：
P {0〈YWb}二F (+8, b) -F (+8. 0)・
2.设(X, Y)的分布函数为F (x. y)，试用F (x, y)表示:
⑶ P{X>a, YWb}・
P {X>a, YWb}二F g, b)-F (a, b).
习题3⑴
3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表: 试求：
(1) P{12
解答：
P{12
a二2/9.
2⑶ 可知
1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9二1, P{X=1FY=1}+P{X=1, Y=2)+P(X=1, Y=3)
二P (X=1, Y=1} +P {X=1，丫二2} +P {X=1，丫二3} =14+0+0=14.
习题3⑵
3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求：
(2) P{1WXW2, 3WYW4};
解答：
P{1WXW2,3WYW4}
二P (X=1，丫二3} +P (X=1，丫二4} +P {X二2, Y二3} +P {X二2, Y二4} 二0+116+0+14二516.
3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:
试求:
(3) F(2, 3).
F (2, 3)二P (1, 1) +P (1,2)+P (1,3) +P (2, 1) +P (2, 2) +P (2, 3) =14+0+0+116+14+0=916.
习题4
设X,Y为随机变量，且
P {XMO, YM0} =37, P {XM0}二P {Y20}二47,
求 P (max (X, Y} >0}.
解答:
P {max {X, Y} M0} =P (X, Y 至少一个大于等于 0)
二P{XMO} +P {Y20} —P {XMO, YM0}
二47+47-37二57.
(X, Y)只取下列数值中的值：
(0, 0), (-1,1), (-1, 13), (2, 0)
且相应概率依次为16,13,112, 512,请列出(X, Y)的概率分布表，并写出关于Y 的边缘分布.
解答：
(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512二1,故所给的 一组实数必是某二维随机变量(X, Y)的联合概率分布.因(X, Y)只取上述四组可 能值，故事件：
{X二T, Y二0), {X二0, Y二 13,
{X二0, Y二1}, {X二2, Y二 13, {X=2r Y=1)
均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表： X\Y 01/31
-1 01/121/3
0 1/600
2
5/1200
(2)P {Y二0}二P {X=-1，丫二0} +P {X二0, Y二0} +P {X二2, Y二0}
=0+16+512=712, 同样可求得
P(Y=13=112, P(Y=1}=13,
关于的Y边缘分布见下表：
Y 01/31
pk 7/121/121/3
习题6
设随机向量(X, Y)服从二维正态分布N (0, 0. 102,102, 0),其概率密度为
f (x, y) =1200 n ex2+y2200, 求
P{XWY}.
解答：
由于P{XWY}+P{X>Y} = ,且由正态分布图形的对称性，知
P{XWY}=P{X>Y},
故 P{XWY} = 2.
习题7
设随机变量(X, Y)的概率密度为
f (x, y)二{k (6-x-y), 0
(1) 确定常数& (2)求 P(X<1fY<3};
⑶求 P(X<); ⑷求 P{X+YW4}.
解答:
如图所示
⑴由 J* -00+00 J -oo+oof (x, y) dxdy=1,确定常数 k.
J* 02 J* 24k (6-x-y) dydx=k J 02 (6-2x) dx二8kh,
所以k=18.
(2) P (X<1 r Y<3}=J*01dx J2318 (6-x-y) dy=38.
(3) P {X<} = f J 2418 (6-x-y) dy二2732.
(4) P {X+Y W4}二 J 02dx J 24-x18 (6-x-y) dy二23.
习题8
已知X和Y的联合密度为 f (x, y)二{cxy, 0WxW1,0WyW10,其它,
试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x, y).
解答：
(1)由于 1= J -oo+oo J* -oo+oof (x, y)dxdy二c j* 01 J* 01 xydxdy=c4, c二4.
⑵当xWO或yWO时，显然F(x, y)二0;
当 x>1,y>1 时，显然 F(x, y)=1;
设 0有
F (x, y)= f _oox J -°°yf (ur v) dudv二4 J Oxudu J* Oyvdv=x
2y2.
设 0WxW1,y>1,有
F (x, y)二P ｛X, Y Wy｝二4 J Oxudu J* 01 ydy二x2.
最后，设x>1,0WyW1,有
F (x, y)二P ｛XW1, YWy｝二4 J 01 xdx J* Oyvdv二y2.
函数F(x, y)在平面各区域的表达式
F (x, y)二｛0, xWO 或
yW0x2, 0WxW1, y>1x2y2, 0WxW1, OWyW, x>
习题9
设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
f(X, y)二{(2-x), 0WxW1, xWyWIO,其它, 求边缘概率密度fY (y).
解答：
fX (x)= J -oo+oof (x, y) dy
=｛ J (2-x) dy, OWxWIO,其它二｛(2-x), OWxGO,其它.
fY (y)= J -oo+oof (x, y) dx
=｛ J (2-x) dx, OWy W10,其它二｛(4y-y2), 0Wy 0,其它.
习题10
设(X, Y)在曲线y二x2, y二X所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边 缘分布密度.
解答=
区域G的面积A二J 01 (x-x2) dx二16,由题设知(X, Y)的联合分布密度为
f(x, y) = {6, 0WxW1, x2WyWxO,其它, 从而 fX (x)= J -oo+oof (x, y) dy=6 J x2xdy=6 (x-x2), 0WxW1,即
fX (x) = (6(x-x2), OWx0,其它, fY (y)= J* -oo+oof (Xf y)dx=6 J* yydx二6(y-y), 0WyW1, 即 fY (y) = (6 (y-y), OWy0,其它.
条件分布与随机变■的独立性 习题1
二维随机变量(X,Y)的分布律为 X\Y 01
01 7/157/307/301/15
(1) 求Y的边缘分布律；
(2) 求 P {Y二0 | X二0}, P {Y=1 | X二0};
(3) 判定X与Y是否独立？
解答：
(1) 由(x,y)的分布律知，y只取0及1两个值.
P {y二0}二P {x二0, y二0} +P {x=1, y=0}二715+730二
P{y=1)=E i =01P (x= i, y=1} =130+115=
(2) P (y=0 | x二0}二P{x二0, y二0}P{x二0}二23,
P(y=1 | x二0}二 13.
(3) 已知 P {x二0, y二0}二715,由(1)知 P {y二0}二，类似可得
P(x=0} =
因为 P{x=0,y=0}#=P{x=0}・ P {y=0},所以 x 与 y 不独立.
习题2
将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积 累的资料知X和Y的联合分布律为
X\Y 55
55 010.010.010
求边缘分布律；
(2) 求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.
解答：
(1) 边缘分布律为
X 55
pk
对应X的值，将每行的概率相加,可得P {X二i}・
Y 55
pk
当Y二51时,X的条件分布律为
P {X二k | Y=51 }=P {X=kt y=51} P (Y=51 J=pkF r k=511 52, 53, 54, 55.
列表如下:
k 55
P{X=k | Y二51} 6/287/285/285/285/28
习题3
已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求: 对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}・
