2020年高考数学二轮限时训练 三角函数、平面向量 7 理

第一部分 专题2 第3讲题型对应题号 1.向量的概念及线性运算 3,6,11 2.平面向量基本定理 2,7,103.向量的数量积及应用 1,4,5,8,9,12,13,14,15,16基础热身(建议用时：40分钟)1．已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A 解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.因为0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A 项．2．(2019·辽宁东北育才学校模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2D 解析 由题中所给图象可得2a ＋b ＝c ，又c ＝λa ＋b ，所以λ＝2.故选D 项． 3．(2019·江西七校联考)已知平面向量a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(－1,7) B ．(－1,2) C ．(1,2)D ．(1，－2)D 解析 因为a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，所以－1×y －2×2＝0，解得y ＝－4，故可得3a ＋2b ＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．故选D 项．4．设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5A 解析 由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10，即a 2＋2a·b ＋b 2＝10，①又|a －b |＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a·b ＝4，则a·b ＝1.故选A 项．5．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b|＝( ) A ．9 B ．3 C ．109D ．310D 解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，所以2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9，则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D 项．6．(2019·广东东莞统考)如图所示，△ABC 中，BD →＝2DC →，点E 是线段AD 的中点，则AC →＝( )A ．34AD →＋12BE →B ．34AB →＋BE →C ．54AD →＋12BE →D ．54AD →＋BE →C 解析 由题意和图可知，AC →＝AD →＋DC →，DC →＝12BD →，BD →＝BE →＋ED →，ED →＝12AD →，所以AC →＝54AD →＋12BE →.故选C 项．7．(2019·湖南师大附中月考)如图，已知|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2，tan ∠AOB ＝－43，∠BOC ＝45°，OC →＝mOA →＋nOB →，则m n＝( )A ．57B ．75C ．37D ．73A 解析 以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．因为|OA →|＝|OB →|＝1，且tan ∠AOB ＝－43，所以cos ∠AOB ＝－35，sin ∠AOB ＝45，所以A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－35，45，又令∠AOC ＝θ，则θ＝∠AOB －∠BOC ，所以tan θ＝tan(∠AOB －∠BOC )＝－43－11－43＝7，又因为点C 在∠AOB 内，所以cos θ＝210，sin θ＝7210，又|OC →|＝2，所以C ⎝⎛⎭⎫15，75，因为OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，所以⎝⎛⎭⎫15，75＝(m,0)＋⎝⎛⎭⎫－35n ，45n ＝⎝⎛⎭⎫m －35n ，45n ，即⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧n ＝74，m ＝54，所以m n ＝57.故选A 项．8．(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________.解析 cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案339．(2019·四川攀枝花统考)已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝4，则b 在a 方向上的投影等于________.解析 因为a·b ＝2×4cos 120°＝－4，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－42＝－2.答案 －210．(2019·山东两校诊断)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由条件知M 是△ABC 的重心，设D 是BC 边的中点，则AB →＋AC →＝2AD →，而AM →＝23AD →，所以2AD →＝m ·23AD →，所以m ＝3.答案 311．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________.解析 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.因为CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，所以O 在边AB 上，所以当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min ＝12.答案 1212．(2019·江西上饶模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，AB →·AD →＝4，点P 在边CD 上，则P A →·PC →的取值范围是________.解析 设|PD →|＝x ，x ∈[0,4]，则P A →·PC →＝(PD →＋DA →)·PC →＝⎝⎛⎭⎫－x 4AB →－AD →·4－x 4AB →＝－x 4×4－x 4AB →2－4－x 4AD →·AB →＝－x 4×4－x 4×16－4－x 4×4＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，所以当x ＝32时，取最小值－254，当x ＝4时，取最大值0，即P A →·PC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－254，0. 答案 ⎣⎡⎦⎤－254，0 能力提升(建议用时：25分钟)13．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是！！！____________###.解析 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0，且a 与b 不平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ<0，－2λ≠1，即λ<2且λ≠－12，所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2 14．(2019·湖南湘潭质检)已知A B →与A C →的夹角为90°，|A B →|＝2，|A C →|＝1，AM →＝λA B →＋μA C →(λ，μ∈R )，且AM →·B C →＝0，则λμ的值为________．解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB →＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14.答案 1415．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值范围是________.解析 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CP →2－CP →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝CP →2－2CD →·CP →＋CA →·CB →＝1－2×3×1×cos CD →，CP →＋(23)2cos π3＝7－6cos CD →，CP →，所以当cos CD →，CP →＝1时，AP →·BP →取得最小值为1；当cos CD →，CP →＝－1时，AP →·BP →取得最大值为13. 因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]． 答案 [1,13]16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求向量a 在b 上的投影；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解析 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，则|a －b |＝2－2cos (α－β)＝2，所以cos(α－β)＝0，而0＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π，所以α－β＝π2.所以向量a 在b 上的投影为|a |cos a ，b ＝a ·b|b |＝cos(α－β)＝0.(2)由a ＋b ＝c 得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②①2＋②2得cos(α－β)＝－12，而0＜α－β＜π，故α－β＝2π3，而由①得α＋β＝π，解得α＝5π6，β＝π6.。

、选择题A.C.第三部分：三角函数、平面向量（7）【解析】sin nn - 16（限时：时间2 2=a —ab—b ,.1—4ncos"6厶…n n 2 n=sin丁—sin严金—cos w【答案】B2 .已知sin a 14,a€ n,A.第一象限角.第二象限角45分钟，满分100分）则sinnc。

汴cos32n，2n ,则【解析】■/sina=—,a€n, n,4 24 3又cos 3 ==5, 3€ 2 n, 2 n ,• sin 3 3'5,• sin( a + 3')=sin a c os 3 + cos a sinC.第三象限角•第四象限角…cos.15 ~T，20>0.3<2 n,n <3 <2 n,5 • ••尹 <a 7 + 3 <2 n.「•a+3 是第二象限角.【答案】3. （2020年大同模拟）函数f（x）= sin 2 n 2 (x + ) —sin (x41 n 1=^cos(2x — ―) — ^cos(2x + ―)1 1=2s in 2x + 2Sin 2x = sin 2x ,••• f （x ）是周期为n 的奇函数.【答案】 CA . 周期为 2 n 的奇函数B . 周期为 2n 的偶函数 C. 周期为 n 的奇函数 D. 周期为n 的偶函数【解析】 2f(x) = sin (7t =2 1 — COs(2x + y) n 2 n + j ) —sin (x —Q )—2 1 — cos(2x —守)A .（2020年献县二模）已知cos （n . a — ―)+ sin a = 5 .^ 3，贝U sin(7 na+-了）的值是（2.3 5B.2..3 5C. D.【解析】 ■/ cos( n——)+ sin•撐cos1 . a+ qsina+ sin an 4• sin( a+ —) = 5,▼ 7n 又 T sin( a+ ) = sin(6 a+ _6)=— sin(na+ 7)，7n 4.•.Srin( a+ ~)=—匚.6 5 【答案】5. (2020 年正定模拟）若 sinn 1 n 小3 —a = 4，贝U cos — + 2a =(7t 、:3 1cos a+ 于 Sin a7 A.— 82n.cos —— 2 a = 1 — 2sin 1 — 2X 4 2= 7,4 8'【答案】 A :■、填空题6. （2020年海南•宁夏高考改编2— cos 10【答案】 2【解析】3n•.•a 、3€ 4 -,n3n n 3• ••尹 <a + 33 <2 n, 訂--7<4 n4 cos 3 n 5• . cos( a + 3门=5, —4 ：—13，n3 n•・ cos a+ ■4 = cos ( a + 3 )— —4nn=cos( a + 33 )cos3-4+ si n( a + 3 )sin3-T4 5312 56=-x — 513 + — 5x =13—65.C .4D.【解析】 n••• sin -n COS ~3 + 2 a = COS n —2n=—cos2nV —2a7 8.2n■3【解析】3— sin 70 °2— cos 2 103 — sin 70 1 + cos 2022(3 — sin 70 ° ) 3 — cos 20 °=2(3 — cos 20 ° )23 — cos 20 °= 2.7. （2020年南通模拟）已知a 、3nV ，n3nsin( a + 3 ) = — 5, sin 3 ——1 + cos 2x2+ sin x + a sin n 2sin 2 — x2, n=cos x + sin x + asin x +T=：2sin x + -4 + a 2sin=(辽 + a 2)sinx+-4 .依题意有：2+ a 2= ：2 + 3 ,.•• a =± : 3. 【答案】 土 ,；3 三、解答题 nn【解析】T 2< a < n, 0< 3<2，n3 n an• •• 4< a —~2<n,- 7<2 —3<2.故由cos a得 sin aa 2 a由 sin — —3 = 3，得 cos — —310.在厶ABC 中，已知角A 为锐角，且 f(A)=(1)求f(A)的最大值;【答案】 56 65【解析】f(x)21 + 2cos x — 1 2+ sin x + a sin2cos x7tx+N[cos( n — 2A) — 1]sinAn + 2 sin.2n A.2 sin — — 2 —sin n 2 ”cos A.8.设 f(x)nx + —的最大值为:2 + 3,贝V 常数a =9 .设 cos a1 9,sin2 3,7tn<3<2，求 cos( a+3 ). a + 3cos 2=cosa7,5 27 .• cos( 2aa + 3 ) = 2cos —239729.3 27 n⑵若A + B = 了亍，f (A) = 1，求△ ABC 的三个内角.【解析】(1)f(A) A A(cos 2A + 1)sin 2°。

卜人入州八九几市潮王学校第三局部：三角函数、平面向量〔7〕(限时：时间是45分钟，总分值是100分)一、选择题1．定义运算＝a2－ab－b2，那么sin cos＝()A．－＋B．－－C．1＋D．1－【解析】sin cos＝sin2－sincos－cos2＝－－.【答案】B2．sinα＝－，α∈，cosβ＝，β∈，那么α＋β是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】∵sinα＝－，α∈，∴cosα＝－，又∵cosβ＝，β∈，∴sinβ＝－，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝>0.又π<α<π，π<β<2π，∴π<α＋β<π，∴α＋β是第二象限角．【答案】B3．(2021年模拟)函数f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)是()A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数【解析】f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)＝－＝cos(2x－)－cos(2x＋)＝sin2x＋sin2x＝sin2x，∴f(x)是周期为π的奇函数．【答案】C4．(2021年献县二模)cos(α－)＋sinα＝，那么sin(α＋)的值是() A．－B.C．－D.【解析】∵cos(α－)＋sinα＝，∴cosα＋sinα＋sinα＝，∴＝，∴sin(α＋)＝，又∵sin(α＋)＝sin(π＋α＋)＝－sin(α＋)，∴sin(α＋)＝－.【答案】C5．(2021年正定模拟)假设sin＝，那么cos＝()A．－B．－C.D.【解析】∵sin＝，∴cos＝1－2sin2＝1－2×2＝，∴cos＝cos＝－cos＝－.【答案】A二、填空题6．(2021年·宁夏高考改编)＝________.【解析】＝＝＝＝2.【答案】27．(2021年模拟)α、β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，那么cos＝________.【解析】∵α、β∈，∴π<α＋β<2π，<β－<π，∴cos(α＋β)＝，cos＝－，∴cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.【答案】－8．设f(x)＝＋sinx＋a2sin的最大值为＋3，那么常数a＝________.【解析】f(x)＝＋sinx＋a2sin＝cosx＋sinx＋a2sin＝sin＋a2sin＝(＋a2)sin.依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.【答案】±三、解答题9．设cos＝－，sin＝，且<α<π，0<β<，求cos(α＋β)．【解析】∵<α<π，0<β<，∴<α－<π，－<－β<.故由cos＝－，得sin＝.由sin＝，得cos＝.∴cos＝cos＝.∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.10．在△ABC中，角A为锐角，且f(A)＝＋cos2 A.(1)求f(A)的最大值；(2)假设A＋B＝，f(A)＝1，求△ABC的三个内角．【解析】(1)f(A)＝＋cos2A＝＋cos2A＝sin2A＋cos2 A＝(sin2A＋cos2A＋1)＝sin＋.∵角A为锐角，∴0<A<，<2A＋<.∴当2A＋＝时，f(A)获得最大值，其最大值为.(2)由f(A)＝1得sin＋＝1，∴sin＝，∴2A＋＝π，A＝，又∵A＋B＝，∴B＝，∴C＝π.。

[必练习题]1．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝() A．1 B．2 C．3D.5 3解析：选B.在等差数列{a n}中，S3＝3（a1＋a3）2＝3（a1＋6）2＝12，解得a1＝2，又a3＝a1＋2d＝2＋2d＝6，解得d＝2，选B.2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＋a4＝6，则S5等于() A．10 B．12 C．15 D．30解析：选C.由等差数列的性质可得a2＋a4＝a1＋a5，所以S5＝5（a1＋a5）2＝15，故选C.3．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为() A．3 B．－3 C．－13 D.13解析：选D.设数列{a n}的公比为q，由a2·a6＝9a4，得a2·a2q4＝9a2q2，解得q2＝9，所以q＝3或q＝－3(舍)，所以a1＝a2q＝13.故选D.4．已知数列{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝() A．7 B．5 C．－5D．－7解析：选D.设数列{a n}的公比为q.由题意，得?????a1q3＋a1q6＝2，a1q4×a1q5＝a1q3×a1q6＝－8，所以?????a1q3＝－2，a1q6＝4或?????a1q3＝4，a1q6＝－2，解得?????a1＝1，q3＝－2或?????a1＝－8，q3＝－12.当?????a1＝1，q3＝－2时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；当?????a1＝－8，q3＝－12时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝(－8)×????1＋????－123＝－7.综上，a1＋a10＝－7.故选D.5．设x，y满足约束条件?????2x＋y－6≥0，x＋2y－6≤0，y≥0，则目标函数z＝x＋y的最大值是()A．3 B．4 C．6D．8解析：选C.法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x＋y＝0，平移该直线，当直线经过点A(6，0)时，z取得最大值，即z max＝6，故选C.法二：目标函数z＝x＋y的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x＝3，y＝0时，z＝3；当x＝6，y＝0时，z＝6；当x＝2，y＝2时，z＝4.所以z max＝6，故选C.6．若数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0 B．3 C．8D．11解析：选B.依题意可设等差数列{b n}的公差为d，则b10＝b3＋7d＝－2＋7d＝12，解得d＝2，所以b n＝b3＋(n－3)d＝2n－8，又b n＝a n＋1－a n，则b7＝a8－a7，b6＝a7－a6，…，b1＝a2－a1，采用累加法可得，b7＋b6＋…＋b1＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋…＋(a2－a1)＝a8－a1，又易知b1＋b2＋…＋b7＝0，则a8＝a1＝3，故选B. 7．在各项均不为零的数列{a n}中，若a1＝1，a2＝13，2a n a n＋2＝a n＋1a n＋2＋a n a n＋1(n ∈N*)，则a2 018＝()A.1 4 033B.1 4 034C.1 4 035D.1 4 037解析：选C.因为2a n a n＋2＝a n＋1a n＋2＋a n a n＋1(n∈N*)，所以2a n＋1＝1a n＋1a n ，所以??????1a n是等差数列，其公差d＝1a2－1a1＝2，所以1a n ＋2＝1＋(n－1)×2＝2n－1，a n＝12n－1，所以a2 018＝1 4 035.8．已知函数f(x)＝?????2x－1－2，x≥1，21－x－2，x＜1，则不等式f(x－1)≤0的解集为________．．解析：由题意，得f(x－1)＝?????2x－2－2，x≥2，22－x－2，x＜2，当x≥2时，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；当x＜2时，由22－x－2≤0，解得1≤x＜2.综上所述，不等式f(x－1)≤0的解集为{x|1≤x≤3}．．答案：[1，3]9．已知数列{a n}满足a1＝32，a n＝3na n－12a n－1＋n－1(n≥2，n∈N*)，则通项公式a n＝________．．解析：由a n＝3na n－12a n－1＋n－1?na n＝13·n－1a n－1＋23，令na n＝b n，则b n＝13·b n－1＋23?b n－1＝13·(b n－1－1)，由a1＝32，得b1－1＝－13，所以{b n－1}是以－13为首项，13为公比的等比数列，所以b n－1＝－13·????13n－1，得a n＝nb n＝n·3n3n－ 1.答案：n·3n3n－ 110．已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝1，a n a n＋1＝3n，则S2 017＝________．．解析：由a n a n＋1＝3n，得a n－1a n＝3n－1(n≥2)，所以a n＋1a n－1＝3(n≥2)，则数列{a n}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又a1＝1，a1a2＝3，所以a2＝3，所以S2 017＝1×（1－31 009）1－3＋3×（1－31 008）1－3＝31 009－2.答案：31 009－2。

高考热点追踪(二)三角函数与平面向量交汇集中展示当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性．向量具有代数与几何形式的双重身份，它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势，以下几例重在为备考中的考生揭示题型规律，与同学们共同归纳与探究解题策略．一、三角与平面向量模交汇已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．求|a ＋b |的最大值．【解】 |a ＋b |＝（sin θ＋1）2＋（1＋cos θ）2＝sin 2θ＋2sin θ＋1＋cos 2θ＋2cos θ＋1 ＝2（sin θ＋cos θ）＋3＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋3， 当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时|a ＋b |有最大值，此时θ＝π4，最大值为22＋3＝2＋1．[名师点评] 本题求|a ＋b |的最大值利用了向量模的定义，也可以用平方法，同学们可以尝试．二、三角与平面向量线性运算交汇(2019·南京模拟)设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝⎛⎭⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，求λm的取值范围．【解】 由a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝⎛⎭⎫m ，m2＋sin α， a ＝2b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，设λm ＝k ，代入方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧km ＋2＝2m ，k 2m 2－cos 2α＝m ＋2sin α， 消去m ，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 2－cos 2α＝22－k＋2sin α，再化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k －22－cos 2α＋2k －2－2sin α＝0， 再令1k －2＝t 代入上式得(sin α－1)2＋(16t 2＋18t ＋2)＝0可得－(16t 2＋18t ＋2)≥0，解不等式得t ∈⎣⎡⎦⎤－1，－18， 因而－1≤1k －2≤－18解得－6≤k ≤1，即－6≤λm≤1．[名师点评] 本题字母比较多，运算复杂，要认真体会换元法和整体思想的运用． 三、三角与平面向量平行交汇已知a ＝(cos x ，2)，b ＝(2sin x ，3)，若a ∥b ， 则sin 2x －2cos 2x ＝__________ ．【解析】 因为a ＝(cos x ，2)，b ＝(2sin x ，3)，a ∥b ， 所以3cos x －4sin x ＝0，即tan x ＝34．所以sin 2x －2cos 2x ＝2sin x cos x －2cos 2xsin 2x ＋cos 2x＝2tan x －2tan 2x ＋1＝－825．【答案】 －825[名师点评] 本题主要考查了向量共线的条件、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本知识．四、三角与平面向量垂直交汇(2019·苏州模拟)已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2．若a ⊥b ，则θ＝________．【解析】 由a ⊥b 得a ·b ＝0，所以a ·b ＝sin θ＋3cos θ＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝0． 因为θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以θ＝－π3． 【答案】 －π3[名师点评] 本题利用向量垂直的性质，得到三角函数式，最终求解得到答案． 五、三角与平面向量夹角交汇设a ＝(1＋cos α，sin α)，b ＝(1－cos β， sin β)，c ＝(1，0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sin α－β4的值．【解】 因为|a |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2cos α2，|b |＝（1－cos β）2＋sin 2β＝2sin β2，|c |＝1，又a ·c ＝1＋cos α＝2cos 2α2，b ·c ＝1－cos β＝2sin 2β2．所以cos θ1＝a ·c |a | |c |＝cos α2，cos θ2＝b ·c |b | |c |＝sin β2，因为α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ1＝α2． 又β∈(π，2π)，所以β2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，即0＜β2－π2＜π2． 由cos θ2＝sin β2＝cos ⎝⎛⎭⎫β2－π2，得θ2＝β2－π2． 由θ1－θ2＝π6，得α2－⎝⎛⎭⎫ β2－π2＝π6， 所以α－β2＝－π3，α－β4＝－π6，所以sin α－β4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12． [名师点评] 本题以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数求值变换的有关知识． 六、三角与平面向量数量积交汇(2019·南通市高三第一次调研测试)在△ABC 中，若BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，则sin Asin C的值为________． 【解析】 由BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，得 2bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ×a 2＋c 2－b 22ac ＝ab ×a 2＋b 2－c 22ab，化简可得a ＝2c ．由正弦定理得sin A sin C ＝ac ＝2．【答案】2[名师点评] 本题是平面向量的数量积及正、余弦定理的综合运用，解题时注意体会等价转化思想的运用．七、三角与平面向量综合交汇(2019·南通调研)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值．【解】 (1)a ·b ＝cos 3x 2·cos x 2－sin 3x 2·sin x2＝cos 2x ； |a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以|a ＋b |＝2cos x ． (2)由(1)知，f (x )＝cos 2x －4λcos x ， 即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1， ①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾．②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－32，解得λ＝12．③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ， 由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾；综上所述，λ＝12即为所求．[名师点评] 本题以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类讨论的思想方法．解三角形常用策略大观正、余弦定理及其应用是高考的重要内容之一，常与三角函数联系在一起，以正、余弦定理为工具，通过三角恒等变换来解三角形或实际问题，以低中档题为主，下面通过一题来分析正、余弦定理在解三角形中的常用策略．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos ∠ABC ＝66，AC 边上的中线BD ＝5，求sin A的值．策略1：设法使条件集中到一个三角形中法一：考虑到D 为AC 的中点．取BC 的中点E ，把分散的条件集中转移到三角形BDE 中，从而问题获得解决．如图1，设E 是BC 的中点，连结DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x ，在△BDE中，由余弦定理BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED ·cos ∠BED ，即5＝x 2＋83＋2×263×66x ，解得x ＝1或x ＝－73(舍去)，故BC ＝2．在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ， 得AC 2＝323＋4－2×463×2×66＝283，所以AC ＝2213．又sin ∠ABC ＝306．在△ABC 中，由正弦定理BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，得2sin A ＝2213306，所以sin A ＝7014． 策略2：利用向量运算或恰当建立坐标系，利用坐标法结合向量数量积求解法二：以B 点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立如图2所示的直角坐标系．且不妨设点A 在第一象限内，因为cos ∠ABC ＝66， 所以sin ∠ABC ＝306，所以A ⎝⎛⎭⎫43，453， 设C (x ，0)，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3x 6，253．又因为BD ＝5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3x 62＋⎝⎛⎭⎫2532＝5， 解得x ＝2⎝⎛⎭⎫x ＝－143舍去． 以下同法一．法三：如图2．因为BD →＝12(BA →＋BC →)，所以2BD →＝BA →＋BC →，平方得4BD →2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC →，代入数据得20＝⎝⎛⎭⎫4632＋|BC →|2＋2×463×|BC →|×66，解得BC ＝2． 以下同法一．策略3: 把相关的边或角算两次，构造方程组求解 法四：如图3．设BC ＝y ，AC ＝2x ． 在△ABC 中，由余弦定理得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，①又在△ABD 中，由余弦定理得 cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ．②联立①②得，2x 2－y 2＝23．③在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，整理得4x 2＝323＋y 2－83y ．④联立③④消去x 解得y ＝2或y ＝－143(舍去)．所以x ＝213，AC ＝2x ＝2213． 以下同法一．策略4：利用不同三角形中角的互补或互余关系，构造方程组求解法五： 在△ABD 和△BDC 中利用∠ADB 和∠BDC 互补关系，利用余弦定理构造等量关系解题．如图3，设BC ＝y ，AC ＝2x ．在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22AD ·BD ，①又在△BDC 中，由余弦定理得cos ∠BDC ＝BD 2＋DC 2－BC 22BD ·DC ．②因为∠ADB ＋∠BDC ＝π， 所以cos ∠ADB ＋cos ∠BDC ＝0， 联立①②得，2x 2－y 2＝23．③在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ， 整理得4x 2＝323＋y 2－83y ．④联立③④消去x 解得y ＝2或y ＝－143(舍去)．所以x ＝213，AC ＝2x ＝2213． 以下同法一．策略5：利用中点等几何关系，把三角形补成平行四边形，进而使条件相对集中，从而使问题解决法六：如图4，延长BD 至E ，使BD ＝DE ，连结AE ，CE ，则四边形ABCE 是平行四边形，故有AE ＝BC ．在△ABE 中，由余弦定理BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAE ，即20＝⎝⎛⎭⎫4632＋BC 2＋2×463×BC ×66，解得BC ＝2． 以下同法一．策略6：利用等面积法，构造方程求解 法七：如图5．设∠CBD ＝θ，因为cos ∠CBA ＝66，所以sin ∠CBA ＝306． 又因为S △ABC ＝2S △BDC ，所以有12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝2×12BD ·BC ·sin θ，解得sin θ＝23，cos θ＝53．所以cos ∠ABD ＝cos(∠ABC －θ)＝cos ∠ABC cos θ＋sin ∠ABC sin θ＝306，所以sin ∠ABD ＝66． 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos ∠ABD ＝73，所以AD ＝213．在△ABD 中，由正弦定理BD sin A ＝AD sin ∠ABD ，得sin A ＝7014． [名师点评] 同一道题目，从不同的角度出发，就有许多不同的解题方法，所以同学们复习时不要满足于一种思考方式，要善于发现自己解题中存在的问题和不合理处，进而提出质疑“我为什么要这样解题呢？”“是不是还有更好的方法呢？”“除了从这个角度出发外，还能从哪里找到突破口呢？”．只有不断地质疑，才会不断地创新，不断地迸发思维的火花，这样复习效率就会大大提高．1．(2019·南京、盐城高三模拟)在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a ＝5，A＝π4，cos B＝35，则c＝________．[解析] 根据题意得，sin B＝45，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin⎝⎛⎭⎫π4＋B＝7210，由asin A＝csin C，得5sinπ4＝c7210，解得c＝7．[答案] 72．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α＝________．[解析]1＋cos 2αsin 2α＝2cos2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，所以tan α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝41－4＝－43．[答案] －433．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(七))已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，若a＋2k b与3a－b平行，则k＝________．[解析] 因为a＝(2，1)，b＝(3，－1)，所以a＋2k b＝(2，1)＋2k(3，－1)＝(2＋6k，1－2k)，3a－b＝3(2，1)－(3，－1)＝(3，4)，又a＋2k b与3a－b平行，所以4(2＋6k)－3(1－2k)＝0，解得k＝－16．[答案] －164．(2019·扬州模拟)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值为________．[解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429， 而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327． [答案]23275．(2019·盐城高三模拟)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________．[解析] 法一：设向量b ＝(x ，y )，则由|b |＝1，|a －b |＝21得，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1（x －4）2＋（y ＋3）2＝21⇒4x －3y ＝52，所以a ·b ＝(4，－3)·(x ，y )＝4x －3y ＝52，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角为π3．法二：由|a －b |＝21得，(a －b )2＝21⇒a 2－2a ·b ＋b 2＝21，所以a ·b ＝52，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角为π3． [答案] π36．(2019·南京高三模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →．若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝________．[解析] 由题意可得AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →，BM →＝AM →－AB →＝23AD →－AB →，则AC →·BM →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·⎝⎛⎭⎫23AD →－AB →＝－3，则23|AD →|2－12|AB →|2－23AB →·AD →＝－3，即6－8－23AB →·AD →＝－3，解得AB →·AD →＝32．[答案] 327．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________．[解析] 由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6． [答案] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 8．(2019·苏锡常镇四市高三调研)在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________．[解析] 由题意可得AB →·AC →＝1×2×12＝1，AB →·AP →＝AB →2＋λAB →·AC →＝1＋λ，AP →·AC →＝1＋4λ，AP 2→＝AB 2→＋2λAB →·AC →＋λ2AC 2→＝4λ2＋2λ＋1，又BP →·CP →＝1，则(AP →－AB →)·(AP →－AC →)＝AP 2→－AP →·AC →－AP →·AB →＋AB →·AC →＝1，代入化简得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1．[答案] －14或19．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[解析] 因为a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，根据正弦定理，得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，所以a 2－b 2＝c 2－bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，故A ＝π3．因为b 2＋c 2－bc ＝4，所以4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b＝c ＝2时取等号)，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，所以△ABC 的面积的最大值为3．[答案] 310．(2019·唐山模拟)在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________． [解析] 因为(AB →－3AC →)⊥CB →，所以(AB →－3AC →)·CB →＝0，(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)＝0，AB →2－4AC →·AB →＋3AC →2＝0，即cos A ＝|AB →|2＋3|AC →|24|AC →|·|AB →|＝|AB →|4|AC →|＋3|AC →|4|AB →|≥2316＝32，当且仅当|AB →|＝3|AC →|时等号成立．因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π6，即角A 的最大值为π6．[答案] π611．(2019·苏北四市模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1)． (1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值． [解] (1)由a ⊥b 可知，a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0， 所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13．(2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a －b |＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝6－4cos θ＋2sin θ＝2，即1－2cos θ＋sin θ＝0，①又cos 2θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，② 由①②可解得⎩⎨⎧sin θ＝35，cos θ＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫35＋45＝7210． 12．(2019·盐城高三模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，a ＋c ＝4．(1)当a ，b ，c 成等差数列时，求△ABC 的面积； (2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值． [解] (1)因为a ，b ，c 成等差数列，所以b ＝a ＋c2＝2．由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，B ＝60°，得 b 2＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ＝4，解得ac ＝4， 从而S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×32＝3．(2)法一：因为D 为AC 边的中点， 所以BD →＝12(BA →＋BC →)，则BD →2＝14(BA →＋BC →)2＝14(BA →2＋2BA →·BC →＋BC →2)＝14(c 2＋2ac cos B ＋a 2)＝14[(a ＋c )2－ac ]＝4－14ac ≥4－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝3， 当且仅当a ＝c ＝2时取等号， 所以线段BD 长的最小值为3．法二：因为D 为AC 边的中点，所以可设AD ＝CD ＝d ， 由cos ∠ADB ＋cos ∠CDB ＝0，得BD 2＋d 2－c 22d ·BD ＋BD 2＋d 2－a 22d ·BD ＝0，即BD 2＝a 2＋c 22－d 2＝8－ac －d 2，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，B ＝60°，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ， 即4d 2＝16－3ac ，所以d 2＝4－34ac ，故BD 2＝4－14ac ≥4－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝3，当且仅当a ＝c ＝2时取等号， 所以线段BD 长的最小值为3．13．(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于P (x 1，y 1)，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点Q (x 2，y 2)．记f (α)＝y 1＋y 2．(1)求函数f (α)的值域；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，且a ＝2，c ＝1，求b ．[解] (1)由题意，得y 1＝sin α，y 2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α， 所以f (α)＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 故f (α)∈(1，2]．(2)因为f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝2，又C ∈(0，π)， 所以C ＝π4，在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即1＝2＋b 2－22×22b ， 解得b ＝1．14．(2019·江苏省四星级学校4月联考)金镶玉奖牌是中国文化与体育精神完美结合的载体．现有一矩形玉片BCEF ，CE 为36毫米，BC 为32毫米，G 为EF 的中点．现要开糟镶嵌金丝，将其加工为镶金工艺品，如图，金丝部分为优弧PQ ︵和线段MP ，NQ ，MN ，其中优弧PQ ︵所在圆的圆心为O ，圆O 与矩形的边FB ，BC ，CE 分别相切于点A ，H ，D ．M ，N 在线段EF 上(M 在N 的左侧)，MP ，NQ 分别与圆O 相切点P ，Q ，且FM ＝NE ．若优弧PQ ︵部分镶嵌的金丝每毫米造价为3a 元(a >0)，线段MP ，NQ ，MN 部分镶嵌的金丝每毫米造价为2a 元．记锐角∠POG ＝α，镶嵌金丝总造价为W 元．(1)试表示出关于α的函数W (α)，并写出cos α的范围； (2)当M ，N 位于什么位置时，镶嵌金丝的总造价最低？[解] (1)如图，过点P 作OG 的垂线，垂足为R ，过点M 作PR 的垂线，垂足为S ，由圆O 与矩形的边FB ，BC ，CE 相切，得圆O 半径为16．易得PR ＝16sin α，OR ＝16cos α，MS ＝GR ＝OG －OR ＝CE －CD －16cos α＝36－16－16cos α＝20－16cos α， 因为MP 与圆O 相切，切点为P ，所以OP ⊥MP ，易得∠MPS ＝∠POG ＝α， 所以MP ＝NQ ＝MS sin α＝20－16cos αsin α，PS ＝MS tan α＝20－16cos αtan α，所以MG ＝SR ＝PR －PS ＝16sin α－20－16cos αtan α＝16－20cos αsin α，MN ＝2MG ＝2×16－20cos αsin α＝32－40cos αsin α．因为优弧PQ ︵的圆心角为(2π－2α)，所以优弧PQ ︵的长为32(π－α)， 所以W (α)＝32(π－α)×3a ＋⎝⎛⎭⎪⎫20－16cos αsin α×2＋32－40cos αsin α ×2a ＝96a (π－α)＋72－72cos αsin α×2a ＝48a (2π－2α＋3－3cos αsin α)，考虑临界状态，当M ，N ，G 三点重合时，△POG 为直角三角形，其中∠GPO ＝π2，OG ＝20，OP ＝16，cos α＝OP OG ＝1620＝45，所以cos α∈⎝⎛⎭⎫0，45． (2)由(1)知，W ′(α)＝48a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3－3cos αsin 2α＝48a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin 2α＋3－3cos αsin 2α＝48a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋2cos 2α＋3－3cos αsin 2α＝48a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α－3cos α＋1sin 2α＝48a ·（2cos α－1）（cos α－1）sin 2α，α∈(α0，π2)，其中α0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α0＝45， 令W ′(α)＝0，得cos α＝12或cos α＝1(舍)，又cos α∈⎝⎛⎭⎫0，45且α为锐角，所以α＝π3， 所以当α∈⎝⎛⎭⎫α0，π3时，W ′(α)<0，W (α)单调递减； 当α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2时，W ′(α)>0，W (α)单调递增．所以当α＝π3时，总造价W (α)取得最小值，为W ⎝⎛⎭⎫π3＝64πa ＋483a ， 此时，MG ＝NG ＝43．答：(1)W (α)＝48a (2π－2α＋3－3cos αsin α)，cos α∈⎝⎛⎭⎫0，45；(2)当MG ＝NG ＝43毫米时，能使总造价最低．。

2020年高考数学（理）二轮专项复习专题06 平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1 向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量c b a ,,,自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：|||,|a AB向量的夹角：两个非零向量a ，b ，作b a ==OB OA ,，则(AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作：〈a ，b 〉 零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a 共线的单位向量是：)0(||=/±a a a(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量． 相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a ∥b向量垂直；〈a ，b )＝90°时，向量a 与b 垂直，规定：0与任意向量垂直． 2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则． (2)减法：三角形法则． (3)数乘：记作：λ a ．它的长度是：｜λ a ｜＝｜λ ｜·｜a ｜ 它的方向：①当λ ＞0时，λ a 与a 同向 ②当λ ＜0时，λ a 与a 反向 ③当λ ＝0时，λ a ＝0 (4)数量积：①定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：1．(交换律)a ·b ＝b ·a2．(实数的结合律)λ (a ·b )＝(λ a )·b ＝a ·(λ b ) 3．(分配律)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ③性质：设a ，b 是非零向量，则：a ·b ＝0⇔a ⊥ba 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜ a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜ 特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=||夹角：||||,cos b a ba b a ⋅>=<|a ·b |≤|a | |b |3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1) (4)数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 (5)若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a(6)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a(7)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(||y y x x AB -+-=(8)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a 4．重要定理(1)平行向量基本定理：若a ＝λ b ，则a ∥b ，反之：若a ∥b ，且b ≠0，则存在唯一的实数λ 使得a ＝λ b (2)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2使a ＝a 1e 1＋a 2e 2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 则：a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=2121y y x x b a【复习要求】1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例1 向量a 、b 、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，(2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ， (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )， (4)a ·b ≤｜a ｜｜b ｜ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以c (b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；(2)假命题．a ·c ＝b ·c ≠a ＝b ；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a 与向量b 都是与向量c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a 、b 这两个向量不相等；(3)假命题．(a ·b )c ≠a (b ·c )，实际上(a ·b )c 是与向量c 方向相同或相反的一个向量，a (b ·c )是与a 方向相同或相反的一个向量，向量a 、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉，且cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ≤｜a ｜｜b ｜． 解答：选C ．【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有37,97-=-=n m 故选择D 【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值． (2)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值． 【分析】(1)向量a 与b (b ≠0)共线⇔存在实数m 使a ＝m b ． 当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题． a ·b ＝0⇔a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===, ∴)5,4(),7,4(-+=--=k k , ∵A 、B 、C 三点共线，∴CB AB //，即(4－k )(－5)－(4＋k )(－7)＝0，解得：⋅-=32k (2)由(k a －2b )⊥a ，得(k a －2b )·a ＝k a 2－2b ·a ＝2k －2·(2－3)＝0，所以k ＝－1．【评析】①向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数m 使a ＝m b ；当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4 已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2a a a a a a ⋅⋅=⇒=||||2，若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a解：①∵｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝5； ②(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝10＋25＝35； ③;6125201644)2(|2|222=++=++=+=+⋅⋅b b a a b a b a④⋅==++=++>=+<⋅⋅⋅⋅6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos 2b b a b b a b b a b b a b b a【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5 已知向量a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1，2)． (Ⅰ)若a ∥b ，求tan θ 的值；(Ⅱ)若｜a ｜＝｜b ｜，0＜θ ＜π，求θ 的值．【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画． 解：(Ⅰ)因为a ∥b ，所以2sin θ ＝cos θ －2sin θ ，于是4sin θ ＝cos θ ，故41tan =θ． (Ⅱ)由｜a ｜＝｜b ｜知，sin 2θ ＋(cos θ －2sin θ )2＝5，所以1－2sin2θ ＋4sin 2θ ＝5． 从而－2sin2θ ＋2(1－cos2θ )＝4，即sin2θ ＋cos2θ ＝－1， 于是22)4π2sin(-=+θ又由0＜θ ＜π知，49π4π24π<+<θ，所以45π4π2=+θ，或47π4π2=-θ 因此2π=θ，或43π=θ．例6 设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) (A)－2(B)22-(C)－1(D)21-【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：∵a ，b ，c 是单位向量，∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 221〉,〈cos 121-≥+-=⋅⋅c b a故选D ．例7 在△ABC ，已知23||.||32BC ==⋅，求角A ，B ，C 的大小． 【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题 解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c由||||32⋅⋅=得bc A bc 3cos 2=，所以23cos =A 又A ∈(0，π)，因此6π=A 由23||||3BC AC AB =⋅得23a bc =，于是43sin 3sin sin 2==⋅A B C 所以43)sin 23cos 21(sin ,43)6π5sin(sin =+=-⋅⋅C C C C C ，因此02cos 32sin ,3sin 32cos sin 22=-=+⋅C C C C C ，即0)3π2sin(=-C由6π=A 知6π50<<C ，所以34π3π2,3π<--C ，从而03π2=-C ，或π3π2=-C ，即6π=C ，或32π=C ，故 6π,32π,6π===C B A ，或⋅===32π,6π,6πC B A【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．练习6－1一、选择题1．平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ ∈R ，b ＝λ aD ．存在不全为零的实数λ 1，λ 2，λ 1a ＋λ 2b ＝02．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λ a ＋b 与a 垂直，则λ 是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且2=，则顶点D 的坐标为( ) A ．)27,2(B ．)21,2(-C ．(3，2)D ．(1，3)4．设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量)cos 3,(cos ),sin ,sin 3(A B B A ==n m ，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 二、填空题5．设a ＝(2k ＋2，4)，b ＝(8，k ＋1)，若a 与b 共线，则k 值为______． 6．已知向量),3(),2,1(m OB OA =-=，若AB OA ⊥，则 m ＝______． 7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MN MP 21=，则P 点坐标为______． 8．已知a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 和b 的夹角是______． 三、解答题9．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB 相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求实数x 的值．10．已知向量a 与b 同向，b ＝(1，2)，a ·b ＝10．(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a ．11．若向量a 与b 的夹角为60°，｜b ｜＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，求向量a 的模．§6－2 向量的应用【知识要点】1．向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识； 2．以向量为载体考查三角函数的知识；3．在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式． 【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．例1若·==⋅⋅，求证三角形ABC 是正三角形， 【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论． 证明0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅，即BC 与BC 边上的中线垂直，所以AB ＝AC ，同理BC ＝BA ，可以得到该三角形是等边三角形；例2 已知四边形ABCD 中，若⋅⋅⋅⋅===，判断四边形ABCD 的形状． 【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究． 解答1从几何意义上设k ====⋅⋅⋅⋅若k ＞0，则∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 都是钝角，与四边形内角和为360°矛盾，舍；同理k ＜0时，也不可能，故k ＝0，即四边形ABCD 为矩形．解答2从运算上，0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅DC AB BC CD AB BC CD BC BC AB 同理；0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 于是BC AD //，同理CD AB //，得到四边形ABCD 是平行四边形；∴02)()(==+=-=-⋅⋅⋅⋅⋅ ∴BC AB ⊥，∴四边形ABCD 为矩形．【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状．例3 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)1,3(-=m ，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，求角A ，B 的大小．【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A 角的三角方程，从而求出三角形的内角A ，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角．解：∵ 0sin cos 3=-=⊥⋅∴A A n m n m ，即3tan =A ，∴三角形内角;3π=A ∵a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝1，,2π=C ∴⋅=6πB 【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如221OB OA OM AB AM 、MBAM +===、等都说明M 是AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表达的信息．例4 已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)．(1)若0=⋅AC AB ，求c 的值；(2)若c ＝5，求sin ∠A 的值．【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可．(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如①利用数量积AC AB ⋅求出cos A 进而求sin A ；②余弦定理正弦定理解：(1))4,3(),4,3(--=--=c AC AB 由0=⋅AC AB 可得－3(c －3)＋16＝0解得325=c (2)[法一]当c ＝5时，可得AB ＝5，52=AC ，BC ＝5，△ABC 为等腰三角形， 过B 作BD ⊥AC 交AC 于D ，可求得52=BD 故,552sin ==ABBD A[法二].cos ||||),4,2(),4,3(A ⋅=-=--=⋅=∈=+-=⨯∴∴∴552sin ],π,0[,55cos 166cos 525A A A A 【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题．例5 若等边△A B C 的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=，则 =⋅______．解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0，0)，)3,3(),0,32(B A ，利用向量坐标运算，求得)21,233(M ，从而求得)25,23(),21,23(--=-=，运用数量积公式解得为－2．另外，还可以通过向量的几何运算求解．解：),3265()6131()()(--=--=⋅⋅⋅ 660cos 3232,32||||=⨯===⋅⋅ ，得到.2-=⋅【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性．例6 已知向量a ＝(cos a ，sin a )，b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0) (Ⅰ)求向量b ＋c 的长度的最大值；(Ⅱ)设4π=α，且a ⊥(b ＋c )，求cos β 的值． 【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法1：b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，则 ｜b ＋c ｜2＝(cos β －1)2＋sin 2β ＝2(1－cos β )．∵－1≤cos β ≤1，∴0≤｜b ＋c ｜2≤4，即0≤｜b ＋c ｜≤2．当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2． 解法2：∵｜b ｜＝1，｜c ｜＝1，｜b ＋c ｜≤｜b ｜＋｜c ｜＝2 当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝(－2，0)，即｜b ＋c ｜＝2， b ＋c 的长度的最大值为2．(2)解法1：由已知可得b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，a ·(b ＋c )＝cos α cos β ＋sin α sin β －cos α ＝cos(α －β )－cos α ． ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α －β )＝cos α ．由4π=α，得4πcos )4πcos(=-β，即).(4ππ24πZ ∈±=-k k β ∴4ππ2+=k β或β ＝2k π，(k ∈Z )，于是cos β ＝0或cos β ＝1．解法2：若4π=α，则)22,22(=a ，又由b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0)得,22sin 22cos 22)sin ,1(cos )22,22()(-+=-⋅=+⋅ββββc b a ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β (cos β －1)＝0∴sin β ＝1－cos β ，平方后sin 2β ＝(1－cos β )2＝1－cos 2β ，化简得cos β (cos β －1)＝0 解得cos β ＝0或cos β ＝1，经检验，cos β ＝0或cos β ＝1即为所求例7 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角,3π=C 求△ABC 的面积． 【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题证明：(1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即Rbb R a a 22⋅⋅=，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．解(2)由题意可知m ⊥p ，m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ， 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1) ∴33πsin 421sin 21===⋅⋅C ab S 例8 已知向量)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos xx x x -==b a ，其中].2π,0[∈x(1)求a ·b 及｜a ＋b ｜；(2)若f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜的最小值是23-，求λ 的值． 【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识． 解：(1)x xx x x 2cos 2sin 23sin2cos 23cos =-=⋅b a ]2π,0[,cos 22cos 22)(||2∈=+=+=+x x x b a b a或]2π,0[,cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||22∈=+=-++=+x x x x x x x b a (2)f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜＝cos2x －4λ cos x ＝2cos 2x －4λ cos x －1＝2(cos x －λ )2－2λ 2－1 ∵],1,0([cos ]2π,0[x x ∴∈①当λ ≤0时；f (x )的最小值是－1，不可能是23-，舍； ②当0＜λ ＜1时，f (x )的最小值是23122-=--λ，解得;21=λ③当λ ≥1时，f (x )的最小值是2341-=-λ，解得185<=λ，舍；∴⋅=21λ【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备．练习6－2一、选择题1．若为a ，b ，c 任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) 2．设)31,(cos ),sin ,23(αα==b a ，且a ∥b ，则α 的值是( ) A ．)(,4ππ2Z ∈+=k k α B ．)(,4ππ2Z ∈-=k k α C ．)(,4ππZ ∈+=k k α D ．)(,4ππZ ∈-=k k α3．在△ABC 中，b a ==,，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．已知：△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且=++，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上二、填空题5．若向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，且a 与b 的夹角为3π，则｜a ＋b ｜＝______． 6．已知向量a ＝(cos θ ，sin θ )，向量)1,3(-=b ，则｜2a －b ｜的最大值是______． 7．若)1,2(),3,1(x ==b a ，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，则x ＝______．8．已知向量)5,3(),6,4(==OB OA ，且OB AC OA OC //,⊥，则向量＝______ 三、解答题9．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，｜b ｜＝1，求｜a ＋2b ｜．10．P 在y 轴上，Q 在x 轴的正半轴上，H (－3，0)，M 在直线PQ 上，,0=⋅MQ 23-=．当点P 在y 轴移动时，求点M 的轨迹C 方程．11．已知向量a ＝(sin θ ，1)，2π2π),cos ,1(<<-=θθb (1)若a ⊥b ，求θ ；(2)求｜a ＋b ｜的最大值．习题6一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2 a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 2．给出下列五个命题： ①｜a ｜2＝a 2；②ab a b a 2=⋅；③(a ·b )2＝a 2·b 2； ④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；其中正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．①③④D ．②⑤3．函数y ＝2x ＋1的图象按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图象，则( ) A ．a ＝(－1，－1) B ．a ＝(1，－1) C ．a ＝(1，1) D ．a ＝(－1，1) 4．若a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5．已知在△ABC 中，,⋅⋅⋅==则O 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 二、填空题6．已知p ＝(1，2)，q ＝(－1，3)，则p 在q 方向上的正射影长为______； 7．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①．2=+ ②．AF AB AD 22+= ③．AB AD AD AC ⋅⋅=④．)()(⋅=⋅其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)．8．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若y x +=，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．9．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，若向量b ⊥(a ＋λ b )，则实数λ 的值______；若b ba aa a c )(⋅⋅-=，则向量a 与c 的夹角为______；10．已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，a ·b ＝－2，则｜a ＋b ｜＝______． 三、解答题11．已知).1,3(),3,1(-==b a(1)证明：a ⊥b ；(2)若k a －b 与3a －k b 平行，求实数k ； (3)若k a －b 与k a ＋b 垂直，求实数k ．12．设向量a ＝(cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b ，(t ∈R )．(1)求a ·b(2)求u 的模的最小值．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，.73tan =C(1)求cos C ； (2)若25=⋅，且a ＋b ＝9，求c ．14．已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴相交于点A ，B ，j i j i ,(22+=，分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)函数g (x )＝x 2－x －6，(1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数)(1)(x f x g +的最小值．15．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围．专题06 平面向量参考答案练习6－1一、选择题1．D 2．A 3．A 4．C 二、填空题5．3或－5 6．4 7．)23,1(-- 8．45° 三、解答题9．由已知)0,2(==a ，所以⎩⎨⎧=--=+043232x x x ，得x ＝－1．10．(1)由已知设a ＝(λ ，2λ )且λ ＞0，a ·b ＝λ ＋4λ ＝10，λ ＝2，所以a ＝(2，4)； (2)(b ·c )a ＝(2－2)a ＝0． 11．6．练习6－2一、选择题1．D ． 2．C ． 3．C ． 4．D ． 二、填空题5．7 6．4 7．－6或9 8．)214,72(- 三、解答题9．32 由已知｜a ｜＝2，｜a ＋2b ｜2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴32|2|=+b a .10．解答：设M (x ，y )，∵M 在直线PQ 上, ),0,32(),2,0(,23x Q y P --=∴ ∵)2,(),2,3(,0y y x PM yHP PM HP +=-==⋅ ∴02323.=-yy x ，即y 2＝4x ．(除原点．) 11．解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ ＋cos θ ＝0，由此得)2π2π(1tan <<--=θθ，所以;4π-=θ(Ⅱ)由a ＝(sin θ ，1)，b ＝(1，cos θ )得)cos (sin 23)cos 1()1(sin ||22θθθθ++=++=+b a,)4πsin(223++=θ当1)4πsin(=+θ时，｜a ＋b ｜取得最大值，即当4π=θ时，｜a ＋b ｜最大值为.12+习题6一、选择题1．B 2．B 3．A 4．B 5．D 二、填空题6．2107．①、②、④ 8．2 9．λ ＝－3；90° 10．21 三、解答题11．(2)k ＝±3；(3)k ＝±1． 12．答案：(1)22=⋅b a ，(2)22||min =u13．解答：(1)∵73tan =C ，∴73cos sin =C C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1 解得⋅±=81cos C ∵tan C ＞0，∴C 是锐角． ∴⋅=81cos C(2)∵20,25cos ,25===⋅∴∴ab C ab ．又∵a ＋b ＝9 ∴a 2＋2ab ＋b 2＝81．∴a 2＋b 2＝41．∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36．∴c ＝6．14．略解：(1)由已知得)0,(k b A -，B (0，b )，则),(b k b AB =，于是.2,2==b kb∴k ＝1，b ＝2． (2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4，521225)(1)(2-+++=+--=+x x x x x x f x g由于x ＋2＞0，则3)(1)(-≥+x f x g ，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立∴)(1)(x f x g +的最小值是－3． 15．略解：解法1：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f '(x ＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0．∴f '(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5．而当t ≥5时，f '(x )在(－1，1)上满足f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5． 解法2：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，f '(x )＝－3x 2＋2x ＋t ． 若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0． ∵f '(x )的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f '(1)＝t －1≥0，且f '(－1)＝t －5≥0时，f '(x )在(－1，1)上满足f '(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．。

平面向量一、选择题：本大题共15题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则AB =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4） 2 若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比λ的值为A.－13B. －15C. 15D. 133、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r （ ） A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b 4、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu rA.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直5、已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r ，则OC =u u u r （ ）A ．2OA OB -u u u r u u u r B ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u u r u u u rD ．1233OA OB -+u u u r u u u r 6、平面向量a r ，b r 共线的充要条件是（ ） A. a r ，b r 方向相同 B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=r rD. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r7、在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 8、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为135︒，则||1a b λ+>r r 的充要条件是A.2)λ∈B.(2,0)λ∈-C.(,0)(2,)λ∈-∞+∞UD.(,2)(2,)λ∈-∞+∞U9、若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r , 则BC =u u u r （ ）A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）10、已知平面向量，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--11、设a r =(1，－2), b r =(－3,4),c=(3,2)，则(2)a b c +⋅r r r =A.(15,12)-B.0C.－3D.－1112、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2 13、设平面向量(3,5),(2,1),2______==--=则a b a bA ．(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 14、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为3π，则a b λ+r r 与a b λ-r r 互相垂直的充要条件是（ ） A ．3λ=3λ=B ．12λ=-或12λ= C ．1λ=-或1λ= D ．λ为任意实数 二．填空题：本大题共7小题。

高考数学（理）二轮复习：三角函数与平面向量（含答案）4 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . 3．三种三角函数的性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12答案 B解析 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析 化简函数的解析式，A 中，y ＝cos 2x 是最小正周期为π的偶函数． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.则b 的值为( ) A ．1 B. 2 C.32D.62答案 A解析 根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则22＝b 2＋(2)2－2b ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，所以b 2＋b －2＝0，解得b ＝1，故选A.4．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝sin 4x 向右平移π12个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.故选B. 5．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值是( )A ．－1B ．－ 3C ．－12D ．－32答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，则由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π6＝0，又因为0<θ<π，所以7π6<π＋θ＋π6<13π6，所以π＋θ＋π6＝2π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x .又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010答案 C解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，AD ＝BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010，故选C.7．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4 答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，即α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos 2α＝－255，又sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos( β－α)sin 2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55 ＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55 ＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A 解析 如图， CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， 所以λ＝23.故选A.9．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y 轴对称，则满足此条件的φ的值为( ) A.π4B.3π8C.3π4D.5π8 答案 C解析 平移后有f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π4，f (x )关于y 轴对称，则φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋3π4，k ∈Z ，由于0＜φ＜π，所以φ＝3π4.10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π8，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－π8，－π24C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π12，π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12答案 B解析 由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4时，32x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16＋φ，3π8＋φ， 因为f (x )＞0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ＞12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3π16＋φ≥－π3＋2k π，3π8＋φ≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．答案 1解析 根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.12．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角B 为锐角，且sin 2B ＝8sin A ·sinC ，则ba ＋c的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫63，255解析 因为sin 2B ＝8sin A ·sinC ，由正弦定理可知，b 2＝8ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝(a ＋c )2－2ac －b22ac ＝(a ＋c )2－54b 214b 2＝4(a ＋c )2b2－5∈(0,1)， 令t ＝ba ＋c，t >0，则0＜4t2－5＜1，解得23＜t 2＜45，即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫63，255.14．已知O 是锐角△ABC 外接圆的圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →，则m 的值为______． 答案32解析 如图所示，取AB 的中点D ，则OA →＝OD →＋DA →，OD ⊥AB ，所以OD →·AB →＝0，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由cos B sin C ·AB→＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →，得cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝－2m (OD →＋DA →)，两边同乘以AB →，得cos B sin C ·AB →2＋cos C sin B ·AC →·AB →＝－2m (OD →＋DA →)·AB →，即cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·bc ·cos A ＝m ·c 2，所以cos B sin C ·c ＋cos C sin B ·b ·cos A ＝m ·c ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入上式整理，得cos B ＋cos C cos A ＝m ·sin C ， 所以m ＝cos B ＋cos C cos Asin C＝－cos (A ＋C )＋cos C cos A sin C＝sin A ，又∠A ＝60°，所以m ＝sin 60°＝32. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)因为sin B ＝32，cos B ＝12， 所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2， 所以sin A ＝321＝217， 因为a ＜b ，所以cos A ＝277. 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114， 所以S ＝12ab sin C ＝332. 16．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )． (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12时，求函数f (x )的最小值和最大值； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )， ∴f (x )＝32sin 2x ＋1－cos 2x 2＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ∵－π12≤x ≤5π12，∴－π3≤2x －π6≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴1－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤2， ∴f (x )的最小值是1－32，最大值是2. (2)∵f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1， ∵0＜C ＜π，∴－π6＜2C －π6＜11π6， ∴2C －π6＝π2，解得C ＝π3. ∵向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，∴b －2a ＝0，即b ＝2a .①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3， 即a 2＋b 2－ab ＝3.②由①②得a ＝1，b ＝2. 亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。

三角函数与平面向量、解三角形一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a －c b ＝b －ca ＋c ，则A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.2π32．已知两个平面向量a 、b 的夹角为23π，且|a|＝|b|＝1，则|a －b|等于( ) A. 3 B ．1 C ．23 D ．2 3． “sin x ＞12”是“π6＜x ＜5π6”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＋1sin2θ为( )A.12B．－12C．2 D．－25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos A sin C，则b＝( ) A．6 B．4 C．2 D．16．如图，在平行四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－3,2)，则AD→·AC→等于( )A．1B．3C．5D．67．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝23，cos A＝32，且b＜c，则b＝( )A. 3 B．2 C．2 2 D．38．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图，当x∈[0，π2]时，满足f(x)＝1的x的值为( )A.π6B.π3C.π2D.5π129．已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6，平面内一点M满足BM→＝23BC→－13BA→，则AC→·MB→等于( )A．－9 B．－18 C．12 D．18。