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可测集和borel集关系
可测集和 Borel 集是测度论中重要的概念，它们在描述集合的可测性和测度的性质方面起着关键作用。
首先，让我们来看一下可测集的定义。
在测度论中，给定一个测度空间(X, Σ, μ)，其中 X 是一个集合，Σ 是 X 上的σ-代数，μ 是 X 上的测度。
一个集合 E 被称为可测集，如果对于任意给定的实数ε > 0，存在一个开集 G 和一个闭集 F，使得 F 包含在 E 中，而 G 与 E 的差异的测度小于ε，即μ(G\E) < ε，μ(E\ F) < ε。
这个定义表明可测集的性质可以通过开集和闭集来逼近。
而 Borel 集则是一种特殊的可测集。
它是由拓扑空间中的开集生成的σ-代数，也就是说，Borel σ-代数是由拓扑空间中的开集经过可数次的并、交和补运算得到的集合构成的。
Borel 集的重要性在于它们是测度论中最常见的可测集之一，而且它们具有良好的性质，比如在实数线上，Borel σ-代数包含了所有开区间，从而包含了所有的可测集。
因此，可测集和 Borel 集之间的关系可以总结为，所有的
Borel 集都是可测集，但不是所有的可测集都是 Borel 集。
换句话说，Borel 集是可测集的一个重要子类，它们在测度论和实分析中具有重要的地位。
同时，研究可测集和 Borel 集的性质也有助于深入理解测度论和拓扑学的交叉部分，为分析问题提供了重要的工具和思路。
综上所述，可测集和 Borel 集在测度论中有着密切的关系，它们分别描述了集合的可测性和拓扑性质，对于理解测度论和实分析具有重要意义。
第五章勒贝格积分5.1 测度有限集合上有界函数的积分本章的基本内容是建立一种新的积分，即勒贝格积分理论，它是实变函数论研究的中心内容。
随着微积分学的发展，人们在应用黎曼（Riemann）积分理论时，逐渐感到它有很大的局限性，这主要表现在以下三个方面：1.黎曼积分对函数的连续性依赖太强．我们先来分析一下它的定义：设是定义在区间上的函数，对于的分法，作积分和其中，而是中的任意一点。
令，如果当时，趋于极限值，就说在黎曼可积，同时，称为在上的黎曼积分，记作积分和的结构与分法及的选取有关。
分法将分成个小区间以后，中的每一点都可取作，而每个的改变不能使积分和有显著的变化，这只有当的变化所引起的函数值的改变很小，或的改变较大而的改变很小时才有可能，这对于是近乎连续性的要求。
可以说，黎曼积分是为“基本上”是连续的函数建立的（参看定理5.4.5）。
而迪里克雷函数是区间上的有界函数，但却不黎曼可积，因为无论把分得多么细，在每个小区间中总能找到有理数和无理数，如果所有的都取为有理数，则，如果所有的都取为无理数，则。
如此简单的有界函数都不黎曼可积，可见黎曼可积函数类实在太窄了，这是黎曼积分定义固有的局限性。
2.在黎曼积分理论中，处理极限与积分交换顺序时，所要求的条件也是相当苛刻的，一般要求一致收敛性。
因为如果不一致收敛，则一列可积函数的极限可能根本是不可积的，当然更谈不上换序的问题，例如，设则收敛于每个都是黎曼可积的，而极限函数却不是黎曼可积的。
这个一致收敛的要求或者常常得不到满足，或者招致繁琐的验证。
由于积分与极限的换序问题不能顺利解决，就大大降低了黎曼积分的应用效果。
3．在数学分析中，我们知道牛顿一莱布尼茨公式表达了微分与积分两种互逆运算的联系，即设是上的可微函数且在上是可积的，则有显然，为使这一微积分基本定理成立，必须是可积的。
早在1881年，伏尔台拉（V olterra）就作出了一个可微函数。
其导函数是有界的但却不是黎曼可积的。
用Loeb测度构造Radon测度
张福泰
【期刊名称】《陕西师大学报：自然科学版》
【年(卷),期】1992(020)004
【摘要】设(X,T)是Hausdorff拓扑空间,(X,A)是内可测空间,v是A上的有限内容度。
本文利用非标准分析方法,给出了X上的Borel集在标准部分映射下的原象关于A Loeb可测的一个条件,对每一T∈T,有T∈L(v,A),并且对每一ε∈R^+,存在紧集C(?)T,使得L(v)(T-C)<ε。
并进一步利用v的Loeb测度,构造出了X上的Radon测度L(v)·ST^(-1)。
【总页数】4页(P14-17)
【作者】张福泰
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O174.12
【相关文献】
1.紧致完备正规T2空间上概率Rado n测度的Loeb测度表示 [J], 祁明;师东河
2.复Loeb测度空间中的Radon-Nikodym定理 [J], 史艳维;陈文利;冯晶晶
3.符号Loeb测度以及符号测度的绝对连续性 [J], 史艳维;马春晖
4.广义Loeb测度及像Loeb测度的性质 [J], 陈东立;冯汉桥
5.用Loeb测度构造正则及τ—光滑Borel测度 [J], 张福泰
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c上的勒贝格测度勒贝格测度是测量数学中集合大小的一种方法，是法国数学家亨利·勒贝格于1902年提出的一种测度理论。
它被广泛应用于分析和概率论等数学领域，并且在实际问题的建模和解决中也有重要应用。
本文将介绍勒贝格测度的基本概念、性质以及其在数学和实际问题中的应用。
首先，让我们回顾一下集合的概念。
在集合论中，集合是指具有确定性、互异性和无序性的事物的整体。
集合的大小可以通过计数集合中元素的个数来确定。
但是，在现实生活中，我们经常遇到一些无法直接计数的集合，比如无理数集、实数集等。
因此，我们需要一种更一般化的测度方法来度量集合的大小。
勒贝格测度是基于集合的“长度”来测量集合大小的一种方法。
通过将集合分解为更小的子集，并将其长度相加，可以得到整个集合的长度。
在这个过程中，勒贝格测度需要满足一些特定的性质，以确保测量的准确性和一致性。
具体而言，勒贝格测度定义在定义域上的某个σ-代数上，称为可测集。
σ-代数是指集合的一种结构，包含了空集、全集和有限或可数个可测集的并、交以及补集。
对于可测集，勒贝格测度被定义为这个集合的长度。
勒贝格测度具有以下性质：1.非负性：对于任何可测集A，其测度必须大于等于0，即m(A)≥ 0。
2.空集的测度为0：空集是一个可测集，其测度为0，即m(∅) = 0。
3.可测集的可数可加性：对于可测集A和B，如果它们没有公共的点，那么它们的并集的测度等于它们各自测度的和，即m(A∪B) = m(A) + m(B)。
4.可测集的增长性：对于可测集A和B，如果A包含于B（即A是B的子集），那么B的测度大于等于A的测度，即若A ⊆ B，则m(A) ≤ m(B)。
5.可数可加性：对于可测集的可数个序列{A_n}，如果这些集合两两不相交，那么它们的并集的测度等于这些集合的测度的和，即m(∪A_n) = ∑m(A_n)。
基于这些性质，勒贝格测度可以应用于各种数学问题中。
一个典型的应用是在实数轴上度量区间的长度。
关于不可约空间的一点注记
吴利生
【期刊名称】《苏州大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1993(009)003
【摘要】本文证明“T_1次拟仿紧空间的闭映射象是不可约的”,从而改进了龙冰“狭义次拟仿紧空间不可约”和朱俊“T_1拟仿紧空间的闭映射象不可约”这两个结果。
此外,作为推论还可得到“弱θ—加细空间的闭映射象是不可约的。
”
【总页数】3页(P181-183)
【作者】吴利生
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O189.1
【相关文献】
1.关于σ-有限测度空间的Loeb空间的一点注记 [J], 陈东立
2.关于Banach空间和乘积空间中的不动点性质的一点注记 [J], 赵晓全
3.关于空间圆锥面方程的一点注记 [J], 王成强
4.Orlicz序列空间光滑点的一点注记 [J], 王静;崔云安
5.关于“T_2(1/2)LF拓扑空间和ST_2(1/2)LF拓扑空间的分离性”的一点注记 [J], 郝俊玲
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测度论简要介绍测度论（Measure theory）是数学中的一个分支领域，主要研究集合的大小、度量和测度的概念。
它是现代数学分析的基础之一，广泛应用于概率论、统计学、函数分析等领域。
本文将对测度论的基本概念和主要结果进行简要介绍。
一、集合的测度在测度论中，我们首先需要定义集合的测度。
测度是一种将集合映射到实数的函数，用来度量集合的大小。
常见的测度有长度、面积、体积等。
在测度论中，我们希望能够给出一个满足一定性质的测度函数。
1. 外测度外测度是测度论中最基本的概念之一。
给定一个集合，我们可以通过一系列简单的操作来定义它的外测度。
首先，我们将集合划分为若干个小区间，然后计算每个小区间的长度之和。
最后，我们取所有可能的划分方式中的最小值作为集合的外测度。
2. 测度空间测度空间是指一个集合和一个在该集合上定义的测度构成的数学结构。
在测度空间中，我们可以对集合进行测度运算，比较集合的大小。
测度空间的定义需要满足一定的公理，如非负性、空集的测度为0、可数可加性等。
二、测度的性质测度论中的测度具有一些重要的性质，这些性质对于研究集合的大小和度量具有重要的意义。
1. 可测集在测度论中，我们将满足一定条件的集合称为可测集。
可测集是测度论中的基本对象，它们具有良好的性质和结构。
可测集的定义需要满足一定的条件，如可数可加性、闭性等。
2. 测度的可数可加性测度的可数可加性是测度论中的一个重要性质。
它表示对于可数个互不相交的集合，它们的测度等于各个集合测度的和。
这个性质在测度论中有着广泛的应用，特别是在概率论和统计学中。
3. 测度的完备性测度的完备性是指测度空间中的任意一个零测集的任意子集也是零测集。
这个性质保证了测度的一致性和完整性，使得我们可以对集合进行更精确的度量。
三、测度论的应用测度论在数学和其他学科中有着广泛的应用。
以下是测度论在一些领域的应用举例：1. 概率论测度论为概率论提供了坚实的基础。
概率论中的概率可以看作是一种特殊的测度，它度量了事件发生的可能性。
第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构。
§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数， 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近， 这是可测函数的构造性特征。
本节难点 可测函数与简单函数的关系。
授课时数 4学时———---—-——-——-—-—--——-——————-—1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数（可取±∞）,若[],f a a R E>∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数。
2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2 简单函数是可测函数若1nii E E ==⋃ （iE 可测且两两不交），()f x 在每个iE 上取常值ic ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0ii E i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f OE Oδεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续lim ()()x x f x f x →=若0,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x Of x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x f OOδεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续）证明:任取[]x E f a ∈>， 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,xf x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f OE Oa δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a OE Eδ>⋂⊂。
巴拿赫空间理论巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)⼀⼿创⽴的，数学分析中常巴拿赫空间⽤的许多空间都是巴拿赫空间及其推⼴，它们有许多重要的应⽤。
⼤多数巴拿赫空间是⽆穷维空间，可看成通常向量空间的⽆穷维推⼴。
编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是⼀种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之⼀。
数学分析各个分⽀的发展为巴拿赫空间理论的诞⽣提供了许多丰富⽽⽣动的素材。
从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐⼈们久已⼗分关⼼闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的⼀致收敛性。
甚⾄在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上⼀族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来⼗分成功地⽤于常微分⽅程和复变函数论中。
巴拿赫空间1909年⾥斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重⼤事件。
还有⼀个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1<p <∞)。
在1910～1917年﹐⼈们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表⽰﹐则照亮了通往对偶理论的道路。
⼈们还把弗雷德霍姆积分⽅程理论推⼴到这种空间﹐并且引进全连巴拿赫空间续算⼦的概念。
当然还该想到希尔伯特空间。
正是基于这些具体的﹑⽣动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独⽴地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成⼀部本⾝相当完美⽽⼜有着多⽅⾯应⽤的理论。
编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。
是⽤波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。
巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建⽴了其上的线性算⼦理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。
这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应⽤上都有重要价值。
