高中数学不等式典型例题解析

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式典型例题单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（ ） A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0 C ．x +1x−2有最大值为－4D ．x +1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解 由题意，x >0，由均值不等式x +1x≥2√x ×1x=2，当且仅当x =1x，即x =1时等号成立故x +1x −2≥0，有最小值0 故选：B2、不等式x (2x +7)≥−3的解集为（ ） A ．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B ．[−3,−12] C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13] 答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0， 令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12，所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞).故选：A.3、已知命题“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−∞,0]∪[4,+∞)B ．[0,4] C ．[4,+∞)D ．(0,4)答案：A分析：先求出命题为真时实数a的取值范围，即可求出命题为假时实数a的取值范围.若“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是真命题，即判别式Δ=(a−2)2−4×4×14<0，解得：0<a<4，所以命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为：(−∞,0]∪[4,+∞).故选：A.4、设a>b>c>0，则2a2+1ab +1a(a−b)−10ac+25c2取得最小值时，a的值为（）A．√2B．2C．4D．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2，结合基本不等式即可得解.2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)−ab−a(a−b)+2a2−10ac+25c2 =1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+a2−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2≥2√1ab ⋅ab+2√1a(a−b)⋅a(a−b)+0=4，当且仅当{ab=1a(a−b)=1a=5c，即a=√2，b=√22，c=√25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5、若“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥4 答案：C分析：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .根据“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，可得﹣2m ≤﹣2，3≤m ，m >0.解出即可得出. 解：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .∵“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，∴﹣2m ≤﹣2，3≤m ，(两个等号不同时取)m >0. 解得m ≥3.则实数m 的取值范围是[3，+∞）. 故选：C.6、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ） A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合 (x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0， 方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a ，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1， 即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A7、已知关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为{x|x <−1或x >4}，则下列说法正确的是（ ）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+ bx+c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B8、不等式1+x1−x≥0的解集为（）A．{x|x≥1或x≤−1}B．{x∣−1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<−1}D．{x|−1≤x<1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．多选题9、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x|−2<x<3}，则（）A．a>0B．不等式ax+c>0的解集为{x|x<6}C．a+b+c>0D．不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|−13<x<12}答案：BCD解析：根据已知条件得−2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且a<0，根据韦达定理可得b=−a,c=−6a，根据b=−a,c=−6a且a<0,对四个选项逐个求解或判断可得解.因为关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x|−2<x<3}，所以−2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且a<0，故A错误；所以−2+3=−ba ，−2×3=ca，所以b=−a,c=−6a，所以不等式ax+c>0可化为ax−6a>0，因为a<0，所以x<6，故B正确；因为a+b+c=a−a−6a=−6a，又a<0，所以a+b+c>0，故C正确；不等式cx2−bx+a<0可化为−6ax2+ax+a<0，又a<0，所以−6x2+x+1>0，即6x2−x−1<0，即(3x+1)(2x−1)<0，解得−13<x<12,故D正确.故选：BCD.小提示：利用一元二次不等式的解集求出参数a,b,c的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.10、设0<b<a<1，则下列不等式不成立的是（）A．ab<b2<1B．√a<√b<1C．1<1a <1bD．a2<ab<1答案：ABD分析：对于ABD举例判断即可，对于C，利用不等式的性质判断对于A，取a=12,b=13，则ab=16>b2=19，所以A错误，对于B，取a=14,b=19，则√a=12>√b=13，所以B错误，对于C，因为0<b<a<1，所以1ab >0，所以b⋅1ab<a⋅1ab，即1a<1b，因为0<a<1，所以0<a⋅1a <1×1a，即1<1a，综上1<1a<1b，所以C正确，对于D，取a=12,b=13，则ab=16<a2=14，所以D错误，故选：ABD11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.填空题12、若x>0,y>0,xy=10，则2x +5y的最小值为_____．答案：2分析：化简2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2，结合基本不等式，即可求解.由x>0,y>0,xy=10，则2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2≥2√2x×x2=2，当且仅当x=2时取“=”，即2x +5y的最小值为2．所以答案是：2.13、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.14、已知函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域是R，则m的取值范围为______．答案：[0,4]分析：根据函数的定义域为R可得mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，对参数m的取值范围分类讨论，分别求出对应m 的范围，进而得出结果.因为函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域为R，所以mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，当m=0时，mx2+mx+1=1>0，符合题意；当m>0时，由Δ=m2-4m≤0，解得0<m≤4；当m<0时，显然mx2+mx+1不恒大于或等于0．综上所述，m的取值范围是[0,4].所以答案是：[0,4].解答题15、设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥√43．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析.分析：（1）方法一：由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设max{a,b,c}=a，因为a+b+c=0,abc=1，所以a>0,b<0,c<0,a=(−b)+(−c)≥2√bc=2√1a ，则a3≥4,a≥√43．故原不等式成立．（1）［方法一］【最优解】：通性通法∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2).∵abc=1,∴a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2)<0．［方法二］：消元法由a+b+c=0得b=−(a+c)，则ab+bc+ca=b(a+c)+ca=−(a+c)2+ac=−(a2+ac+c2)=−(a +c 2)2−34c 2≤0，当且仅当a =b =c =0时取等号，又abc =1，所以ab +bc +ca <0． ［方法三］：放缩法方式1：由题意知a ≠0, a +b +c =0, a =−(c +b ), a 2=(c +b )2=c 2+b 2+2cb ≥4bc ，又ab +bc +ca =a (b +c )+bc =−a 2+bc ≤−a 2+a 24=−3a 24<0，故结论得证．方式2：因为a +b +c =0，所以0=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca=12[(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]+2ab +2bc +2ca ≥12(2ab +2bc +2ca )+2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca )．即ab +bc +ca ≤0，当且仅当a =b =c =0时取等号， 又abc =1，所以ab +bc +ca <0． ［方法四］：因为a +b +c =0,abc =1，所以a ，b ，c 必有两个负数和一个正数，不妨设a ≤b <0<c,则a =−(b +c ), ∴ab +bc +ca =bc +a (c +b )=bc −a 2<0. ［方法五］：利用函数的性质方式1：6b =−(a +c )，令f (c )=ab +bc +ca =−c 2−ac −a 2， 二次函数对应的图像开口向下，又abc =1，所以a ≠0， 判别式Δ=a 2−4a 2=−3a 2<0，无根， 所以f (c )<0，即ab +bc +ca <0．方式2：设f (x )=(x −a )(x −b )(x −c )=x 3+(ab +bc +ca )x −1， 则f (x )有a ，b ，c 三个零点，若ab +bc +ca ≥0， 则f (x )为R 上的增函数，不可能有三个零点， 所以ab +bc +ca <0．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设max {a,b,c }=a ，因为a +b +c =0,abc =1，所以a >0, b <0, c <0, a =(−b )+(−c )≥2√bc =2√1a，则a 3≥4,a ≥√43．故原不等式成立． ［方法二］：不妨设max {a,b,c }=a ，因为a +b +c =0,abc =1，所以a >0，且{b +c =−a,bc =1a , 则关于x 的方程x 2+ax +1a =0有两根，其判别式Δ=a 2−4a ≥0，即a ≥√43． 故原不等式成立． ［方法三］：不妨设max {a,b,c }=a ，则a >0, b =−(a +c ), abc =1, −(a +c )ac =1, ac 2+a 2c +1=0，关于c 的方程有解，判别式Δ=(a 2)2−4a ≥0，则a 3≥4,a ≥√43．故原不等式成立． ［方法四］：反证法假设max {a,b,c }<√43，不妨令a ≤b <0<√43，则ab =1c >√43,−a −b =c <√43，又√43>−a −b ≥2√ab >√√43=21−13=√43，矛盾，故假设不成立．即max {a,b,c }≥√43，命题得证．【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出． （2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．。

其他不等式综合问题例1：（第26届美国数学奥题之一）设a 、b 、c ∈R +，求证：.1111333333abcabc a c abc c b abc b a ≤++++++++（1）分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。

思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成.实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式：x 3+y 3≥x 2y+xy 2=xy(x+y) (x 、y ∈R +)（*）知 （1）的左端.1)(1)(1)(1abcabc a c ca abc c b bc abc b a ab =++++++++≤这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。

（1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？以下为行文方便，记 （1）的左端为 ∑++abcb a 331，表示对a 、b 、c 轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述,为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手,推广1：设a 、b 、c 、d ∈R +，求证：abcdabcd c b a 11333≤∑+++ 。

（2） 分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x 4+y 4+z 4≥xyz(x+y+z) （**）（**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。

高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．答案解析1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解； 当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76.3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，74. 故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.6.解 (1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≥1，x ＋2，－12<x <1，－3x ，x ≤－12.当x ≥1时，由f (x )≥3得3x ≥3，解得x ≥1；当－12<x <1时，由f (x )≥3得x ＋2≥3，解得x ≥1， 这与－12<x <1矛盾，故舍去；当x ≤－12时，由f (x )≥3得－3x ≥3，解得x ≤－1.综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)， ∴k AB ＝3－321＋12＝1，∴直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行．若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4，则|CD|＝2·|a2＋a4|＝324a，平行线AB与CD间的距离d＝|a－2|2＝a－22，|AB|＝322，∴梯形ABCD的面积S＝322＋324a2·a－22＝32＋34a2·(a－2)＝92(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.故所求实数a的值为4.。

高中数学练习题附带解析不等式的应用与优化问题高中数学练习题附带解析--不等式的应用与优化问题（一）1. 解不等式$x^2-5x+6>0$。

解：首先，我们可以将不等式$x^2-5x+6>0$化为二次方程$x^2-5x+6=0$的解集。

我们将方程$x^2-5x+6=0$因式分解得到$(x-2)(x-3)=0$。

由此可知，方程$x^2-5x+6=0$的解集为$x=2$和$x=3$。

接下来，我们可以将数轴上的数分段，将方程$x^2-5x+6=0$的解集和不等号所表示的数区间标记在数轴上。

根据$x^2-5x+6>0$，我们需要找到满足此不等式的$x$的取值范围。

从数轴上可以看出，当$x<2$或$x>3$时，方程$x^2-5x+6>0$成立。

因此，不等式$x^2-5x+6>0$的解集为$x<2$或$x>3$。

2. 解不等式$\frac{x+1}{x-2}\leq0$。

解：首先，我们可以得到不等式$\frac{x+1}{x-2}\leq0$的定义域为$x\neq2$。

接下来，我们需要确定分子分母的正负情况。

当$x+1>0$，即$x>-1$时，分子$x+1$为正。

当$x+1<0$，即$x<-1$时，分子$x+1$为负。

当$x-2>0$，即$x>2$时，分母$x-2$为正。

当$x-2<0$，即$x<2$时，分母$x-2$为负。

综上所述，我们可以得到如下情况：1) 当$x>-1$且$x>2$时，不等式$\frac{x+1}{x-2}\leq0$成立。

此时，不等式$\frac{x+1}{x-2}\leq0$的解集为$x>-1$。

2) 当$x<-1$且$x<2$时，不等式$\frac{x+1}{x-2}\leq0$成立。

此时，不等式$\frac{x+1}{x-2}\leq0$的解集为$x<2$。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题单选题1、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B.2、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．3、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C．{x|x>3或x<−6}D．{x|−6<x<3}答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，即(x−6)(x+3)>0，即x>6或x<−3．所以不等式的解集为{x|x>6或x<−3}.故选：A4、已知正实数a、b满足1a +1b=m，若(a+1b)(b+1a)的最小值为4，则实数m的取值范围是（）A．{2}B．[2,+∞)C．(0,2]D．(0,+∞)答案：B分析：由题意可得(a+1b )(b+1a)=ab+1ab+2≥2√ab1ab+2=4，当ab=1ab，即ab=1时等号成立，所以有b=1a ，将1a+1b=m化为a+1a=m，再利用基本不等式可求得m的范围.解：因为a,b为正实数，(a+1b )(b+1a)=ab+1ab+2≥2√ab1ab+2=4，当ab=1ab，即ab=1时等号成立，此时有b=1a，又因为1a +1b=m，所以a+1a=m，由基本不等式可知a+1a≥2（a=1时等号成立），所以m ≥2. 故选：B.5、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8] 答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果. 设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2，解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ，因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1，所以2≤4a +2b ≤10. 故选：C.6、关于x 的不等式(x −a )(x −3)>0成立的一个充分不必要条件是−1<x <1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤−1B ．a <0C ．a ≥2D ．a ≥1 答案：D分析：由题意可知，(−1,1)是不等式(x −a )(x −3)>0解集的一个真子集，然后对a 与3的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数a 的取值范围. 由题可知(−1,1)是不等式(x −a )(x −3)>0的解集的一个真子集.当a =3时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为{x |x ≠3}，此时(−1,1){x |x ≠3}； 当时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为(−∞,3)∪(a,+∞)， ∵(−1,1)(−∞,3)，合乎题意；当a <3时，不等式(x −a )(x −3)>0的解集为(−∞,a )∪(3,+∞)， 由题意可得(−1,1)(−∞,a )，此时1≤a <3. 综上所述，a ≥1. 故选：D.3a小提示：本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.7、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（ ）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6， 则2+6=−2b a，2×6=−ca，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0， 整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0， 解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞).故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 8、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 若要使ab+bc a 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b+2b≤2√a 2+c 2b×2b=(22)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√12+2√a 2×c2=12， 当且仅当a 2+c 2b=2b ，且a =c 取等，即取等号，即则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为12， 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 多选题9、下列函数中最大值为12的是（ ） A ．y =x 2+116x 2B ．y =x ⋅√1−x 2,x ∈[0,1]C ．y =x 2x 4+1D ．y =x +4x+2,x >−2 答案：BC解析：利用基本不等式逐项判断即可. 解：对A ，y =x 2+116x2≥2√x 2⋅116x 2=12，当且仅当x 2=116x2，即x =±12时取等号，故A 错误；对B ，y =x ⋅√1−x 2=√x 2⋅(1−x 2)≤x 2+1−x 22=12，当且仅当x 2=1−x 2，又∵x ∈[0,1]，即x =√22时取等号，故B 正确；对C ，y =x 2x 4+1=1x 2+1x2≤12，a b c ==当且仅当x2=1x2，即x=±1时等号成立，故C正确；对D，y=x+4x+2=x+2+4x+2−2≥2√(x+2)⋅4x+2−2=2，当且仅当x+2=4x+2，又∵x>−2，∴x=0时取等号，故D错误.故选：BC.10、设正实数m、n满足m+n=2，则下列说法中正确的是（）A．2m−n>14B．mn的最大值为1C．√m+√n的最小值为2D．m2+n2的最小值为2答案：ABD分析：利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误. 对于A选项，因为正实数m、n满足m+n=2，则0<m<2，m−n=m−(2−m)=2−2m∈(−2,2)，故2m−n>2−2=14，A对；对于B选项，由基本不等式可得mn≤(m+n2)2=1，当且仅当m=n=1时，等号成立，B对；对于C选项，由基本不等式可得(√m+√n)2=m+n+2√mn≤2(m+n)=4，因为√m+√n>0，故√m+√n≤2，当且仅当m=n=1时，等号成立，C错；对于D选项，∵2(m2+n2)=(m2+n2)+(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2=4，可得m2+n2≥2，当且仅当m=n=1时，等号成立，D对.故选：ABD.11、已知a，b，c∈R+，则下列不等式正确的是（）A．1a +1b≥4a+bB．a+b≤√a2+b2C．b2a +a2b≥a+b D．a2+b22≥a+b−1答案：ACD分析：对AC，利用基本不等式可求解；对B，根据(a+b)2=a2+b2+2ab>a2+b2可判断；对D，利用(a−1)2+(b−1)2≥0可判断.对A ，因为(1a +1b )(a +b )=b a +a b +2≥2√b a ⋅a b +2=4，当且仅当b a =a b 时等号成立，所以1a +1b ≥4a+b ，故A正确；对B ，(a +b )2=a 2+b 2+2ab >a 2+b 2，所以a +b >√a 2+b 2，故B 错误； 对C ，b 2a+a +a 2b+b ≥2√b 2a⋅a +2√a 2b⋅b =2a +2b ，当且仅当a =b 等号成立，所以b 2a+a 2b≥a +b ，故C正确；对D ，因为(a −1)2+(b −1)2≥0，所以a 2+b 2−2a −2b +2≥0，所以a 2+b 22≥a +b −1，当且仅当a =b =1等号成立，故D 正确. 故选：ACD.12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD[0,1]13、已知a >0,b >0，且a +2b =1，则（ ） A ．ab 的最大值为19B ．1a +2b 的最小值为9C ．a 2+b 2的最小值为15D ．(a +1)(b +1)的最大值为2答案：BC分析：对A ，直接运用均值不等式2√2ab ≤a +2b 即可判断； 对B ，1a +2b =(1a +2b)⋅(a +2b )=5+2b a+2a b，运用均值不等式即可判断；对C ，a 2+b 2=(1−2b )2+b 2，讨论二次函数最值即可；对D ，(a +1)(b +1)=2(a +b )(a +3b )=2[(a +2b )2−b 2]=2(1−b 2)，讨论最值即可. a >0,b >0，2√2ab ≤a +2b =1⇒ab ≤18，当a =2b 时，即a =12,b =14时，可取等号，A 错；1a+2b =(1a +2b )⋅(a +2b )=5+2b a+2a b≥5+2√2b a ⋅2a b=9，当2b a =2ab时，即a =b =13时，可取等号，B 对； a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15≥15，当a =15,b =25时，可取等号，C 对；(a +1)(b +1)=2(a +b )(a +3b )=2(a 2+4ab +3b 2)=2[(a +2b )2−b 2]=2(1−b 2)<2，D 错. 故选：BC 填空题14、若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12(a +b +c )，则该三角形的面积S =√p (p −a )(p −b )(p −c )，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，AB =2，则该三角形面积的最大值为___________. 答案：2√2分析：计算得到p =4，c =2，a +b =6，根据均值不等式得到ab ≤9，代入计算得到答案. p =12(a +b +c )=4，c =2，a +b =6，a +b =6≥2√ab ，ab ≤9，当a =b =3时等号成立.S =√p (p −a )(p −b )(p −c )=√8(4−a )(4−b )=√128−32(a +b )+8ab ≤2√2. 所以答案是：2√2.15、若关于x 的二次方程x 2+mx +4m 2−3=0的两个根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值为______ 答案：分析：先求出方程有两根时m 的范围，再由根与系数关系将x 1,x 2用m 表示，建立关于m 的方程，求解即可. 关于x 的二次方程x 2+mx +4m 2−3=0有两个根， 则Δ=m 2−4(4m 2−3)=−3(5m 2−4)≥0， ∴−2√55≤m ≤2√55,x 1+x 2=−m,x 1⋅x 2=4m 2−3，又∵x 1+x 2=x 1x 2,∴−m =4m 2−3，即4m 2+m −3=0， 解得m =34或m =−1（舍去），∴m 的值为.小提示：本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.16、若关于x 的不等式x 2−(m +2)x +2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 答案：(5，6]分析：不等式化为(x −m)(x −2)<0，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m 的范围. x 2−(m +2)x +2m <0可化为(x −m)(x −2)<0， 该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x <m}，且5<m ⩽6； 所以答案是：(5，6]． 解答题343417、求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2+2(m −1) x +2m +6=0. (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根α ， β，且满足0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根. 答案：(1)m <−1 (2)−75<m <−54(3)m ≤−1分析：设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. （1）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有f (2)<0，即4+4(m −1)+2m +6<0，得m <−1． （2）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6．依题意有{f (0)=2m +6>0f (1)=4m +5<0f (4)=10m +14>0，解得−75<m <−54．（3）设y =f (x )=x 2+2(m −1)x +2m +6． 方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得{Δ≥0f (0)>02(m−1)−2>0，即{m ≤−1或m ≥5m >−3m <1.∴−3<m ≤−1． ②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <−3． ③有一个正根，另一根为0，此时可得{6+2m =02(m −1)<0，∴m =−3．综上所述，得m ≤−1．18、阅读材料：我们研究了函数的单调性､奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数y=x2和y=√x，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数y=x2的图象是向下凸的，在上任意取两个点M1,M2，函数y=x2的图象总是在线段M1M2的下方，此时函数y=x2称为下凸函数；函数y=√x的图象是向上凸的，在上任意取两个点M1,M2，函数y=√x的图象总是在线段M1M2的上方，则函数y=√x称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的下方.定义2：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数y=x3在(−∞,0]为上凸函数，在[0,+∞)上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度､全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：(1)请尝试列举一个下凸函数：___________；(2)求证：二次函数f(x)=−x2+bx+c是上凸函数；(3)已知函数f(x)=x|x−a|，若对任意x1,x2∈[2,3]，恒有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，尝试数形结合探究实数a的取值范围.答案：(1)y=1x，x∈(0,+∞)；(2)证明见解析；(3)a≥3.[0,1][0,1][0,1]分析：（1）根据下凸函数的定义举例即可；（2）利用上凸函数定义证明即可；（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.（1）y =1x ，x ∈(0,+∞)； （2）对于二次函数f(x)=−x 2+bx +c ，∀x 1,x 2∈R ，满足f (x 1+x 22)−f (x 1)+f (x 2)2=−(x 1+x 22)2+b ⋅x 1+x 22+c −−x 12+bx 1+c −x 22+bx 2+c 2=−x 12+x 22+2x 1x 24+x 12+x 222=(x 1−x 2)24≥0， 即f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，满足上凸函数定义，二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数.（3）由（2）知二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数，同理易得二次函数f(x)=x 2+bx +c 为下凸函数，对于函数f(x)=x |x −a |={x 2−ax,x >a −x 2+ax,x ≤a，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，若对任意x 1,x 2∈[2,3]，恒有f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，则函数f(x)=x|x −a|满足上凸函数定义，即[2,3]⊆(−∞,a]，即a ≥3.。

1不等式基本性质和不等式的解法一．不等式的性质：1．实数比较大小的方法：作差比较的步骤：2. 不等式的基本性质：（1） （5）（2） （6）（3） （7）（4） （8）例题1已知d c b a <>,，求证：d b c a ->-．例题2 已知a>b>0，c>d>0，求证：c bd a >。

二．简单的一元高次不等式的解法：标根法：例题3解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

例题4不等式(0x -≥的解集是____三．分式不等式的解法：例题5解不等式25123xx x -<---练习：解不等式（1）0)3)(2()1(2<---x x x（2）0)3()2()1(32≥---x x x（3）)10(33212322≠>>+-+-a a a a x x x x 且（4） 13242>-+x x x小结：（1）（2）（3）2绝对值不等式的解法 一、c b ax ≤+和c b ax ≥+型不等式的解法。

⇔≤+c b ax⇔≥+c b ax例题1解不等式132)1(≤-x （2）512>+-x例题2（1）解不等式213+<-x x 。

（2）解不等式x x ->-213。

二、c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法。

解这累含绝对值不等式的一般步骤是：（1）（2）（3）（4）例3、解不等式52312≥-++x x 。

例4、解不等式512≥-+-x x 。

例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。

练习：1解不等式|21|2|432|+-≥-x x2解不等式|||1|3x x +->3若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。

小结：（1） （2）作业：已知函数52)(---=x x x f（1）证明：3)(3≤≤-x f ；（2）求不等式158)(2+-≥x x x f 3基本不等式回顾：定理1定理2（基本不等式）说明：例题1：.,,222ac bc ab c b a c b a ++>++求证：为两两不相等的实数例题2：已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd定理3：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。

01 不等式的性质及应用【知识分析】不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容，高考中主要以客观题形式呈现，难度不大，分值5分，复习时注意不等式的等价变形，特别是不等式两边同乘以或同除以一个数时，不等式的方向变化． 【经典例题】(1)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －db ＞0；②若ab ＞0，c a －db ＞0，则bc －ad ＞0；③若bc －ad ＞0，c a －db ＞0，则ab ＞0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：p 1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≥－2， p 2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≥2， p 3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≤3， p 4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≤－1. 其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3【解析】 (1)对于①，∵ab ＞0，bc －ad ＞0，∴c a －d b ＝bc －ad ab ＞0，∴①正确；对于②，∵ab ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab ＞0，∴bc －ad ＞0，∴②正确；对于③，∵bc －ad ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab＞0，∴ab ＞0，∴③正确．(2)设x ＋2y ＝m(x ＋y)＋n(x －2y)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝m ＋n ，2＝m －2n ，解得⎩⎨⎧m ＝43，n ＝－13.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4，∴43(x ＋y)≥43，－13(x －2y)≥－43，∴x ＋2y ＝43(x ＋y)－13(x －2y)≥0.故命题p 1，p 2正确，p 3，p 4错误． 【答案】 (1)D (2)B题(1)实质为ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －db ＞0三个结论之间的轮换，知二推一，利用不等式的性质判断．(2)利用不等式组求x ＋2y 的范围，注意性质应用的条件，以免扩大取值范围．判断关于不等式的命题真假的三种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．利用不等式的性质求取值范围的方法由a ＜f(x ，y)＜b ，c ＜g(x ，y)＜d 求F(x ，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x ，y)＝mf(x ，y)＋ng(x ，y)，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F(x ，y)的取值范围． 【针对训练】1.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b a B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c1．D 方法一：c<d<0⇒cd>0⇒c cd <d cd <0⇒1d <1c<0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d >－1c >0a>b>0⇒－a d >－b c ⇒a d <b c .方法二：依题意取a ＝2，b ＝1时，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确． 2．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________． 2.【解析】 方法一：由题意知，实数x ，y 均为正数，则条件可化为lg 3≤lg x ＋2lg y≤lg 8，lg 4≤2lg x －lg y≤lg 9.令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg 3≤a ＋2b≤3lg 2，2lg 2≤2a －b≤2lg 3.设t ＝x 3y 4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b.令3a －4b ＝m(a ＋2b)＋n(2a －b)，解得m ＝－1，n ＝2，故lg t ＝－(a ＋2b)＋2(2a －b)≤－lg 3＋4lg 3＝lg 27.所以x 3y 4的最大值为27.方法二：将4≤x 2y ≤9两边平方，得16≤x 4y2≤81.①由3≤xy 2≤8，得18≤1xy 2≤13.②由①②，得2≤x 3y 4≤27，即x 3y 4的最大值是27.【答案】 27, 【测试】1．设a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1a ＜0，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2 D ．ab ＞ab 2＞a2．D 由－1＜b ＜0，得b ＜b 2＜1.又∵a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a. 3．已知0<a<b<1，则( ) A.1b >1aB.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12bC ．(lg a)2<(lg b)2 D.1lg a >1lg b3．D 因为0<a<b<1，所以1b －1a ＝a －b ab<0.可得1b <1a ，⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫12b，(lg a)2>(lg b)2，lg a<lg b<0.由lg a<lg b<0得1lg a >1lg b，因此只有D 项正确．思路点拨：利用不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性求解．4．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c≤3a ，则ca 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，3)D ．(0，3)4．B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca≤3，1＋b a ＞ca ，1＋c a ＞ba ，∴⎩⎨⎧1＜b a ＋ca≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2×ca＜4，∴ca 的取值范围为(0，2)，故选B. 5．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)＜log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ； ②log a (1＋a)＞log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ； ③a 1＋a ＜a1＋1a ； ④a 1＋a ＞a1＋1a .其中成立的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y≤3，－1≤x －y≤1，则4x ＋2y 的取值范围是________．6．【解析】 方法一：∵1≤x ＋y≤3，① －1≤x －y≤1，②由①＋②，得0≤2x≤4，③ ③×2得0≤4x≤8，④ 由①－②，得2≤2y≤2，⑤ 由④＋⑤得2≤4x ＋2y≤10.方法二：令4x ＋2y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. 即4x ＋2y ＝3(x ＋y)＋(x －y)， ∵1≤x ＋y≤3， ∴3≤3(x ＋y)≤9， 又∵－1≤x －y≤1， ∴2≤3(x ＋y)＋(x －y)≤10. ∴2≤4x ＋2y≤10. 【答案】 [2，10] 【点击高考】1．已知x ，y ∈R ，且x>y>0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y>0 C.⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y>02．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 32．D 因为0＜a ＜1，a x ＜a y ，所以x ＞y.对于选项A ，取x ＝2，y ＝1，则1x 2＋1＜1y 2＋1，显然A 错误；对于选项B ，取x ＝－1，y ＝－2，则ln(x 2＋1)＜ln(y 2＋1)，显然B 错误；对于选项C ，取x ＝π，y ＝π2，则sinπ2＞sin π，显然C 错误；对于选项D ，若x ＞y ，则x 3＞y 3一定成立，故选D. 3．设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ) A ．[－x]＝－[x] B ．[2x]＝2[x] C ．[x ＋y]≤[x]＋[y] D ．[x －y]≤[x]－[y]4．如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab<b 2C ．－ab<－a 2D ．－1a <－1b4．D 方法一(利用不等式性质求解)：A 项，由a<b<0，得b －a>0，ab>0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；B 项，由a<b<0，得b(a －b)>0，ab>b 2，故B 项错误；C 项，由a<b<0，得a(a －b)>0，a 2>ab ，即－ab>－a 2，故C 项错误；D 项，由a<b<0，得a －b<0，ab>0，故－1a －⎝⎛⎭⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b 成立．故D 项正确．方法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>－1＝1b ，ab ＝2>1＝b 2，－ab ＝－2>－4＝－a 2，－1a ＝12<1＝－1b.故A ，B ，C 项错误，D 项正确．5．若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 5．D A 项，当a ＝b ＝1时，满足ab>0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；B ，C 项，当a ＝b ＝－1时，满足ab>0，但a ＋b<0，1a ＋1b <0，而2ab>0，2ab >0，显然B ，C 错误；D 项，当ab>0时，由基本不等式得b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，所以D 正确． 6．若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“a<1b 或 b>1a ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．A 当0<ab<1时，若b>0，则有a<1b ；若b<0，则a<0，从而有b>1a ，故“0<ab<1”是“a<1b 或b>1a ”的充分条件．反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a<1b 或b>1a ，但ab<0，故选A.02 一元二次不等式的应用【知识分析】解一元二次不等式及分式不等式一般为容易题，主要以选择题、填空题出现．常与集合的交、并、补结合，难度不大．在平时复习中应熟练掌握图象法解一元二次不等式的方法，注重分式不等式、绝对值不等式转化为一元二次不等式(组)的等价过程，书写时注意解集写成集合或区间的形式． 【典型例题】1(1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为________．(用区间表示)(3)已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)＞x 的解集用区间表示为________．【解析】 (1)不等式x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x≤1，∴不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. (2)由－x 2－3x ＋4＞0得x 2＋3x －4＜0， 即(x ＋4)(x －1)＜0，解得－4＜x ＜1. (3)当x ＞0时，f(x)＝x 2－4x ， 令x ＜0，则－x ＞0， ∴f(－x)＝x 2＋4x.∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋4x ，即x ＜0时，f(x)＝－x 2－4x.f(x)＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 2－4x ＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2－4x ＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0＞x. 解得－5＜x ＜0或x ＞5，∴不等式f(x)＞x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)． 【答案】 (1)A (2)(－4，1) (3)(－5，0)∪(5，＋∞),解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax 2＋bx ＋c>0(a>0)或ax 2＋bx ＋c<0(a>0)的形式； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）＞0(<0) ⇔f(x)·g(x)＞0(<0)； (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0. 注意：求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．含参数的一元二次不等式问题是高考的热点，主要出现在综合题中，常与函数、导数联系在一起，难度较大，复习时要加强此知识点的强化训练． 【典型例题】2(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152(2)已知函数f(x)＝2x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)＜m 的解集为(n ，n ＋10)，则实数m 的值为( )A ．25B ．－25C ．50D ．－50【解析】 (1)方法一：由条件知，x 1和x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，所以(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.又a ＞0，所以a ＝52.方法二：由x 2－2ax －8a 2＜0，得(x ＋2a)(x －4a)＜0.因为a ＞0，所以不等式的解集为(－2a ，4a)．又不等式的解集为(x 1，x 2)，所以x 1＝－2a ，x 2＝4a ，从而x 2－x 1＝6a ＝15，解得a ＝52.(2)由函数f(x)＝2x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)知，Δ＝b 2－8c ＝0，所以c ＝b 28.不等式f(x)＜m 即2x 2＋bx ＋b 28＜m ，即2x 2＋bx ＋b 28－m ＜0的解集为(n ，n ＋10)．设方程2x 2＋bx ＋b 28－m ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b 2，x 1x 2＝b 216－m2，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－b 22－4⎝⎛⎭⎫b 216－m 2＝2m.由题意知|x 1－x 2|＝|n ＋10－n|＝10，所以m ＝50. 【答案】 (1)A (2)C,(1)方法一利用不等式的解集以及根与系数的关系得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a 的值；方法二注意因式分解的恰当应用会给解题带来意想不到的效果．(2)二次函数f(x)＝2x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)等价于Δ＝0；f(x)＜m 的解集为(n ，n ＋10)转化为两交点间的距离|x 1－x 2|＝10.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 一元二次不等式恒成立问题也是高考的一个考点，主要考查根据一元二次不等式的恒成立求参数的范围、求最值等，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大． 【典型例题】3(1)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f(x)(x ∈R )．对函数y ＝g(x)(x ∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y ＝h(x)(x ∈I)，y ＝h(x)满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h(x))，(x ，g(x))关于点(x ，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x 2关于f(x)＝3x ＋b 的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b 的取值范围为________．(2)由已知得h （x ）＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h(x)＝6x ＋2b －4－x 2.因为h(x)>g(x)恒成立，所以6x ＋2b －4－x 2>4－x 2， 即3x ＋b>4－x 2恒成立．在同一坐标系中画出y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2的图象，如图所示．当直线3x －y ＋b ＝0与半圆相切时，d ＝b10＝2，此时，b ＝210. 结合图象可知，b 的取值范围为(210，＋∞)． 【答案】 (1)⎝⎛⎭⎫－22，0 (2)(210，＋∞) 【名师点拨】(1)结合二次函数的图象及性质只需满足f(m)＜0且f(m ＋1)＜0即可；(2)先根据“对称函数”的定义，求出h(x)，然后在同一坐标系下，画出整理后的两个函数的图象，利用数形结合的思想求解．一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．(2)更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗．一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解．(3)分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max ，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min .对任意的k ∈[－1，1]，函数f(x)＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．【针对训练】1．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2，2) D ．(－2，2]1．D 当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0，恒成立；当a －2≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，4（a －2）2＋16（a －2）＜0，解得－2＜a ＜2， ∴－2＜a≤2. 故选D.2．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)，若对任意x ＞2，不等式(x －a)⊗x≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)2．C 由题意可知，不等式(x －a)⊗x≤a ＋2可化为(x －a)(1－x)≤a ＋2，即x －x 2－a ＋ax≤a ＋2，则a≤x 2－x ＋2x －2对x ＞2都成立，即a≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋2x －2min (x ∈(2，＋∞))， 由于x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥2（x －2）·4x －2＋3＝7(x ＞2)，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立，∴a≤7，故选C.3．“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a ＞0.”给出如下的一种解法： 解：由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，得a ⎝⎛⎭⎫1x 2＋b ⎝⎛⎭⎫1x ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫12，1，即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫12，1.参考上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式bx －a－x －bx －c ＞0的解集为( ) A ．(－1，1)B.⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 3．B 根据题意， 由bx ＋a ＋x ＋b x ＋c＜0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，得b－x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c＜0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1，即b x －a －x －b x －c＞0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1.故选B.4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x≥0，1，x ＜0则满足不等式f(1－x 2)＞f(2x)的x 的取值范围是________．4．【解析】 当x ＝－1时，无解．当－1＜x ＜0时，1－x 2＞0，f(1－x 2)＞f(2x)化为(1－x 2)2＋1＞1，恒成立．当0≤x≤1时，1－x 2≥0，2x≥0，f(1－x 2)＞f(2x)化为(1－x 2)2＋1＞(2x)2＋1，即1－x 2＞2x ，(x ＋1)2＜2，∴0≤x ＜2－1.当1－x 2＜0时，无解． 综上可知－1＜x ＜2－1. 【答案】 (－1，2－1)5．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________． 5．【解析】 因为不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 所以Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0， 即64sin 2α－32＋64sin 2α≤0， 解得－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π.所以α∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 6．已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．6．【解析】 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t≥1，则x ＝t 2－1.所以（t 2－1）2a ≥1＋t 2－12－t＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t≥1恒成立，所以（t ＋1）2a ≥12对t≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a≤[2(t ＋1)2]min＝8，故a 的最大值是8. 【答案】 8 【点击高考】1．设集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|2x －3>0}，则A∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，32．设集合S ＝{x|(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x|x>0}，则S∩T ＝( ) A ．[2，3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0，2]∪[3，＋∞)2．D S ＝{x|x≤2或x≥3}，T ＝{x|x>0}，∴S∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞)． 3．设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．A 由|x －2|＜1⇔－1＜x －2＜1⇔1＜x ＜3. 由x 2＋x －2＞0⇔x ＜－2或x ＞1. 而(1，3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，故选A.4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( ) A.{}x |x<－1或x>－lg 2 B.{}x |－1<x<－lg 2 C.{}x |x>－lg 2 D.{}x |x<－lg 24．D ∵f(x)<0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－1或x>12，∴f(x)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x<12. ∴由f(10x )>0得，－1<10x <12，解得x<－lg 2.5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]6．已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x 的不等式f(x ＋a)<f(x)的解集为A.若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 6．A 由题意可得0∈A ，即f(a)<f(0)＝0，所以a(1＋a|a|)<0，当a>0时无解，所以a<0，此时1－a 2>0，所以－1<a<0.抛物线的对称轴x ＝12a ，x ＝－12a 之间的距离大于1，而[x ＋a ，x]的区间长度小于1，所以不等式f(x ＋a)<f(x)的解集是⎝⎛⎭⎫12a －a 2，－12a －a2，所以 ⎣⎡⎦⎤－12，12⊆⎝⎛⎭⎫12a －a 2，－12a －a 2， 所以⎩⎨⎧12a －a 2<－12，－12a －a 2>12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －1<0，a 2＋a ＋1>0， 解得1－52<a<1＋52，又－1<a<0，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0.7．设a ∈R ，若x ＞0，均有[(a －1)x －1]·(x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.7．【解析】 (1)当a ＝1时，不等式可化为对∀x ，x>0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立， ∴a≠1.(2)当a<1时，∵x>0，∴(a －1)x －1<0，则不等式可化为x>0时均有x 2－ax －1≤0.∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能恒成立，∴a<1不成立．(3)当a>1时，令f(x)＝(a －1)x －1，g(x)＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)．∵a>1，∴f(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f(x)<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f(x)>0.又∵二次函数g(x)＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g(x)＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合， 如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g(x)图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a＝0(舍去)． 综上可知a ＝32.【答案】 3203 基本不等式利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是基本不等式的考点，高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题，试题难度不大，主要是以选择题、填空题形式出现，有时解答题中也会利用基本不等式求最值．在复习时，注意利用基本不等式判断不等式是否成立(比较大小)，一般将所给不等式变形，使一侧为常数，另一侧利用基本不等式求解后判断． 【典例】1(1)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3(2)设f(x)＝ln x ，0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r<pB ．p ＝r<qC ．q ＝r>pD ．p ＝r>q【解析】 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2. 所以xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤12x y ·4y x－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2，⎝⎛⎭⎫xy z max ＝1， 则2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －2xy ＝2y ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝2y⎝⎛⎭⎫1－12y ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＋1－12y 22＝1. (2)方法一：由题意知，p ＝f(ab)＝ln ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f(a)＋f(b))＝12(ln a ＋ln b)＝12ln ab ＝ln ab.又∵b ＞a ＞0，∴a ＋b2＞ab ＞0.∵函数f(x)＝ln x 为增函数，∴p ＝r ＜q ，故选B. 方法二(特值法)：令a ＝1，b ＝2，∴p ＝f(2)＝ln 2， q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32，r ＝12(ln 1＋ln 2)＝ln 2.∵2<32，∴ln 2<ln 32，∴p ＝r<q.【答案】 (1)B (2)B 【名师点睛】(1)含有三个变量，可以把其中一个变量用另两个变量来代替，借助基本不等式求最值； 解(2)时注意利用不等式与对数函数相结合，方法二是不等式常用的方法，特殊值法应灵活应用．利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．(3)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号，若等号不成立，一般利用函数单调性求解．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5C 将(1，1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，故a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C. 基本不等式的实际应用高考中利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值． 【典例】2(1)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．(2)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k>0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． ①求炮的最大射程；②设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【解析】 (1)设池底长为x m ，宽为y m ，则xy ＝4，所以y ＝4x ，则总造价为f(x)＝20xy ＋2(x ＋y)×1×10＝80＋80x ＋20x＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80，x ∈(0，＋∞)． 所以f(x)≥20×2x·4x ＋80＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元． (2)①令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件知x>0，k>0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．②因为a>0，所以炮弹可以击中目标等价于存在k>0， 使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，故关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以有判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0，即a≤6. 所以当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．, 【名师点睛】解(1)关键是列出函数关系式f(x)＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80，利用基本不等式求最值； 题(2)①求炮的最大射程即求y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(x ＞0)与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解；②求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)根据题意设出相应变量，一般把要求最值的变量设为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 【针对训练】1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49 1．A 因为a ，b ＞0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1）（b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a)＝4(b ＋4a)·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2b a ·4ab＝36， 当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号．所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16.2．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.923．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c>0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．23．A 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C(0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a×0＋b×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c)⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c>0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 4．已知x ＞0，y ＞0，若2y x ＋8xy＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】 (－4，2)5．若当x>－3时，不等式a≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．5．【解析】 设f(x)＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x>－3，所以x ＋3>0， 故f(x)≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]． 【答案】 (－∞，22－3]6．已知实数x ，y 满足x －x ＋1＝y ＋3－y ，则x ＋y 的最大值为________． 6．【解析】 ∵x －x ＋1＝y ＋3－y. ∴x ＋y ＝x ＋1＋y ＋3≤2x ＋y ＋42，则(x ＋y)2≤2(x ＋y ＋4)，解得－2≤x ＋y≤4.∴x ＋y 的最大值为4. 【答案】 47．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?7．解：方法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数， 则y ＝kab ，其中k 为比例系数，且k>0.根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)， 所以b ＝30－a2＋a (0<a<30)．所以ab ＝a×30－a 2＋a ＝30a －a 22＋a＝－a ＋32－642＋a＝34－⎝⎛⎭⎫a ＋2＋64a ＋2≤34－2（a ＋2）·64a ＋2＝18.当a ＋2＝64a ＋2时取等号，y 达到最小值．此时解得a ＝6，b ＝3.所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 方法二：设y 为流出的水中杂质的质量分数， 则y ＝kab ，其中k 为比例系数，且k>0.根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)， 即2b ＋ab ＋a ＝30.因为a ＋2b≥22ab ， 所以30－ab ＝a ＋2b≥22ab. 所以ab ＋22ab －30≤0. 因为a>0，b>0，所以0<ab≤18， 当a ＝2b 时取等号，ab 达到最大值18. 此时解得a ＝6，b ＝3.所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 【点击高考】1．（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m>0)，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C ，D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b.当m 变化时，ba的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．4342．B 在平面直角坐标系中作出函数y ＝|log 2x|的图象如图所示，不妨设点A(x 1，m)，B(x 2，m)，C ⎝⎛⎭⎫x 3，82m ＋1，D ⎝⎛⎭⎫x 4，82m ＋1，则0＜x 1＜1＜x 2，0＜x 3＜1＜x 4，此时有－log 2x 1＝m ，log 2x 2＝m ，－log 2x 3＝82m ＋1，log 2x 4＝82m ＋1，解得x 1＝⎝⎛⎭⎫12m ，x 2＝2m ，x 3＝⎝⎛⎭⎫1282m ＋1，x 4＝282m ＋1，线段AC 与BD 在x 轴上的投影长度分别为a ＝|x 1－x 3|＝，b ＝|x 2－x 4|＝⎪⎪⎪⎪2m －282m ＋1， 则ba＝＝2m ＋82m ＋1，令t ＝m ＋82m ＋1(m ＞0)，则t ＝m ＋4m ＋12＝⎝⎛⎭⎫m ＋12＋4m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当⎝⎛⎭⎫m ＋122＝4，即m ＝32时，t 取最小值为72，此时b a的最小值为8 2.3．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．3．【解析】 ∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时等号成立，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2. 【答案】 2 24．(2013·天津，14，易)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 4．【解析】 ∵a ＋b ＝2， ∴12|a|＋|a|b ＝24|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a4|a|＋2b 4|a|×|a|b ＝a4|a|＋1. 当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a ＜0，即b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a|＋|a|b 取得最小值．【答案】 －25．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x ＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 5．解：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为C(x)＝k3x ＋5，由C(0)＝8，得k ＝40，∴C(x)＝403x ＋5. 而隔热层建造费用为C 1(x)＝6x ， ∴f(x)＝20C(x)＋C 1(x)＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)方法一：f(x)＝8003x ＋5＋6x＝1 6006x ＋10＋6x ＋10－10 ≥21 6006x ＋10×（6x ＋10）－10＝70，当且仅当1 6006x ＋10＝6x ＋10，即x ＝5时取等号．∴当隔热层修建厚度为5 cm 时，总费用最小，最小值为70万元． 方法二：f′(x)＝6－ 2 400（3x ＋5）2，令f′(x)＝0，即2 400（3x ＋5）2＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x<5时，f′(x)<0；当5<x<10时，f′(x)>0.故x ＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建厚度为5 cm 时，总费用达到最小，最小值为70万元．04 函数与方程函数零点的求解与判断 【知识分析】高考中对函数零点个数和所在区间的考查中“函数”往往是由基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等)或三角函数组合而成的，题目常以选择题或填空题的形式出现，体现数形结合思想的运用，难度不大． 【典例】1(1)若a<b<c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b)和(b ，c)内 B ．(－∞，a)和(a ，b)内 C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)内(2)函数f(x)＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________． 【解析】(1)易知f(a)＝(a －b)(a －c)，f(b)＝(b －c)(b －a)，f(c)＝(c －a)(c －b)．又a<b<c ，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在(a ，b)和(b ，c)内． (2)令4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －||ln （x ＋1）＝0. ∴2sin x ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2－1＝||ln （x ＋1）， 即sin 2x ＝||ln （x ＋1）. 令y 1＝sin 2x ，y 2＝||ln （x ＋1）. 如图画出y 1，y 2的图象，结合图象可得y 1与y 2有两个交点， ∴方程有2个根． ∴函数f(x)有2个零点．【答案】 (1)A (2)2【名师点睛】解题(1)的依据是零点存在性定理；解题(2)的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，数形结合求解．1.函数f(x)＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)2．设函数f(x)(x ∈R )满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0，1]时，f(x)＝x 3.又函数g(x)＝|xco s(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．B ∵f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，∴f(－x)＝f(2－x)，∴f(x)的周期为2.如图画出f(x)与g(x)的图象，它们共有6个交点，故h(x)在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为6.故选B.,判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y ＝h(x)与函数y ＝g(x)的图象的交点个数； (4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断． 函数零点的应用高考对函数零点的应用的考查多以选择题或填空题的形式出现，主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围及利用零点的性质求其和、比较大小等问题，难度较大． 【典例】2.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g(x)＝b －f(2－x)，其中b ∈R .若函数y ＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，74C.⎝⎛⎭⎫0，74D.⎝⎛⎭⎫74，2 【解析】 由已知条件可得g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧b －2＋|2－x|，x≥0，b －x 2，x ＜0.函数y ＝f(x)，y ＝g(x)的图象如图所示： 要使y ＝f(x)－g(x)恰有4个零点，只需y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象恰有4个不同的交点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2＋x ，y ＝b －x 2在x ＜0时有两个不同的解，即x 2＋x ＋2－b ＝0有两个不同的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4（2－b ）＞0，2－b ＞0，解得74＜b ＜2；同时要满足{y ＝（x －2）2，y ＝b －2＋x －2在x ＞2时有两个不同的解，即x 2－5x ＋8－b ＝0有两个大于2的不同实根，令h(x)＝x 2－5x ＋8－b ，需⎩⎪⎨⎪⎧h （2）＞0，h ⎝⎛⎭⎫52＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，8－254－b ＜0，解得74＜b ＜2.综上所述，满足条件的b 的取值范围是74＜b ＜2.【答案】 D,已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【针对训练】1．函数f(x)＝ln x ＋x －12，则函数的零点所在区间是( )A.⎝⎛⎭⎫14，12B.⎝⎛⎭⎫12，34C.⎝⎛⎭⎫34，1 D ．(1，2)1．C 函数f(x)＝ln x ＋x －12的图象在(0，＋∞)上连续，且f ⎝⎛⎭⎫34＝ln 34＋34－12＝ln 34＋14＜0，f(1)＝ln 1＋1－12＝12＞0，故f(x)的零点所在区间为⎝⎛⎭⎫34，1. 2．设函数f(x)的零点为x 1，g(x)＝4x ＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|≤0.25，则f(x)可以是( ) A ．f(x)＝x 2－1 B ．f(x)＝2x －4 C ．f(x)＝ln(x ＋1) D ．f(x)＝8x －23．偶函数f(x)满足f(x －1)＝f(x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f(x)＝－x ＋1，则关于x 的方程f(x)＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．C 依题意得f(x ＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f(x)的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图象在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0，9]时，方程f(x)＝lg(x ＋1)的解的个数是9.4．定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a ＜1)的所有零点之和为( )A ．2a －1B ．2－a －1 C ．1－2－a D ．1－2a5．已知函数f(x)满足f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1，3]时，f(x)＝ln x ，若在区间⎣⎡⎦⎤13，3内，曲线g(x)＝f(x)－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎫0，12e C.⎣⎡⎭⎫ln 33，1e D.⎣⎡⎭⎫ln 33，12e5．C 当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，1x ∈[1，3]，f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ∈[1，3]，－ln x ，x ∈⎣⎡⎭⎫13，1，作出其图象，如图所示．设直线y ＝a 0x 与y ＝ln x(x ∈[1，3])的图象相切，其切点为(x 0，y 0)(x 0∈[1，3]，y 0∈[0，ln 3])， 则1x 0＝a 0⎝⎛⎭⎫a 0∈⎣⎡⎦⎤13，1， ∴x 0＝1a 0，∴y 0＝1，∴1＝ln1a 0，∴a 0＝1e.又点(3，ln 3)与原点连线的斜率为ln 33，故曲线g(x)＝f(x)－ax 与x 轴有三个不同的交点，可知实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫ln 33，1e ，故选C.6．已知函数f(x)＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，则n ＝________． 6．【解析】 a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f(x)＝0，得a x ＝－x ＋b.在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x 和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象在区间(－1，0)内有交点，所以函数f(x)在区间(－1，0)内有零点，所以n ＝－1. 【答案】 －17．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则b －2a －1的取值范围是________．7．【解析】 令f(x)＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＜－1，a ＋b ＞－2.根据该约束条件作出可行域(如图)，b －2a －1表示可行域内点与点(1，2)的连线的斜率，可知14＜b －2a －1＜1.【答案】 ⎝⎛⎭⎫14，1 【点击高考】1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x<0，log a （x ＋1）＋1， x≥0(a>0，且a≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫341．C 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，知0<a<1. 又由f(x)在R 上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧02＋（4a －3）·0＋3a≥f （0）＝1，3－4a 2≥0⇒13≤a≤34. 由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a>2，即a>23时，令|x 2＋(4a －3)x ＋3a|＝2－x ， ∴x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x.又Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍)．当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件． 综上，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.选C.2．函数f(x)＝2x |log 0.5x|－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．B方法一：f(x)＝2x |log 0.5x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x log 0.5x －1，0<x≤1，－2x log 0.5x －1，x>1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x log 2x －1，0<x≤1，2x log 2x －1，x>1. ∵f(x)＝－2x log 2x －1在(0，1]上递减且x 接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)＝－1<0，∴f(x)在(0，1]上有1个零点．又∵f(x)＝2x log 2x －1在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝22×log 22－1＝3>0， ∴f(x)在(1，＋∞)上有1个零点， 故f(x)共有2个零点．方法二：易知函数f(x)＝2x |log 0.5x|－1的零点个数⇔方程|log 0.5x|＝12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x|与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有2个交点．3．函数f(x)＝xcos x 2在区间[0，4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．4．【解析】 当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪（x －1）2－12，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在[－3，4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f(x)在[－3，4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.。

第五章 不等式§5.1不等式的解法一、知识导学1. 一元一次不等式ax>b(1)当a>0时，解为a b x >；(2)当a ＜0时，解为abx <；(3)当a ＝0，b ≥0时无解；当a ＝0，b ＜0时，解为R ．2. 一元二次不等式：(如下表)其中a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两实根，且x 1＜x 23.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是： ①将f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集. 4.分式不等式：先整理成)()(x g x f ＞0或)()(x g x f ≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：)()(x g x f ＞0⇔f(x)·g (x)＞0 )()(x g x f ≥0⇔0)x (g )x (f 0)x (g 0)x (f ＞或⋅⎩⎨⎧≠=然后用“根轴法”或化为不等式组求解.二、疑难知识导析1.不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类. 三、经典例题导讲[例1] 如果kx 2+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿. A. －1≤k ≤0 B. －1≤k<0 C. －1<k ≤0 D. －1<k<0 错解：由题意：⎩⎨⎧<+-⋅-<0)]2([4)2(02k k k k解得：－1<k<0错因：将kx 2+2kx －(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k ＝0的情况. 正解：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴ k ＝0符合题意.当k ≠0时，由题意：⎩⎨⎧<+-⋅-<0)]2([4)2(02k k k k 解得：－1<k<0∴ 01≤<-k ，故选C.[例2] 命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿A.(4,)+∞B.[)4,+∞C.(,4)-∞-D.(],4-∞- 错解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4， 又由（x ＋2）(x ＋a)=0得x=－2或x ＝－a,A 是B 的充分不必要条件,∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a } ∴－a>4故选D.错因：忽略了a ＝－4时，{x|－2＜x ＜4}＝{x|－2＜x ＜－a }，此时A 是B 的充要条件，不是充分不必要条件.正解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4， 又由（x ＋2）(x ＋a)=0得x=－2或x ＝－a,A 是B 的充分不必要条件,∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a } ∴－a>4故选C.[例3]已知f(x) = a x + x b，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围.错解： 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正解： 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f ,解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337)3(316≤≤f[例4] 解不等式（x+2）2(x+3)(x －2)0≥ 错解： （x+2）20≥∴原不等式可化为：(x+3)(x －2)0≥∴原不等式的解集为｛x| x ≤ －3或x 2≥｝错因:忽视了“≥”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x －2)0= ①或（x+2）2(x+3)(x －2)0>②，解①得：x=－3或x ＝－2或x ＝2 解②得：x ＜ －3或x ＞2∴原不等式的解集为｛x| x ≤ －3或x 2≥或x 2-=｝[例5] 解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>- 解：将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>-讨论：当b a >时，ba b a ab x -+>)(当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时R x ∈ 当b a <时，ba b a ab x -+<)(点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.[例6]关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集． 解：由题设知 0<a ，且21,2=-=x x 是方程02=++c bx ax 的两根 ∴25-=-a b ， 1=ac从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-acx a b x 即：01252<+-x x ∴221<<x 点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用. [例7]不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 解：∵3)61(log 2≤++x x ，∴0＜168x x ++≤，∴ 12160x x x x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<--=<0x 2232231,0或或x x x解得{}(331x ∈---+⋃反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等. 四、典型习题导练1.解不等式0322322<--+-x x x x 2. 解不等式 62323+>+x x x3.解不等式 0)2)(54(22<++--x x x x 4. 解不等式 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x5.解不等式1116-<-x x 6.k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x kkx x 7. 解不等式0343>---x x8. 解不等式24622+<+-x x x§5.2简单的线性规划一、知识导学1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．3. 平 移 直 线 ｙ＝－k ｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.三、经典例题导讲[例1] ．画出不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.[例2] 已知1≤x －y ≤2,且2≤x+y ≤4,求4x －2y 的范围. 错解：由于 1≤x －y ≤2 ①,2≤x+y ≤4 ②,①+② 得3≤2x ≤6 ③①×(－1)+② 得：0≤2y ≤3 ④. ③×2+④×(－1)得. 3≤4x －2y ≤12错因：可行域范围扩大了. 正解：线性约束条件是：⎩⎨⎧≤+≤≤≤4y x 22y -x 1令z ＝4x －2y ，画出可行域如右图所示， 由⎩⎨⎧=+=2y x 1y -x 得A 点坐标（1.5，0.5）此时z ＝4×1.5－2×0.5＝5.由⎩⎨⎧=+=4y x 2y -x 得B 点坐标（3，1）此时z ＝4×3－2×1＝10.∴5≤4x －2y ≤10[例3] 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x ,求x 2+y 2的最值.错解：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 表示的平面区域如右图所示∆ABC 的内部（包括边界），令z= x 2+y 2 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得A 点坐标（4，1），此时z ＝x 2+y 2＝42+12＝17， 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得B 点坐标（－1，－6），此时z ＝x 2+y 2＝（－1）2+(－6)2＝37，由⎩⎨⎧≥++≤-+01040117y x y x 得C 点坐标（－3，2），此时z ＝x 2+y 2＝（－3）2+22＝13，∴ 当⎩⎨⎧-=-=61y x 时x 2+y 2取得最大值37，当⎩⎨⎧=-=23y x 时x 2+y 2取得最小值13. 错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A 、B 、C 到原点的距离的平方的最值.正解：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 表示的平面区域如图所示∆ABC 的内部（包括边界），令z= x 2+y 2,则z 即为点（x ，y ）到原点的距离的平方. 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得A 点坐标（4，1），此时z ＝x 2+y 2＝42+12＝17， 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得B 点坐标（－1，－6），此时z ＝x 2+y 2＝（－1）2+(－6)2＝37，由⎩⎨⎧≥++≤-+01040117y x y x 得C 点坐标（－3，2），此时z ＝x 2+y 2＝（－3）2+22＝13， 而在原点处，⎩⎨⎧==0y x ，此时z ＝x 2+y 2＝02+02＝0， ∴ 当⎩⎨⎧-=-=61y x 时x 2+y 2取得最大值37，当⎩⎨⎧==00y x 时x 2+y 2取得最小值0.[例4]某家具厂有方木料90m 3，五合板600m 2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2m 2，生产每个书橱需要方木料0.2m 3，五合板1m 2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？ 分析：设生产书桌x 张，书橱y 张，利润z 元，则约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≤+≤+N y N x 600y 2x 902.01.0y x目标函数z=80x+120y作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A （100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为z max =80×100+400×120=56000(元)若只生产书桌，得0<x ≤300，即最多生产300张书桌，利润为z=80×300=24000（元）若只生产书橱，得0<y ≤450，即最多生产450张书橱，利润为z=120×450=54000（元） 答：略[例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：每张钢板的面积，第一种为1m 2，第二种为2 m 2，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？解：设需要截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z m 2，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+≥+≥+Ny x y x y x y x ,27315212目标函数z=x+2y作出可行域如图作一组平行直线x+2y=t ，由⎩⎨⎧=+=+27312y x y x可得交点⎪⎭⎫⎝⎛215,29，但点⎪⎭⎫⎝⎛215,29不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z 有最小值，且z min =4+2×8=20 或z min =6+2×7=20若只截第一种钢板，由上可知x ≥27，所用钢板面积最少为z=27(m 2);若只截第二种钢板，则y ≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m 2).它们都比z min 大，因此都不行. 答：略[例6]设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值.解：由引例可知：直线0l 与AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =⨯+⨯=．说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.四、典型习题导练1．画出不等式－x +2y －4＜0表示的平面区域.2．画出不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≥-≥-+53006x y y x y x 表示的平面区域3.求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y xx+2y=04.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？5.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？6．在约束条件0,0,,2 4.xyy x sy x≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s≤≤时，目标函数32z x y=+的最大值的变化范围是A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]§5.3 基本不等式的证明一、知识导学1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0⇔ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1⇔ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.二、疑难知识导析1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.。

高三数学不等式解法15个典型例题典型例题一例1 解不等式：〔1〕015223>--x x x ；〔2〕0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：假如多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，那么一元高次不等式0)(>x f 〔或0)(<x f 〕可用〝穿根法〞求解，但要注意处理好有重根的情形．解：〔1〕原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次通过三个根，其解集如以下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 〔2〕原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或讲明：用〝穿根法〞解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②关于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直截了当用〝穿根法〞，但注意〝奇穿偶不穿〞，其法如以下图．典型例题二例2 解以下分式不等式：〔1〕22123+-≤-x x ； 〔2〕12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()()()(<⋅⇔<xgxfxgxf②0)()()()()()()()()()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤xgxfxfxgxfxgxgxfxgxf或或〔1〕解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-)2)(2()2)(2)(1)(6()2)(2()1)(6()2)(2(65)2)(2()2()2(32232232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx用〝穿根法〞∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

完整版)高中数学不等式习题及详细答案第三章不等式一、选择题1.已知 $x\geq 2$，则 $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-4}$ 的取值范围是（）。

A。

最大值为 5，最小值为 1B。

最大值为 5，最小值为 $\frac{11}{2}$C。

最大值为 1，最小值为 $\frac{11}{2}$D。

最大值为 1，最小值为 02.若 $x>0$，$y>0$，则$(x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2$ 的最小值是（）。

A。

3B。

$\frac{7}{2}$C。

4D。

$\frac{9}{2}$3.设 $a>0$，$b>0$，则下列不等式中不成立的是（）。

A。

$a+b+\frac{1}{ab}\geq 2\sqrt{2}$B。

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2})\geq 4$C。

$\sqrt{a^2+b^2}\geq a+b-\sqrt{2ab}$D。

$\frac{2ab}{a+b}\geq \sqrt{ab}$4.已知奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，且$f(1)=3$，则不等式 $f(x)-f(-x)<0$ 的解集为（）。

A。

$(-1,+\infty)$B。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$C。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$D。

$(-1,1)$5.当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos^2 x+8\sin^2 x}{2\sin^2 x}$ 的最小值为（）。

A。

2B。

$\frac{2}{3}$C。

4D。

$\frac{3}{2}$6.若实数 $a,b$ 满足 $a+b=2$，则 $3a+3b$ 的最小值是（）。

A。

18B。