2017年山东省烟台市高考数学一模试卷(理科) --有答案

2017年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．2．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B={x|log3（2﹣x）≤1}，则A∩（∁R B）=（）A．∅B．{x|x≤﹣1，x＞2}C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1，x≥2}3．函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数4．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）A．2 B．﹣1 C．D．5．若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（）A．24 B．28 C．25 D．266．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s2＞s1D．s3＞s1＞s27．在△ABC中，的值为（）A．B．C．D．8．不等式组表示的点集M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为（）A．B．C．D．9．已知a∈R，则“a＜0”是“函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要10．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，AB=3，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在的展开式中，x的系数为．（用数字作答）12．已知双曲线C的中心为坐标原点，它的焦点F（2，0）到它的一条渐近线的距离为，则C的离心率为．13．若“∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣1|≤m”是真命题，则实数m的最小值是．14．某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是．15．已知函数f（x）=|x•e x|，g（x）=f2（x）+λf（x），若方程g（x）=﹣1有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）将函数的图象上每点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象．（1）求函数f（x）的解析式及其图象的对称轴方程；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，求sinB的值．17．（12分）在队内羽毛球选拔赛中，选手M与B1，B2，B3三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选下一轮，否则不予入选，问M是否会入选下一轮？（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a6=0，S4=14．（1）求a n；（2）将a2，a3，a4，a5去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{b n}的前三项，求数列{a n b n}的前n项和T n．19．（12分）在四边形ABCD中（如图①），AB∥CD，AB⊥BC，G为AD上一点，且AB=AG=1，GD=CD=2，M为GC的中点，点P为边BC上的点，且满足BP=2PC．现沿GC 折叠使平面GCD⊥平面ABCG（如图②）．（1）求证：平面BGD⊥平面GCD：（2）求直线PM与平面BGD所成角的正弦值．20．（13分）已知函数f（x）=x•e x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x轴，求a的值：（2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间；（3）若∀x＞0，f（x）≥f（m）恒成立，且f（m）≥0，求证：f（m）≥2（m2﹣m3）．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x2=4y的焦点F是椭圆（a＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足．（1）求椭圆C的方程；（2）记△PDF的面积为S1，△QAB的面积为S2，设，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．2017年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由（1+i）z=2﹣i，得．∴|z|=．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}，B={x|log3（2﹣x）≤1}，则A∩（∁R B）=（）A．∅B．{x|x≤﹣1，x＞2}C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1，x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，再求出∁R B，由此能求出A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}={x|x≥2或x≤﹣1}，B={x|log3（2﹣x）≤1}={x|﹣1≤x＜2}，∁R B={x|x≥2，或x＜﹣1}，则A∩（∁R B）={x|x≥2，或x＜﹣1}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．3．函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式为y=﹣sin2x，从而得出结论．【解答】解：=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=﹣sin2x，故函数y是最小正周期为π的奇函数，故选：A．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，正弦函数的周期性和奇偶性，属于中档题．4．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（）A．2 B．﹣1 C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能计算即可．【解答】解：S=2，k=1＜5，则S=1﹣=，k=2＜5，则S=1﹣2=﹣1，k=3＜5，则S=1﹣（﹣1）=2，k=4＜5则S=1﹣=，k=5，不小于5，输出S=，故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图得程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．5．若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（）A．24 B．28 C．25 D．26【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足，则3x+4y=（3x+4y）=13+≥13+3×=25，当且仅当x=2y=5时取等号．∴3x+4y的最小值是25．故选：C．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s2＞s1D．s3＞s1＞s2【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分析3个频率分布直方图：第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各个段内分布均匀，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端最分散，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，是集中，由此得到结果．【解答】解：根据三个频率分步直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差、标准差最大；第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差、标准差小，而第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差、标准差最小，总上可知s1＞s3＞s2，故选：B．【点评】本题考查频率直方图的应用，涉及标准差的意义，需要从频率直方图分析波动的大小．7．在△ABC中，的值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出运算结果．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，=，∴D为BC的中点，∴=（+）；又==（﹣），∴•=（+）•（﹣）=（﹣）=×（32﹣22）=．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题目．8．不等式组表示的点集M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出面积，利用几何概型的公式解答．【解答】解：不等式组表示的点集M，对应的区域面积为2×2=4，N对应的区域面积为（x+1﹣2x2）dx=（x2+x﹣x3）|=，由几何概型公式得，在M中任取一点P，则P∈N的概率为．故选：B．【点评】本题考查了几何概型的公式的运用，关键是求出区域面积，利用几何概型公式求值．9．已知a∈R，则“a＜0”是“函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用二次函数的单调性、绝对值函数的意义即可得出．【解答】解：a=0时，函数f（x）=|x（ax+1）|=|x|在（﹣∞，0）上是减函数．a≠0时，f（x）=|a﹣|，若函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数，则﹣≥0，解得a＜0．因此“a＜0”是“函数f（x）=|x（ax+1）|在（﹣∞，0）上是减函数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、二次函数的单调性、绝对值函数的意义、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈．已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，AB=3，，将直三棱柱沿一条棱和两个面的对角线分割为一个阳马和一个鳖膈，则鳖膈的体积与其外接球的体积之比为（）A．B．C． D．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别求出鳖膈的体积与其外接球的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，鳖膈的体积==10，其外接球的半径为=5，体积为=，∴鳖膈的体积与其外接球的体积之比为10：=3：50π，故选C．【点评】本题考查鳖膈的体积与其外接球的体积，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在的展开式中，x的系数为24．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中x的指数为1，即可求出x的系数．【解答】解：在的展开式中，=•x4﹣r•=••2r，通项公式为T r+1令4﹣r=1，解得r=2；∴展开式中x的系数为：22×=24．故答案为：24．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，着重考查了二项展开式的通项公式，是基础题．12．已知双曲线C的中心为坐标原点，它的焦点F（2，0）到它的一条渐近线的距离为，则C的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用点到直线的距离，结合已知条件列式，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵焦点F（2，0）到它的一条渐近线的距离为，∴=，∴b=c，∴a=c，∴e==2．故答案为2．【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与焦距的关系，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．13．若“∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣1|≤m”是真命题，则实数m的最小值是2．【考点】特称命题．【分析】写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围，即可得出结论．【解答】解：若“∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣1|≤m”是真命题，它的否定命题是“∀x∈R，有|x+1|+|x﹣1|＞m”，是假命题，∵|x+1|+|x﹣1|≥2恒成立，∴m的最小值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了函数的最值以及命题的真假的应用问题，是基础题．14．某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是，则它的表面积是2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是正方体的内接正三棱锥，画出图形求出三棱锥的棱长，利用面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥；设正方体的棱长为a，则几何体的体积是V=a3﹣4××a2•a=a3=，∴a=1，∴三棱锥的棱长为，因此该三棱锥的表面积为S=4××=2．故答案为：2．【点评】本题考查了正方体的内接正三棱锥表面积的计算问题，关键是根据三视图得出几何体的结构特征．15．已知函数f（x）=|x•e x|，g（x）=f2（x）+λf（x），若方程g（x）=﹣1有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f（x）=t，研究f（x）的单调性和极值，得出f（x）=t的解的情况，从而确定关于t的方程t2+λt+1=0的解的分布情况，利用二次函数的性质得出λ的范围．【解答】解：f（x）=，当x≥0时，f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x＞0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=（﹣1﹣x）e x，∴当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数．当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）=．令f（x）=t，又f（x）≥0，f（0）=0，则当t＜0时，方程f（x）=t无解；当t=0或t＞时，方程f（x）=t有一解；当t=时，方程f（x）=t有两解；当0时，方程f（x）=t有三解．∵g（x）=f2（x）+λf（x）=﹣1有四个不同的实数解，∴关于t的方程t2+λt+1=0在（0，）和（，+∞）上各有一解，∴，解得：λ＜﹣e﹣．故答案为（﹣∞，﹣e﹣）．【点评】本题考查了函数的零点个数与单调性和极值的关系，二次函数的性质，换元法解题思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2017•枣庄一模）将函数的图象上每点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象．（1）求函数f（x）的解析式及其图象的对称轴方程；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，求sinB的值．【考点】三角形中的几何计算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由题意和图象平移变换法则求出f（x）的解析式，由整体思想和正弦函数的对称轴方程求出其图象的对称轴方程；（2）由（1）化简，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A，由条件和正弦定理求出sinB的值．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=，令得，，所以f（x）的图象的对称轴方程是；（2）由（1）得，，因0＜A＜π，所以，则或=，解得A=或A=，当A=时，因为，所以由正弦定理得，则==；当A=时，因为，所以由正弦定理得，则==．【点评】本题考查正弦定理，三角函数图象平移变换法则，以及正弦函数的对称轴方程的应用，考查整体思想，化简、计算能力．17．（12分）（2017•枣庄一模）在队内羽毛球选拔赛中，选手M与B1，B2，B3三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选下一轮，否则不予入选，问M是否会入选下一轮？（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．（2）利用相互独立事件与互斥事件的概率计算公式及其分布列与数学期望计算公式即可得出【解答】解：（1）M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则P（A）=，P（B）=，P（C）=由于事件A，B，C相互独立，所以P（D）=P（ABC）+P++P（）=××+（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，由于=，所以M会入选下一轮．（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（X=1）=（1﹣）×（1﹣）×+（1﹣）××（1﹣）+×（1﹣）×（1﹣）=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=．X0123P数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•枣庄一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a6=0，S4=14．（1）求a n；（2）将a2，a3，a4，a5去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{b n}的前三项，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式结合已知列式求得首项和公差，则a n可求；（2）由（1）知数列{a n}的前5项为5，4，3，2，1，可知：等比数列{b n}的前3项为4，2，1．首项为4，公比为，可得b n．利用“错位相减法”可得T n ．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a6=0，S4=14，得，解得a1=5，d=﹣1．∴a n=5﹣（n﹣1）=6﹣n；（2）由（1）知数列{a n}的前5项为5，4，3，2，1，∴等比数列{b n}的前3项为4，2，1，首项为4，公比为．∴，∴，数列{a n b n}的前n项和T n，则（6﹣n）•，=5+4+…+（7﹣n）•+（6﹣n）•，∴=5﹣[]﹣（6﹣n）•=5﹣=4+（n﹣4）．∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•枣庄一模）在四边形ABCD中（如图①），AB∥CD，AB⊥BC，G 为AD上一点，且AB=AG=1，GD=CD=2，M为GC的中点，点P为边BC上的点，且满足BP=2PC．现沿GC折叠使平面GCD⊥平面ABCG（如图②）．（1）求证：平面BGD⊥平面GCD：（2）求直线PM与平面BGD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用勾股定理，证明BG⊥GC，根据平面与平面垂直的性质，证明BG⊥平面GCD，即可证明平面BGD⊥平面GCD：（2）取BP的中点H，连接GH，则GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，连接GQ，则∠HGQ 为直线GH与平面BGD所成的角，即直线PM与平面BGD所成角．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，AB=AG=1，GD=CD=2，BC=2，cosD=，∴GC==，BG=，∴BG2+GC2=BC2，∴BG⊥GC，∵平面GCD⊥平面ABCG，平面GCD∩平面ABCG=GC，∴BG⊥平面GCD，∵BG⊂平面GCD，∴平面BGD⊥平面GCD：（2）解：取BP的中点H，连接GH，则GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，连接GQ，则∠HGQ 为直线GH与平面BGD所成的角，即直线PM与平面BGD所成角．由（1），作CN⊥GD，则CN⊥平面BGD，∵HQ⊥平面BGD，∴HQ∥GN，∴==，∴HQ=CN．△DGC中，GC=，DM=，由GD•CN=GC•DM，得CN=，∴HQ=，∵直角梯形ABCD中，GH=，∴sin∠HGQ==，∴直线PM与平面BGD所成角的正弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）（2017•枣庄一模）已知函数f（x）=x•e x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x轴，求a的值：（2）在（1）的条件下，求f（x）的单调区间；（3）若∀x＞0，f（x）≥f（m）恒成立，且f（m）≥0，求证：f（m）≥2（m2﹣m3）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数f（x）的对数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而证明不等式即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=e x﹣1+x•e x﹣1﹣a（1+），故f（1）=1﹣a，f′（1）=2﹣2a，故切线方程是：y﹣（1﹣a）=（2﹣2a）（x﹣1），即y=（2﹣2a）x+a﹣1；由2﹣2a=0，且a﹣1=0，解得：a=1；（2）由（1）得a=1，f′（x）=（x+1）（e x﹣1﹣），令g（x）=e x﹣1﹣，x∈（0，+∞），∵g′（x）=e x﹣1+＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（1）=0，x∈（0，1）时，g（x）＜g（1）=0，此时f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（3）f′（x）=（x+1）（e x﹣1﹣），令h（x）=e x﹣1﹣，x∈（0，+∞），①a≤0时，h（x）＞0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，无最小值，故a≤0不合题意；②a＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，取实数b，满足0＜b＜min{， }，则e b﹣1＜=，﹣＜﹣2，故h（b）=e b﹣1﹣＜﹣2＜0，又h（a+1）=e a﹣＞1﹣=＞0，∴存在唯一的x0∈（b，a+1），使得h（x0）=0，即a=x0，x∈（0，x0）时，h（x）＜h（x0）=0，此时f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞h（x0）=0，此时f′（x）＞0，f（x）递增，故x=x0时，f（x）取最小值，由题设，x0=m，故a=m•e m﹣1，lna=lnm+m﹣1，f（m）=me m﹣1（1﹣m﹣lnm），由f（m）≥0，得1﹣m﹣lnm≥0，令ω（m）=1﹣m﹣lnm，显然ω（x）在（0，+∞）递减，∵ω（1）=0，∴，1﹣m﹣lnm≥0，故0＜m≤1，下面证明e m﹣1≥m，令n（x）=e m﹣1﹣m，则n′（m）=e m﹣1﹣1，m∈（0，1）时，n′（x）＜0，n（x）在（0，1）递减，故m∈（0，1]时，n（m）≥n（1）=0，即e m﹣1≥m，两边取对数，得lne m﹣1≥lnm，即m﹣1≥lnm，﹣lnm≥1﹣m，故1﹣m﹣lnm≥2（1﹣m）≥0，∵e m﹣1≥m＞0，∴f（m）=m•e m﹣1（1﹣m﹣lnm）≥m2，2（1﹣m）=2（m2﹣m3），综上，f（m）≥2（m2﹣m3）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．21．（14分）（2017•枣庄一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x2=4y的焦点F是椭圆（a＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C 于另一点D，交抛物线E于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q 两点，记直线OM的斜率为k'，满足．（1）求椭圆C的方程；（2）记△PDF的面积为S1，△QAB的面积为S2，设，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求出D的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，得到OM的斜率结合已知求得a值，则椭圆方程可求；（2）由（1），知点D的坐标为（），又F（0，1），可得|DF|．由，利用弦长公式求得|AB|．求出直线OM的方程为y=﹣．由，求得P、Q的坐标，由点到直线的距离公式求得点P到直线kx﹣y+1=0的距离，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可设直线l的方程为y=kx+1，联立，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0．解得：，．∴M（，），则k′=，由，得．∴a2=4．则椭圆C的方程为；（2）由（1），知点D的坐标为（），又F（0，1），∴|DF|=．由，得x2﹣4kx﹣4=0．△=16k2+16＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4．因此=．由题意，直线OM的方程为y=﹣．由，得（1+4k2）x2﹣16k2=0．显然，△=﹣4（1+4k2）（﹣16k2）＞0恒成立，且x=．不妨设，则．∴点P的坐标为（），而点Q的坐标为（）．点P到直线kx﹣y+1=0的距离，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离．∴=．==．∴S1S2==．∵，∴==．当且仅当3k2=k2+1，即k=时，等号成立．∴实数λ的最大值为，λ取最大值时的直线方程为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆、抛物线位置关系的应用，考查逻辑推理能力与运算能力，属压轴题．。

山东省烟台市高考数学模拟试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U={0,1,2,3,4,5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则集合等于（）A . {5}B . {0,3}C . {0,2,5}D . {0,1,3,4,5}2. （2分） (2016高二下·民勤期中) 在复平面内，复数 +（1+ i）2对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高二上·西安期中) 下列命题中的真命题是（）A . 若a＞b，c＞d，则ac＞bdB . 若|a|＞b，则a2＞b2C . 若a＞b，则a2＞b2D . 若a＞|b|，则a2＞b24. （2分）(2017·六安模拟) 若等比数列{an}的前n项和Sn=3n+1+a，则a=（）A . 1B . ﹣1D . ﹣35. （2分） (2017·广州模拟) 已知双曲线C1：x2﹣y2=a2（a＞0）关于直线y=x﹣2对称的曲线为C2 ，若直线2x+3y=6与C2相切，则实数a的值为（）A .B .C .D .6. （2分）已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），得到函数的图象，则关于有下列命题，其中真命题的个数是（）①函数是奇函数；②函数不是周期函数；③函数的图像关于点(π，0)中心对称；④函数的最大值为.A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）(2017·广东模拟) 若（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1+2a2+…+nan=（）A . 405C . 243D . 648. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A .B .C .D . 19. （2分）(2017·三明模拟) 若变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A .B .C . 1D . 210. （2分） (2016高二上·黑龙江开学考) 等腰三角形ABC中，AB=AC=5，∠B=30°，P为BC边中线上任意一点，则的值为（）A .B .C . 5D . -11. （2分）若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数的切线方程为，则（）A . 2B . 1C . 3D . 0二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高二下·西安期末) 设随机变量服从正态分布，如果，则________.14. （2分）为求内的所有偶数的和而设计的一个程序框图如图所示,请将空白处补上.①________;②________.15. （1分）四个半径均为6的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为________．16. （1分） (2015高三上·苏州期末) 己知{an}是等差数列，a5=15，a10=﹣10，记数列{an}的第n项到第n+5顶的和为Tn；，则|Tn|取得最小值时的n的值为________ ．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (共8题；共70分)17. （10分） (2018高二上·济源月考) 已知a,b,c分别是的三个内角A,B,C的对边，（1）若的面积 = ，c=2，A= ，求a,b的值；（2）若，且，试判断三角形的形状.18. （15分） (2018高三上·大连期末) 某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于是需矫正速度.（1）从该快速车道上所有车辆中任取个，求该车辆是需矫正速度的概率；（2）从样本中任取个车辆，求这个车辆均是需矫正速度的概率（3）从该快速车道上所有车辆中任取个，记其中是需矫正速度的个数为，求的分布列和数学期望.19. （5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PBD；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣D的平面角的余弦值．20. （10分） (2017高二下·咸阳期末) 已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且直线OA和OB的斜率之和为1，求k的值．21. （10分） (2019高二下·湘潭月考) 已知函数 .（1）若函数，试研究函数的极值情况；（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明： .22. （5分）如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点P在劣弧上，在CP的延长线上取PQ=PB．（Ⅰ）求证：CQ=AP；（Ⅱ）当点P是劣弧的中点时，求S△ABC与S△BPQ的比值．23. （10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．24. （5分）定义符号函数sgn（x）= ，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）当b=时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1、答案：略2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13、答案：略14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (共8题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、。

17．解：（Ⅰ）∵点E在平面ABCD内的射影恰为A，∴AE ⊥平面ABCD ，又∵AE ⊂平面ABEG ，∴平面ABCD ⊥平面ABEG ，又∵BD 为直径的圆经过A ，C ，AD AB =，∴ABCD 为正方形，又∵平面ABCD 平面ABEG AB =，∴BC ⊥平面ABEG ，∵EF ⊂平面ABEG ，∴EF BC ⊥，又∵AB AE GE ==， ∴π4ABE AEB ∠=∠=， 又∵AG 的中点为F ， ∴π4AEF ∠=． ∵π2AEF AEB ∠+∠=， ∴EF BE ⊥．∵BE ⊂平面BEF ，BC ⊂平面BCE ，BCBE B =,∴EF ⊥平面BCE ，又∵EF ⊂平面EFP ，∴平面EFP ⊥平面BCE ； （Ⅱ）连接DE ，由（Ⅰ）知AE ⊥平面ABCD ，∴AE AD ⊥，又∵AB AD ⊥，AEAD A =， ∴AB ⊥平面ADE ，又∵AB GE ∥，∴GE ⊥平面ADE ． ∴---1133ADC BCE G ADE E ABCD ADE ABCD V V V GE S AE S =+=+△△ 1112222224323=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=． ∴几何体ADC BCE -的体积为4．18．解：（1）由题意得：可知100.012100.056100.018100.010101x +⨯+⨯+⨯+⨯=，解得：0.004x =；（2）甲部门服务情况的满意度为：0.056100.018100.010100.84⨯+⨯+⨯=，乙部门服务情况的满意度为：610.8850-=， ∴乙部门服务情况的满意度较高；（3）由题意，设乙部门得分为[50,60)，[60,70)的6个样本数据从小到大依次为：1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，4B ，则随机抽取两个样本数据的所有基本事件有：12{,}A A ，11{,}A B ，12{,}A B ，13{,}A B ，14{,}A B ，21{,}A B ，22{,}A B ，23{,}A B ，24{,}A B ，12{,}B B ，13{,}B B ，14{,}B B ，23{,}B B ，24{,}B B ，34{,}B B ，共15个；其中“至少有1个样本数据落在[50,60)内”包含：12{,}A A ，11{,}A B ，12{,}A B ，13{,}A B ，14{,}A B ，21{,}A B ，22{,}A B ，23{,}A B ，24{,}A B 共9个基本事件， ∴至少有1个样本数据罗在[50,60)内的概率为93155P ==． 19．解：（1）由已知，22n S n n =+． 当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+．当1n =时，13a =适合上式．∴21n a n =+；由于113b a ==，249b a ==，∴等比数列{}n a 的公比为3，∴3n n b =；20．解：（1）由抛物线线上，24y x =焦点坐标为(1,0)，则1c =，由椭圆C 上的点到F 的最大距离为3a c +=，则2a =，2223b a c =-=，∴椭圆的标准方程为：221x y +=； OAB S =21+=1ln 1x x x=+处的切线方程是：y x =联立212y x y x ax =-⎧⎨=-+-⎩， 消去y 得：2(1)10x a x +-+=，由题意得：2(1)40a -=-=△，解得：3a =或1-；（2）由（1）得：l 1(n )x f x =+'，1(0,)ex ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)ex ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104et t <<+≤，即110e 4t <≤-时， min 111)ln )444()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4e t -<<时， min e ()1e)(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1et ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--⎧⎪⎪-<<≥⎪=⎨⎪⎪⎪⎩； （3）证明：设2()e e x x m x =-，((0,))x ∈+∞，则1()e xx m x -'=， (0,1)x ∈时，()0m x '>，()m x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0m x '<，()m x 递减， 可得max 1()(1)e m x m ==-，当且仅当1x =时取到，由（2）得n (l )x f x x =，((0,))x ∈+∞的最小值是1e -， 当且仅当1ex =时取到，因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立，又两次最值不能同时取到，故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e ex x x x >-成立．山东省烟台市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：∵=，∴z的实部与虚部分别为7，-3．故选：A．2．【分析】先分别求出集体合A和B，由此能求出A∩B的元素的个数．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|2x∈N}，所以集合B中x可取0，0.5，1，1.5，2，2.5∴A∩B={0，0.5，1，1.5，2，2.5}，∴A∩B的元素的个数为6个．故选：D．3．【分析】a＜0，b∈R，|a|＜b，可得a＜-a＜b，即a＜b．反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：∵a＜0，b∈R，|a|＜b，∴a＜-a＜b，即a＜b．反之不成立，例如取a=-6，b=2，满足a＜0，b∈R，“a＜b”，但是|a|＞b，∴a＜0，b∈R，则“a＜b”是“|a|＜b”的必要不充分条件．故选：B．4．【分析】模拟程序的运行结果，分析不满足输出条件继续循环和满足输出条件退出循环时，变量k值所要满足的要求，可得答案．【解答】解：第一次循环的结果：S=1，k=2，不满足输出条件；第二次循环的结果：S=6，k=3，不满足输出条件；第三次循环的结果：S=12+9=21，k=4，输出21，满足输出条件；分析四个答案后，只有B满足上述要求；故选：B．5．【分析】求出一名行人前30秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待20秒才出现绿灯的概率．【解答】解：∵红灯持续时间为60秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前45秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故选：C．6．【分析】由已知得g(x)=-log3(1-x)，f(-8)=g(-8)=-log39=-2，从而g(f(-8))=g(-2)，由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f(x)=，∴g(x)=-log3(1-x)，F(-8)=g(-8)=-log39=-2，G(f(-8))=g(-2)=-log33=-1．故选：A．7．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由圆心到直线的距离d==1，求得a的值．【解答】解：圆x2+y2-2x-6y+6=0，即(x-1)2+(y-3)2=4，故弦心距d==1．∴圆心到直线的距离d==1，∴a=-，故选：D．8．【分析】由条件根据诱导公式y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移φ个单位，可得sin2(x+φ)=sin(2x+2φ)，图象此时关于直线对称，由2x+2φ=，k∈Z，即2φ=，可得：φ=，(k∈Z)．∵φ＞0，∴当k=1时，可得φ最小值为．故选：B．9．【分析】利用函数的图象经过的特殊点，判断a，b，c，d的范围即可．【解答】解：由函数的图象可知f(0)=d＞0，排除选项A，B；函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的导函数为：y′=3ax2+2bx+c，x∈(-∞，x1)，(x2，+∞)函数是减函数，可知a＜0，排除D．故选：C．10．【分析】判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，再由c2=a2+b2，求出=，问题得以解决．【解答】解：∵，∴=(+）∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF∴PF′⊥PF∵PF-PF′=2a∴PF=PF′+2a=3a在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2即9a2+a2=4c2=4(a2+b2)，∴3a2=2b2，∴=，∴渐近线方程为y=±x，即x±2y=0，故选：C．二、填空题11．【分析】根据已知计算出组距，可得答案．【解答】解：因为是从300名高三学生中抽取15个样本，∴组距是20，∵第一组抽取的学生的编号为8，∴第四组抽取的学生编号为8+60=68．故答案为：68．12．【分析】根据平面向量数量积的定义，写出数量积公式，即可求出与的夹角大小．【解答】解：向量=(1，3)，向量满足||=，∴||==，∴•=-5，∴||×||×cos＜，＞=××cos＜，＞=-5，∴cos＜，＞=-，∴与的夹角大小为120°．故答案为：120°．13．【分析】由几何体的三视图得出该几何体是半球体与圆锥体的组合体，结合图中数据求出组合体的表面积即可．【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是半球体与圆锥体的组合体，且圆锥底面与半球圆面重合，该组合体的表面积为：S=S半球面+S圆锥侧面=2π×32+π×3×5=33π．故答案为：33π．14．【分析】由约束条件作出可行域，令z=x-2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最小值，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A(2，3)，令z=x-2y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-4．∴满足x-2y≥m的实数m的取值范围为：(-∞，-4]．故答案为：(-∞，-4]．15．【分析】假设函数为λ-伴随函数，根据定义得出f(x+λ)+λf(x)=0恒成立，从而得出λ的方程，根据方程是否有解得出假设是否成立．【解答】解：对于①，假设常数函数f(x0=k为λ-伴随函数”，则k+λk=0，∴(1+λ)k=0，∴当λ=-1或k=0．∴任意一个常数函数都是“λ-伴随函数”，其中λ=-1．故①错误；对于②，假设f(x)=x+1是“λ-伴随函数”，则x+λ+1+λ(x+1)=0恒成立，即(1+λ)x+2λ+1=0恒成立，∴，无解，故f(x)=x+1不是“λ-伴随函数”，故②错误；对于③，假设f(x)=2x是“λ-伴随函数”，则2x+λ+λ•2x=0恒成立，即(2λ+λ)•2x=0恒成立，∴2λ+λ=0，做出y=2x和y=-x的函数图象如图：由图象可知方程2λ+λ=0有解，即f(x)=x+1是“λ-伴随函数”，故③正确；对于④，∵f（x）是“λ-伴随函数”，∴f(x+λ)+λf(x)=0恒成立，∴f(λ)+λf(0)=0，∴f(0)f(λ)+λf2(0)=0，即f(0)•f(λ)=-λ2f(0)≤0．若f(0)≠0，则f(0)•f(λ)＜0，∴f(x)在(0，λ)上至少存在一个零点，若f(0)=0，则f(0)•f(λ)=0，则f(x)在(0，λ)上可能存在零点，也可能不存在零点．故④错误．故答案为③．三、解答题16．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x-)，解不等式2kπ+≤2x-≤2kπ+可可得单调减区间；（2）由题意可得A=，由余弦定理可得b=2，代值计算可．17．【分析】（Ⅰ）由点E在平面ABCD内的射影恰为A，可得AE⊥平面ABCD，进一步得到平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，可得BCD为正方形，再由线面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，从而得到EF⊥BC，结合AB=AE=GE，可得∠ABE=∠AEB=，从而得到∠AEF+∠AEB=，有EF⊥BE．再由线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE，即平面EFP⊥平面BCE；（Ⅱ）连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，则AE⊥AD，又AB⊥AD，则AB⊥平面ADE，得到GE ⊥平面ADE．然后利用等积法求几何体ADC﹣BCE的体积．18．【分析】（1）根据概率之和是1，求出x的值即可；（2）分别求出甲、乙两部门服务情况的满意度，比较即可；（3）求出随机抽取两个样本数据的所有基本事件，再求出至少有1个样本数据罗在[50，60)内的基本事件，求出满足条件的概率即可．19．【分析】（1）由已知得到数列{a n}的前n项和，再由n≥2时，a n=S n-S n-1求得数列通项公式，验证首项后得答案；再由b1=a1，b2=a4求出数列{b n}的首项和公比，进一步得到数列{b n}的通项公式；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入，利用数列的分组求和求得数列{c n}的前n项和T n．20．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标，求得c，由a+c=3，则a=2，b2=a2-c2=3，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性即可求得△OAB面积S的最大值．21．【分析】（1）求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论t的范围求出函数的单调区间，从而求出f(x)的最小值即可；（3）设m(x)=-，(x∈(0，+∞))，求出m(x)的导数，求出m(x)的最大值，得到f(x)min≥-≥m(x)max恒成立，从而证明结论即可．。

A B的元素的个数为（）A a>0,b<0,c>0,d<0B a>0,b>0,c<0,d<0．若2OP OE OF=-，则双曲线的渐近线方程为（．已知向量(1,3)a=，向量c满足||10c=，若5a c=-，则a与c的夹角大小为13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．（1）求频率分布直方图中x 的值；（2）若得分在70分及以上为满意，试比较甲、乙两部门服务情况的满意度；（3）在乙部门得分为[50,60)，[60,70)的样本数据中，任意抽取两个样本数据，求至少有一个样本数据落在[50,60)内的概率．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n P n S n ∈*N 是曲线2()2f x x x =+上的点．数列{}n a 是等比数列，且满足11b a =，24b a =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记(1)n n n n c a b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB △（O 为坐标原点）面积S 的最大值．21．（14分）已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-．（1）若曲线()ln f x x x =在1x =处的切线与函数2()2g x x ax =-+-也相切，求实数a 的值；（2）求函数()f x 在1[,](0)t t t +>上的最小值；17．解：（Ⅰ）∵点E 在平面ABCD 内的射影恰为A ，∴AE ⊥平面ABCD ，又∵AE ⊂平面ABEG ，∴平面ABCD ⊥平面ABEG ，又∵BD 为直径的圆经过A ，C ，AD AB =，∴ABCD 为正方形，又∵平面ABCD 平面ABEG AB =，∴BC ⊥平面ABEG ，∵EF ⊂平面ABEG ，∴EF BC ⊥，又∵AB AE GE ==，∴π4ABE AEB ∠=∠=， 又∵AG 的中点为F ， ∴π4AEF ∠=．∵π2AEF AEB ∠+∠=，∴EF BE ⊥．∵BE ⊂平面BEF ，BC ⊂平面BCE ，BC BE B =,∴EF ⊥平面BCE ，又∵EF ⊂平面EFP ，∴平面EFP ⊥平面BCE ；（Ⅱ）连接DE ，由（Ⅰ）知AE ⊥平面ABCD ，∴AE AD ⊥，又∵AB AD ⊥，AE AD A =，∴AB ⊥平面ADE ，又∵AB GE ∥，∴GE ⊥平面ADE ． ∴---1133ADC BCE G ADE E ABCD ADE ABCD V V V GE S AE S =+=+△△1112222224323=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．∴几何体ADC BCE -的体积为4．18．解：（1）由题意得：可知100.012100.056100.018100.010101x +⨯+⨯+⨯+⨯=，解得：0.004x =；（2）甲部门服务情况的满意度为：0.056100.018100.010100.84⨯+⨯+⨯=，乙部门服务情况的满意度为：610.8850-=，∴乙部门服务情况的满意度较高；（3）由题意，设乙部门得分为[50,60)，[60,70)的6个样本数据从小到大依次为：1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，4B ，则随机抽取两个样本数据的所有基本事件有：12{,}A A ，11{,}A B ，12{,}A B ，13{,}A B ，14{,}A B ，21{,}A B ，22{,}A B ，23{,}A B ，24{,}A B ，12{,}B B ，13{,}B B ，14{,}B B ，23{,}B B ，24{,}B B ，34{,}B B ，共15个；其中“至少有1个样本数据落在[50,60)内”包含：12{,}A A ，11{,}A B ，12{,}A B ，13{,}A B ，14{,}A B ，21{,}A B ，22{,}A B ，23{,}A B ，24{,}A B 共9个基本事件，∴至少有1个样本数据罗在[50,60)内的概率为93155P ==． 19．解：（1）由已知，22n S n n =+． 当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+．当1n =时，13a =适合上式．∴21n a n =+；由于113b a ==，249b a ==，∴等比数列{}n a 的公比为3，∴3n n b =；20．解：（1）由抛物线线上，24y x =焦点坐标为(1,0)，则1c =，由椭圆C 上的点到F 的最大距离为3a c +=，则2a =，2223b a c =-=，∴椭圆的标准方程为：221x y +=；OAB S =21ln 1xx x =+0，处的切线方程是：y x =消去y 得：2(1)10x a x +-+=，由题意得：2(1)40a -=-=△，解得：3a =或1-；（2）由（1）得：l 1(n )x f x =+'，1(0,)ex ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)ex ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104e t t <<+≤，即110e 4t <≤-时， min 111)ln )444()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4et -<<时，min e ()1e)(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1et ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--⎧⎪⎪-<<≥⎪=⎨⎪⎪⎪⎩； （3）证明：设2()e e x x m x =-，((0,))x ∈+∞，则1()e xx m x -'=， (0,1)x ∈时，()0m x '>，()m x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0m x '<，()m x 递减， 可得max 1()(1)e m x m ==-，当且仅当1x =时取到，由（2）得n (l )x f x x =，((0,))x ∈+∞的最小值是1e -， 当且仅当1ex =时取到， 因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立，又两次最值不能同时取到，故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e ex x x x >-成立．山东省烟台市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：∵=，∴z的实部与虚部分别为7，-3．故选：A．2．【分析】先分别求出集体合A和B，由此能求出A∩B的元素的个数．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|2x∈N}，所以集合B中x可取0，0.5，1，1.5，2，2.5∴A∩B={0，0.5，1，1.5，2，2.5}，∴A∩B的元素的个数为6个．故选：D．3．【分析】a＜0，b∈R，|a|＜b，可得a＜-a＜b，即a＜b．反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：∵a＜0，b∈R，|a|＜b，∴a＜-a＜b，即a＜b．反之不成立，例如取a=-6，b=2，满足a＜0，b∈R，“a＜b”，但是|a|＞b，∴a＜0，b∈R，则“a＜b”是“|a|＜b”的必要不充分条件．故选：B．4．【分析】模拟程序的运行结果，分析不满足输出条件继续循环和满足输出条件退出循环时，变量k值所要满足的要求，可得答案．【解答】解：第一次循环的结果：S=1，k=2，不满足输出条件；第二次循环的结果：S=6，k=3，不满足输出条件；第三次循环的结果：S=12+9=21，k=4，输出21，满足输出条件；分析四个答案后，只有B满足上述要求；故选：B．5．【分析】求出一名行人前30秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待20秒才出现绿灯的概率．【解答】解：∵红灯持续时间为60秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前45秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故选：C．6．【分析】由已知得g(x)=-log3(1-x)，f(-8)=g(-8)=-log39=-2，从而g(f(-8))=g(-2)，由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f(x)=，∴g(x)=-log3(1-x)，F(-8)=g(-8)=-log39=-2，G(f(-8))=g(-2)=-log33=-1．故选：A．7．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由圆心到直线的距离d==1，求得a的值．【解答】解：圆x2+y2-2x-6y+6=0，即(x-1)2+(y-3)2=4，故弦心距d==1．∴圆心到直线的距离d==1，∴a=-，故选：D．8．【分析】由条件根据诱导公式y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移φ个单位，可得sin2(x+φ)=sin(2x+2φ)，图象此时关于直线对称，由2x+2φ=，k∈Z，即2φ=，可得：φ=，(k∈Z)．∵φ＞0，∴当k=1时，可得φ最小值为．故选：B．9．【分析】利用函数的图象经过的特殊点，判断a，b，c，d的范围即可．【解答】解：由函数的图象可知f(0)=d＞0，排除选项A，B；函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的导函数为：y′=3ax2+2bx+c，x∈(-∞，x1)，(x2，+∞)函数是减函数，可知a＜0，排除D．故选：C．10．【分析】判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，再由c2=a2+b2，求出=，问题得以解决．【解答】解：∵，∴=(+）∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF∴PF′⊥PF∵PF-PF′=2a∴PF=PF′+2a=3a在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2即9a2+a2=4c2=4(a2+b2)，∴3a2=2b2，∴=，∴渐近线方程为y=±x，即x±2y=0，故选：C．二、填空题11．【分析】根据已知计算出组距，可得答案．【解答】解：因为是从300名高三学生中抽取15个样本，∴组距是20，∵第一组抽取的学生的编号为8，∴第四组抽取的学生编号为8+60=68．故答案为：68．12．【分析】根据平面向量数量积的定义，写出数量积公式，即可求出与的夹角大小．【解答】解：向量=(1，3)，向量满足||=，∴||==，∴•=-5，∴||×||×cos＜，＞=××cos＜，＞=-5，∴cos＜，＞=-，∴与的夹角大小为120°．故答案为：120°．13．【分析】由几何体的三视图得出该几何体是半球体与圆锥体的组合体，结合图中数据求出组合体的表面积即可．【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是半球体与圆锥体的组合体，且圆锥底面与半球圆面重合，该组合体的表面积为：S=S半球面+S圆锥侧面=2π×32+π×3×5=33π．故答案为：33π．14．【分析】由约束条件作出可行域，令z=x-2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最小值，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A(2，3)，令z=x-2y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-4．∴满足x-2y≥m的实数m的取值范围为：(-∞，-4]．故答案为：(-∞，-4]．15．【分析】假设函数为λ-伴随函数，根据定义得出f(x+λ)+λf(x)=0恒成立，从而得出λ的方程，根据方程是否有解得出假设是否成立．【解答】解：对于①，假设常数函数f(x0=k为λ-伴随函数”，则k+λk=0，∴(1+λ)k=0，∴当λ=-1或k=0．∴任意一个常数函数都是“λ-伴随函数”，其中λ=-1．故①错误；对于②，假设f(x)=x+1是“λ-伴随函数”，则x+λ+1+λ(x+1)=0恒成立，即(1+λ)x+2λ+1=0恒成立，∴，无解，故f(x)=x+1不是“λ-伴随函数”，故②错误；对于③，假设f(x)=2x是“λ-伴随函数”，则2x+λ+λ•2x=0恒成立，即(2λ+λ)•2x=0恒成立，∴2λ+λ=0，做出y=2x和y=-x的函数图象如图：由图象可知方程2λ+λ=0有解，即f(x)=x+1是“λ-伴随函数”，故③正确；对于④，∵f（x）是“λ-伴随函数”，∴f(x+λ)+λf(x)=0恒成立，∴f(λ)+λf(0)=0，∴f(0)f(λ)+λf2(0)=0，即f(0)•f(λ)=-λ2f(0)≤0．若f(0)≠0，则f(0)•f(λ)＜0，∴f(x)在(0，λ)上至少存在一个零点，若f(0)=0，则f(0)•f(λ)=0，则f(x)在(0，λ)上可能存在零点，也可能不存在零点．故④错误．故答案为③．三、解答题16．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x-)，解不等式2kπ+≤2x-≤2kπ+可可得单调减区间；（2）由题意可得A=，由余弦定理可得b=2，代值计算可．17．【分析】（Ⅰ）由点E在平面ABCD内的射影恰为A，可得AE⊥平面ABCD，进一步得到平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，可得BCD为正方形，再由线面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，从而得到EF⊥BC，结合AB=AE=GE，可得∠ABE=∠AEB=，从而得到∠AEF+∠AEB=，有EF⊥BE．再由线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE，即平面EFP⊥平面BCE；（Ⅱ）连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，则AE⊥AD，又AB⊥AD，则AB⊥平面ADE，得到GE ⊥平面ADE．然后利用等积法求几何体ADC﹣BCE的体积．18．【分析】（1）根据概率之和是1，求出x的值即可；（2）分别求出甲、乙两部门服务情况的满意度，比较即可；（3）求出随机抽取两个样本数据的所有基本事件，再求出至少有1个样本数据罗在[50，60)内的基本事件，求出满足条件的概率即可．19．【分析】（1）由已知得到数列{a n}的前n项和，再由n≥2时，a n=S n-S n-1求得数列通项公式，验证首项后得答案；再由b1=a1，b2=a4求出数列{b n}的首项和公比，进一步得到数列{b n}的通项公式；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入，利用数列的分组求和求得数列{c n}的前n项和T n．20．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标，求得c，由a+c=3，则a=2，b2=a2-c2=3，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性即可求得△OAB面积S的最大值．21．【分析】（1）求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论t的范围求出函数的单调区间，从而求出f(x)的最小值即可；（3）设m(x)=-，(x∈(0，+∞))，求出m(x)的导数，求出m(x)的最大值，得到f(x)min≥-≥m(x)max恒成立，从而证明结论即可．。

山东省高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·河北模拟) 设集合A={y|y= }，B={x|y= }，则下列结论中正确的是（）A . A=BB . A⊆BC . B⊆AD . A∩B={x|x≥1}2. （2分）(2017·黑龙江模拟) 的虚部为（）A . iB . ﹣1C . ﹣iD . 13. （2分）若样本a1 ， a2 ， a3的方差是a，则样本3a1+1，3a2+1，3a3+1的方差为（）A . 3a+1B . 9a+1C . 9a+3D . 9a4. （2分）若0＜x1＜x2, 0＜y1＜y2 ，且x1＋x2=y1＋y2=1，则下列代数式中值最大的是（）A . x1y1＋x2y2B . x1x2＋y1y2C . x1y2＋x2y1D .5. （2分） (2018高二下·集宁期末) 已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中的系数（）A . 5B . 40C . 20D . 106. （2分） (2016高二上·宁阳期中) 若x，y满足，则x﹣y的最小值为（）A . 0B . ﹣1C . ﹣3D . 27. （2分）(2017·沈阳模拟) 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A . 36+6B . 36+3C . 54D . 278. （2分） (2017高三下·上高开学考) 若“0＜x＜1”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A . （﹣∞，0]∪[1，+∞）B . （﹣1，0）C . [﹣1，0]D . （﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）9. （2分）(2019·湖北模拟) 如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为的是（）A .B .C .D .11. （2分）某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，根据此直方图，这400名大学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是（）A . 80B . 100C . 120D . 14012. （2分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A . 3πa2B . 6πa2C . 12πa2D . 24πa2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知向量，满足||=1，||=2，(+)，则向量与向量的夹角为________14. （1分） (2019高一下·上海月考) 若角的终边上有一点，则实数的值________15. （1分）等差数列{an}中，公差d≠0，且2a4﹣a72+2a10=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7 ，则b5b9=________．16. （1分） (2017高二下·石家庄期末) 已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（0≤X≤1）=0.35，则P（X＞2）=________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （15分） (2017高一下·卢龙期末) △ABC的三角A，B，C的对边分别为a，b，c满足（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求A的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值；（3）若a=2，求△ABC周长的取值范围．18. （10分） (2016高二上·曲周期中) 设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．19. （10分） (2018高二上·临汾月考) 已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．（1）证明：⊥平面；（2）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值．20. （5分） (2017高一下·鞍山期末) 2017年3月14日，“ofo共享单车”终于来到芜湖，ofo共享单车又被亲切称作“小黄车”是全球第一个无桩共享单车平台，开创了首个“单车共享”模式．相关部门准备对该项目进行考核，考核的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，该部门为了了解市民对该项目的满意程度，随机访问了使用共享单车的100名市民，并根据这100名市民对该项目满意程度的评分，绘制了如下频率分布直方图：（I）为了了解部分市民对“共享单车”评分较低的原因，该部门从评分低于60分的市民中随机抽取2人进行座谈，求这2人评分恰好都在[50，60）的概率；（II）根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过考核，并说明理由．（注：满意指数= ）21. （5分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间（2）设a=﹣1，求证：当x∈（1，+∞）时，f（x）+2＞022. （10分）(2018·呼和浩特模拟) 在直角坐标系中，直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 .（1）求曲线被直线截得的弦长；（2）与直线垂直的直线与曲线相切于点，求点的直角坐标.23. （10分） (2019高三上·沈阳月考) 已知函数 .（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若存在使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2017年高考诊断性测试文科数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．复数37i z i+=的实部与虚部分别为 A ．7,3- B ．7,3i - C ．7,3- 13．7,3i -2．若集合{}{}290,2,A x x B x x N A B =-<=∈⋂则中元素的个数为A ．3B ．4C ．5D ．63．设0,a b R <∈，则“a <b ”是“a b <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填入A ．k ≤2？B ．k ≤3？C ．k ≤4？D ．k ≤5？5．某十字路口的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续的时间为60秒，小明放学回家途经该路口遇到红灯，则小明至少要等15秒才能出现绿灯的概率为A ．23B ．13C ．34D ．146．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()()()3log 1,0,80,x x f x g f g x x ⎧+≥⎪=-=⎨<⎪⎩则 A ．1- B ．2- C ．1 D ．27．若直线0ax y +=截圆222660x y x y +--+=所得的弦长为a =A.2C. 34-D. 43- 8．函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后关于直线3x π=对称，则ϕ的最小值为A ．12πB ．512πC ．6πD ．56π 9．函数()32f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0,0,0,0a b c d >>><B ．0,0,0,0a b c d >><<C ．0,0,0,0a b c d <<>>D ．0,0,0,0a b c d >>>>10．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点()(),00F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ．若2O P O E O F =-，则双曲线的渐近线方程为A20y ±=B．20x =20y ±= D．20x ±=二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第四组抽取的学生编号为12．已知向量()1,3a =，向量c满足5c a c a c =⋅=-若，则与的夹角大小为13．右图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为14．实数x ，y 满足10302270x y x y x y m x y -+>⎧⎪+-≥-≥⎨⎪+-≤⎩若恒成立，则实数m 的取值范围是 15．若定义域为R 的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈，使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ-伴随函数”．给出下列四个关于“λ-伴随函数”的命题：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”；② ()1f x x =+是“λ-伴随函数”；③ ()2x f x=是“λ-伴随函数”；④当0λ>时，“λ-伴随函数”()()0f x λ在，内至少有一个零点．所有真命题的序号为三、解答题：本大题共6个小题，共75分．16．(本小题满分l 2分)已知函数()21sin cos 2f x x x x =-． (1)求()f x 单调递减区间；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆内角，,,A B C 的对边，()4,a c f A ==若是()()0f x π在，上的最大值，求ABC ∆的面积．17．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，EA ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内以BD 为直径的圆经过点A ，AG 的中点为F ，CD 的中点为P ，且2AD AB AE ===．(1)求证：平面EFP ⊥平面BCE ；(2)求几何体ADG BCE -的体积．18．(本小题满分12分)某单位为了解甲、乙两部门对本单位职工的服务情况，随机访问50名职工．已知50名职工对甲、乙两部门的评分都在区间[]50100，内，根据50名职工对甲部门的评分绘制的频率分布直方图，以及根据50名职工对乙部门评分中落在[50，60)，[60，70)内的所有数据绘制的茎叶图，如右所示．(1)求频率分布直方图中x 的值；(2)若得分在70分及以上为满意，试比较甲、乙两部门服务情况的满意度；(3)在乙部门得分为[50，60)，[60，70)的样本数据中，任意抽取两个样本数据，求至少有一个样本数据落在[50，60)内的概率．19．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n P n S n N *∈是曲线()22f x x x =+上的点．数列{}n a 是等比数列，且满足1124,b a b a ==．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)记()1nn n n c a b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．(本小题满分13分) 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，椭圆C 上的点到F 的最大距离为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 右焦点F 的直线l (与x 轴不重合)与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB ∆(O 为坐标原点)面积S 的最大值．21．(本小题满分14分)已知函数()()2ln ,2f x x x g x x ax ==-+-． (1)若曲线()ln 1f x x x x ==在处的切线与函数()22g x x ax =-+-也相切，求实数a 的值；(2)求函数()f x 在()1,4t t t ⎡⎤+>0⎢⎥⎣⎦上的最小值； (3)证明：对任意的()0,x ∈+∞，都有2ln x x x x e e>-成立．。

2017年高考适应性练习（二）理科数学一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{lg(2)}A x y x ==-，{2,0}x B y y x ==≥，则()R C A B =I （ ） A ．(0,2) B ．(0,2] C ．[1,2] D ．(1,2) 2.已知i 是虚数单位，若(1)13z i i +=+，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．1i -+ D ．1i --3.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2x =， 1.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.6 1.1y x =+B ．3 4.5y x =-C ．2 5.5y x =-+D ．0.4 3.3y x =-+ 4.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．243π+B ．24π+．223π+ D ．22π+5.已知函数1log m y x =+（0m >且1m ≠）的图象恒过点M ，若直线1x ya b+=（0,0a b >>）经过点M ，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56. ABC ∆内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，则“cos cos a A b B =”是“A B =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7.已知定义在R 上的函数()f x 周期为2，且满足,10()2,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，若59()()22f f -=，则(5)f a =（ ） A ．716 B ．25- C ．1116 D ．13168.关于,x y 的不等式组3023020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，表示的区域为D ，若区域D 内存在满足3t x y ≤-的点，则实数t的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．(,5]-∞D ．[5,)+∞ 9.已知01c <<，1a b >>，下列不等式成立的是（ ） A ．a b c c > B．a ba cb c>--C ．c c ba ab >D ．log log a b c c > 10.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”，已知1()423xx f x m m +=-+-为定义R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[13,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．[2,22]-D ．[2,13]-+二、填空题（本大题共有5个小题，每题5分，满分25分）11.执行下图所示的程序框图，输出的S 的值是 ．12.若3()n x x-的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为 ．13.如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，060DAB ∠=，2DM MB =u u u u r u u u r，则AC AB •=u u u r u u u r．14.已知抛物线22(0)y px p =>上一 点0(1,)M y 到其焦点的距离为5，双曲线222:1y C x b-=（0b >）的左顶点为A ，若双曲线C 的一条渐近线垂直于直线AM ，则其离心率为 ．15.函数()sin f x x =（0x ≥）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设三个交点中横坐标的最大值为θ，则2(1)sin 2θθθ+= ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知向量(3sin ,1)2x m =-u r ，向量1(cos ,)22x n =-r ，函数()()f x m n m =+•u r r u r .（1）求()f x 的单调减区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，求函数()y g x =的解析式及其图象的对称中心.17. 如图ABC ∆和ABD ∆均为等腰角三角形，AD BC ⊥，AC BC ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，EC ⊥平面ABC ，1EC =，22AD =（1）证明：DE AB ⊥；（2）求二面角D BE A --的余弦值.18. 在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是23，每个人答题正确与否互不影响. （1）求考生甲得分X 的分布列和数学期望EX ； （2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率.19. 在数列{}n a 中，11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，*n N ∈（1）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设24log (1)3n n b a =++，12n n n n c a a +=•，求数列1{(1)}nn n n b b c +-+的前2n 项和.20. 已知函数21()(1)ln 2f x a x x ax =-+-（a R ∈） （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()ln ()g x x f x =+，若()g x 有两个极值点12,x x ，且不等式1212()()()g x g x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.21. 已知点C 为圆22(16x y +=，F ，P 是圆上的动点，线段FP 的垂直平分线交CP 于点Q .（1）求点Q 的轨迹D 的方程；（2）设(2,0)A ，(0,1)B ，过点A 的直线1l 与曲线D 交于点M （异于点A ），过点B 的直线2l 与曲线D 交于点N ，直线1l 与2l 倾斜角互补.①直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②设AMN ∆与BMN ∆的面积之和为S ，求S 的取值范围.2017年高考适应性练习（二）理科数学参考答案一、选择题1-5:CACAC 6-10:BBCDB二、填空题11.1712. -15 13. 4 14. 2 15. 2三、解答题16. 16．解：（1）2()()f x m n m m m n =+•=+•213sin 1cos 2222x x x =++()331cos 22x x =-+)33x π=-+令 322232k x k πππππ+≤-≤+，得5112266k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调减区间为5112,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．所以函数()y g x =图象的对称中心为(2,3)3k π+，k ∈Z .17.（1）证明：设AB 的中点为F ，连结,DF CF ，因为ABC ABD ∆∆、为等腰直角三角形，,AC BC AD BD ==， 所以,AB DF AB CF ⊥⊥， 又 DF CF F =I ，所以AB ⊥平面CFD ，因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC I 平面ABD AB =，DF ⊂平面ABC ，,⊥DF AB所以 DF ⊥平面,ABC又EC ⊥平面ABC ，所以//DF EC .所以DF EC 、可确定唯一确定的平面ECFD . 又DE ⊂平面ECFD ,DE AB ∴⊥. （2）以F 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ()2,0,0B ，()0,2,1E ，()0,0,2D ，()2,0,0A -，()4,0,0AB =u u u r， ()221BE =-u u u r ，，，()2,02BD =-u u u r ，.518. 解：（1）设学生甲得分X 的所有取值为15,0,15,30-，03643101(15)30C C P X C =-==， 12643103(0),10C C P X C ===21643101(15)2C C P X C === ，30643101(30)6C C P X C ===.X -15 0 15 30P130 310 12 1613115)0153012301226EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（-1. （2）记事件A :“甲得分不少于15分”，记事件B :“乙得分不少于15分”．112()(15)(30)263P A P X P X ==+==+=，22333321220()()()33327P B C C =⨯⨯+⨯=.所以甲、乙两人中至少有一人得分大于等于15分的概率为71741()1(1())(1())1=27381P P A B P A P B =-⋅=---=-⨯. 19. 解：（1）由 2132n n n a a a ++=-，得2112()n n n n a a a a +++-=-， 又11a =，23a =，所以212a a -=所以{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．所以12nn n a a +-=，所以()()1211211122221n n n n n a a a a a a --=+-++-=++++=-L L .（2）21nn a =-Q ,()24log 2113n n b ∴=-++43n =+，()()()()()()11112121211212121212121n n nn nn nn nn c ++++---===-------g g ，记数列(){}11nn n b b +-的前n 项和为n S ，则212233445()()n S b b b b b b b b =-++-+212221()n n n n b b b b -+++-+L()()2222422()8411833256.2n n n b b d b b b n n n n +=+++=⨯=++=+L记数列{}n c 的前n 项和为n T ，则2122n n T c c c =+++=L122321222111111111 (212121212121212)1n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭121112121n +=---211121n +=--. 所以数列(){}11nn n n b b c +-+的前n 项和为22113256121n n n +++--.20. 解：（1）()()()21111'()0x x a a x ax a f x x a x x x x--+--+-=+-==>，令()()()110h x x x a =--+=，得11x =，21x a =-，当11a ->，即2a >时，在()0,1,()1,a -+∞上，()0f x '>，在()1,1a -上()0f x '<，此时，()f x 的增区间为()0,1,()1,a -+∞，减区间为()1,1a -；当11a -=，即2a =时，在()0,+∞上()0f x '>，此时，()f x 的增区间为()0,+∞；当011a <-<，即12a <<时，在()0,1,a -()1,+∞上()0f x '>，在()1,1a -上()0f x '<，此时，()f x 的增区间为()0,1,a -()1,+∞，减区间为()1,1a -；当10a -≤，即1a ≤时，在()1,+∞上()0f x '>，在()0,1()0f x '<，此时，()f x 的增区间为()1,+∞上单增，减区间为()0,1.（2）21()ln ()ln 2g x x f x a x x ax =+=+-Q ， ()2()0a x ax ag x x a x x x-+'∴=+-=>，()g x Q 有两个极值点12,x x ，12,x x ∴是方程()200x ax a x -+=>的两个不相等实根，∴240a a ∆=->，且12120,0x x a x x a +=>=>， 由()()()1212g x g x x x λ+<+，得221112221211(ln )(ln )()22a x x ax a x x ax x x λ+-++-<+， 整理得 ()()()()212121212121ln 2a x x x x x x a x x x x λ++--+<+，将1212,x x a x x a +==代入得 221ln 2a a a a a a λ+--<，因为4a >，所以1ln 12a a λ>--于是1ln 12a a λ>--对4a ∀>恒成立，令()1ln 12a a a ϕ=--，则()()11'42a a a ϕ>->，所以 ()'0a ϕ<，()1ln 12a a a ϕ=--在()4,+∞单减，所以 ()ln 421ln 43a ϕ<--=-, 因此 ln 43λ≥-.21. 解：（1）由题意4CP QC QP QC QF CF =+=+=>=∴点Q 的轨迹是以点,C F为焦点，焦距为4的椭圆，所以2,1a c b ===，所以点Q 的轨迹方程是2214x y += （2）①设1l 的方程为(2)y k x =-， 联立方程()22142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=，设1l 与椭圆除()2,0A 外的另一个交点11(,)M x y ，则212164214k x k -=+，2128214k x k-=+， 代入1l 的方程得12414ky k -=+，所以222824,1414k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 因为12,l l 倾斜角互补，所以2l 的方程为1y kx =-+，联立方程组22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得22(14)80k x kx +-=，设2l 与椭圆除()0,1B 外的另一个交点22(,)N x y ，则228014k x k +=+，22814kx k=+， 代入2l 的方程得2221414k y k -=+，所以222814,1414k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ∴直线MN 的斜率为212112MN y y k x x -==-.②设直线MN 的方程为12y x b =+,联立方程221412x y y x b⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得222220x bx b ++-=,由()()2222422840b b b ∆=-⨯-=->得b <<()()1122,,,M x y N x y ，则212122,22x x b x x b +=-=-，∴12MN x =-== 设12,d d 分别为点,A B 到直线MN 的距离,则12d d ==()1212AMN BMN S S S MN d d ∆∆=+=+=(11b b =++-+，当1b <<S ()20,2==,当11b -≤≤时，S 2,⎡=⎣,当1b <<-时，S ()20,2=-=，∴S 的取值范围为(0,.。

2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合R U =，集合{}{}2230,02A xx x B x x =+−<=≤≤∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.()3,0−B.()1,0−C.()0,1D.()2,32.若5250125(12)x a a x a x a x −=++++L ，则24a a +=（ ）A.100B.110C.120D.1303.若点()1,2A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则AF =（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.若π1cos 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A.59−B.59C.79− D.795.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）A.3B.6C.10D.156.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A.若a ∥,b α∥α，则a ∥b B.若,a b 与α所成的角相等，则a ∥bC.若,a αβ⊥∥,b α∥β，则a b ⊥D.若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()21xf x =−，则()2log 12f =（ ） A.13−B.14− C.13 D.128.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B −，向量OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，且40m n −−=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC u u u r 的最小值为（ ）D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,z z 为复数，下列结论正确的有（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z ⋅∈R ，则12z z =D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y ，设事件A =“(1)log x y +为整数”，B =“x y +为偶数”，C =“2x y +为奇数”，则（ ） A.()16P A =B.()112P AB = C.事件B 与事件C 相互独立 D.()718P AC =∣ 11.给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11Δ,ΔΔΔ,n n n n n n a a a a a a n N ++=−=−∈.若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且()1*Δ22,n n b n n N −=+⋅∈，则（ ）A.存在0M >，使得Δn a M <恒成立B.存在0M >，使得2Δn a M <恒成立C.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M >D.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2Δnnb M b > 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆22()(1)1x m y −+−=关于直线y x =对称的圆恰好过点()0,4，则实数m 的值为__________. 13.在三棱锥P ABC −中，2PB PC ===，且,,APB BPC CPA E F ∠∠∠==分别是,PC AC 的中点，90BEF ∠=o ，则三棱锥P ABC −外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数()sin 1f x x x ωω=+−在[]0,2π上佮有5个零点，且在ππ,415⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+−+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值：（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：1AA OD ⊥；（2）若1AA =1B AA O −−的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别41,53，乙答对两道题的概率分别为21,32，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率： （2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X 道题抢答后比赛结束，求随机变量X 的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>经过点()2,0A −l 过点()3,0D 且与双曲线C 交于两点,P Q （异于点A ）.（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点D 分别作直线,AP AQ 的垂线.垂足分别为,M N ，记,ADM ADN V V 的面积分别为12,S S ，求12S S ⋅的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点,O t 为AM 绕点A 转过的角度（单位：弧度，0t ≥）.（1）用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ：（2）设点M 的轨迹在点()()0000,0M x y y ≠处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1cos2y θ+为定值： （3）若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为()()()[],,,x t y t t αβ∈，则该光滑曲线长度为()()F F βα−，其中函数()F t 满足()F t ='.当点M 自点O 滚动到点E时，其轨迹»OE为一条光滑曲线，求»OE 的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题A CBC BD A A 二、选择题9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题12.4 13.10π214.95[,]42四、解答题15.解：（1）x ax x f 212)('−+=, ··································· 2分 直线210x y ++=的斜率21−=k ,由题意知2)2('=f ， ··································· 4分 即2114=−+a ，所以21=a . ···································· 5分 （2）)(x f 的定义域为)0(∞+，. ··································· 6分 因为()0f x ≥，所以x x x b ln 2212+−−≥.设),0(,ln 221)(2+∞∈+−−=x x x x x g ，则max ()b g x ≥.························ 8分 xx x x x x x x x g )2)(1(221)('2++−=+−−=+−−= ··················· 9分 当)1,0(∈x 时，0)('>x g ，所以)(x g 在)1,0(单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，所以)(x g 在),1(+∞单调递减， ··············· 11分 所以max 3()(1)2g x g ==−. 所以23−≥b . ······························· 13分16.解：（1）因为AB AC ⊥，3AB ==，所以60ACB ∠=，12OA BC == ············································ 1分因为3AB =，2AD DB =，所以1DB =.在DBO 中，30DBO ∠=，1DB =，OB =，由余弦定理222121cos301OD ︒=+−⨯=，所以1OD =. ········· 3分在ADO 中，1OD =，2AD =，AO =AO OD ⊥. ····· 4分因为1AO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ， 所以1A O OD ⊥. ····················································· 5分因为1AOAO O =，所以OD ⊥平面1AOA . ······································ 6分 因为1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥； ····································· 7分 （2）由（1）可知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OD OA 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −. ······ 8分因为1AA =AO =13AO =. ············· 9分则A ， 1(0,0,3)A，3(,,0)22B −. ··········· 10分可得133(,,3)22BA =−，333(,,0)22BA =−， 设(,,)x y z =m 为平面1ABA 的一个法向量，则33023022x y z x y −+=⎨⎪−=⎪⎩，取x =，则3y =，1z =， 故=m ， ····························· 12分 由题意可知，(0,1,0)=n 为平面 ······················· 13分因为3cos ,||||13<>===m n m n m n ，所以二面角1B AA O −−的余弦值为13. ······························· 15分17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121753325332533245p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ·························· 4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p =⨯+⨯=. ············ 7分 （3）X 的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23. ····· 8分 211(2)()39P X ===， 121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=， 1243121228(4)()()333381P X C ==⨯⨯⨯+=， 13334412121232(5)()()33333381P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ··················· 12分所以的分布列为·································· 13分所以142832326()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ····················· 15分 18.解：（1）由题意知，2a =，c a= 又因为222=+c a b ， ··················· 2分解得4=b .所以，双曲线C 的方程为221416x y −=. ············································· 3分 设直线l 的方程为3x my =+，联立2214163x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(41)24200m y my −++=. ··············· 4分不妨设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12m ≠±，且1222441m y y m −+=−，1222041y y m =−. ························· 5分 所以12122121212225()25AP AQ y y y y k k x x m y y m y y =⋅=+++++ ····················· 7分 45=−. ····························· 9分 （2）设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线1:(3)DM y x k=−−，联立(2)1(3)y k x y x k =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得251M k y k =+， ····································· 11分 用45k −替换上式中的k 可得21002516N ky k −=+. ······························· 13分 故21222253125||4(1)(2516)M N k S S y y k k ⋅==++ ································· 15分 223125162541k k=++.因为22162540k k +≥=，当且仅当5k =±时，“=”成立，所以12312581S S ⋅≤， 故12S S ⋅的最大值为312581. ························· 17分 19.解：（1）由题意可得1cos y t =−，||OB BM t ==，所以||sin sin x OB t t t =−=−， ································ 2分所以sin x t t =−，1cos y t =−. ································ 4分（2）证明：由复合函数求导公式t x t y y x '''=⋅，所以sin 1cos x tt x t t y x y t y x x t '''⋅'===''−. ·········································· 7分 所以sin tan 1cos ttθ=−，因为222222cos 21cos 22cos sin cos tan 1θθθθθθ+===++ 20222(1cos )1cos sin 22cos ()11cos t t y t t t −===−=−+−，所以01+cos2y θ为定值1. ········································· 10分（3）由题意，()2|sin |2t F t '===. ·········· 13分因为02t ≤≤π，sin 02≥所以()2sin 2tF t '=，所以()4cos 2tF t c =−+（c 为常数）， ······································ 15分(2)(0)(4cos )(4cos0)8F F c c π−=−π+−−+=,所以OE 的长度为8. ································· 17分。

2017届高三10月数学（理)试题第Ⅰ卷(选择题共75分)一．选择题（本大题共15个小题,每小题5分，共75分）1．已知全集,则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（)KS5UKS5U。

KS5U2．函数的定义域为（）A．B．C． D．3．给定函数①②③④，其中在区间上单调递减的函数序号是( ）A．①②B．②③C．③④D．①=④4．设，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5。

以下四个命题中，真命题的个数是（）①“若，则，中至少有一个不小于”的逆命题②,使得③若，则“”是“”的必要不充分条件④命题“,”的否定是“,"A．0 B．1 C．2 D．3 6. 函数的图象可能为（）7。

已知，则的大小顺序为（）A．B．C．D．8．若函数的单调递增区间与值域相同，则实数的值为（）A．B．C．D．9。

已知函数是上的奇函数，，则的解集是（）A．B。

C． D.10. 设函数，在上可导，且，则当时，有（）A．B．C．D．11。

已知是定义在上的函数，满足，当时，A．B．C．D．12。

已知命题在区间上递增的充分但不必要条件。

给出下列结论:①命题“”是真命题;②命题“”是真命题；③命题“"是真命题；④命题“”是假命题. 其中正确说法的序号是( ）A．①③B．②④C．②③④D．③13. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意∈，都有成立，则称和是上的“密切函数”,区间称为和的“密切区间".若，在上是“密切函数”，则实数的取值范围是( ）A．B．C．D．14。

已知函数（），若存在,使得，则实数的取值范围是（)A．B．C． D．15. 已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共75分）[KS5UKS5U]二．填空题(本大题共5个小题，每小题5分,共25分）16. 已知函数的图象恒过点，则点的坐标是▲。

17. 已知函数，则▲。