九年级数学上册21.4二次函数的应用第3课时利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题同步练习(新版)沪科版

沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》教学设计2一. 教材分析《二次函数的应用》是沪科版数学九年级上册第21.4节的内容。

本节主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。

教材通过实例引导学生理解二次函数的图像和性质，以及如何将实际问题转化为二次函数模型，进一步解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念、图像和性质，对二次函数有一定的认识。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数模型，对二次函数在实际生活中的应用还不够了解。

因此，在教学本节内容时，需要引导学生将所学知识与实际生活相结合，提高学生解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.帮助学生理解二次函数的图像和性质，加深对二次函数知识的理解。

四. 教学重难点1.重点：让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，以及对二次函数图像和性质的理解。

五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法。

通过实例引导学生了解二次函数在实际生活中的应用，激发学生学习兴趣。

通过问题驱动，引导学生思考和探索，提高学生解决问题的能力。

利用小组合作，让学生在讨论中加深对知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生了解二次函数在实际生活中的应用。

2.设计问题，用于引导学生思考和探索。

3.准备PPT，用于展示二次函数的图像和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际案例，如抛物线形的跳板，让学生了解二次函数在实际生活中的应用。

引导学生思考：如何用数学模型来描述这个实际问题？2.呈现（10分钟）呈现二次函数的图像和性质，让学生观察和分析，引导学生发现二次函数的规律。

同时，给出二次函数的一般式，让学生了解二次函数的构成。

二次函数的应用【学习目标】1．会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题。

2．经过面积、利润等最值问题的学习，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。

3．根据给出的函数解析式，应用二次函数的知识解决实际问题。

4．经历解决实际问题，再应用于实践，能够对问题的变化趋势进行分析。

根据函数图象确立函数关系式，解决实际问题。

5．熟练应用二次函数的知识解决实际问题。

6．通过对实际问题的分析，建立二次函数的模型，解决实际问题。

【学习重难点】1．利用二次函数求实际问题的最值。

2．二次函数的最值问题和二次函数模型的建立。

3．应用二次函数的知识解决实际问题。

【学时安排】3学时【第一学时】 【学习过程】一、预习导航（一）链接。

1．在二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）中，当a >0时，有最_____值，最值为__________；当a <0时，有最_____值，最值为__________。

2．二次函数y=-(x-12)²+8中，当x=_____时，函数有最_____值为__________。

（二）导读。

在21.1问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？二、合作探究问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可买出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中定价有几种可能？涨价与降价的结果一样吗？2．设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价__________元，每件利润为__________元，每星期少卖__________件，实际卖出__________件。

所以Y=__________。

（0<X<30）何时有最大利润，最大利润为多少元？3．设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为__________元，每件利润为__________元，每星期多卖__________件，实际卖出__________件。

A. 4米B. 3米 21.4 第3课时 利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题 知识点1体育运动型1. 小李打羽毛球时，若羽毛球飞行的高度力（01）与发球的时间“S ）满足关系式力=一2产 + 2广+2,则小李发球后0.5 s 时，羽毛球飞行的高度为（）A. 1. 5 mB. 2 mC. 2. 5 mD. 3 m2. 小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数力=3. 5Z —4.的单位: s ； /?的单位：m ）可以描述他跳跃吋重心高度的变化，则他起跳后到重心最高吋所用的吋间约是（） A. 0. 71 s B. 0. 70 s C. 0. 63 s D. 0. 36 s5. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21-4-16,以水平地面为x 轴，出水点为 原点，建立平面直角坐标系，水在空屮划出的曲线是抛物线y=-/+4%（单位：米）的一部 分，则水喷出的最大高度是（） 3.小明在某次投篮中, 14）.若恰好命中篮圈中心, A ・ 3. 5 m B ・ 4 m 图 21-4-13球的运动路线是抛物线£#+3.5的一部分（如图21-4- 则他与篮底的距离，是（）C. 4. 5 m D ・ 4. 6 m3.05 irO , III, —J x(m)图 21 —4—14知识点2水流抛物型4. 如图21-4-15,小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线尸-扣+ 1）匕一7）的一部分.铅球落在/点处，则创= __________ 米.重心C. 2米图21-4-165.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21—4—16,以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-#+4水单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A. 4米B. 3米C. 2米D・1米6.如图21-4-17(a),某灌溉设备的喷头〃高11!地面1.25 m,喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1 m处达到最大高度2. 25 ni,试在恰当的平面直角坐标系中求出该抛物线形水流对应的二次函数表达式.图21-4-17学生小龙在解答该问题吋，具体解答如下：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图(b)所示的平面直角坐标系；②设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为尸日③根据题意可得点〃与;V轴的距离为1 m,故点〃的坐标为(-1, 1)；④代入7= ax，得1= aX ( — 1)",所以臼=1；⑤所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的.”(1) _______________________________ 请指出小龙的解答从第步开始出现错误，错误的原因是(2)请写出正确的解答过程.7.［教材习题21.4第4题变式］如图21-4-18,某学生的一次抛物线形传球，球出手 (点力处)的高度是亍叫出手后球沿抛物线运动到最高点时，运行高度y=3 m,水平距离廿=4 m.(1)试求篮球运行的高度y与水平距离xZ间的函数表达式；(2)若队友接球的最佳高度约为| m,则队友距这名学生多远处接球？(3)此时防守队员断球的最大高度是2.25 ni,则这名学生传球瞬间，防守队员距他多远才能抢断成功？图21-4-188.公园水池中央有一个喷泉，从/喷出的水流呈抛物线形，如图21-4-19所示，已知水流的最高点M距离地而2. 25米，距离y轴2米，水流落地点〃距离点65米，II恰好不流出池外.(1)求水管加的高度；(2)现在公园欲将水管创增加0. 75米，喷出的水恰好不流出池外(水流的形状不变)，求水池的半径要增加多少米.(结果精确到0.1米，参考数据：&~1.73)图21—4—199.如图21-4-20,足球场上守门员在0处开岀一髙球，球从离地面1米的/!处飞出U 在y轴上），运动员乙在距点66米的〃处发现球在白己头的正上方达到最高点腿距地面约4 米高，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.（1）求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线对应的函数表达式；（2）足球第一次落地点C距0处的守门员约多少米？（取4萌~7）（3）运动员乙要抢到足球的第二个落地点〃，他应再向前跑约多少米？（取2&~5）图21-4-20教师详解详析1. c5 5 52.D［解析］h = 3・5t—4・9t2=—4・9(t—Fr)2+W •••—4・9〈0, •••当t=Fr~0・36s 时，14 o 14h最大.故选ZZ3.B［解析］把y = 3.05代入y=—号?+3. 5,解得x】=1.5, X2= —1.5(舍去)，则所求距离为1. 5 + 2. 5=4 S).4.7 ［解析］铅球落地时，y = 0,则一T(X +1)・(x-7)=0,解得x. = 7, x2=-l(舍D去).5.A［解析］・・•水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分，・・・水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线y = —/ + 4x的最大值.V y = — x2+4x = — (x —2)2+4,Ay的最大值为4,・•・水喷出的最大高度为4米.故选A.6.解：(1)③ 点B的坐标错误，应为(一1, -1)(2)①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图⑺)所示的平面直角坐标系；②设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y = ax2；③由题意可得点B与x轴的距离为1 m,故点B的坐标为(一1, -1)；④从而一1=0・1,所以a= —1；⑤所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y=—xl7.解：(1)根据抛物线的顶点为(4, 3),由己知可设抛物线的函数表达式是y=a(x-4)2+ 3(a<0)・・・•抛物线经过点A(0, |),5 1•*.^=aX (0—4)2+3,解得a=——故所求的函数表达式为y =—寺(x—4尸+3.5 1 5(2)令y=§,则一—(X—4)2+3=~,解得x】=8, x2=0(舍去).・••队友距这名学生8 /〃远处接球最佳.(3)令y=2. 25,则一^(X-4)2+3=2. 25,解得Xi = l, X2=7(舍去)..:防守队员距他1刃内才能抢断成功.8.解:⑴设这条抛物线的表达式为y=a(x — k)2+h.由题意知顶点M(2, 2. 25),则表达式为y = a(x — 2)'+2. 25.将B(5, 0)代入，可求得a=-0. 25,所以抛物线的表达式为y = —0. 25(X-2)2+2. 25,即y=-0. 25X2+X +1.25.令x = 0,得y = 1.25,所以水管0A的高度为1.25米.(2)因为水流的形状不变，所以抛物线的形状和对称轴均不变，设抛物线为y= —0.25(x —2) '+m.将(0, 2)代入，得m=3,则抛物线的表达式为y= —0・25(x-2F+3.当y=0 时,-0. 25(X-2)2+3=0,解得xe-2 羽+ 2(舍去)，X2=2 73 + 2^5.5,5. 5-5 = 0. 5(米).所以水池的半径要增加0. 5米.9.解：(1)设足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线对应的函数表达式为y=a(x — 6)+.当x = 0 吋，y=l,即1 =36a + 4, .*.a=—・・・抛物线对应的函数表达式为y=-^(x —6尸+4.(2)令y=0,即一-^(X-6)2+4=0,・・・(x—6尸=48,解得x】=4羽+ 6〜13, %2=—4羽+6V0(舍去).・・・足球第一次落地点C距0处的守门员约13米.(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD.根据题意，得CD=EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)，2 ——~(x — 6)" + 4,解得xi = 6 —2 X2=6 + 2/.CD= |xi—x2| =4 农心10,・・・BD~13—6+10=17(米).即他应再向前跑约17米.。

21.4第3课时 利用二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题知I 识I 目I 标通过对抛物线形运动轨迹问题的分析，构建二次函数模型，会利用二次函数的性质解决 抛物线形运动轨迹问题.V 目标突破 _____________ 有妁放黄目标 会利用二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题例1 ［教材补充例题］一枚火箭发射后，它的高度/?(m)与运动时间r(s)之间的关系可用 /?=-5r 2+150r+10表示.火箭运动的轨迹是开口向下的抛物线，当火箭到达抛物线的顶点 时，即为火箭的最高点.故将抛物线的函数表达式配方成顶点式为h= _________________________ ，则经 过 ______ s 后火箭到达最高点，最高点的高度是 __________ m .例2 ［教材补充例题］某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中 的运动路线是如图21-4-6所示坐标系下经过原点O 的抛物线(图中标出的数据为己知条 件).在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面io|米，入水处距池 边4米.运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势， 否则就会岀现失误.(1) 求这条抛物线的函数表达式；(2) 在某次试跳屮，测得运动员在空中的运动路线是(1)屮的抛物线，且运动员在空屮调整 好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，此次跳水会不会出现失误？【归纳总结】解决抛物线形运动问题的两个注意点：(1) 首先要找岀问题中的变量和常量，以及它们之间的关系，并建立适当的直角坐标系， 特别要注意将已知的高度或水平距离转化为点的坐标，以便代入函数表达式；(2) 用二次函数表达式将问题中的变量和常量的关系表达出来，将相关点的坐标代入所设 函数表达式，确定二次函数表达式，进而解决问题.选择恰当的平面直角坐标系可使解决问 题的过程更简捷.面j水知识点根据二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题首先能根据题意或图象确定函数的表达式，再利用两数的性质解决抛物线形运动轨迹问题.「反思[2018-芜湖市月考]某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的路线是一条抛物线，铅球在离地面0.5米高的A处推汕，推出后达到最高点B时的高度是2.5米，飞行的水平距离是4米，铅球在地而上点C处着地.⑴根据如图21-4-7所示的直角坐标系求抛物线的表达式；（2）这个同学推出的铅球有多远？小林的解答如下：解：（1）设该抛物线的表达式为由抛物线经过点（0，*），（4，|），（8，0），得< 64^7+8Z?+c=0，c=z /V 29 17 1故该抛物线的表达式为y=—評彳+宦+㊁.⑵当y=0时，即一着，+誓+*=°，4解得X）=8、兀2= 一Q*故这个同学推出的铅球有8米远.你认为小林的解答过程正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答过程.图21 _4—7.5 A ; \C73 4教师详解详析【目标突破】例 1 h=-5(t-15)2+113515 1135 例2 ［解析］(1)根据题意可求起跳点、入水点的坐标及顶点的纵坐标，结合对称轴的位 置可求出函数表达式； 3 3 (2)距池边的水平距离为3寸米处的横坐标是 耳、可求出纵坐标、再根据实际求出距水面 J J的距离，与5进行比较，得出结论. 解：(1)在给定的平面直角坐标系中，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的表达式为y =ax 2 + bx+c.2 由题意知，O ，B 两点的坐标分别为(0，0)，(2，-10)，抛物线的顶点纵坐标为彳4ac ~ b 2 2<4a+2b+c= —10 ‘•・•抛物线的对称轴在y 轴右侧，・・・一鲁>0，即a ，b 异号，又抛物线开口向下，则a<0，3b>0 ? e e .a=—2，b=—2，c=()不合题意，舍去.・・・这条抛物线的函数表达式为y = —¥x?+¥x.(2)此次跳水会出现失误.•・•当x = 3*—2=£时7 = —(|)2+^x I = 此时，运动员距水面的高度为1()一¥ =y(X)<5米，.••此次跳水会出现失误.【总结反思】［课堂小结］f 25 a =_石 解得彳h _10 , b —3 ' <c = 0 r 3a=_2,或（b=-2,<c=0.|反思］不正确，因为没有将点B 看作是抛物线的顶点，且误代入点(8，0)计算. 正确的解答过程如下：(1) 设抛物线的表达式为y = a(x —4)2+(. 由题意’得*=a(0—4卩+弓‘解得a=— 故 y=_£(x_4)2+|.故该抛物线的表达式为y=-|(x-4)2+f.(2) 由题意可知，当y=0时，—4)2+|=0 5 解得 xi=2 诉+4，X2=—2 诉+4V0(舍去). 故这个同学推出的铅球有(2怎+4)米远. 二次函数的应川建立二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题 —建立二次函数模型解决其他实际问题。

浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》教案一. 教材分析《二次函数的应用》是浙教版数学九年级上册第2.4节的内容，主要目的是让学生掌握二次函数在实际问题中的应用。

本节内容是在学生已经学习了二次函数的图象和性质的基础上进行的，通过本节内容的学习，使学生能够运用二次函数解决一些实际问题，提高他们的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题，对他们来说还是一个新的领域。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将已知的二次函数知识与实际问题相结合，通过解决实际问题，提高他们的数学应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解二次函数在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为二次函数问题，并通过二次函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高他们的数学素养。

3.情感态度与价值观：使学生能够体验到数学在生活中的应用，增强他们对数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.重点：使学生能够理解二次函数在实际问题中的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并通过二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学法，通过解决实际问题，引导学生运用二次函数知识，提高他们的数学应用能力。

同时，采用小组合作学习的方式，培养学生的合作精神和团队意识。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数知识解决实际问题。

2.学生准备：学生需要复习二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，引导学生思考如何利用二次函数知识解决这些问题。

2.呈现（10分钟）教师呈现一些实际问题，并与学生一起分析这些问题，将实际问题转化为二次函数问题。

3.操练（10分钟）教师引导学生运用二次函数知识解决呈现的实际问题，学生进行练习，巩固所学知识。

21.4 二次函数的应用┃教学整体设计┃第1课时二次函数的应用（1）┃教学过程设计┃例2(教材第37页例2)如图1,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬索之间用垂直钢索连接.若两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图2,求这条抛物线对应的函数表达式；(2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长.教师引导学生(1)这个抛物线的顶点坐标是什么？对称轴是什么？你还能写出这个抛物线上哪几个点的坐标？(2)这个抛物线对应的函数表达式可设什么形式？(3)第(2)题中离两端主塔分别为100 m,50m的点的横坐标各是多少？(4)第(2)题转化为数学语言是什么？思考：如果本题不给出坐标系,你还有没有其他方法建立坐标系,从而解决问题？初步了解建立平面直角坐标系解决实际问题.三、运用新知,解决问题 1.教材第38页练习第1题.2.某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A 处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高为0.8 m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图1所示.根据设计图纸已知：如图2所示的平面直角坐标系中,水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数表达式是y ＝－x 2＋2x ＋45.(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ (2)如果不计其他因素,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内？ 教师板演,纠错,巡视指导,讲评. 及时巩固所学知识.四、课堂小结,提炼观点1.通过学习本节,你有哪些收获？2.对本节课你还有什么疑惑？ 总结回顾学习的重点、难点内容,巩固所学知识.五、布置作业,巩固提升 1.教材第42页习题21.4第1、2题. 2.(选做题)教材第42页习题21.4第5题. 体现分层,加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】二次函数的应用(1)例1 S ＝x (20－x ),配方,得S ＝－(x －10)2＋100.因为a ＝－1＜0,所以当x ＝10时,S 取得最大值,最大值为100.21.4二次函数的应用┃教学整体设计┃第2课时二次函数的应用（2）┃教学过程设计┃┃教学小结┃。