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第3课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值正、余弦函数的图象与性质状元随笔(1)正、余弦函数的单调性：①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；②单调区间要在定义域内求解；③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．(2)正、余弦函数的最值①明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1, |cos x|≤1；②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；③形如y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A sin z的形式求最值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．( )(2)正弦函数y＝sin x的一个增区间是[0，π]．( )(3)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．答案：B3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x | B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2 D ．y ＝－sin x 2 解析：y ＝cos|x |在()0，π上是减函数，排除A ；y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的． 答案：C4．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1解析：∵－1≤cos π2x ≤1，∴－1≤y ≤3.答案：A类型一 正、余弦函数的单调性例1 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3 (2)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．【解析】 (1)由π3≤x ≤43π，可得π2≤x ＋π6≤32π.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3是函数的一个减区间．(2)因为－π＋2k π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z .所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .【答案】 (1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) (1)由A ，B ，C ，D 中x 的范围，求出x ＋π6的范围，验证是否为减区间．(2)将2x －π3代入到[－π＋2k π，2k π]，k∈Z 中，解出x 的范围，即可得增区间．方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间同上．(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；②若A <0，则单调性相反．跟踪训练1 (1)下列函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数的是( )A.y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x(2)求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间．解析：(1)因为y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数，所以排除A ，B.因为π2≤x ≤π，所以π≤2x ≤2π.因为y ＝sin 2x 在2x ∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.(2)由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，得y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∴要求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间，只需求出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间．令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解之得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )．答案：(1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．(2)首先利用诱导公式化简函数为y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再利用性质求增区间．类型二 比较三角函数值的大小 例2 比较下列各组数的大小： (1)sin 250°与sin 260°； (2)cos 15π8与cos 14π9.【解析】 (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，cos 14π9＝cos2π－4π9＝cos 4π9.∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.利用诱导公式，将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内，利用单调性判断大小． 方法归纳比较三角函数值大小的方法(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值． (2)不同名的函数化为同名函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．跟踪训练2 比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin 493π； (2)cos 870°与sin 980°.解析：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin 493π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π.(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，因为0°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°， 即cos 870°>sin 980°.首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小．类型三 正、余弦函数的最值问题例3 函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的最小值是______，此时x ＝______.【解析】 当2x ＋π6＝π＋2k π，k ∈Z ，x ＝5π12＋k π，k ∈Z 时，y min ＝－2－1＝－3.【答案】 －35π12＋k π，k ∈Z 观察函数解析式特点，由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小值，求函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的最小值，并求x 的取值．方法归纳求正、余弦函数最值问题的关注点(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值要注意对a 的讨论． (2)将函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式． (3)换元后配方利用二次函数求最值．跟踪训练3 求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)y ＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.解析 (1)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈0，π2可得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32. (2)令t ＝sin x ，∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72. (1)先由x 的范围求出x ＋π6的范围，再求值域．(2)先换元令t ＝sin x ，再利用二次函数求值域．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π上是增函数，y ＝cos x 在(π，2π)上是增函数，所以区间M 可以是⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π.答案：D2．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝－π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y ＝sin x 有最小值－1，函数y ＝2－sin x 有最大值3.答案：C3．符合以下三个条件：①⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝－cos x解析：在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，可以排除A ，是奇函数可以排除C ，D.答案：B4．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin 2>cos 1 解析：因为sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos1，即sin 2>cos 1.答案：D5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0解析：方法一 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，其单调递增区间为－π2＋2k π≤x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z . 由于x ∈[－π，0]，所以其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0. 方法二 函数在5π6取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6－π，5π6，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，又x ∈[－π，0]，所以其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0. 答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：当0≤x ≤π2时，－π4≤2x －π4≤3π4，因为函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上的函数值恒为正数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上的函数值恒为负数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上为增函数，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－22.答案：－228．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“>”或“<”)． 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8，因为0<π8<2π7<π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin π8<sin 2π7，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8<sin 2π7.答案：>三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列函数的单调区间：(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .解析：(1)函数y ＝cos 2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝cos 2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z .(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，函数y ＝－2sin x －π4的单调递增、递减区间分别是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递减、递增区间．令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z .即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z ，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z .令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z .即2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z .即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z . 10．求下列函数的最大值和最小值： (1)y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6. 解析：(1)∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. (2)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2； 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝0. [能力提升](20分钟，40分)11．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) 解析：周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .答案：C12．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．答案：(－π， 0]13．比较下列各组数的大小：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8与cos 15π7；(2)sin 194°与cos 160°.解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝cos π8，cos 15π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π7＝cos π7，∵0<π8<π7<π，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴cos π8>cos π7，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>cos 15π7.(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.14．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．解析：∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．。
三角函数的定义（自学自测）【学习目标】:1 理解任意角三角函数的定义及定义域;2.会利用定义求三角函数值，掌握各种三角函数在各象限内的符号.【重、难点】：任意角三角函数的定义。
【自主学习】 自学课本第1417P P -,页.通过自学完成以下问题： 1设α是一个任意角,在α的终边上任取（异于原点的）一点(,)P x y ,若P 到原点的距离r , 则cos α= ; sin α= ; tan α= .另外,角α的正割: 角α的余割: 角α的余切: . 2 由上述三角函数定义,得出正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域列表:3 写出各个三角函数在各象限内的符号:sin α cos α tan α 【自我检测】 １.填表并记忆: 90︒2. 角α的终边经过点(2,3),P -则sin α=________,cos α=________,tan α=＿＿＿.课题：三角函数的定义（自学自测）例1 确定下列各个三角函数值的符号: （1）0cos 260；（2）sin()3π-；（3）0'tan(67220)-；（4）10tan3π.（2）设sin 0θ<且tan 0θ>,确定θ是第几象限的角例2 已知角α的终边在直线2y x =上, 求α的六个三角函数值.【收获总结】 知识总结： 方法总结：【自练自题】：1.确定下列各三角函数的符号:0(1)sin156 ______ 16(2)cos5π_______; 0(3)cos(80)-________; 17(4)tan()8π-______; 4(5)sin()3π-______; 0'(6)tan55612________2．如果α的终边过点0(2sin30,2cos30)P -,sin α= .3.α是第二象限角,(P x 为其终边上一点,且cos α=,则sin α= . 4．已知函数cos sin tan ()sin cos tan f ααααααα=++,则()f α的值域是 .(选做部分)5．若sin cos θθ<,且sin cos 0θθ⋅<,则θ在第 象限.6.已知1sin ,cos 22αα=-=-,求α的终边与以原点为圆心,以2为半径的圆的交点坐标.。
第三章 三角恒等变换知识④思维导图专题④综合串讲专题1三角函数式的求值【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin （2α＋β），4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值. 【分析】 本题主要考查三角函数式的恒等变换及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋（α＋β），β＝（α＋β）－α，可先将条件式3sin β＝sin （2α＋β）展开后求α＋β的正切值.【解】∵3sin β＝sin （2α＋β），即3sin （α＋β－α）＝sin （α＋β＋α），整理得2sin （α＋β）cos α＝4cos （α＋β）sin α.即tan （α＋β）＝2tan α.又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12， tan （α＋β）＝2tan α＝2×12＝1. 又0＜α＜π4，0＜β＜π4， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α＋β＝π4. 【方法总结】三角函数式求值的类型与方法三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角.1. 给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.2. 给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用.由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点.3. 已知三角函数值求角问题，通常分两步：（1）先求角的某个三角函数值（由题中已知名称和范围确定），确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定；（2）根据角的范围确定角及角的范围.必要时，可利用值缩小角的范围.几种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.【变式训练1】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 【解】 ∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 专题2三角函数式的化简【例2】化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类.或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数. 【解】解法一：原式＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 解法二：原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. ,【方法总结】三角函数式化简的分类与解题技巧1.三角函数式的化简，主要有以下几类：（1）三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；（2）三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；（3）二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简.2. 化简三角函数式时:（1）若切函数、弦函数共存时，可利用切化弦；（2）若含分式三角函数的问题，一般需分子、分母化简后出现公因式，以便于约分.【变式训练2】化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＋2sin α2cos α2－1. 【解】原式＝sin αcosπ4＋cos αsin π4cos α＋sin α＝22（sin α＋cos α）cos α＋sin α＝22. 专题3三角恒等式的证明【例3】求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x 2. 【分析】本题主要考查二倍角公式及其变形应用，因等式右端为tan x 2，故可将左边的角4x ，2x ，x 化为x 2的形式. 【解】∵左边＝2sin 2xcos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2x 2＝2sin 2x·cos 22x·cos x 2cos 22x·2cos 2x·2cos 2x 2＝sin 2x 2cos x·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x 2＝右边， ∴等式成立.【方法总结】三角函数等式的证明策略三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明.【变式训练3】求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .【证明】∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝⎛⎭⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 专题4三角函数与平面向量的综合应用【例4】设a ＝（1＋cos α，sin α），b ＝（1－cos β，sin β），c ＝（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sin α－β4的值. 【分析】 利用向量的夹角公式得三角函数式，然后利用三角函数知识得出角之间的关系.【解】 由题意知|a |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2cos α2， |b |＝（1－cos β）2＋sin 2β＝2sin β2，|c |＝1. 又a·c ＝1＋cos α＝2cos 2α2，b·c ＝1－cos β＝2sin 2β2， ∴cos θ1＝a·c |a||c|＝cos α2，cos θ2＝b·c |b||c|＝sin β2. ∵α∈（0，π），∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ1＝α2. 又β∈（π，2π），∴β2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，即0<β2－π2<π2. 由cos θ2＝sin β2＝cos ⎝⎛⎭⎫β2－π2，得θ2＝β2－π2. 由θ1－θ2＝π6，得α2－⎝⎛⎭⎫β2－π2＝π6， ∴α－β2＝－π3，∴α－β4＝－π6. ∴sin α－β4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 【方法总结】三角函数与平面向量的解题策略三角函数与平面向量相结合包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图象与性质，以及三角函数的化简、求值.【变式训练4】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. （1）若m ⊥n ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值. 【解】（1）∵m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），且m ⊥n ， ∴m ·n ＝（22，－22）·（sin x ，cos x ）＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝0，即x ＝π4，∴tan x ＝tan π4＝1. （2）由（1）知cos π3＝m ·n |m |·|n |＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4（22）2＋（－22）2·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。
1．6 三角函数模型的简单应用 [导入新知] 1．三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决． 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． 这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式． 2．三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． [化解疑难] 三角函数模型应用流程 (1)审题：确定选用什么样的函数模型解题． (2)建模：根据题意，列出数量关系，建立三角函数模型． (3)解模：运用三角函数的相关公式进行化简． (4)还原：解模后还要根据实际问题的背景，进行检验，并作答．
函数解析式与图象对应问题 [例1] 函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
[答案] C [类题通法] 解决函数图象与解析式对应问题的策略 (1)解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据． (2)利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ. 其中A由最值确定； ω由周期确定，而周期由特殊点求得； φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ. [活学活用]
函数f(x)＝cos x·|tan x|在区间π2，3π2上的大致图象为( )
答案：C 三角函数在物理中的应用 [例2] 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin2πt＋π6. (1)作出函数的图象． (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ [解] (1)利用“五点法”可作出其图象．
(2)因为当t＝0时， s＝6sinπ6＝3，
所以此时离开平衡位置3 cm. (3)离开平衡位置6 cm.
(4)因为T＝2π2π＝1， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. [类题通法] 三角函数在物理中的应用 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法． [活学活用]
交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
答案：(1)1103 V (2)0.02 s (3)电压的最大值为2203 V；t＝1300 s 三角函数在实际生活中的应用 [例3] 心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p(t)的草图； (4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝2π|ω|，可得T＝2π160π＝180(min)，所以函数
p(t)的周期为180 min.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝1T＝80(次)． (3)列表： t 0 1320 1160 3320 180
p(t) 115 140 115 90 115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示： (4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg. [类题通法] 解三角函数应用问题的基本步骤
[活学活用] 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题： (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
答案：(1)y＝40.5－40cosπ6t(t≥0) (2)20分
3.由实际数据拟合函数 [典例] (12分)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b. (1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式； (2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动． [解题流程]
[规范解答] (1)由表中数据，知周期T＝12， ∴ω＝2πT＝π6. (2分) 由t＝0，y＝1.5， 得A＋b＝1.5. (3分) 又由t＝3，y＝1.0， 得b＝1.0， (4分) ∴A＝0.5，b＝1.0， 即振幅为12.(5分) ∴y＝12cosπ6t＋1. (6分) (2)由题意知，当y>1时才对冲浪者开放， ∴12cosπ6t＋1>1， ∴cosπ6t>0， (7分) ∴2kπ－π2相邻两个最大值或相邻两个最小值之间为一个周期．
要求A，b应建立关于A，b的方程组，本题可通过图象过点(0,1.5)和(3,1.0)建立关于A，b的方程组求解．
由浪高大于1米建立关于t的不等式是解决此题的关键.
此处易忽视t的取值范围而导致解题失误.,应根据实际确定k的取值，此处易忽视k∈N导致错误，也常漏解k的取值情况而造成解题错误. 得0≤t<3或9分) ∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间有6个小时 可供冲浪者进行活动，即上午9：00至下午15：00. (12分)
[活学活用] 某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看作函数y＝Asin ωt＋b的图象． (1)试根据以上数据，求函数解析式． (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？
答案：(1)y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24) (2)在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港；停留4小时
[随堂即时演练] 1．将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速度释放，并同时开始计时，取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图象中正确的是( ) 答案：D 2．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( ) A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 答案： D 3．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为10 cm，秒针均匀地绕点O旋转．记钟面上数字12处为B点，当时间t＝0时，点A与钟面上点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
答案：20sinπt60 4.如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin ωt＋π6(A>0，ω≠0)的图象，则当t＝150秒时，电流强度是________安． 答案：5
5．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sinπ8x－5π4＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差； (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
答案：(1)20 ℃ (2)83 h [课时达标检测] 一、选择题 1．(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝
3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
