2016全国高中数学联赛试题及评分标准
9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。一试考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。 加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。 依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。 其中一等奖由各省负责阅卷评分，然后将一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（CMO）。☆ 知识范围一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。加试（二试）全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：1．平面几何西姆松定理；三角形旁心、费马点、欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。2．代数周期函数，带绝对值的函数；三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；第二数学归纳法；均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。3．初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。4．组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；组合计数，组合几何；抽屉原理；容斥原理；极端原理；图论问题；集合的划分；覆盖；平面凸集、凸包及应用*。（有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考）☆ 2016联赛试卷及答案【往期内容】是否存在2017个小正方形能拼成一个大正方形第十六届中国女子奥林匹克数学竞赛试题2017北大数学营（第一天&第二天）证明sin1°和√2+√3+√5+√7是无理数史上最短高考题：tan1°是有理数吗？数学竞赛学习方法漫谈如何理解记忆数学公式浙沪新高考改革试点的问题“探究式教学法”是一种垃圾教学法数学，是一场游戏2017全国各地高考分数线录取线及难度分析从七宝的题看七宝的突飞猛进2017年上海高考本科普通批次投档线……
2016年全国初中数学联赛试题+答案
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 2 页 2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
(3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.
每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用x表示不超过x的最大整数，把xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba
（ ）
.A 12 .B 32 .C 1 .D
3
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有
（ ）
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 3 页 .A 9种 .B 10种 .C11种
.D12种
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为
（ ）
2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第1页 共3页 2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷
2016.4
本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共三页，选择题部分1至2页，非选择题2至3页。满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1. 已知RM42,31,RN3,1,则NM= ( )
A. B. 2 C. 2,2 D. 2,2
2. 在平面直角坐标系XOY中，若点P的坐标为3cos2,3sin2，则POX= ( )
A. 3 B. 3 C. 23 D. 23
3. 在ABC中，已知1AB，2ACAB,若ABCS=1，则BC= ( )
A. 5 B. 3 C. 1 D. 2
4. 函数xxy43的值域是 ( )
A. 2,1 B. 3,1 C.23,1 D. 2,1
5. 如果一个函数xf在其定义域内对任意的yx,都满足22yfxfyxf，则称这个函数为下凸函数，下列函数是下凸函数的是 ( )
①xxf2log②3xxf③xxf2④0,20,xxxxxf
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
6. 函数xaxf2sin2的值域为2,2-，在区间12,125上单调递减，则常数a和的值可以是 ( )
2016年浙江省高中数学竞赛试卷
参考答案
一、选择题（每题6分，共48分）
1. A. 2. . 3. . 4. D.
5. D. 6. B. 7. B. 8. A.
二、填空题（每题7分，12题9分，共51分）
9. 36203−. 10. 2017
201520162.bb+=−==11. 2.a====
12. 245
,,.
999xyz=−==
=13.
30310
2+
14. [1,2]£® 15. 8.
三、解答题（本大题共有3小题，16题15分，17、18每题18分，共51分）
16.设函数22()(53)7fxxkakx=−−++（,Rak∈）.已知对于任意的[0,2]k∈，若12,xx
满足1[,],xkka∈+
2[2,4]xkaka∈++，则12()()fxfx≥， 求正实数a的最大值.
½â´ð£ºÓÉÓÚ¶þ´Îº¯Êý22()(53)7fxxkakx=−−++
253
2kak
x−+
=,¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-£¨3·Ö£©
¹ÊÌâÉèÌõ¼þµÈ¼ÛÓÚ¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k∈
2535
.
22kak
ka−+
≥+……………………①6·Ö£©
¼´¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k∈223
5
1kk
a
k−+
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5min
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k≤≤−+
≤
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(1)42(1)4264
111kk
kk
kkk−+
=++−≥+×−=−
+++，……………（12分） 当且仅当61k=−时取等号，故2
0223
min264
1kkk
k≤≤−+
=−
+.……………………（15分）
所以，正实数a
的最大值为264
5−
. 17. 已知椭圆C：22
221xy
ab+=（0ab>> ），经过点16
