精选高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第1讲函数图象与性质及函数与方程练习

专题二 第一讲 函数的图象与性质A 组1．(2017·山东莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝fxlog 12－x的定义域为 ( B )A ．[32，＋∞)B ．[32，2)C ．(32，＋∞)D ．[12，2)[解析] 要使函数y ＝fxlog 12－x 有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12－x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2． 故选B ．2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是 ( C )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数[解析] 由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误．故选C ．3．(2017·山西四校联考)函数y ＝2xπ2＋6x 4x－1的图象大致为 ( D )[解析] y ＝2xπ2＋6x 4x －1＝2x cos 6x 22x －1＝cos 6x2x －2－x ，由此容易判断函数为奇函数，可以排除A ；又函数有无数个零点，可排除C ；当x 取一个较小的正数时，y >0，由此可排除B ，故选D ．4．(2017·湖北黄冈一模)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )．若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为 ( A )A ．12，2 B ．12，4 C ．22， 2 D ．14，4 [解析] (数形结合求解)f (x )＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1，根据f (m )＝f (n )(m <n )及f (x )的单调性，知mn ＝1且0<m <1，n >1． 又f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，由图象知：f (m 2)>f (m )＝f (n )， ∴f (x )max ＝f (m 2)，x ∈[m 2，n ]． 故f (m 2)＝2，易得n ＝2，m ＝12．5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x 2＋t ，x <0，t ＋x ，x ≥0，且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为 ( B ) A ．18 B ．12 C ．112D ．118[解析] 因为1>0，所以f (1)＝2(t ＋1)＝6，即t ＋1＝3，解得t ＝2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x 2＋，x <0，2×3x ，x ≥0，所以f (－2)＝log 3[(－2)2＋2]＝log 36>0，f (f (－2))＝f (log 36)＝2×3log 36＝2×6＝12．6．函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( C )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0[解析] 由题中图象可知－c >0， 所以c <0，当x ＝0时，f (0)＝bc2>0⇒b >0， 当y ＝0时，ax ＋b ＝0⇒x ＝－b a>0⇒a <0．7．(2017·淄博模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围是__a ≥1__.[解析] 函数y ＝log 2(ax －1)由y ＝log 2u ，u ＝ax －1复合而成，由于y ＝log 2u 是单调递增函数，因此u ＝ax －1是增函数，所以a >0，由于u ＝ax －1>0恒成立，当x ＝1时，有最小值，ax －1>a －1≥0，所以a ≥1．8．(2017·云南昆明模拟)已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n ＝__－1__.[解析] a ＝log 23>1,0<b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1．9．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝a －22x ＋1．(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围． [解析] (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1．(2)因为f (x )的定义域为R ，所以任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝x 1－2x 2＋2x 1＋2x 2，因为y ＝2x在R 上单调递增且x 1<x 2， 所以0<2x 1<2x 2，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在R 上单调递增． (3)因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1， 解得a ＝1.(或用f (0)＝0去解) 所以f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)． 又因为f (x )在R 上单调递增， 所以x <2．B 组1．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝ ( C )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1． ∵f (x )，g (x )分别是偶函数和奇函数， ∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)， 即f (1)＋g (1)＝1． 故选C ．2．(2017·辽宁实验中学月考)函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是 ( B )A ．f (1)<f (52)<f (72)B ．f (72)<f (1)<f (52)C ．f (72)<f (52)<f (1)D ．f (52)<f (1)<f (72)[解析] ∵f (x ＋2)是偶函数， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (x )＝f (4－x )，∴f (52)＝f (32)，f (72)＝f (12)．又0<12<1<32<2，f (x )在[0,2]上单调递增，∴f (12)<f (1)<f (32)，即f (72)<f (1)<f (52)．3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)<x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为 ( C )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)[解析] 由条件式得(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0， ∴x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )为减函数，又f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴不等式f (1－x )<0化为f (1－x )<f (0)， ∴1－x >0，∴x <1，故选C ．4．如图，过单位圆O 上一点P 作圆O 的切线MN ，点Q 为圆O 上一动点，当点Q 由点P 逆时针方向运动时，设∠POQ ＝x ，弓形PRQ 的面积为S ，则S ＝f (x )在x ∈[0,2π]上的大致图象是 ( B )[解析] S ＝f (x )＝S 扇型PRQ ＋S △POQ ＝12(2π－x )·12＋12sin x ＝π－12x ＋12sin x ，则f ′(x )＝12(cos x －1)≤0，所以函数S ＝f (x )在[0,2π]上为减函数，当x ＝0和x ＝2π时，分别取得最大值与最小值．又当x 从0逐渐增大到π时，cos x 逐渐减小，切线斜率逐渐减小，曲线越来越陡；当x 从π逐渐增大到2π时，cos x 逐渐增大，切线斜率逐渐增大，曲线越来越平缓，结合选项可知，B 正确．5．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则x 的取值范围是 ( C )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)[解析] 因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， 所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )， 即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0＋x ，x >0函数f (x )的图象如下：可判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1． 故选C ．6．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数． (1)对任意的x ∈[0,1]，恒有f (x )≥0；(2)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立． 则下列3个函数中不是M 函数的个数是 ( B ) ①f (x )＝x 2②f (x )＝x 2＋1 ③f (x )＝2x－1A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 在[0,1]上，3个函数都满足f (x )≥0.当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时：对于①，f (x 1＋x 2)－f [f (x 1)＋f (x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x 21＋x 22)＝2x 1x 2≥0，满足；对于②，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝[(x 1＋x 2)2＋1]－[(x 21＋1)＋(x 22＋1)]＝2x 1x 2－1<0，不满足；对于③，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1)＝2x 12x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足．故选B ．7．(2017·西安模拟)已知函数y ＝f (log 2x )的定义域为(1,4)，则函数y ＝f (2sin x －1)的定义域是__{x |2k π＋π6<x <2k π＋5π6}，k ∈Z __.[解析] 因为y ＝f (log 2x )的定义域为(1,4)， 所以1<x <4，则0<log 2x <2， 即y ＝f (x )的定义域为(0,2)． 由0<2sin x －1<2，得12<sin x <32，即12<sin x ≤1， 解得2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z ，即函数y ＝f (2sin x －1)的定义域是{x |2k π＋π6<x <2k π＋5π6}，k ∈Z ．8．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0． 其中所有正确命题的序号是__①②__.[解析] 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确，由于f (x )是偶函数，所以f (x －1)＝f (1－x )， 结合f (x ＋1)＝f (x －1)得f (1＋x )＝f (1－x )， 故f (x )的图象关于x ＝1对称．当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ＝2x －1，单调递增，所以f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上是增函数，故②正确．由②知，f (x )在一个周期区间[0,2]上的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝f (2)＝12，所以函数f (x )的最大值为1，最小值为12，故③不正确．9．(2017·泰安模拟)已知奇函数f (x )的定义域为[－1,1]，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－(12)x . (1)求函数f (x )在[0,1]上的值域；(2)若x ∈(0,1]，y ＝14f 2(x )－λ2f (x )＋1的最小值为－2，求实数λ的值．[解析] (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)， 所以f (－x )＝－(12)－x ＝－2x．又因为f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以当x ∈(0,1]时，f (x )＝－f (－x )＝2x， 所以f (x )∈(1,2]． 又f (0)＝0，所以当x ∈[0,1]时函数f (x )的值域为(1,2]∪{0}． (2)由(1)知当x ∈(0,1]时，f (x )∈(1,2]， 所以12f (x )∈(12，1]，令t ＝12f (x )，则12<t ≤1，g (t )＝14f 2(x )－λ2f (x )＋1＝t 2－λt ＋1＝(t －λ2)2＋1－λ24．①当λ2≤12，即λ≤1时，g (t )>g (12)无最小值．②当12<λ2≤1，即1<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ2)＝1－λ24＝－2．解得λ＝±23舍去．③当λ2>1，即λ>2时，g (t )min ＝g (1)＝－2，解得λ＝4． 综上所述：λ＝4．。

二轮复习函数与导数第1讲 函数的图象与性质一、单项选择题1．列既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝tan xD ．y ＝－1x2．(2022·西安模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1－1，x ≤3，log 2(x 2－1)，x >3，若f (x )＝3，则x 的值为() A ．3 B ．1C ．－3D ．1或33．(2022·常德模拟)函数f (x )＝sin (πx )e x ＋e －x 的图象大致是( )4．(2022·张家口检测)已知函数f (x )＝e x －1e x ＋1，则( )A ．函数f (x )是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．函数f (x )是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．函数f (x )是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D ．函数f (x )非奇非偶，在区间(－∞，0)上单调递增5．(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋16．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)等于( )A ．1B ．2C ．0 D.1327．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2，0<x ≤4，12f (x －4)，x >4，则方程f (x )＝1的解的个数为( ) A ．4B ．6C ．8D ．10 8．(2022·河北联考)若函数f (2x ＋1)(x ∈R )是周期为2的奇函数，则下列结论不正确的是( )A ．函数f (x )的周期为4B ．函数f (x )的图象关于点(1,0)对称C ．f (2 021)＝0D ．f (2 022)＝0二、多项选择题9．下列函数中，定义域与值域相同的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝ln xC ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －110．(2022·淄博检测)函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∉Q 被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是( )A ．函数D (x )的值域为[0,1]B ．若D (x 0)＝1，则D (x 0＋1)＝1C ．若D (x 1)－D (x 2)＝0，则x 1－x 2∈QD ．∃x ∈R ，D (x ＋2)＝111．下列可能是函数f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2(其中a ，b ，c ∈{－1,0,1})的图象的是( )12．已知函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝－1对称，且对∀x ∈R ，有f (x )＋f (－x )＝4.当x ∈(0,2]时，f (x )＝x ＋2，则下列说法正确的是( )A ．8是f (x )的周期B ．f (x )的最大值为5C ．f (2 023)＝1D ．f (x ＋2)为偶函数三、填空题13．(2022·泸州模拟)写出一个具有下列性质①②③的函数f (x )＝____________.①定义域为R ；②函数f (x )是奇函数；③f (x ＋π)＝f (x )．14．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1－x )＋1，则f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝________. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －a )2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________． 16．(2022·济宁模拟)已知函数f (x )＝e |x －1|－sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，则使得f (x )>f (2x )成立的x 的取值范围是____________．。