高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §4-4.3 简单线性规划的应用 Word版含解析

4.3 简单线性规划的应用双基达标(限时20分钟)1． 某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为 ( )． A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0解析 比较选项可知C 正确． 答案 C2. 车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工， 3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙组，乙种组数不少于1组，则最多各能组成工作小组为 ( )． A ．甲4组、乙2组 B ．甲2组、乙4组 C ．甲、乙各3组 D ．甲3组、乙2组 解析 设甲、乙两种工作小组分别有x 、y 组，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，x ≥y ，y ≥1.作出可行域可知(3,2)符合题意，即甲3组，乙2组． 答案 D3．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价为60元和70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买三片，磁盘至少买两盒，则不同的购买方式共有 ( )． A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种 解析 设买x 片软件，y 盒磁盘， 则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≤50，x ≥3，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋.当x ＝3时，y 可取2,3,4；当x ＝4时，y 可取2,3. 当x ＝5时，y 可取2；当x ＝6时，y 取2. 答案 C4．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b /万吨 c /百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 62的最少费用为________(百万元)．解析 设购买铁矿石A 为x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，则z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15. 答案 155．某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，则所需租赁费最少为________元． 解析 设需租赁甲种设备x 天，乙种设备y 天．租赁费为z 元． 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0且x ∈N ，y ≥0且y ∈N .z ＝200x ＋300y .如图可知z 在A (4,5)处取到最小值， z min ＝4×200＋5×300＝2 300. 答案 2 3006．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？解 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤 ，总运费为z 元，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(260－y )，即z ＝716－0.5x －0.8y .x ，y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，260－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋(260－y )≤360，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤200，0≤y ≤260，x ＋y ≤280，x ＋y ≥100.作出可行域(略)．作直线l ：716－0.5x －0.8y ＝0，当l 移至260－y ＝0和x ＋y ＝280的交点M 时，z 取最小值． 因为点M 的坐标为(20,260)，所以甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．综合提高（限时25分钟）7．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 ( )． A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元 D ．24万元 解析 设对甲、乙两个项目分别投资x ，y 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，x ＋y ≤60.作出可行域如右图阴影所示，最大利润为L ＝0.4x ＋0.6y .在点P 处有最大值，而P (24,36)，故L ＝0.4×24＋0.6×36＝ 31.2. 答案 B8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是 ( )． A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元 解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的 利润为 z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万 元)． 答案 D9．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌 2个，绘画标牌1个，为了使总用料面积最小，则甲种规格的原料应用________张，乙种规格的原料应用________张．解析 设甲种规格的原料应用x 张，乙种规格的原料应用y 张，根据题意得， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≥3，x ，y ∈N .目标函数z ＝3x ＋2y .画出可行域(图略)，由图知当x ＝1，y ＝1时，z 最小． 答案 1 110．某生产车间生产甲、乙两种产品，已知制造一件甲种产品需要原材料A 5个、原材料B 3个；制造一件乙种产品需要原材料A 3个、原材料B 3个；现有原材料A 180个，原材料B 135个．据市场调查知，每件甲产品可获利润20元，每件乙产品可获利润15元，在现有条件下，生产获得最大利润为________． 解析 设生产甲产品x 件，乙产品y 件，获得利润为 z 元，则z ＝ 20x ＋15y ，根据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ＋，y ≥0，y ∈N ＋，5x ＋3y ≤180，3x ＋3y ≤135.z ＝20x ＋15y ，作出可行域，如图，由图可知，当直线z ＝20x ＋15y 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝180，3x ＋3y ＝135，得A ⎝⎛⎭⎫452，452. 因为x ，y 都是正整数，所以易知当x ＝22，y ＝23时，z 有最大值为20×22＋15×23＝ 785(元)． 答案 785元11．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种工具运输，每天每艘轮船可运300 t 粮食和250 t 石油，每架飞机可运150 t 粮食和100 t 石油，现在要在一天内运输完2 000 t 粮食和1 500 t 石油，且使轮船和飞机的数量之和最小，需安排多少艘轮船和多少架飞机？ 解 设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2 000，250x ＋100y ≥1 500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥40，5x ＋2y ≥30，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .且目标函数z ＝x ＋y .画出可行域如图所示，作l ：x ＋y ＝0.则l 的平行线l ′经过点A ⎝⎛⎭⎫313，623时，z 最小，但A 为非整数点，不是此题最优解，当l ′过B (4,6)时最优，故需轮船4艘，飞机6架 . 12．(创新拓展)某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2.出售一张方书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使所得利润最大？ 解 由题意可列表格如下：方木料(m 3) 五合板(m 2)利润(元) 书桌(个)0.1 2 80书橱(个)0.21120则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x∈N，y∈N，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤900，2x＋y≤600，x∈N，y∈N.z＝80x＋120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝900，2x＋y＝600，解得点M的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。

4.3 简单线性规划的应用课时过关·能力提升1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3 t 、B 原料2 t;生产每吨乙产品要用A 原料1 t 、B 原料3 t .销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 t,B 原料不超过18 t,那么该企业可获得的最大利润是( ) A.12万元 B.20万元 C.25万元D.27万元x t,y t,获得利润为z 万元,由题意知{3x +y ≤13,2x +3y ≤18,x ≥0,y ≥0,目标函数z=5x+3y.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.作直线l 0:5x+3y=0,当平移l 0至点M 时,z 取得最大值.由{3x +y =13,2x +3y =18,得M (3,4),故z max =5×3+3×4=27.故选D .答案:D2.某研究所计划利用“神舟”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,该研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如下表:若合理安排这两种产品的件数进行搭载,使总预计收益达到最大,则最大收益是( ) A.480万元 B.960万元 C.570万元D.1 080万元A 产品x 件,B 产品y 件,预计收益z=80x+60y. 则{20x +30y ≤300,10x +5y ≤110,x ∈N +,y ∈N +,作出可行域,如图阴影部分中的整数点.作出直线l 0:4x+3y=0并平移,由图像得,当直线经过点M 时,z 取最大值, 由{2x +3y =30,2x +y =22,得{x =9,y =4,即M (9,4).所以z max =80×9+60×4=960(万元).故搭载A 产品9件,B 产品4件,可使得总预计收益最大,为960万元.3.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50公顷,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:公顷)分别为( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30D.0,50x 公顷,y 公顷,则总利润z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.此时x ,y 满足条件{x +y ≤50,1.2x +0.9y≤54,x ∈N +,y ∈N +,作出可行域如图阴影部分所示,得最优解为A (30,20).故选B .4.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元D.24万元x 万元、y 万元,利润为z ,则{x +y =60,x ≥23y ,x ≥5,y ≥5,z =0.4x +0.6y.当x=24,y=36时,z max =31.2万元. 5.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10 h,可加工出7 kg A 产品,每千克A 产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6 h,可加工出4 kg B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱x 箱,乙车间加工原料y 箱,由题意可知{x +y ≤70,10x +6y ≤480,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .甲、乙两车间每天总获利为z=280x+200y. 作出可行域如图阴影部分中的整数点.点M (15,55)为直线x+y=70和直线10x+6y=480的交点,由图像知,在点M (15,55)处z 取得最大值. 6.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料,已知生产1 t 每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1 t 甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元xt,y t,由题意知,x ,y 需满足约束条件{2y ≤12,x +2y ≤8,x ≥0,y ≥0,每天可获得利润z=3x+4y. 由约束条件画出可行域,如图所示,l 0:y=−34x,平移l 0过点C ,使z 取得最大值.由{3x +2y =12,x +2y =8,得C (2,3),故z max =6+12=18(万元).7.某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于15 t .已知生产甲产品1 t 需煤9 t,电力4 kW·h,劳动力3个(按工作日计算);生产乙产品1 t 需煤4 t,电力5 kW·h,劳动力10个.甲产品每吨价格是7万元,乙产品每吨价格是12万元.但每天用煤量不得超过300 t,电力不得超过200 kW·h,劳动力只有300个,当每天生产甲产品 t,乙产品 t 时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大.x t,乙产品y t,总利润为S 万元,依题意约束条件为{4y ≤300,4x +5y ≤200,3x +10y ≤300,x ≥15,y ≥15.目标函数为S=7x+12y ,作出可行域如图阴影部分所示,当直线S=7x+12y 经过点A 时,直线的纵截距最大,所以S 也取最大值.解方程组{4x +5y -200=0,3x +10y -300=0,得A (20,24),故当x=20,y=24时,S max =7×20+12×24=428(万元).24★8.某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A,B 两种设备上加工,在每台A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1h,2 h,加工一件乙产品所需工时分别为2 h,1 h,A,B 两种设备每月有效使用时数分别为400和500.如何安排生产可使月收入最大?x 件,y 件,约束条件是{x +2y ≤400,2x +y ≤500,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .目标函数是z=3x+2y ,要求出适当的x ,y ,使z=3x+2y 取得最大值. 作出可行域如图阴影部分中的整数点.将z=3x+2y 变形为y=−32x +z2, 由图可知,当直线过点A 时, 目标函数z 取得最大值, 由{x +2y =400,2x +y =500,得{x =200,y =100.所以z max =3x+2y=3×200+2×100=800(千元), 800千元=80万元.故甲、乙两种产品每月分别生产200件、100件时,可得最大收入80万元.★9.某厂用甲、乙两种原料生产A,B 两种产品,已知生产1 t A 产品、1 t B 产品分别需要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示:在现有原料下,A,B 产品应各生产多少才能使利润总额最大?A,B 两种产品分别为x t,y t,其利润总额为z 万元. 根据题意,得约束条件为{2x +5y ≤10,6x +3y ≤18,x ≥0,y ≥0.目标函数z=4x+3y.作出可行域如图阴影部分所示.作直线l 0:4x+3y=0,平移直线l 0经过点P 时,z=4x+3y 取得最大值. 由{2x +5y =10,6x +3y =18,得P (52,1).所以z max =4×52+3×1=13(万元).故生产A 产品2.5 t,B 产品1 t 时,总利润最大为13万元.。

4.3简单线性规划的应用课时目标 1.正确利用线性规划知识求解目标函数的最值的两种常有种类．.2.掌握线性规划实质问题中1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)剖析并将已知数据列出表格；(2)确立线性拘束条件；(3)确立线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数( 直线 )求出最优解；依据实质问题的需要，适合调整最优解(如整数解等 )．2．在线性规划的实质问题中，主要掌握两种种类：一是给定必定数目的人力、物力资源，问如何运用这些资源能使达成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问如何兼顾安排，能使达成的这项任务耗资的人力、物力资源最小．一、选择题1．某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获收益分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用的原料A、 B 各 c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月收益总数达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、 y 千克，月收益总数为z 元，那么，用于求使总收益z＝ d1x＋ d2y 最大的数学模型中，拘束条件为()a1 x＋a2y≥ c1，b1 x＋b2y≥ c2，a1x＋b1 y≤ c1，a2x＋b2 y≤ c2，A. B.x≥ 0，y≥ 0x≥ 0，y≥ 0a1x＋ a2y≤ c1，b1 x＋b2y≤ c2，a1x＋a2 y＝ c1，b1x＋b2 y＝ c2，C. D.x≥ 0，x≥ 0，y≥ 0y≥ 02.以下图的坐标平面的可行域内( 暗影部分且包含界限)，若使目标函数z＝ax＋ y (a>0)获得最大值的最优解有无量多个，则 a 的值为 ()13A. 4B.55C． 4 D. 33．某企业有 60 万元资本，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2倍，且对每个项目的投资不可以低于5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获3得 0.4 万元的收益，对项目乙每投资 1 万元可获取0.6 万元的收益，该企业正确规划投资后，在这两个项目上共可获取的最大收益为()A． 36 万元B． 31.2 万元C． 30.4 万元D． 24 万元4．某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品，甲车间加工一箱原料需耗资工时10 小时，可加工出7 千克 A 产品，每千克 A 产品赢利 40 元，乙车间加工一箱原料耗资工时 6 小时，可加工出4 千克 B 产品，每千克 B 产品赢利50 元．甲、乙两车间每日共能达成至多70 箱原料的加工，每日甲、乙两车间耗资工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每日总赢利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10 箱，乙车间加工原料60 箱B．甲车间加工原料15 箱，乙车间加工原料55 箱C．甲车间加工原料18 箱，乙车间加工原料50 箱D．甲车间加工原料40 箱，乙车间加工原料30 箱5．以下图，目标函数z＝ kx －y 的可行域为四边形OABC ，仅点 B(3,2) 是目标函数的最优解，则 k 的取值范围为 ()2， 2B. 1，5A. 33C.－ 2，－2D.－ 3，－433二、填空题6． (2009 ·东山 )某企业租借甲、乙两种设施生产 A ， B 两类产品，甲种设施每日能生产A类产品 5件和 B类产品知设施甲每日的租借费为10 件，乙种设施每日能生产A200 元，设施乙每日的租借费为类产品 6 件和 B 类产品 20 件．已300 元，现该企业起码要生产A 类产品50 件，B 类产品140 件，所需租借费最少为________元．5x－ 11y≥－ 22，7．某企业招收男职员x 名，女职员 y 名，x 和 y 需知足拘束条件2x＋ 3y≥ 9，则2x≤ 11，z＝ 10x＋ 10y 的最大值是________．8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每日各生产许多于15 吨，已知生产甲产品 1 吨需煤 9 吨，电力 4 千瓦，劳动力 3 个(按工作日计算 )；生产乙产品 1 吨需煤 4 吨，电力 5 千瓦，劳动力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价 12 万元；但每日用煤量不得超出 300 吨，电力不得超出 200 千瓦，劳动力只有 300 个，当每日生产甲产品 ________吨，乙产品 ______吨时，既能保证达成生产任务，又能使工厂每日的收益最大．三、解答题9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质，售价 3 元；乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质，售价 2 元．若病人每餐起码需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既知足营养，又使花费最省？10．某家具厂有方木材90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书柜销售．已知生产每张书桌需要方木材0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书柜需要方木材0.2 m3，五合板 1 m2，销售一张方桌可获收益80 元，销售一个书柜可获收益120 元．(1)假如只安排生产书桌，可获收益多少？(2)假如只安排生产书柜，可获收益多少？(3)如何安排生产可使所得收益最大？能力提高11．在以下图的坐标平面的可行域内(暗影部分且包含界限最小值的最优解有无数个，则 a 的一个可能值为())，目标函数z＝ x＋ ay 获得A．－ 3B． 3C．－ 1 D ． 112．要将两种大小不一样的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数以下表所示：规模种类A 规格B 规格C 规格今需要钢板种类第一种钢板第二种钢板A 、B、C 三种规格的成品分别起码为211215、18、2713块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？1．绘图对解决线性规划问题至关重要，重点步骤基本上是在图上达成的，所以作图应尽可能正确，图上操作尽可能规范．2．在实质应用问题中，有些最优解常常需要整数解(比方人数、车辆数等)而直接依据拘束条件获取的不必定是整数解，能够运用列举法考证求最优整数解，或许运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并不是只有一个，应详细状况详细剖析．4．3简单线性规划的应用答案作业设计1． C[ 比较选项可知C正确．]2． B[ 由 y＝－ ax＋ z 知当－ a＝ k AC时，最优解有无量多个．∵k AC＝－3，∴ a＝3.] 553． B[ 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，x＋ y≤ 60，2可获取收益为z 万元，则x≥3y，x≥ 5，y≥5，z＝ 0.4x＋ 0.6y.由图像知，目标函数z＝ 0.4x＋ 0.6y 在 A 点获得最大值．∴y max＝ 0.4× 24＋0.6× 36＝31.2( 万元 )． ] 4． B[设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知x＋ y≤ 70，10x＋ 6y≤ 480，x≥ 0，y≥ 0.甲、乙两车间每日总赢利为z＝ 280x＋ 200y.画出可行域以下图．点M(15,55) 为直线 x＋ y＝ 70 和直线 10x＋ 6y＝ 480 的交点，由图像知在点M(15,55) 处 z 获得最大值． ] 5． C [y ＝ kx－ z.若 k>0，则目标函数的最优解是点A(4,0) 或点 C(0 ， 4)，不切合题意．∴ k<0，∵只有点 (3,2)是目标函数的最优解．2∴ k AB <k<k BC，即－ 2<k< － .]36． 2 3005x＋6y≥ 50，10x ＋20y≥140，分析设需租借甲种设施 x 台，乙种设施y 台，则x∈N ＋，y∈ N ＋ .目标函数为z＝ 200x＋ 300y.作出其可行域，易知当 x＝ 4，y＝ 5 时， z＝ 200x ＋ 300y 有最小值 2 300 元．7． 90分析该不等式组表示平面地区如图暗影所示，因为 x，y∈ N ＋，计算地区内与点11， 922近来的整点为(5,4)，当 x＝ 5，y＝ 4 时， z 获得最大值为90.8． 20 24分析设每日生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，总收益为 S 万元，依题意拘束条件为：9x＋4y≤ 300，4x＋5y≤ 200，3x＋ 10y ≤300，x≥ 15，y≥ 15，目标函数为S＝ 7x ＋ 12y.从图中能够看出，当直线S＝7x＋ 12y 经过点 A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．4x＋ 5y－ 200＝ 0，解方程组3x＋ 10y －300＝ 0，得 A(20,24) ，故当 x＝ 20， y＝ 24 时，S max＝ 7× 20＋ 12× 24＝ 428(万元 )．9．解将已知数据列成下表：原料 /10 g蛋白质 /单位铁质 /单位甲510乙74花费325x＋ 7y≥ 35，设甲、乙两种原料分别用10x g 和 10y g，总花费为 z，那么 10x＋ 4y≥ 40，x≥0， y≥ 0，目标函数为z＝ 3x＋ 2y，作出可行域以下图：把 z＝3x＋ 2y 变形为 y＝－3x＋z，获取斜率为－3，在 y 轴上的截距为z，随 z 变化的2222一组平行直线．由图可知，当直线3z经过可行域上的点 A 时，截距z最小，即 z 最小．y＝－ x＋222由10x＋4y＝40，得A( 14，3)，5x＋ 7y＝35，5∴z min＝ 3×14＋ 2× 3＝14.4. 514∴甲种原料×10＝ 28(g)，乙种原料 3× 10＝ 30(g) ，花费最省．10．解由题意可画表格以下：方木材 (m3 )五合板 (m2)收益 (元)书桌(个)0.1280书柜(个)0.21120(1)设只生产书桌 x 个，可获取收益z 元，0.1x≤ 90x≤ 900则 2x ≤600 ?? x≤ 300. x≤ 300z＝ 80x所以当 x＝ 300 时， z max＝80× 300＝ 24 000(元 )，即假如只安排生产书桌，最多可生产300 张书桌，获取收益24 000 元．(2)设只生产书柜 y 个，可获收益z 元，0.2y≤ 90y≤ 450则 1·y≤600 ?? y≤ 450. y≤ 600z＝ 120y所以当 y＝ 450 时， z max＝120× 450＝ 54 000(元 )，即假如只安排生产书柜，最多可生产450 个书柜，获取收益54 000 元．0.1x ＋ 0.2y≤ 902x＋ y≤ 600(3)设生产书桌x 张，书柜y 个，收益总数为z 元，则?x≥ 0y≥0x＋ 2y≤ 900，2x＋ y≤ 600，x≥ 0，y≥0.z＝ 80x＋ 120y.在直角坐标平面内作出上边不等式组所表示的平面地区，即可行域．作直线 l ： 80x ＋ 120y＝ 0，即直线 l： 2x＋3y＝ 0.M ，此时z＝ 80x ＋120y 把直线 l 向右上方平移至l 1的地点时，直线经过可行域上的点获得最大值．x＋ 2y＝900，由解得点M 的坐标为(100,400)．2x＋ y＝600所以当 x＝ 100， y＝ 400 时，z max＝ 80× 100＋ 120× 400＝ 56 000(元 )．所以，生产书桌100 张、书柜400 个，可使所得收益最大．11． A [当 a＝ 0 时， z＝ x.仅在直线x＝ z 过点 A(1,1) 时，z 有最小值1，与题意不符．1z当 a>0 时， y＝－a x＋a.斜率 k＝－1<0，a仅在直线 z＝ x＋ay 过点 A(1,1) 时，直线在 y 轴的截距最小，此时z 也最小，与目标函数获得最小值的最优解有无数个矛盾．当 a<0 时， y＝－1z1 x＋，斜率 k＝－ >0，a a a为使目标函数z 获得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－1＝ k AC .即－1＝1，∴ a＝－ 3.] a a 312．解设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．2x＋ y≥ 15x＋ 2y≥ 18.x＋ 3y≥ 27x≥ 0， y≥ 0作出可行域 (如图 )： (暗影部分 )目标函数为z＝ x＋ y.作出一组平行直线x＋ y＝ t ，此中经过可行域内的点且和原点距离近来的直线，经过直18，39571839线 x＋ 3y＝ 27 和直线 2x＋ y＝ 15 的交点 A 55，直线方程为 x＋y＝5.因为5和5都不是整数，而最优解(x，y)中， x，y 一定都是整数，所以可行域内点18，39不是最优55解．经过可行域内的整点且与原点距离近来的直线是x＋y＝ 12，经过的整点是B(3,9) 和C(4,8) ，它们都是最优解．答要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板9 张；第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板8 张．两种方法都最少要截两种钢板共12 张．。

基础巩固某人有一栋楼房，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为，可住游客名，每名游客每天住宿费元；小房间每间面积为，可住游客名，每名游客每天住宿费元；装修大房间每间需要元，装修小房间每间需要元．如果他只能筹款元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大效益？有一批钢管，长度都是，要截成和两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于配套，问怎样截最合理？已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为万吨和万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运万吨煤，西车站每年最多能运万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元吨和元吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元吨和元吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元；乙种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元．若病人每餐至少需要单位蛋白质和单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为的钢条根，长度为的钢条根；或截成长度为的钢条根，长度为的钢条根．现长度为的钢条至少需要根，长度为的钢条至少需根，问：如何切割可使钢条用量最省？综合过关制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别是和，可能的亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？能力提升某电脑用户计划使用不超过元的资金购买单价分别为元、元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买片，磁盘至少买盒，则不同的选购方式有多少种？参考答案分析：设大房间间，小房间间，然后列出，的关系式，写出目标函数，即可转化为求目标函数的最值问题．解：设隔出大房间间，小房间间，收益为元，则，满足(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))即(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))＝＋.作出可行域，如图所示的阴影部分．解方程组(\\(＋＝，＋＝，))得点的坐标为(，)．由于点的坐标不是整数，而最优解(，)是整点，所以可行域内点(，)不是最优解．经验证：经过可行域内的整点，且使＝＋取得最大值的整点是()和()，此时＝元，即应隔出小房间间，或大房间间、小房间间，可以获得最大利润．分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求．解：设截的根，的根，根据题意，得(\\(＋≤，<，>，>，))且，∈＋.作出可行域，如图中的阴影部分．目标函数为＝＋，作一组平行直线＋＝，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过()的直线，这时＋＝.由、为正整数，知()不是最优解．在可行域内找整点，使＋＝.可知点()、()、()、()、()均为最优解．即每根钢管截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根最合理．解：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么总运费＝＋(－)＋＋(－)万元，即＝－－.其中、应满足(\\(≥，≥，－≥，－≥，＋≤，－＋(－(≤.))作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．。

4．3 简洁线性规划的应用明目标、知重点 1.精确 利用线性规划学问求解目标函数的最值.2.把握线性规划实际问题中的常见类型.3.会求一些简洁的非线性函数的最值．1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)确定线性约束条件； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解． 2．在线性规划的实际问题中的题型主要把握两种类型：一是给定确定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹支配，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．探究点一 生活实际中的线性规划问题思考 实行什么方法，能比较简洁的从已知条件中列出线性约束条件？答 要从题目冗长的文字和繁多的数据中明确目标函数和约束条件是有相当难度的，要解决这个难点关键是通过列表的方法把问题中的已知条件和各种数据进行整理．例1 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配养分餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足养分，又使费用最省？ 解 将已知数据列成下表：原料/10 g 蛋白质/单位铁质/单位费用/元 甲 5 10 3 乙742设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4. ∴甲种原料145×10＝28 (g)，乙种原料3×10＝30 (g)，才能既满足养分，又使费用最省．反思与感悟 解线性规划应用题时，先转化为简洁的线性规划问题，再按如下步骤完成： (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l ； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；(3)求值——解有关方程组求出A 点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．跟踪训练1 某工厂有甲、乙两种产品，按方案每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大． 答案 20 24解析 设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3004x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x ≥15y ≥15，目标函数为S ＝7x ＋12y ，可行域如图所示，从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的截距最大，S 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝03x ＋10y －300＝0，得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时，S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．例2 某厂生产一种产品，其成本为27元/kg ，售价为50元/kg ，生产中，每千克产品产生0.3 m 3的污水，污水有两种排放方式： 方式一：直接排入河流．方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有85%.污水处理站最大处理力气是0.9 m 3/h ，处理污水的成本是5元/m 3.另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是17.6元/m 3，且允许该厂排入河流中污水的最大量是0.225 m 3/h ，那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每时净收益最大？思考 假如设该厂生产的产量为x kg/h ，直接排入河流的污水为y m 2/h ，每小时净收益为z 元，如何用x ，y 表示：(1)污水处理费用？(2)环保部门要征收的排污费？ (3)污水处理力气有限？ (4)允许排入河流的污水量有限？ (5)目标函数？(写出例题的解题过程)答 (1)5(0.3x －y )；(2)17.6[0.15(0.3x －y )＋y ]；(3)0≤0.3x －y ≤0.9；(4)y ＋(1－0.85)(0.3x －y )≤0.225；(5)z ＝50x －27x －5(0.3x －y )－17.6[0.15(0.3x －y )＋y ]＝20.708x －9.96y . 解 依据题意，本问题可归纳为在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0.3x －y ≤0.9，9x ＋170y ≤45，0.3x －y ≥0，x ≥0，y ≥0下，求目标函数z ＝20.708x －9.96y 的最大值．作出可行域，如图所示，令z ＝0作直线l 0：20.708x －9.96y ＝0，由图形可以看出，平移直线l 0，在可行域中的顶点A 处，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧0.3x －y ＝0.9，9x ＋170y ＝45，得A (3.3,0.09)．故该厂生产该产品3.3 kg/h ，直接排入河流的污水为0.09 m 3/h 时，可使每小时净收益最大，最大值20.708×3.3－9.96×0.9＝67.44(元)．答 该厂应支配生产该产品3.3 kg/h ，直接排入河流的污水为0.09 m 3/h 时，其每小时净收益最大．反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接依据约束条件得到的不愿定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是很多个，应具体状况具体分析．跟踪训练2 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型 钢板类型A 规格B 规格C 规格 第一种钢板 2 1 1 其次种钢板123今需要A 、B 、C 且使所用钢板张数最少？解 设需截第一种钢板x 张，其次种钢板y 张．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18x ＋3y ≥27x ≥0，y ≥0.作出可行域如图(阴影部分)目标函数为z ＝x ＋y ，作出一族平行直线x ＋y ＝t ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x ＋3y ＝27和直线2x ＋y ＝15的交点M ⎝⎛⎭⎫185，395，直线方程为x ＋y ＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y )中，x ，y 必需都是整数，所以可行域内点M ⎝⎛⎭⎫185，395不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们都是最优解．答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、其次种钢板9张；其次种截法是截第一种钢板4张、其次种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．探究点二 非线性目标函数的最值问题问题 一些非线性目标函数的最值可以赐予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如： ①z ＝x 2＋y 2表示可行域中的点(x ，y )与原点(0,0)距离的平方；②z ＝(x －a )2＋(y －b )2表示可行域中的点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方； ③z ＝y －b x －a表示可行域内的点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率；④z ＝ay ＋b cx ＋d(ac ≠0)，可以先变形为z ＝ac ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c ，可知z 表示可行域内的点(x ，y )与定点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线斜率的ac倍；⑤z ＝|ax ＋by ＋c | (a 2＋b 2≠0)，可以化为z ＝a 2＋b 2·|ax ＋by ＋c |a 2＋b 2的形式，可知z 表示可行域内的点(x ，y )到直线ax ＋by ＋c ＝0距离的a 2＋b 2倍．例3 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，(1)试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值；(2)试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 (1)由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3； z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.(2)z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小． 故z max ＝|OA |2＝13，z min ＝⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×152＝45. 反思与感悟 当斜率k ，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，留意数形结合思想方法的机敏运用．跟踪训练3 已知x ，y 满足的约束条件同例题，求下列函数z 的最值： (1)z ＝y ＋1x ＋2；(2)z ＝|x ＋2y －4|.解 (1)将z ＝y ＋1x ＋2化为z ＝y －(－1)x －(－2)，问题化归为求可行域内的点M (x ，y )与点P (－2，－1)连线斜率的最值．由图(1)可知z min ＝k PB ＝13，z max ＝k PC ＝32.(2)将目标函数化为z ＝5·|x ＋2y －4|12＋22，问题化归为求可行域内的点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍的最大值．观看图(2)，点C (0,2)到直线x ＋2y －4＝0的距离最小，为0；点A (2,3)到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，为45.所以z max ＝4，z min ＝0.1．某电脑用户方案使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．依据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种答案 C解析 设购买软件x 片，磁盘y 盒．则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500x ≥3，x ∈N＋y ≥2，y ∈N＋，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．即有7种选购方式．2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10 答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如右图所示：易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22， C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10. 3．若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．答案 3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3.4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为____．答案 12解析 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12. [呈重点、现规律]1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能精确 ，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接依据约束条件得到的不愿定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体状况具体分析．一、基础过关1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元 答案 B解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元， 依据题意，得线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值，解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，z min ＝2 200(元)．2．某公司有60万元资金，方案投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元 D ．24万元答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .由图像知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值．∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产方案为( ) A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y .画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图像知在点M (15,55)处z 取得最大值．4．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2]答案 C解析 作出可行域，如图所示， 由于OA →·OM →＝－x ＋y .所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点P (1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点Q (0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2， ∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]．5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元． 答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ＋，y ∈N ＋.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元．6．A ，B 两仓库各有麻袋50万个、30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样支配调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？解 设从A 仓库调运x 万个到甲地，y 万个到乙地，则从B 仓库调40－x 个到甲地，20－y 个到乙地，总运费记为z 元，则有⎩⎨⎧x ＋y ≤5040－x ＋20－y ≤300≤x ≤400≤y ≤20，z ＝120x ＋180y ＋100(40－x )＋150(20－y )，即z ＝20x ＋30y ＋7 000，作出可行域及直线l 0：20x ＋30y ＝0，经平移知直线经可行域上点M (30,0)时与原点距离最小，即x ＝30，y ＝0时，z 有最小值，z min ＝20×30＋30×0＋7 000＝7 600(元)，即从A 仓库调运30万个到甲地，从B 仓库调运10万个去甲地，20万个到乙地总运费最小，其最小值为7 600元．7．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，预备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)假如只支配生产书桌，可获利润多少？ (2)假如只支配生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样支配生产可使所得利润最大？解 由题意可画表格如下：方木料(m 3)五合板(m 2)利润(元) 书桌(张) 0.1 2 80 书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，则⎩⎨⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300⇒x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即假如只支配生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎨⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600⇒y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即假如只支配生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎨⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域． 作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600 解得点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大． 二、力气提升8．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理方案当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于( ) A ．4 650元 B ．4 700元 C ．4 900元 D ．5 000元答案 C解析 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y .画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即A (7,5)．∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900(元)． 9．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，13 解析 如图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2,2)，依据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值13.故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，13.10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．解 设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳3x ＋6y 个，B 种产品外壳5x ＋6y 个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，全部的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y . 可行域为如图所示的阴影部分，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)，目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5,5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A 、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小． 11．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围． 解 (1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上， 故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322.∴|MN |2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92，∴z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍， ∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72.12．变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． 解 由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观看图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. ∴2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8.∴16≤z ≤64. 三、探究与拓展13．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少供应12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分 种类 阿司匹林小苏打 可待因 每片价格(元) A (毫克/片) 2 5 1 0.1 B (毫克/片)1760.2解 设A ，B 两种药品分别为x 片和y 片，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥125x ＋7y ≥70x ＋6y ≥28x ≥0，y ≥0，两类药片的总数为z ＝x ＋y ，两类药片的价格和为k ＝0.1x ＋0.2y . 如图所示，作直线l ：x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上一点A ，且与原点最近．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝125x ＋7y ＝70，得交点A 坐标为⎝⎛⎭⎫149，809. 由于A 不是整点，因此不是z 的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z 的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x ＝3，y ＝8时，k 取最小值1.9，因此当A 类药品3片、B 类药品8片时，药品价格最低．。

4.3 简单线性规划的应用课后篇巩固探究A 组1.已知点(x ,y )构成的平面区域如图阴影部分,z=mx+y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m 的值为 ( )A.-720B.720C.12D.720或12解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z 与直线AC 重合,则-m=k AC =225-31-5=-720,解得m=720.答案:B2.如图,目标函数z=ax-y 的可行域为四边形OACB (含边界),若C (23,45)是该目标函数z=ax-y 唯一的最优解,则a 的取值范围是( )A.(-103,-512)B.(-125,-310) C.(310,125) D.(-125,310)解析:最优解为点C ,则目标函数表示的直线斜率在直线BC 与AC 的斜率之间.因为k BC =-310,k AC =-125,所以a ∈(-125,-310). 答案:B3.若直线y=2x 上存在点(x ,y )满足约束条件{x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,则实数m 的最大值为 .解析:由约束条件作出其可行域如图.由图可知,当直线x=m 过直线y=2x 与x+y-3=0的交点(1,2)时,m 取得最大值,此时m=1. 答案:14.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,则所需租赁费最少为 元.解析:设甲种设备需要生产x 天,乙种设备需要生产y 天,此时该公司所需租赁费为z 元,则z=200x+300y.又因为{5x +6y ≥50,10x +20y ≥140,x ∈N ,y ∈N ,即{ x +65y ≥10,x +2y ≥14,x ∈N ,y ∈N .画出该不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.解{x +65y =10,x +2y =14,得{x =4,y =5,即点A (4,5).由z=200x+300y ,得直线y=-23x+z300过点A (4,5)时,z=200x+300y 取得最小值,为2 300元. 答案:2 3005.导学号33194075设不等式组{x +y -11≥0,3x -y +3≥0,5x -3y +9≤0表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图像上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是. 解析:画出可行域如图阴影部分,易知当a ∈(0,1)时不符合题意,故a>1.由{x +y -11=0,3x -y +3=0得交点A (2,9). 由图像可知,当y=a x 的图像经过该交点A 时,a 取最大值,此时a 2=9,所以a=3. 故a ∈(1,3]. 答案:(1,3]6.某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元,则{x +y ≥35 000,y ≥15x ,0≤x ≤50 000,y ≥0,而z=0.28x+0.9y ,如图,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A 时,z 最小,又直线x+y=35 000和直线y=15x 的交点A (87 5003,17 5003).即x=87 5003,y=17 5003时,饲料费用最低.答:谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.B 组1.某学校用800元购买A,B 两种教学用品,A 种用品每件100元,B 种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B 两种用品应各买的件数为( )A.1件,4件B.3件,3件C.4件,2件D.不确定解析:设买A 种用品x 件,B 种用品y 件,剩下的钱为z 元,则{x ≥1,x ∈N ,y ≥1,y ∈N ,100x +160y ≤800,求z=800-100x-160y 取得最小值时的整数解(x ,y ),用图解法求得整数解为(3,3). 答案:B2.已知x ,y 满足条件{y ≥0,y ≤x ,2x +y +k ≤0(k 为常数),若目标函数z=x+3y 的最大值为8,则k=( )A.-16B.-6C.-83D.6解析:由z=x+3y 得y=-13x+z3.先作出{y ≥0,y ≤x的图像,因为目标函数z=x+3y 的最大值为8,所以直线2x+y+k=0过直线x+3y=8与直线y=x 的交点A ,由{x +3y =8,y =x ,解得A (2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6.故选B .答案:B3.已知在图中的可行域内(阴影部分,且包括边界),目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为( ) A.-3B.3C.-1D.1解析:当a=0时,z=x.仅当直线x=z 过点A (1,1)时,目标函数z 有最小值1,与题意不符. 当a>0时,y=-1ax+z a.斜率k=-1a<0,仅当直线z=x+ay 过点A (1,1)时,直线在y 轴的截距最小,此时z 也最小, 与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾. 当a<0时,y=-1a x+za ,斜率k=-1a >0,为使目标函数z 取得最小值的最优解有无数个, 当且仅当斜率-1a =k AC ,即-1a =13,故a=-3. 答案:A 4.导学号33194076已知点M 在不等式组{x -2≤0,3x +4y ≥4,y -3≤0所表示的平面区域上,点N 在曲线x 2+y 2+4x+3=0上,则|MN|的最小值是( ) A.12B.1C.2√103-1D.2√103解析:如图,画出平面区域(阴影部分所示),由圆心C (-2,0)向直线3x+4y-4=0作垂线,圆心C (-2,0)到直线3x+4y-4=0的距离为√3+4=2,又圆的半径为1,所以可求得|MN|的最小值是1.故选B .答案:B5.毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景,于是先派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,则他们合理设计租船方案后,所付租金最少为 元.解析:设租大船x 只,小船y 只,则{x ∈N ,y ∈N ,5x +3y ≥48,租金z=12x+8y ,作出可行域如图,由图可知,当直线z=12x+8y 经过点(9.6,0)时,z 取最小值,但x ,y ∈N ,所以当x=9,y=1时,z min =116. 答案:1166.铁矿石A 和B 的含铁率a ,冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表:某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO 2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为 百万元.解析:设购买铁矿石A,B 分别为x 万吨和y 万吨,购买铁矿石的费用为z 百万元, 则{0.5x +0.7y ≥1.9,x +0.5y≤2,x ≥0,y ≥0,目标函数z=3x+6y ,作出可行域如图. 由{0.5x +0.7y =1.9,x +0.5y =2, 得{x =1,y =2.记P (1,2),当目标函数z=3x+6y 过点P (1,2)时,z 取到最小值15.答案:15 7.导学号33194077(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多? 解(1)由已知,x ,y 满足的数学关系式为{ 70x +60y ≤600,5x +5y ≥30,x ≤2y ,x ≥0,y ≥0,即{7x +6y ≤60,x +y ≥6,x -2y ≤0,x ≥0,y ≥0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:(2)设总收视人次为z 万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y ,将它变形为y=-125x+z25,这是斜率为-125,随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距,当z25取得最大值时,z 的值最大.图1图2又因为x ,y 满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y 经过可行域上的点M 时,截距z25最大,即z 最大.解方程组{7x +6y =60,x -2y =0,得点M 的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.。

§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知点与点A（1，2）在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则（）A.＞B.＜C.＞D.＜2.已知点P（x，y）在不等式组20,10,220xyx y-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z=x-y的取值范围是（）A.［-2，-1］B.［-2，1］C.［-1，2］D.［1，2］3.设x，y满足约束条件360,20,0,0,x yx yxy--≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A.256B.83C.113D.44.若x，y满足约束条件1，122，，取值范围是( )A.(-1，2)B.(-4，2)C.(-4，0］D.(-2，4)二、填空题(每小题5分，共20分)5．不等式组0,0,4312,xyx y>⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有个.6．若x、y均为整数，且满足约束条件20,20,0,x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z=2x+y的最大值为，最小值为.7.在平面直角坐标系中，不等式组20，20，2表示的平面区域的面积是 .8.如果点P在平面区域1，2，上，点M的坐标为(3，0)，那么|PM|的最小值是 .9．（12分）画出不等式组，，所表示的平面区域.10.（12分）试用不等式组表示由直线，，围成的三角形区域（包括边界）.11.（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足营养，又使费用最省？12．(12分)某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，最多可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，最多可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所得利润最大？13.（12分）变量x，y满足430，352501，，（1）设，求的最小值；§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：∵3028348＜0，∴328＞0.2.C解析：作出可行域，如图，因为目标函数z=x-y中y的系数-1＜0，而直线y=x-z表示斜率为1的一族直线，所以当它过点（2，0）时，在y轴上的截距最小，此时z取最大值2；当它过点（0，1）时，在y轴上的截距最大，此时z取最小值-1，所以z=x-y的取值范围是［-1，2］，选C.3.A解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值12，即4a+6b=12，亦即2a+3b=6，而2a+3b=（2a+3b）·236a b=136+ba+ab≥13 6+2=256，故选A.4.B解析：如图所示，可行域为△ABC.当a=0时，显然成立.当a＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k a2＞kA C1，∴a＜2.当a＜0时，k a2＜kA B2，∴a＞-4.综上可得,4＜a＜2.二、填空题5.3解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.6. 4-4解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示，可知在可行域内的整点有（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）、（-1，1）、（0，1）、（1，1）、（0，2），分别代入z=2x+y可知当x=2，y=0时，z 最大为4；当x=-2，y=0时，z最小为-4.7.4 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示.则由 2 0， 2， 解得A (2，0)，由 2 0， 2， 解得B (2，4)，∴ S 124 2 4.8.3 22解析：点P 所在的可行域如图中阴影部分所示，点M 到点A (1，1)，B (2，2)的距离分别为 5， 5，又点M (3，0)到直线x -y =0的距离为 3 22，故|PM |的最小值为 322.三、解答题9.解：先画出直线 ，由于含有等号，所以画成实线.取直线 左下方区域的点（0，0），由于2×0+0-4＜0，所以不等式 表示直线 及其左下方的区域.同理，对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式 ＞ 表示直线 右下方的区域，不等式 表示x 轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示.10．解：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图，取原点（0，0），将 ， 代入 得2＞0，代入 得1＞0，代入 得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩11.解：设甲、乙两种原料分别用 g 和 g ，总费用为z ，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为 ，作出可行域如图阴影所示.把z =3x+2y 变形为y =-32x+2z ，得到斜率为-32.在y 轴上的截距为2z，随z 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线y =-32x+2z 经过可行域上的点A 时，截距2z由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得A 145， ，∴ z min =3×145+2×3=14.4. ∴ 选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省.12.解：（1）设只生产书桌x 张，可获得利润z 元.则0.190,900,3002600300x x x x x ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩， ，∴ 当 时， （元）.即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润 24 000元.（2）设只生产书橱 张，可获得利润z 元. 则0.290,450,450600600y y y y y ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩，z ，∴ 当 时，z max =120×450=54 000（元）.即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54 000元. （3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元. 则 ， ， ，， ，， . 作出可行域如图阴影所示.由图可知，当直线经过可行域上的点M 时，截距120z最大，即z 最大，解方程组2900,2600,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 点的坐标为（100，400）. ∴ z max （元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.13.解：由约束条件4 3 0，35 25 0，1，作出(x ，y )的可行域如图阴影所示. 由 1， 3 5 25 0，得A (1， 225).由 1， 4 3 0，得C (1，1).由4 3 0， 35 25 0，得B (5，2).(1)∵ z0 0，∴ z 的值即是可行域中的点与坐标原点O 连线的斜率，由图形可知min=kO B 25 .(2)x2y2的几何意义是可行域上的点到坐标原点O的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min=|OC|2，d max=|OB|29，∴229.。