华东师大版垂线的导学案

垂线-华东师大版七年级数学上册教案
一、教学目标
1.理解垂线的意义和特点，掌握垂线的作图方法；
2.能够确定垂线、垂心；
3.能够应用垂线定理和垂心定理解决与垂线相关的数学问题。

二、教学内容
本节课的教学内容是垂线定理和垂心定理，其中包括：
1.垂线的定义及相关概念；
2.垂线的作图方法；
3.垂线定理的定义和推导；
4.垂心定理的定义和推导；
5.垂线定理和垂心定理的应用。

三、教学重难点
教学重点
1.理解垂线的意义和特点，掌握垂线的作图方法；
2.能够确定垂线、垂心；
3.能够应用垂线定理和垂心定理解决与垂线相关的数学问题。

教学难点
1.垂线定理和垂心定理的推导；
2.确定垂心的方法。

四、教学过程
1. 课前预习
1.了解垂线、垂心的定义及相关概念；
2.预习垂线定理和垂心定理的相关内容。

2. 导入新知
1.引入垂线的概念和定义；
2.通过例题介绍垂线的作图方法。

3. 理论讲解
1.讲解垂线定理的定义和推导；
2.讲解垂心定理的定义和推导。

4. 案例讲解
1.通过案例引出垂心及垂心的确定方法；
2.通过案例演示垂线定理和垂心定理的应用。

5. 课后练习
1.根据题目需要，利用垂线定理和垂心定理解决相关数学问题；
2.完成练习题，深入理解和掌握课堂内容。

五、教学方式
1.讲授和演示相结合；
2.个别辅导和小组讨论。

六、课堂反馈
1.点名、提问；
2.讨论、互评。

课题：5.1.2 垂线课型：新授学习目标:1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。

2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。

3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。

学习重点：垂线的定义及性质。

学习难点：垂线的画法学具准备：相交线模型，三角尺，量角器学习过程：一、探索与思考（一）垂线的定义|C1、观察思考：转动相交线模型，观察两条直线所成的夹\A 0 -B角的变化。

当夹角变化I D到。

时，就是我们今天要研究的两条直线垂直。

2、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，这两条直线就互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的,它们的交点叫做。

3、符号表示：①如果直线AB、CD互相垂直，记作ABXCD ,垂足为Oo②由两条直线垂直，可知四个角为直角。

记为VABXCD （已知）/. ZAOD =90° （垂直定义）由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直。

记为・.NA0D =90° （已知）.-.AB1CD （垂直定义）4、总结：①垂直是相交。

是相交的一种特殊情况。

垂直是一种相互关系，即a±b,同时b±a当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是指它们所在的直线互相垂直。

5、生活中的垂直关系：日常生活中，两条直线互相垂直很常见，你能举出几个例子吗？（二）垂线的性质一1、垂线的画法有两种：利用或者。

2、探究：完成教材 4 页探究问题。

• PL一P L⑴（2）3、垂线性质：。

4、对应练习：教材5页练习1、2 （在书上完成）（一）垂线的性质二1、思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？（教材5-6） 2、探究：上面思考问题可以转化为数学问题：“已知直线1和直线外一点P,连接点P到直线1上各点O,A1,A2,A3其中PO±1 （我们称P0为点P到直线1的垂线段）。

《垂线》教案教学目标理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理. 教学重点与难点1．教学重点：垂线的定义及性质.2．教学难点：垂线的画法.教学过程设计一.复习提问：1、对顶角的定义.2、对顶角有怎样的性质.二．依标自学：前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题.(一)垂线的定义.(学生总结叙述)当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图，直线AB 、CD 互相垂直，记作CD AB ⊥，垂足为O.A B CD O请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例. 注意：1、 如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直.2、掌握如下的推理过程：(如上图).(90(垂直定义）已知），︒=∠=∠=∠=∠∴⊥AOD BOD COB AOC CD AB反之，90((AOC AB CD ∠=︒∴⊥已知），垂直定义）.(二)垂线的画法.探究：1、用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画出几条？2、经过直线l 上一点A 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？3、经过直线l 外一点B 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上.(三)垂线的性质.经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：性质1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.探究：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A，B，C，……，其中lPO (我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，哪一条最短？性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.(四)点到直线的距离.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.PA B CO如上图，PO的长度叫做点P到直线l的距离. 三．展示提升.BCBAC⊥︒=∠AD垂足为则下列结论：90D如图，,,,(1)AB与AC互相垂直；(2)AD与AC互相垂直；(3)点C到AB的垂线段是线段AB；(4)点A到BC的距离是线段AD；(5)线段AB的长度是点B到AC的距离；(6)线段AB是点B到AC的距离.其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个2．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，,65OE CD OF AB DOF BOE AOC ⊥⊥∠=︒∠∠，，求和的度数.OFE D CB A四．反馈提高.1.ABC BAC ∆∠如图，已知中，为钝角.CBA的距离是多少？到）点（的垂线；点画）过（的垂线段；到）画出点（AC B BC A AB C 321小结：要掌握好垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念； 要清楚垂线是相交线的特殊情况，与上节知识联系好，并能正确利用工具画出标准图形；垂线的性质为今后知识的学习奠定了基础，应该熟练掌握.。

日常生活中，如下图中的两条相交直线很常见，你知道它们是什么关系吗？学生答：垂直老师引入课题并板书：5.1.2 垂线（从一般到特殊的相交线）探究一：垂线的概念在下图中,固定木条AB,转动木条CD,当CD的位置变化时, AB、CD所成的∠α也会发生变化。

当∠α=90°，其它三个角是多少度？总结归纳：（老师在黑板上画出两条直线垂直，并引导学生归纳）垂线的概念：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”。

如：“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”。

交点O叫做垂足。

垂直是相交的特殊情况。

小试牛刀：（1）如图1，若直线a、b相交于点O，∠1＝90°，则a b；（2）如图2，若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD =___。

（老师提问学生，并带领学生学会用几何语言表达）探究二：垂线的画法及基本事实(1)已知一条直线l，那如何画直线l的垂线？这样的垂线能画几条呢？老师带领学生总结画法：1：放（放三角板或量角器）2：靠（使三角板的一条直角边紧靠已知直线或量角器的90°刻度线紧靠已知直线）3：画线（用笔沿着三角板的另一条直角边或量角器的边画线）(2)已知一条直线l，现有一点P,如何过点P画直线l的垂线？这样的垂线又能画几条呢？（老师引导学生考虑点P与已知直线的位置关系，然后在做垂线）(老师让学生看课本第163页试一试，并挑同学上黑板画)引导学生总结出基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

注：（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性。

小试牛刀：直线AB外有一点P，过点P画AB的垂线，正确的是（）课本习题：老师带领学生做课本第165页练习1，并挑同学回答。

第1课时垂线一、新课导入1.导入课题：观察周围的景物：墙与地面、桌腿与地面、公路两边的电线杆与地面的位置关系都给我们垂直的印象，导出课题——垂线.2.学习目标：〔1〕能说出垂线、垂线段的意义、会用三角尺或量角器过一点画直线的垂线.〔2〕记住垂线的性质并会利用所学知识进行简单的推理.3.学习重、难点：重点：正确理解垂线、垂线段的概念.难点：能利用垂线的性质进行简单的推理.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：课本P3至P4“探究〞之前的内容.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学要求：认真阅读教材，对重、难点内容做好标记.不清楚，不懂的地方可以小组讨论.〔4〕自学参考提纲：①∠α=90°时，a和b互相垂直，这说明：当两条直线相交成的四个角中，有一个角是90°时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.②垂线的定义推理过程〔如图1〕：因为AB⊥CD〔〕,所以∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°(垂直定义).反之因为∠AOC=90°(),所以AB⊥CD(垂直定义).③如图2，直线a ⊥b，∠1 = 35°，那么∠2 =55°.④当两条直线相交所成的四个角相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？互相垂直.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：教师在学生自学时巡视课堂，关注学生的学习进度和学习中存在的问题.②差异指导：对在自学中遇到疑难或认识有偏差的学生进行点拨引导.〔2〕生助生：学生通过小组交流探讨各自遇到的问题.4.强化：〔1〕垂线、垂线段的概念.〔2〕举例说明生活中的垂直现象.1.自学指导：〔1〕自学内容：课本P5练习之前的内容.〔2〕自学时间：3分钟.〔3〕自学要求：根据探究提纲动手操作画图；在动手过程中互助交流作图方法.〔4〕探究提纲：①如图,用三角尺或量角器画直线l的垂线,这样的垂线能画几条?小组内交流,明确直线l的垂线有无数条,即垂线存在,但位置有不确定性.②如图1，在直线l上取一点A，过点A画直线l的垂线，能画几条?如图2，经过直线l外一点B画直线l的垂线，这样的垂线能画几条?③从②中你能得出什么结论?在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生是否会列表，是否理解表中的数据的意义以及画图中存在的问题.②差异指导：根据学情分类指导.〔2〕生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化:〔1〕用三角尺过点画直线的垂线的方法：①一边靠线；②移动找点；③画垂线.〔2〕垂线的存在性和唯一性：在同一平面上，过一点有且只有一条直线与直线垂直.〔3〕练习：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线.三、评价1.学生学习的自我评价：各小组长谈学习收获和存在的困惑.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生在学习中表现出的态度、情感、方法和成效进行点评.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕:在这堂课中，学生的主体地位突出了，真正亲历了知识形成的全过程.在自主学习、同桌合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明，在自由探索与合作交流的学习方式中，学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课实施中的每一个学习活动，都以学生个性思维、自我感悟为前提屡次设计了让学生自主探索、合作交流的时间与空间.通过学生和谐有效地互动，强化了学生的自主学习意识.〔时间：12分钟总分值：100分〕一、根底稳固〔70分〕1.〔10分〕如下列图，假设AB⊥CD于点O，那么∠AOD=90°；假设∠BOD=90°，那么AB⊥CD.2.〔10分〕如下列图，AO⊥BC于点O，那么∠1与∠2的关系是∠1+∠2=90°.第1题图第2题图第3题图第4题图3.〔10分〕如图，OA⊥OB，OC是一条射线，假设∠AOC=120°，那么∠BOC=30°．4.〔10分〕如下列图，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，假设∠1=26°，那么∠2的度数是〔B〕°°° D.以上答案都不对5.〔15分〕如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC ＝35°，求∠AOD和∠BOD的度数.解：因为EO⊥AB，所以∠EOB=∠EOA=90°,所以∠COB=∠COE+∠EOB=125°.又因为∠AOD=∠BOC(对顶角相等)，所以∠AOD=125°.因为∠AOC=∠AOE-∠COE=55°,所以∠BOD=∠AOC=55°〔对顶角相等〕.二、综合应用〔20分〕6.如图，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上吗？为什么？解：A、B、C三点在同一直线上.∵AB⊥l，BC⊥l.且交点都为B.∴A、B、C三点在同一直线上〔在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直〕.三、拓展延伸〔20分〕7.如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O.〔1〕假设∠1=∠2,求∠NOD;〔2〕假设∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD.解：〔1〕因为OM⊥AB,所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°,所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.〔2〕由条件∠BOC=4∠1，即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°，所以∠AOC=90°-30°=60°，所以由对顶角相等可得∠BOD=60°,所以∠MOD=90°+∠BOD=150°.5.3.1 平行线的性质一、新课导入1.导入课题：利用同位角、内错角、同旁内角之间的关系可以判定两条直线平行.你还记得这些判定方法分别是如何表达的吗？反过来，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是本节课我们所要研究的内容.〔板书课题〕2.学习目标：〔1〕能表达平行线的三条性质.〔2〕能运用平行线的三条性质进行简单的推理和计算.3.学习重、难点：重点：对平行线性质的理解及它们与平行线的判定之间的关系.难点：性质2和性质3的推理过程的逻辑表述.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：课本P18的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学要求：正确画图、测量、验证、归纳.〔4〕探究提纲：①画图：画两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交〔如图1所示〕.②测量：测量这些角的度数,把结果填入表内.③分析：∠1～∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？答案：同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8，相等.④猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？⑤验证：如果改变截线的位置，你的猜想还成立吗？⑥归纳：a.你能用文字语言表述你发现的结论吗？b.你还能用符号语言表述该结论吗？2.自学：学生按探究提纲进行研讨式学习.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：了解学生围绕探究提纲进行学习的情况及存在的困惑.②差异指导：对个别学生在学法和认知有偏差时进行点拨引导.〔2〕生助生：小组内学生之间相互交流，展示成果，查找并纠正不正确的认识或结论.4.强化：〔1〕平行线的性质1及其几何表述.〔2〕经历平行线的性质1的探究过程，体会研究几何图形的一般方法.1.自学指导：〔1〕自学内容：课本P19的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学要求：阅读教材，重要的局部做好圈点，疑点处做好记号.〔4〕自学参考提纲：①与平行线的判定类似，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？a.结合图2，你能写出推理过程吗？b.类比性质1，你能用文字语言表述上面的结论吗？答案：两直线平行，内错角相等.c.你还能用几何语言表述该结论吗？②a.类似地，可以推出平行线关于同旁内角的性质3:两直线平行，同旁内角互补，如图2，用几何语言表述为：∵a∥b,∴∠2+∠4=180°.b.试写出用性质1推出性质3的推理过程.c.试写出用性质2推出性质3的推理过程.③如图3，平行线AB、CD被直线AE所截.∠1＝110°，可以知道∠2是多少度吗？为什么？答案：∠2=110°.两直线平行，内错角相等.∠1＝110°，可以知道∠3是多少度吗？为什么？答案：∠3=110°.两直线平行，同位角相等.∠1＝110°，可以知道∠4是多少度吗？为什么？答案：∠4=70°.两直线平行，同旁内角互补.④如图4，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝39°，∠C是多少度？为什么？答案：∠C=39°.∵AB∥CD,∴∠C=∠FGB,又∵AE∥CF,∴∠A=∠FGB,∴∠A=∠C=39°.2.自学：同学们可参照自学参考提纲进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：教师深入课堂巡视了解学生的自学情况，尤其是性质2和性质3的推理过程，看学生能否写出来.②差异指导：对局部感到困难的学生进行点拨引导.〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨、订正.4.强化：〔1〕平行线的性质1、2、3及其几何表述.〔2〕判定与性质的区别：从角的关系得到两直线平行，就是判定；从直线平行得到角相等或互补，就是性质.〔3〕练习：课本P20“练习〞第1题和第2题.三、评价1.学生学习的自我评价：各小组组长对本组的学习成果和困惑进行总结交流.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、成效及缺乏进行点评.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕:这节课比较成功的地方是：①对教学的方式进行了一定的尝试，注重学生的分析能力，启发学生用不同方法解决问题.②尽量锻炼学生使用标准性的几何语言.缺乏的是师生之间的互动配合和默契程度有待加强.(时间：12分钟总分值：100分)一、根底稳固〔60分〕1.〔10分〕如图，由AB∥CD可以得到〔C〕A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠1＝∠4D.∠3＝∠4第1题图第2题图2.〔10分〕如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝〔C〕A.180°B.270°C.360°D.540°3.〔10分〕如图,一条公路两次转弯后,和原来的方向相同,那么如果第一次拐的角是76°,那么第二次拐的角是76度,根据是两直线平行，内错角相等.4.〔10分〕如图,要在公路的两侧铺设平行管道,如果公路一侧铺设的管道与纵向联通管道的角度为120°,那么,为了使管道对接,另一侧应以60°角度铺设纵向联通管道,根据是两直线平行，同旁内角互补.第3题图第4题图第5题图5.〔20分〕如图,a∥b,c、d是截线，假设∠1＝80°，∠5＝70°，求∠2、∠3、∠4各是多少度?为什么？解：∵a∥b，∴∠2=∠1=80°〔两直线平行，内错角相等〕,∠3=180°-∠5=110°(两直线平行，同旁内角互补).∵∠4=∠3(两直线平行，同位角相等)，∴∠4=110°.二、综合运用〔20分〕6.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1＝45°，∠2＝122°，求图中其他角的度数.解：由题意得：∠3=∠1=45°,∠1+∠7=180°,∴∠7=180°-∠1=135°.∴∠8=∠7=135°.又∠4=∠2=122°，∠2+∠5=180°，∴∠5=180°-∠2=58°.∴∠6=∠5=58°.三、拓展延伸〔20分〕7.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°.〔1〕∠DAB等于多少度？为什么？〔2〕∠EAC等于多少度？为什么？〔3〕∠BAC等于多少度？〔4〕由〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？解：〔1〕∵DE∥BC，∴∠DAB=∠B=44°〔两直线平行，内错角相等〕.〔2〕∵DE∥BC，∴∠EAC=∠C=57°(两直线平行，内错角相等).〔3〕∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=180°-44°-57°=79°.。

珠海新世纪学校2018级初一 数学 导学案NO.2 编制人：王玉周 备课组长签字： 时间： 班级： 小组： 姓名： 评价：Administrator 志于道 据于德 游于艺 成于学第五章 垂线5.1.2【学习目标】1. 经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,培养用几何语言准确表达的能力2. 了解垂直概念,能说出垂线的性质3. 会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.【学法指导】认真阅读课本第4页的内容 ，完成下面练习并体验知识点的形成过程. 模仿教材画出两条直线相交的图形，结合定义在图上描出邻补角、 对顶角 ，再一次理解定义。

【预习案】(精读教材P 2 P 3)【预习一】1.认真系阅读课本第4页的内容 ，完成下面练习并体验知识点的形成过程 1.学生观察思考:固定木条a,转动木条b, 当b 的位置变化时,a 、b 所成的角也发生变化。

当 ∠a =90°时，会有特殊情况出现，a 、b 所成的四个角有什么特殊关系，答：2. 垂线定义：两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________，其中一条直线是另一条直线的_____，他们的交点叫做_____。

3.垂直用符号 来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为____________并在图中任意一个角处作上直角记号。

4.用几何语言表示：方式⑴ ∵ ∠AOC=90°∴ AB_____CD，垂足是_____ 方式⑵ ∵ AB⊥CD 于O ∴ ∠AOC=______预习练一练1、如图所示，直线AB 与CD 垂直，记作____ ，此时，∠AOD=____ =____ =____ =90°【我的疑问】【探究案】【探究案一】1、如图所示，OA⊥OB，OC是一条射线，若∠AOC=120°，求∠BOC 度数【探究案二】 垂线公理 1.观察下图，分析探究作直线的垂线的方法，然后作图：ABCD(1)过直线L 上一点B 作直线a 与L 垂直.L(2)过直线L 上一点A 作直线b 与L 垂直L总结：垂线公理:在同一平面内，过一点有且只有 ______直线与已知直线垂直。

垂线教学目的：1、使学生你理解垂线的含义与垂线的画法；2、能理解点到直线的距离，理解垂线段的意义；3、能在学习中了解几何的不同情况下的分类，以及能在一个三角形作出三角形的高。

重点：如何确定点到直线的距离以及垂直的公理；难点：如何在教学中渗透变换的思想。

教学过程：一、知识导向：本节课的知识是学生逐渐接触完整的几何图形及对几何知识的系统学习，在本节的学习中要充分注意知识的连贯性，使学生在学习在有一个充分思维的过程，并在在知识学习的过程自我发现，自我处理问题，通过结合前面的学习，初步学会对几何知识的综合理解应用。

二、新课拆析：1、知识设疑：同学们把手中可以转动的两条相交的纸条进行转动，在转动的过程中，是否会出现四个角都相等的情况？如果会，那么每一个角都是多少度？2、知识释疑：从上节课的学习中，我们已经知道两条直线相交会出现四对邻补角，两对对顶角，这两条直线称做相交线。

当两条直线转动到所形成的四个角都相等时（等于直角），这时，称这两条直线互相垂直。

概括：两条直线相交，只有一个交点。

当两直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，称这两直线互相垂直。

他们的交点叫做垂足。

垂线图形：表示：，CD AB ⊥，垂足为O ，应用： )90(90︒=∠=∠=∠︒=∠BOD AOD BOC AOC∴CD AB ⊥3、知识延伸：（1）画（作）一条已知直线的垂线已知直线AB ，及AB 外（上）一点P ，求画出过P 点垂直于直线AB 的直线CD 。

（2）垂线的公理从画图的过程及其结果中，我们很容易发现，过一点只能作 A B C D O A P A BP一条直线与已知直线相垂直。

概括：（垂线的性质）在同一平面上，经过直线外（上）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

（3）点到直线的距离从生活中的实际，我们也很容易得知，如果你将从教室的一边走到教室的另一边，能走最短的路，就是沿着与对面垂直的线路来走，所以概括：（公理）垂线段最短。

点（直线外）到直线的距离指的就是这个点到这条直线的垂线段的长度。

难点：如何在教学中渗透变换的思想。

教具准备：本节课的知识是学生逐渐接触完整的几何图形及对几何知识的系统结合前面的学习，初步学会对几何知识的综合理解应用。

中，是否会出现四个角都相等的情况？如果会，那么每一个角都是多少两对对顶角，这两条直线称做相交线。

当两条直线转动到所形成的四个垂线 图形：表示：，CD AB ⊥，垂足为O ，应用：Θ )90(90︒=∠=∠=∠︒=∠BOD AOD BOC AOC ∴CD AB ⊥ 3、知识延伸：（1）画（作）一条已知直线的垂线已知直线AB ，及AB 外（上）一点P ，求画出过P 点垂直于直线AB 的直线CD 。

（2）垂线的公理从画图的过程及其结果中，我们很容易发现，过一点只能作 一条直线与已知直线相垂直。

概括：（垂线的性质）在同一平面上，经过直线外（上）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

（3）点到直线的距离从生活中的实际，我们也很容易得知，如果你将从教室的一边走到教室的另一边，能走最短的路，就是沿着与对面垂直的线路来走，所以 概括：（公理）垂线段最短。

点（直线外）到直线的距离指的就是这个点到这条直线的垂线段的长度。

4、例题讲解：例：1、如图，已知，CD AB ⊥，垂足为O ，OE 是一条射线，且︒=∠35AOE求：BOE ∠，COE ∠当有一个角是直角时，另外三个角也是直角，这个在原理上必须让学生明白。

图形与语言的结合（转化）是几何中的一个难点。

作图的方法，可以作为一个补充知识进行讲解，在画垂线时，不一定局限于三角板或是量角器，也应懂得利用身边的东西（如书本）。

垂线段的定义是否有必须讲，仍然必待探讨。

做题的格式与方法，过程，应在平时多加学习锻炼。

APABPABCDOE2、如图，在△ABC中，请作出AB边上的高，及求出顶点B到边AC的距离。

三、巩固训练：Ｐ164 exc1、2、3、做一做四、知识小结：从本节课的学习中，我们应该懂得垂线的含义，并能根据定义画出适合题意的垂线，明白：过一点作一已知直线的垂线有且只有一条，能够通过作垂线求得点到直线的距离。

5.1.2 垂线 第2课时 导学案学习目标：1.理解垂线段的意义以及点到直线的距离的概念.（重难点）2.通过对垂线段的学习过程，体验从操作中以及现实生活中发现数学的事实感受简单的推理.3.体会数学知识在实际生活中的应用.一、情境导入问题1：你知道跳远时，跳远成绩是怎样测量的吗？问题2：你知道这里包含着怎样的数学道理吗？观察，并和同学们讨论一下吧！做法：______________________________________________________________ 理论依据：___________________________________________________________二、探究新知1.如图，连接直线l 外一点P 与直线l 上各点O ，A1,A2,A3...，其中PO ⊥l （我们称PO 为点P 到直线l 的垂线段）.比较线段PO ，PA1,PA2,PA3，...的长短，这些线段中，哪一条最短？l1234D P B C A D A CB 小组活动：画一画，量一量,比一比.师生共同归纳结论：__________________________________________________________________ ________________________________________________叫做点到直线的距离.三、巩固练习1.如图，三角形ABC 中，∠C ＝90°.（1）分别指出点A 到直线BC ，点B 到直线AC 的距离是哪些线段的长？（2）三条边AB 、AC 、BC 中哪条边最长？为什么？2.如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ）A.线段PAB.线段PBC.线段PCD.线段PD3.如图，下列说法正确的是（ ）A.线段AB 叫做点B 到直线AC 的距离B.线段AB 的长度叫做点A 到直线AC 的距离C.线段BD 的长度叫做点D 到直线BC 的距离D.线段BD的长度叫做点B 到直线AC 的距离 4.如图，是一条河，C 是河边AB 外一点．现欲用水管从河边AB 将水引到C 处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．5.一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C、D 是分别位于公路AB两侧的加油站.（1）设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中分别画出点M、N的位置；（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离C、D两加油站都越来越近？在哪一段路上距离加油站D越来越近，而离加油站C却越来越远？四、课堂小结谈谈你本节课的收获.五、作业布置见精准作业布置单。

A三、巩固训练：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？做一做：如图，小海龟位于图中点A处，按下述口令移动：向上前进3格；向右转90°，前进5格；向左转90°，前进3格；向左转90°，前进6格；向右转90°，后退6格；最后向右转90°，前进1格。

用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形。

四、知识小结：从本节课的学习中，我们应该懂得垂线的含义，并能根据定义画出适合题意的垂线，明白：过一点作一已知直线的垂线有且只有一条，能够通过作垂线求得点到直线的距离。

五、家庭作业：165页练习1、2、3六、每日预题：1、你知道你什么叫做“三线八角”吗？2、在“三线八角”中有哪一些角？七、教学反馈：“做一做”中的旋转是一个重点与难点。

“三线八角”可先做简要的说明。

2019-2020学年初一下学期期末模拟数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．不等式101103x x +>⎧⎪⎨->⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是( )A ．（A ）B ．（B ）C ．（C ） D．（D ）2．如图，在一次活动中，位于A 处的七年一班准备前往相距3km 的B 处与七年二班会合，若用方向和距离描述七年二班相对于七年一班的位置，可以描述为（ ）A ．南偏西40°，3kmB ．南偏西50°，3kmC ．北偏东40°，3kmD ．北偏东50°，3km3．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E ，D ，B ，F 在同一条直线上．若∠ CBD=55°，则∠ EDA 的度数是( )A ．145︒B ．125︒C ．100︒D ．55︒4．下列各数中最小的数是( ) A ．π-B ．3-C ．5-D ．05．下列说法中错误的是（ ） A ．过两点有且只有一条直线B ．连接两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离C ．若α+27°18′=90°，27.3°+β=90°，则α=βD ．多项式32x x +是五次二项式6．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为2+a b 的正方形，需要B 类卡片的张数为（ ）A ．6B ．2C ．3D ．47．164-的立方根是（ ） A ．－14 B ．－18C ．14D ．14±8．如图所示的游泳池内蓄满了水，现打开深水区底部的出水口匀速放水，在这个过程中，可以近似地刻画出泳池水面高度h 与放水时间t 之间的变化情况的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论不一定正确的是（ ）A ．12∠=∠B ．34∠=∠C ．2490∠+∠=D ．14∠=∠10．如图，和是同位角的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题题11．如图，AB ∥CD ∥EF ，CG 平分∠BCE ．若∠B ＝120°，∠GCD ＝10°，则∠E ＝___°．12．如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE 等于_____.13．分解因式:29a -=.14．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点D 、E .已知16BAE =∠，则C ∠的度数为__________．15．已知a -b =4，则a 2-b 2-8a 的值为 .16．如图，直线a ∥b ，∠BAC 的顶点A 在直线a 上，且∠BAC ＝100°．若∠1＝34°，则∠2＝_____°．17．在自然数范围内，方程3x+y ＝0的解是__． 三、解答题18．我们知道，任意一个正整数a 都可以进行这样的分解：a m n =⨯（,m n 是正整数，且m n ≤），在a 的所有这种分解中，如果,m n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n ⨯是a 的最佳分解，产规定：()nF a m=，例如：12可以分解成112⨯，26⨯，34⨯，因为1122634->->-，所以34⨯是12的最佳分解，所以4(12)3F =.（1）求(18)(16)F F -；（2）若正整数p 是4的倍数，我们称正整数p 为“四季数”，如果一个两位正整数t ，10t x y =+（19x y ≤<≤，,x y 为自然数），交换个位上的数字与十位上的数字得到的新两位正整数减去原来的两位正整数所得的差为“四季数”，那么我们称这个数t 为“有缘数”，求所有“有缘数”中()F t 的最小值. 19．（6分）已知任意三角形ABC ，（1）如图1，过点C 作DE ∥AB ，求证：∠DCA=∠A ；（2）如图1，求证：三角形ABC 的三个内角（即∠A 、∠B 、∠ACB ）之和等于180°； （3）如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F ；（4）如图3，AB ∥CD ，∠CDE=119°，GF 交∠DEB 的平分线EF 于点F ，∠AGF=150°，求∠F ．20．（6分）直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OM 上运动（点B 不与点O 重合）.(1)如图1，已知AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的角平分线， ①当60ABO ∠=时，求AEB ∠的度数；②点,A B 在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小；(2)如图2，延长BA 至G ，已知BAO ∠、OAG ∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线所在的直线分别相交于E 、F ，在AEF ∆中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出ABO ∠的度数.21．（6分）如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，且∠BEC=27°，求∠BAC 的度数．22．（8分）()1计算：53223x x (x )2(x )⋅+-()2如图是由四个小正方形组成的L 形图案，请你再添加一个小正方形使它们能组成一个轴对称图形(给出三种不同的方法)23．（8分）用※定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ※b=ab 2+2ab+a ，如1※2=1×22+2×1×2+1=9 （1）求（-4）※ 3； （2）若12a +※3=-16，求a 的值． 24．（10分）某河是某市的母亲河，为改善某河河道水质和生态环境，某市城建委准备对其中的18公里的河道进行清理，经招投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能清理的河道长度是乙队的1.5倍，且甲队清理4500米河道要比乙队少用5天．（1）求甲、乙两工程队每天能清理的河道长度分别是多少米？（2）若甲、乙两队每天清理河道的费用分别是5000元、3000元，因工期影响，两队清理河道的总天数不超过50天，请直接写出如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？最低费用是多少万元？ 25．（10分）如图，已知,A AGE D DGC ∠=∠∠=∠.（1）试说明：//AB CD ；（2）若21180∠+∠=，且230BEC B ∠=∠+，求B 的度数.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．A 【解析】101103x x +>⎧⎪⎨->⎪⎩①② 解①得1x >-；解②得3x <;∴不等式组的解集是13x -<<. 故选A.点睛:本题考查了不等式组的解法及解集的数轴表示法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 在数轴上，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点. 2．B 【解析】 【分析】根据方向角的表示方法，观察图发现相对的位置关系，可得答案． 【详解】解；方向和距离描述七年二班相对于七年一班是南偏西50°，AB=3km ， 故选B ． 【点睛】本题考查了方向角，方向角是用南偏西或南偏东的方法表示． 3．B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求得∠ADF 的度数，则∠ADE 即可求得．【详解】∵AD∥CB，∴∠CDB=∠ADF=55°，∴∠ADE=180°-∠ADF=180°-55°=125°．故选B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．4．A【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】-<-<<，根据实数比较大小的方法，可得π30∴各数中最小的数是π-．故选A．【点睛】>>负实数，两此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0个负实数绝对值大的反而小．5．D【解析】【分析】根据直线与线段的性质以及角度的换算和多项式的定义逐一判断即可.【详解】A：过两点有且只有一条直线，说法正确，不符合题意；B：连接两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离说法正确，不符合题意；C：若α+27°18′=90°，27.3°+β=90°，则α=β，说法正确，不符合题意；D：多项式32x x+是三次二项式，说法不正确，符合题意；故选：D.【点睛】本题主要考查了直线与线段的性质与角度的换算和多项式的定义，熟练掌握相关概念是解题关键. 6．D【解析】【分析】根据大正方形的边长，可求出大正方形的面积为()22a b +，根据完全平方公式，分解为3部分，刚好就是A 、B 、C 这3类图形面积部分.其中，分解的ab 部分的系数即为B 类卡片的张数．【详解】大正方形的面积为：()222244a b a ab b +=++其中2a 为A 类卡片的面积，∴需要A 类卡片一张；同理，需要B 类卡片4张，C 类卡片4张．故选D ．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，遇到这类题目，需要想办法先将题干转化为我们学习过的数学知识，然后再求解．7．A【解析】【分析】利用立方根定义计算即可得到结果；【详解】 解：∵（－14）3=164-， ∴164-的立方根是－14. 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握平方根、立方根定义是解题关键．8．C【解析】【分析】根据题意，可知游泳池可分为浅水区和深水区，结合题意，即可得到图象.【详解】由题意可得，在浅水区，h随t的增大而减小，h下降的速度比较慢，在深水区，h随t的增大而减小，h下降的速度比较快，故选C．【点睛】本题考查分段函数的图象，解题的关键是读懂题意，结合选项.9．D【解析】【分析】直接利用平行线性质解题即可【详解】解：∵直尺的两边互相平行，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵三角板的直角顶点在直尺上，∴∠2+∠4=90°，∴A，B，C正确．故选：D．【点睛】本题考查平行线的基本性质，基础知识扎实是解题关键10．A【解析】【分析】同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位，据此解答．【详解】A、∠1和∠2是同位角，故此选项符合题意；B、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；C、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意；D、∠1和∠2 不是同位角，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了同位角的定义，正确把握同位角定义是解题关键．二、填空题题【解析】【分析】由AB∥CD，∠B＝120°可得∠BCD＝60°，从而可求出∠GCB＝70°，再根据GC是角平分线得∠GCE＝70°，从而可求出∠DCE，再根据CD∥EF即可得解.【详解】∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∵∠B=120°∴∠BCD=180°-∠B=180°-120°=60°∵∠GCD=10°∴∠GCB=∠GCD+∠DCB=10°+60°=70°∵GC平分∠BCE∴∠GCE=∠GCB=70°∴∠DCE=80°∵CD∥EF，∴∠DCE+∠E=180°∴∠E=180°-∠DCE=180°-80°=100°.故答案为：100°【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．12．20°【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180，求出∠ECD，根据∠BCE=∠BCD-∠ECD 求出即可．【详解】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，∴∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180°，∴∠ECD=180°-∠FEC=26°，∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=46°-26°=20°．本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键． 13．(3)(3)a a +-【解析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．解答：解：9-a 2，=32-a 2，=（3+a ）（3-a ）．14．1°【解析】【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质，得到EA=EC ，进而得到∠EAD=∠ECD ，利用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质解答．【详解】∵ED 是AC 的垂直平分线，∴EA=EC ，∴∠EAC=∠C ，又∵∠BAE=16°，∠B=90°，∴∠EAC+∠C+∠BAE+∠B=180°，即：2∠C+16°+90°=180°，解得∠C=1°．故答案为1．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．要理解线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，得到并应用∠EAC=∠C 是正确解答本题的关键．15．-16【解析】【分析】求出b=a-4，代入a 2-b 2-8a ，再进行计算即可．【详解】∴b=a-4，∴a2-b2-8a=a2-(a-4)2-8a=a2-(a2-8a+16)-8a= a2-a2+8a-16-8a=-16，故答案为：-16.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，正确进行变形是解题的关键. 16．46【解析】试卷分析：根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=34°，∵∠BAC=100°，∴∠2=180°−34°−100°=46°，故答案为46°.17．0 xy=⎧⎨=⎩.【解析】【分析】把x看做已知数表示出y，即可确定出自然数解．【详解】由方程3x+y＝0，得到y＝﹣3x，则方程的自然数解为xy=⎧⎨=⎩，故答案为xy=⎧⎨=⎩.【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数表示出y．三、解答题18．（1）1；（2）()F t 的最小值为127. 【解析】【分析】（1）根据题意求出(18)F ，(16)F 的值代入即可．（2）根据题意列出二元一次方程，解的所有可能性，求出()F t 最小值．【详解】解：（1）(18)2F =，(16)1F =(18)(16)1F F ∴-=（2）根据题意得：10(10)4(y x x y k k +-+=为正整数）9()4y x k ∴-=4y x ∴-=，或8y x -=且19x y <5y ∴=，1x =6y =，2x =，7y =，3x =8y =，4x =9y =，5x =9y =，1x =∴两位正整数为 51，62，73，84，95，9117(51)3F ∴=，31(62)2F =，(73)73F =，12(84)7F =，19(95)5F =，13(91)7F = ()F t ∴的最小值为127【点睛】本题考查了因式分解的应用，关键是通过阅读能理解题目的新概念．19．（1）证明见解析（2）三角形的内角和为180°（3）∠AGF=∠AEF+∠F （4）29.5【解析】试题分析：（1）根据平行线的性即可得到结论；（2）因为平角为180°，若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决；（3）根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；（4）根据平行线的性质得到∠DEB=119°，∠AED=61°，由角平分线的性质得到∠DEF=59.5°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．试题解析：证明：（1）∵DE∥BC，∴∠DCA=∠A；（2）如图1所示，在△ABC中，∵DE∥BC，∴∠B=∠1，∠C=∠2（内错角相等）．∵∠1+∠BAC+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．即三角形的内角和为180°；（3）∵∠AGF+∠FGE=180°，由（2）知，∠GEF+∠EG+∠FGE=180°，∴∠AGF=∠AEF+∠F；（4）∵AB∥CD，∠CDE=119°，∴∠DEB=119°，∠AED=61°，∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，∴∠DEF=59.5°，∴∠AEF=120.5°，∵∠AGF=150°，∵∠AGF=∠AEF+∠F，∴∠F=150°﹣120.5°=29.5°．20．（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB的度数是135°；（1）60°或45°．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义即可求得∠AEB的度数；②与①同理，只是把具体度数转化为角表示出来即可得结论；（1）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，分四种情况讨论即可．【详解】（1）如图1，①∵MN⊥PQ，∴∠AOB=90°．∵∠ABO=60°，∴∠BAO=30°．∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABE12=∠ABO=30°，∠BAE12=∠BAO=15°，∴∠AEB=180°﹣∠ABE﹣∠BAE=180°﹣30°－15°=135°．答：∠AEB的度数是135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：同①，得：∠AEB=180°﹣∠ABE﹣∠BAE=180°12-∠ABO12-∠BAO=180°12-（∠ABO+∠BAO）=180°12-⨯90°=135°．答：∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB的度数是135°．（1）∠ABO的度数为60°或45°．理由如下：如图1．∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF1 2 =（∠BAO+∠GAO）=90°，即∠EAF=90°．∵AE、OE是角平分线，∴∠BAE=∠EAO，∠BOE=∠EOQ，∴∠ABO +∠BAO=∠BOQ=90°=1∠EOQ=1（∠E+∠EAO），∴∠ABO +1∠EAO=1∠E+1∠EAO，∴∠E=12∠ABO．∵∠FAE=90°，∴∠F+∠E=90°，∴∠F=90°－∠E=90°－12∠ABO．分四种情况讨论：①当∠FAE=3∠E时，∠E=90°÷3=30°，∠ABO =1∠E=60°；②当∠FAE=3∠F时，∠F=90°÷3=30°，∴90°－12∠ABO =30°，解得：∠ABO =110°＞90°，故舍去；③当∠F=3∠E时，90°－12∠ABO =3×12∠ABO，解得：∠ABO =45°；④当3∠F=∠E时，3×（90°－12∠ABO）=12∠ABO，解得：∠ABO =135°＞90°，故舍去．综上所述：∠ABO的度数是60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是分类讨论．21．54°【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到∠BAC=2∠BEC即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC与∠ACD的角平分线相交于点E，∴∠CBE=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，由三角形的外角性质得，∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ECD=∠BEC+∠CBE，∴12∠ACD=∠BEC+12∠ABC，∴12（∠ABC+∠BAC）=∠BEC+12∠ABC，整理得，∠BAC=2∠BEC，∵∠BEC=27°，∴∠BAC=2×27°=54°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．22．（1）0（2）见解析【解析】【分析】()1直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案；()2直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．【详解】()532231x x(x)2(x)⋅+-666x x2x=+-=；()2如图所示：．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算、轴对称图形，正确掌握相关性质是解题关键． 23．解：（1）-64；（2）a=-1．【解析】【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；（2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可．【详解】解：（1）原式=-4×12+2×（-4）×1+（-4）=-64； （2）∵12a +※1=-16， ∴211132316222a a a +++⋅+⋅⋅+=- 解得：a=-1．【点睛】本题考查了解一元一次方程，能根据新运算展开是解此题的关键．在（2）中计算时可先提取12a +，可以减少运算量.24．（1）甲工程队每天能清理的河道长度是450米，乙工程队每天能清理的河道长度是300米；（2）安排甲队施工1天，乙队施工30天时，施工总费用最低，最低费用为19万元．【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能清理的河道长度是x 米，则甲工程队每天能清理的河道长度是1.5x 米，根据他们清理4500米河道的时间差是5天列出方程；（2）设安排甲队施工的天数是a 天，乙施工的天数是b 天，根据总天数不超过50天列出不等式并解答．【详解】解：（1）设乙工程队每天能清理的河道长度是x 米，则甲工程队每天能清理的河道长度是1.5x 米， 依题意得：45004500x 1.5x -＝5解得x ＝300经检验x ＝300是所列方程的解， 则1.5x ＝450答：甲工程队每天能清理的河道长度是450米，乙工程队每天能清理的河道长度是300米； （2）设安排甲队施工的天数是a 天，乙施工的天数是b 天．由题意知，5045030018000a b a b +≤⎧⎨+=⎩即a+60﹣1.5a≤50， 解得：a≥1．设施工总费用为w 万元，由题意，得w ＝5000a+3000b ＝5000a+3000×（60﹣1.5a ）＝500a+180000， ∵k ＝500＞0，∴w 随x 的增大而增大，∴当a ＝1时，w 取最小值，最小值为500×1+180000＝19（万元）．答：安排甲队施工1天，乙队施工30天时，施工总费用最低，最低费用为19万元． 【点睛】本题考查了分式的应用、解一元一次不等式以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系找出函数解析式；（2）根据数量关系列出函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（或函数关系式）是关键． 25．（1）见解析；（2）50B ∠=. 【解析】 【分析】（1）欲证明AB ∥CD ，只需推知∠A=∠D 即可；（2）利用平行线的判定定理推知CE ∥FB ，然后由平行线的性质推知180CEB B ∠+∠=，根据已知条件230BEC B ∠=∠+，即可解答.【详解】解：（1）因为,A AGE D DGC ∠=∠∠=∠， 又因为AGE DGC ∠=∠， 所以A D ∠=∠， 所以//AB CD ；（2）因为12180∠+∠=， 又因为2180CGD ∠+∠=， 所以1CGD ∠=∠， 所以//CE FB ， 所以180CEB B ∠+∠=. 又因为230BEC B ∠=∠+， 所以230180B B ∠++∠=， 所以50B ∠=. 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握平行线的判定定理求解即可.2019-2020学年初一下学期期末模拟数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知a ＞b ，则下列不等式的变形不正确的是（ ） A ．a+6＞b+6B ．2a ＞2bC ．﹣5a ＞﹣5bD ．33a b ＞2．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置.若∠1=60°,则∠2的度数为( )A ．60°B ．45°C ．50°D ．30°3．在平面直角坐标系中，第二象限内的点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，已知线段PQ ∥y 轴且PQ=5，则点Q 的坐标是（） A ．或B ．或C ．或D ．或4．已知M ＝(x+1)(x 2+x ﹣1)，N ＝(x ﹣1)(x 2+x+1)，那么M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ≥ND ．M ≤N5．某市举办画展，如图，在长14m ，宽10m 的长方形展厅中，划出三个形状大小完全一样的小长方形区域摆放水仙花，则每个小长方形的周长为( )A ．8mB ．13mC ．16mD ．20m6．计算：()()32128164x x x x -+÷-的结果是( )A ．2324x x -+-B ．2324x x --+C ．2324x x -++D ．2324x x -+7．一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大1,若将个位与十位上的数字对调,得到的新数比原数小9,设个位上的数字为x,十位上的数字为y,根据题意,可列方程为（ ）A．110109x yx y y x-=⎧⎨+=++⎩B．110109x yy x x y-=⎧⎨+=++⎩C．110109y xx y y x-=⎧⎨+=++⎩D．110109y xy x x y-=⎧⎨+=++⎩8．下列式子中，计算结果是8a的是（）A．26a a+B．102a a-C．26a a⋅D．()32a9．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角：④平行于同一条直线的两直线平行；⑤两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为（）A．0 B．1个C．2个D．3个10．在实数227，0.1010010001…，38，-π，3中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题题11．如图，将一条两边平行的纸带折叠，当∠2=80°，则∠1=_______.12．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长宽高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽之比为3:2，则该行李箱长度的最大值是cm.13．一个调查样本，被分成两个组，已知第一组的频数为56，频率为0.8，则第二组的频数是________．14．请根据图上信息，写出一个关于温度x（℃）的不等式_____________．15．白天的温度是28℃，夜间下降了t℃，则夜间的温度是__________℃16．已知（x+1）²＝9，则x的值是_________．17．已知关于x 的不等式x－a<0 的最大整数解为3a+5，则a=___________．三、解答题18．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨.(1)该企业有几种购买方案?(2)哪种方案更省钱，说明理由.19．（6分）在学校组织的社会实践活动中，第一小组负责调查全校10000名同学每天完成家庭作业时间情况，他们随机抽取了一部分同学进行调查，井绘制了所抽取样本的频数分布表和额数分布直方图(如图). 时间x（小时）频数百分比0.5≤x<1 4 8％1≤x<1.5 5 10％1.5≤x<2 a 40％2≤x<2.515 30％2.5≤x<3 4 8％x≥3 2 b频数分布表请根据图中信息解答下列问题：(1)该小组一共抽查了___________人；(2)频数分布表中的a=___________，b=____________；(3)将频数分布直方图补充完整(直接画图，不写计算过程)；(4)《辽宁省落实教育部等九部门关于中小学生减负措施实施方案》规定，初中生每天书面家庭作业时间不超过1.5小时，根据表中数据，请你提出合理化建议.20．（6分）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD 为长方形，其中点,A C 的坐标分别为(8,4)-、(2,8)-，且//AD x 轴，交y 轴于点M ，AB 交x 轴于点N . （1）求,B D 两点坐标；（2）一动点P 从A 出发，以2个单位/秒的速度沿AB 向B 点运动（不与A 点重合），在P 点运动过程中，连接,MP OP ，①试探究,,AMP MPO PON ∠∠∠之间的数量关系；并说明理由； ②是否存在某一时刻t ，使三角形AMP 的面积等于长方形ABCD 面积的13?若存在，求t 的值并求此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；③三角形AMP 的面积记作1S ；三角形MPO 的面积记作2S ；三角形PON 的面积记作3S ；直接写出1S 、2S 、3S 的关系.21．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，对于两个点P ，Q 和线段AB ，给出如下定义：如果在线段AB 上存在点M ，N （M ，N 可以重合）使得PM=QN ，那么称点P 与点Q 是线段AB 的一对关联点．（1）如图，在Q1，Q2，Q3这三个点中，与点P 是线段AB 的一对关联点的是 ；（2）直线l ∥线段AB ，且线段AB 上的任意一点到直线l 的距离都是1．若点E 是直线l 上一动点，且点E 与点P 是线段AB 的一对关联点，请在图中画出点E 的所有位置．22．（8分）上周六上午点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离（千米）与他们路途所用的时间（时）之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：（1）求直线所对应的函数关系式；（2）已知小颖一家出服务区后，行驶分钟时，距姥姥家还有千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家？23．（8分）某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度.24．（10分）阅读材料：善于思考的小明在解方程组410682210x yx y+=⎧⎨+=⎩①②时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x+20y+2y=10，变形为2（4x+10y）+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则y=﹣1；把y=﹣1 代入①得，x=4，所以方程组的解为：41xy=⎧⎨=-⎩请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组237 6511 x yx y-=⎧⎨-=⎩①②（2）已知 x 、y 、z ，满足3212472836x z y x z y -+=⎧⎨++=⎩①②试求 z 的值．25．（10分）某学习小组发现一个结论：已知直线a ∥b ，若直线c ∥a ，则c ∥b ，他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线AB ∥CD ，点E 在AB 、CD 之间，点P 、Q 分别在直线AB 、CD 上，连接PE 、EQ （1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ 与∠APE ＋∠CQE 之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，PF 平分∠BPE ，QF 平分∠EQD ，当∠PEQ ＝140°时，求出∠PFQ 的度数；（3）如图3，若点E 在CD 的下方，PF 平分∠BPE ，QH 平分∠EQD ，QH 的反向延长线交PF 于点F ，当∠PEQ ＝70°时，请求出∠PFQ 的度数.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．C 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，即可做出判断． 【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴a+6＞b+6，本选项不合题意； B 、∵a ＞b ，∴2a ＞2b ，本选项不合题意； C 、∵a ＞b ，∴﹣5a ＜﹣5b ，本选项符合题意； D 、∵a ＞b ，∴33ab ＞，本选项不合题意，故选C．【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．2．D【解析】【分析】先根据∠1=60°，∠FEG=90°，求得∠3=30°，再根据平行线的性质，求得∠2的度数．【详解】如图，∵∠1=60°，∠FEG=90°，∴∠3=30°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=30°．故选D．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．3．A【解析】【分析】根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标．然后根据已知条件得到点Q 的坐标．【详解】点P到x轴的距离是2，则点P的纵坐标为±2，点P到y轴的距离是3，则点P的纵坐标为±3，由于点P在第二象限，故P坐标为（﹣3，2）．∵线段PQ∥y轴且PQ=5，∴点Q的坐标是（﹣3，7）或（﹣3，﹣3）故选A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 4．C【解析】【分析】用求差的方法来比较大小，计算M-N ，先根据多项式乘以多项式的法则展开，再合并，根据结果等于2x 2，可判断M-N≥0，即可判断M 、N 的大小．【详解】∵M ﹣N ＝(x+1)(x 2+x ﹣1)﹣(x ﹣1)(x 2+x+1)＝x 3+x 2﹣x+x 2+x ﹣1﹣(x 3﹣1)＝x 3+2x 2﹣1﹣x 3+1＝2x 2≥0， ∴M ﹣N≥0，即M≥N ．故选C ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是注意多项式乘以多项式的运算法则的使用．5．C【解析】设小长方形的长为xm ，宽为ym ，由图可得214210x y x y +=⎧⎨+=⎩ ， 两式相加可得x+y=8，所以每个小长方形的周长为8×2=16m ．故选C ．6．A【解析】【分析】多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加;()321243x x x ÷-=-,()()284=2x x x -÷-,16x÷(-4x)=-4.【详解】()()32128164x x x x -+÷-=-3224x x +-故选A【点睛】此题考查整式的除法，掌握运算法则是解题关键7．D【解析】【分析】先表示出颠倒前后的两位数，然后根据十位上的数字y比个位上的数字x大1，若颠倒个位与十位数字的位置，得到新数比原数小1，列方程组即可．【详解】解：根据十位上的数字y比个位上的数字x大1，得方程y=x+1；根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小1，得方程10y+x=10x+y+1．列方程组为1 10109y xy x x y-=⎧⎨+=++⎩故选：D．【点睛】y本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解8．C【解析】【分析】根据幂的运算即可判断.【详解】A. 26a a+不能计算，故错误；B. 102a a-不能计算，故错误；C. 26a a⋅=8a，正确D. ()32a=6a，故错误，故选C.【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则.9．C【解析】【分析】。