高一数学下学期期末考试题(含答案)

北京市第八中学2023-2024学年高一下学期期末练习数学试卷考试时间120分钟，满分150分一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知为虚数单位，复数为的共轭复数，则（ ）A.B. 5C. D. 42. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）A.B. C.D. 3. 已知函数,满足,且在内恰有一个最大值点和一个最小值点,则的值为( )A. B. C. D. 4. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则5. 在中，角对边分别为，若，且，则（ ）A.B.C.D.6. 关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 若单位向量，，满足，（ ）的的i 2(2i),z =+z z 2i z +=πcos y x =2sin y x =sin 2y x =cos y x=()sin (0)f x x ωω=>3()(44f f ππ=3[]44ππ，ω1234,m n ,αβ//,,m n αβαβ⊂⊂//m n ,m n m α⊥⊥//n α,,n n m αβαβ⊥⋂=⊥m β⊥,,//n m m αβαβ⋂=⊂//m nABC V ,,A B C ,,a b c sin cos 2Bb Cc =||||CA CB CA CB +=- A =π6π3π4π2θθ1tan 2θ=tan 21θ>()tan θπ-()tan()f x x ϕ=+()f x y ()k k ϕπ=∈Z a b c 12a b ⋅=- b c ⋅= a c ⋅=A. 0B.C. 0或D. 0或9. 已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）A. B. C. D. 10. 在棱长为1的正方体中，，E 是线段（含端点）上的一动点，①；②平面；③三棱锥的体积为定值；④与所成的最大角为.上述命题中正确的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知向量，若向量与垂直，则________.1212-()()πsin (002f x A x A ωϕωϕ=+>><，，()()5,02,D B A ，，0BC CD ⋅=()ππ66f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()ππ36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()ππ66f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()ππ63f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -AC BD O = 1B C 1OE BD ⊥//OE 11AC D 1A BDE -OE 11A C 90︒(1,2),(,1)a b m =-= a b + am =12. 复数与复数在复平面内对应的点分别为，若为坐标原点，则的大小为__________.13. 在△中，角的对边分别是，若，，，则△的面积是 ▲ ．14. 写出一个同时满足下列两个条件的函数__________.①；②恒成立.15. 设函数，，有以下四个结论.①函数是周期函数：②函数的图像是轴对称图形：③函数的图像关于坐标原点对称：④函数存在最大值其中，所有正确结论的序号是___________.三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知．（1）若为锐角，求值；（2）求的值．17. 如图，在四棱锥中，是正方形，平面，分别是的中点.的12i -3i -,A B O AOB ∠ABC ,,A B C ,,a bc sin A C =30B = 2b =ABC ()f x =()π,2x f x f x ⎛⎫∀∈+=- ⎪⎝⎭R ()π,8x f x f ⎛⎫∀∈≥⎪⎝⎭R ()sin f x x π=()21gx x x =-+()()y f x g x =+()()y f x g x =-()()y f x g x =⋅()()f x yg x =sin(π)2cos αα-=απcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭πtan 24α⎛⎫-⎪⎝⎭P ABCD -ABCD PD ⊥,ABCD PD AB =,,E F G ,,PC PD BC（1）求证：；（2）求证：平面.18. 在中，.（1）求的大小；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：③：.注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19. 已知函数，且_____．从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．（1）求函数的单调递增区间；（2）设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．20. 如图，四棱锥中，平面∥是的中点.的PC AD ⊥PA P EFG ABC V ()sin cos 0b A a A C ++=B ∠ABC V ABC V b =AB 1cos 2A =-()22cos2sin cos sin (04)f x x x x x ωωωωω=+-<<①②③①;8π⎛⎝②()f x 0y +=;π③()f x 2π()f x ()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭m 1[0,]2x π∈2[0,]2x π∈()()21m g x f x =-m ;P ABCD -AD ⊥,ABP BC ,90,2,3,,AD PAB PA AB AD BC m E ∠===== PB（1）证明：平面；（2）若二面角的值；（3）若，在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.21. 在由个实数组成的行列的数表中，表示第行第列的数（如图是一个3行3列的数表，），记.若满足，且两两不等，则称此表为“阶表”.记.032129341（1）请写出一个“2阶表”；（2）对任意一个“阶表”，若整数，且，求证：为偶数；（3）求证：不存“5阶表”.在⊥AE PBC C AE D --m 2m =ED F BF CE ⊥DF FE()2n n n ⨯≥n n ij a i j 11230,9a a ==()()12121,1i i in j j i j nj r a a a i n c a a a j n =+++≤≤=+++≤≤ {}()1,0,11,ij a i j n ∈-≤≤1212,,,,,,,n n r r r c c c n H {}1212,,,,,,,n n n H r r r c c c = H n H [],n n λ∈-n H λ∉λH北京市第八中学2023-2024学年高一下学期期末练习数学试卷 答案一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】A 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】A 【6题答案】【答案】D 【7题答案】【答案】B 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】A 【10题答案】【答案】A二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】7π4【13题答案】【14题答案】【答案】（答案不唯一）【15题答案】【答案】②④三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1（2）【17题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略【18题答案】【答案】（1） （2）略【19题答案】【答案】（1）； （2）存在，.【20题答案】【答案】（1）证明略 （2） （3）存在，【21题答案】【答案】（1）略 （2）证明略（3）证明略3πsin(2)4x -7π4B ∠=3[,](Z)88k k k ππππ-+∈[0,21m =2DF FE=。

江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.5133.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A .a b c>> B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.35cos cos cos777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B. C. D.8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是610.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc>11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为3C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为1717三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.14.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且23203aOA bOB cOC ++=，则A =______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数113i sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G.（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+【答案】A 【解析】【分析】由题意写出复数z 的代数形式，代入所求式，运用复数的四则运算计算即得.【详解】依题意，1i z =-，则2i 2i (2i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222z ---++====+--+.故选：A.2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.513【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图条件建立l 与r 的关系式，作出圆锥轴截面图，证明并求出线面所成角的余弦值即可.【详解】作出圆锥的轴截面图SAB ,设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，依题意可得，5π2π6l r =，即512r l =，因顶点S 在底面的射影即底面圆圆心O ,故母线SB 与底面所成的角即SBO ∠.在Rt SOB △中，5cos 12r SBO l ∠==.故选：C.3.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.30022-<<，即0.3021-<<，所以01a <<，因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，且0.20-<，所以0.211133-⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >，因为ln y x =在(0,)+∞上递增，且213<，所以2lnln103<=，即0c <，所以b a c >>.故选：B4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β【答案】D 【解析】【分析】由平面平行的判定定理可判断A 错误，由线面垂直性质可判断B 错误，利用面面垂直的性质定理可判断C 错误；由反证法可得D 正确.【详解】对于A ，由平面平行的判定定理易知当两个平面内的两条直线平行时，不能得出两平面平行，即A 错误；对于B ，若,a ααβ⊥⊥，则可得a β∥或a β⊂，故B 错误；对于C ，由面面垂直的性质知，两个平面垂直时，仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与另一个平面垂直，而C 中直线b 与平面β的关系不确定，故b 与α不一定垂直，故C 错误；对于D ，若b β⊥，由条件易得a b ，与二者异面矛盾，故D 正确．故选：D ．5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A .必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由集合M 仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，即集合M 只有一个元素，若0a =，方程210ax x -+=等价于10x -+=，解得1x =，满足条件；若0a ≠，方程210ax x -+=要满足140a ∆=-=，有14a =，则集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，有0a =或14a =，则14a =时满足集合M 仅有1个真子集，集合M 仅有1个真子集时不一定有14a =，所以“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的充分不必要条件.故选：B.6.35cos cos cos 777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式以及余弦的降幂扩角公式即可容易求得.【详解】∵cos37π＝－cos 47π，cos 57π＝－cos 27π，∴cos7πcos 37πcos 57π＝cos 7πcos 27πcos47π＝248sincos cos cos 77778sin7πππππ＝2244sin cos cos7778sin7ππππ＝442sin cos778sin7πππ＝8sin78sin7ππ＝－18.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式以及降幂扩角公式，属中档题.7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到212AO AC AC ⋅= ，同理可得212AO AB AB ⋅= ，解得AC ，根据向量乘法可求得sin BAC ∠，代入到1sin 2ABC S AB AC BAC=⋅∠可求得.【详解】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到()21122AO AC AE EO AC AC EO AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，同理可得212AO AB AB ⋅= ，又因72AO BC ⋅= ，可得()72AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅= ，可解得4AC =，61cos 342AB AC BAC AB AC ⋅∠===⨯ ，所以3sin 2BAC ∠=，则113sin 43222ABC S AB AC BAC =⋅∠=⨯⨯⨯= .故选：A8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立【答案】D 【解析】【分析】用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，列出相关事件包含的样本点.对于A ，运用对立事件的定义判断；对于B ，分别计算,,M N M N 的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即得；对于C ，根据E 与M N ⋂的交集是否为空集判断；对于D ，与选项B 同法判断.【详解】依题意，可用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，则{(,)|,{1,2,3,4,5,6}}x y x y Ω=∈.对于A ，{(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}E =，而{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}F =,显然事件E 与事件F 互斥但不对立，如(1,2)∈Ω,但(1,2),(1,2)E F ∉∉,故A 错误；对于B ，易得F E M =，故181(),362P M ==因N F =，故93()1()1()1364P N P N P F =-=-=-=,而MN E =,则91()()364P MN P E ===,因()()()≠P MN P M P N ,即事件M 与事件N 不独立，故B 错误；对于C ，由上分析，MN E =，故事件E 与事件M N ⋂不可能互斥，即C 错误；对于D ，由上分析，91(),364P F ==而M N =Ω ,则1()()P M N P ⋃=Ω=，因()F F M N ⋂=⋃，则1[()]()4P F P F M N ⋂==⋃,即[()()()]P P M N F P M N F ⋂⋃⋃=，故事件F 与事件M N ⋃相互独立，即D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的关系判断，属于较难题.解题方法有：（1）判断事件,A B 对立：必须,A B A B ⋂=∅⋃=Ω同时成立；（2）判断事件,A B 相互独立：必须()()()P A B P A P B ⋂=成立；（3）判断事件,A B 互斥：只需A B ⋂=∅即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是6【答案】BD 【解析】【分析】利用各特征数据的计算方法进行计算即可.【详解】对于A ，因为共10个数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，，所以1080%8⨯=，则8个数据8.6第80百分位数为7.88.68.22+=,故A 错误；对于B ，一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，可知7x =，则这组数据的方差为()()()()()222222113757779711740855s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦，故B 正确；对于C ，由于分层抽样，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，故C 错误；对于D ，由于1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则它的方差为4,而121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的方差为23436⨯=，则它的标准差是6，故D 正确；故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，先求得函数定义域[1,1]-，判断其奇偶性，求函数在[0,1]上的值域，即得在[1,1]-上的值域；对于B ，利用常值代换法运用基本不等式即可求解；对于C ，先由条件推得1ab =，再运用基本不等式即可；对于D ，举反例即可排除.【详解】对于A ，由y =有意义可得，210x -≥，即11x -≤≤，函数定义域关于原点对称.由()()f x f x -=-=-,知函数为奇函数，当01x ≤≤时，y ==设2[0,1]t x =∈，则()g t =因[0,1]t ∈时，21110(244t ≤--+≤，即得10()2g t ≤≤，又函数y =为奇函数，故得其值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即A 正确；对于B ，因22sin cos 1x x +=，故2222221111()(sin cos )sin cos sin cos y x x x x x x=+=++2222sin cos 224cos sin x x x x =++≥+，当且仅当221sin cos 2x x ==时等号成立，即当221sin cos 2x x ==时，2211sin cos y x x=+的最小值为4，故B 正确；对于C ，由lg lg =a b 可得lg lg a b =或lg lg a b =-，即a b =或1a b=，因a b ¹，故1ab =，因0,0a b >>，则2a b +≥=当且仅当2a b ==即2+a b 的最小值为，故C 正确；对于D ，因R c ∈，不妨取0c =，则0a c bc ==，故D 错误.故选：ABC.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为17【答案】ABD 【解析】【分析】利用正方体的性质，结合台体体积公式可求得正方体边长，再利用线面垂直证明线线垂直，利用侧面展开图思想求线段和的最小值，利用外接球的截面性质来求其半径，利用二面角的平面角来求解二面角的余弦值.【详解】由正方体性质可得：几何体1111A B C D EFGH -是正四棱台，设正方体的边长为a ,则其体积为：23211711234343a a a a ⎛++=⋅= ⎝，解得4a =，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，有11AB A B ⊥，BC ⊥平面11ABB A ，又因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，又因为1BC A B B ⋂=，1BC A B ⊂，平面11BCD A ，所以1AB ⊥平面11BCD A ，而PC ⊂平面11BCD A ，所以1AB PC ⊥，故A 正确；把直角三角形1BDD 与直角三角形1BCD 展开成一个平面图形，则PC PD CD +≥，而114,BC DD BD CD ====，由勾股定理可得：CD ==，故B 正确；当P 为1BD 的中点，此时四棱锥P ABCD -是正四棱锥，其外接球的球心M 一定在OP 上，又由于OA =2OP =，设MP MA R ==，则由勾股定理得：()2282R R =+-，解得：3R =，此时球M 的表面积为：24π336π⋅=，故C 错误；取AD 中点为Q ，取11A D 中点为T ，连结OQ EH G = ，再连接TG ，由,,AD OQ AD QT OQ QT Q ⊥⊥= ，OQ QT ⊂，平面OQT ，所以AD ⊥平面OQT ，又因为//EH AD ，所以EH ⊥平面OQT ，又因,GQ GT ⊂平面OQT ，所以,,EH GQ EH GT ⊥⊥即二面角1A HE A --的平面角就是QGT ∠，由正方体边长为4，可知1,4QG QT ==，所以16117GT =+=即17cos 1717QGT ∠==，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用二面角的定义找到其平面角，再求出相关线段，利用余弦函数定义即可得到答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________【答案】1±##1或1-##1-或1【解析】【分析】利用奇函数()()f x f x =--求解即可.【详解】因为函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，所以由()()f x f x =--可得221212122x x xx xxk k k k k k-----⋅=-=+⋅+⋅+，即2222212x x k k -=-⋅，整理得()()221120xk -+=，解得1k =±，经检验，当()1212x xf x -=+或()1212xx f x --=-时，满足()()f x f x =--，故答案为：1±13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.【答案】1【解析】【分析】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，构造新的EFG 根据余弦定理可得到EF 的长.【详解】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，则EG 是ACD 的中位线，可得11,2EG AD EG AD == ，同理可得11,2FG BC FG BC == ，因为AD 与BC 所成的角为60°所以EGF ∠等于60°或120°，当60EGF ∠=︒在EFG 中根据余弦定理得1EF ===，当120EGF ∠=︒同理可得E F故答案为：114.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且203aOA bOB cOC ++=，则A =______.【答案】π6【解析】【分析】利用重心的向量性质0OA OB OC ++=，即可得到边的关系，再利用余弦定理即可求角.【详解】由点O 是ABC 的重心，可知：0OA OB OC ++=，又23203aOA bOB cOC ++=，可设2323a b c k ===，则3,,22k a b k c ===，再由余弦定理得：2222223222cos 2232k k b c a A bc ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-==，又因为()0,πA ∈，所以π6A =，故答案为：π.6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数11sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）2或1-（2）π；ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈【解析】【分析】（1）写出两复数对应的向量12,OZ OZ的坐标，，利用向量共线的坐标表示式计算即得；（2）利用三角恒等变换将函数()f x 化成正弦型函数，求得最小正周期，将π26x +看成整体角，利用正弦函数的递增区间即可求得.【小问1详解】依题意，复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量分别为12(,2),(1,1)OZ x OZ x ==-，由12//OZ OZ可得，(1)2x x -=，解得，2x =或=1x -；【小问2详解】依题意，12),(cos 2,2cos )OZ x OZ x x ==，则()12πcos 2cos cos 222sin(2)6f x OZ OZ x x x x x x =⋅=+==+ ，故()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；由Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈解得，ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.【答案】（1）0.006a =；76.2（2）310【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出a 的值，再根据平均数计算公式计算即可；（2）先计算出[)40,60内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图可得，(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得，0.006a =；这50名学生的物理成绩的平均数为：0.04450.06550.22650.28750.22850.189576.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由频率分布直方图可知，成绩在[)40,60内的学生有50(0.040.06)5⨯+=人，其中[40,50)内有2人，设为,a b ，[50,60)内有3人，设为,,x y z ，“从成绩在[)40,60内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为：{,,,,,,,,,}ab ax ay az bx by bz xy xz yz Ω=，而事件A =“2人成绩都在[)50,60内”={,,}xy xz yz ，由古典概型概率公式可得，3()10P A =.即这2人成绩都在[)50,60内的概率为310.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G .（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先证明EF ⊥平面PAG ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由体积相等P BEF B PEF V V --=，分别计算BEF S 和PEF S △，代入计算即得.【小问1详解】因E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则//EF BD ，又四边形ABCD 是菱形，则BD AC ⊥，故EFAC ⊥，因PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故PA EF ⊥，又,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAG ，故EF ⊥平面PAG ，因EF ⊂平面PEF ，故平面PEF ⊥平面PAG .【小问2详解】如图，连接,,,PB BF AE AF ，设点B 到平面PEF 的距离为d .在菱形ABCD 中，π3ABC ∠=，则4,43AC BD ==，BEF △的面积为111143232442BEFBFC BCD S S S ===⨯⨯⨯= 因3432AE AF ===，则222(23)4PE PF ==+=，1232EF BD ==故PEF !的面积为221234(3)392PEF S =⨯-= 由P BEF B PEF V V --=可得，11323933d =⨯，解得21313d =，即点B 到平面PEF 的距离为21313.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．【答案】（1）π3A =（2）)23,4⎡⎣．【解析】【分析】（13cos 1A A -=，再利用辅助角公式可得π3A =；（2）利用正弦定理可得23πsin 6a B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由ππ62B <<并利用三角函数单调性可求得a 的取值范围．【小问1详解】因为cos 3sin a C a C b c +=+，由正弦定理得()sin cos 3sin sin sin sin sin sin A C A C B C A C C +=+=++，sin cos cos sin sin A C A C C =++，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π666A -<-<，即ππ66A -=，可得π3A =．【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==，即sin sin sin a b c A B C+=+，且π,3A b c =+=所以()sin 66232πππsin sin 31sin sin sin 36622b c Aa B CB B B B +====+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为ABC 为锐角三角形，π2ππ0,0232B C B <<<=-<，所以ππ62B <<，所以ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即πsin ,162B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦．可得)a ⎡∈⎣，即a 的取值范围为)4⎡⎣．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.【答案】（1）1557π19（2）6【解析】【分析】（1）作出旋转体1Ω，其表面积即两个圆锥侧面积的和，利用余弦定理求出AB ，继而求得底面圆半径1r ，代入公式计算即得；（2）由（1）类似过程求得AB 和1r ，计算出其体积1V ，作出旋转体2Ω，是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体，求出底面圆半径2r ，间接法求出23,V V ,代入所求式，运用换元法、基本不等式和二次函数的单调性即可求得函数最大值.【小问1详解】如图1，把ABC 以直线AB 为旋转轴旋转一周得到旋转体1Ω，它是由两个同底面圆的圆锥11,AO BO 拼成的组合体，其表面积即两个圆锥的侧面积的和.因2a =，3b =，120C =︒，由余弦定理，22212cos12094232()192AB AC BC AC BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，可得，AB =因11AO CO ⊥,设底面圆半径为1r，由11123sin12022ABC S r =⨯⨯⨯=解得，119r =，于是，13571557π()5ππ1919S r b a =⨯+=⨯=；【小问2详解】由（1）可得，222222212cos1202()2AB AC BC AC BC a b ab a b ab =+-⋅=+-⨯⨯-=++，即AB =，底面圆半径为111sin120212ab r O C ===于是，22221111ππ33V r AB=⨯=⨯⨯如图2，把ABC以直线BC为旋转轴旋转一周得到旋转体2Ω,它是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体.设底面圆半径为22AO r=，因120ACB∠= ,易得23602120602ACO-⨯∠==，则23sin602r b== ，于是，22222113πππ)3324V r BC a ab=⨯=⨯=，同理可得23π4V a b=，于是，2212223ππ44VyV V ab a b==++=设222a btab+=≥，当且仅当a b=时等号成立，则y==，因2t≥时，函数231()24t+-单调递增，故231(1224t+-≥，则0y<≤即a b=时，max6y=.【点睛】思路点睛：本题主要考查旋转体的表面积求法和与其体积有关的函数的最值求法，属于难题.解题思路是作出旋转体的图形，理解其组成，正确求出底面半径、高，母线长等关键量，代入公式，整理后，运用换元，利用基本不等式和函数的单调性求其最值.。

2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（答案在最后）（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32i iz =-，则z =（）A.25B.5C.D.22.设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=，则()U B A ⋂=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}3.已知向量()4,3a = ，则与向量a 同向的单位向量的坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫⎪⎝⎭C.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C .若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥5.已知5sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（）A.15-B.15C.113-D.1136.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，()12P A =B.当2n =时，()34P B =C.当3n =时，()34P A =D.当4n =时，()34P A =7.如图，在ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N .设,AB mAM AC nAN ==，则mn 的最大值为（）A.12B.1C.D.28.设函数()f x 的定义域为,(1)2y f x =-+R 为奇函数，(2)y f x =-为偶函数，若(2024)5f =-，则(2)f -=（）A.1B.1- C.0D.3-二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π6x =对称C.()f x 的一个零点为π6x =-D.()f x 的最大值为110.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是（）A.若A B >，则a b>B.若sin sin A B >，则cos cos A B <C.若ABC 是锐角三角形，则222a b c +<D.若sin cos sin cos A A B B =，则ABC 是等腰三角形11.如图，一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2m x =时，正四棱锥的侧面积为28mB.当2m x =时，正四棱锥的体积为3m 3C.当2m x =时，正四棱锥的外接球半径为m 6D.当2m x =时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m 2第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1a b m =-= ，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =__________.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,a b c 分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,a b c 的大小关系为__________.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A 和千寻塔塔底O 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角23MCE ∠= （点E 在线段MO 上，CE MO ⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100米到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48MDE∠= ，则可求得塔高MO 为__________米（参考数据sin23sin48sin25⎛⎫= ⎪⎝⎭0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN ，且MN 约8米，小华在线段AO 间走动到点P 时，他直立看塔尖MN 的视角最大（即MQN ∠最大），则此时他距离塔身的距离（即QE ）为__________米.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=；②()2sin cos cos 2sin sin sin sin A B C B C A B C -=+.（1）求角A ；（2）若6,a b c =+=，求ABC 的面积.17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,,SA SB E F ==分别是,SC BD 的中点，平面SAB ⊥平面ABD .（1）求证：EF //平面SAB ；（2）求直线SA 与BD 所成角的余弦值.18.已知函数()()e e 2x x f x x --=∈R ，函数()()e e 2x xg x x -+=∈R .（1）试判断函数()f x 的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x 的不等式()()2310f x f x +->；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()11f a =，求()g a 的值；②()()2,[]3x f x m g x ∈-⋅>-R 恒成立，求实数m 的取值范围.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成(0π)αα<<的两条射线，21,e e分别为,Ox Oy 同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy α-中的坐标，记为(),OP x y = .（1）在斜坐标系π3xOy -中，()2,3OM = ，求OM ；（2）在斜坐标系xOy α-中，()()2,1,1,1OP OQ ==- ，且OP 与OQ 的夹角π3θ=.①求α；②,A B 分别在射线,Ox Oy 上，3,,AB E F =为线段AB 上两点，且16AE AB = ，12AF AB = ，求OE OF⋅的最小值及此时OB 的大小.2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32i iz =-，则z =（）A.25B.5C.D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模.【详解】因为()232i i 2i 3i 23i z =-=-+=+，所以z ==故选：C.2.设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=，则()U B A ⋂=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}【答案】A 【解析】【分析】先利用补集的概念求出U A ð，然后利用交集运算求解即可.【详解】由{}13A x x =-<≤可得{1U A x x =≤-ð或3}x >，又{}0,1,2,3,4,5B =，所以(){}4,5U A B ⋂=ð.故选：A.3.已知向量()4,3a = ，则与向量a同向的单位向量的坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫⎪⎝⎭C.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由向量a 的坐标除以向量a 的模，可得与向量a同向的单位向量的坐标.【详解】向量()4,3a =，5a = ，所以与向量a同向的单位向量为43,55a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B4.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥【答案】B 【解析】【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；【详解】A ：若//l α，l //β，则//αβ或相交，故A 错误；B ：若//l α，l β⊥，由线面平行和垂直的性质可得αβ⊥，故B 正确；C ：若l β⊥，αβ⊥，则//l α或l ⊂α，故C 错误；D ：若//l α，αβ⊥，则,l β相交或l //β或l β⊂，故D 错误；故选：B.5.已知5sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（）A.15-B.15 C.113-D.113【答案】C 【解析】【分析】首先求出tan θ，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为5sin cos θθ=，显然cos 0θ≠，所以sin 1tan cos 5θθθ==，所以2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ---==++221135513151⎛⎫⨯-⎪⎝⎭==⎛⎫+ -⎪⎝⎭.故选：C6.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，()12P A =B.当2n =时，()34P B =C.当3n =时，()34P A =D.当4n =时，()34P A =【答案】D 【解析】【分析】分2n =和3,4n n ==的情况分别考虑四个选项.【详解】当2n =时，A 表示一正一反，故()1112222P A =⨯⨯=，故A 正确；B 表示两个正面，此时()()11311224P B P B =-=-⨯=，故B 正确；当3n =时，A 表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()11111222234P A P A =-=-⨯⨯⨯=，故C 正确；当4n =时，A 表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()1111112282227P A P A =-=-⨯⨯⨯⨯=，故D 错误.故选：D.7.如图，在ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N .设,AB mAM AC nAN ==，则mn 的最大值为（）A.12B.1C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】根据三点,,O M N 共线求得,m n 的等量关系式，结合基本不等式求得mn 的最大值.【详解】根据题意，1,2BO OC BO BC =∴=，所以1111(),2222AO AB BO AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+ 又,AB mAM AC nAN ==，所以,1122AO mAM nAN =+ 因为三点,,O M N 共线，所以122m n+=，即2m n +=，由图可知，0,0m n >>，所以2=+≥m n mn ，当且仅当1m n ==时取等号，所以1,mn mn ≤的最大值为1.故选：B.8.设函数()f x 的定义域为,(1)2y f x =-+R 为奇函数，(2)y f x =-为偶函数，若(2024)5f =-，则(2)f -=（）A.1B.1- C.0D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合赋值法思想求出函数()f x 的周期即可求出(2)f -.【详解】由函数(1)2y f x =-+是R 上的奇函数，得(1)2(1)2f x f x --+=---，即(1)(1)4f x f x --+-=-，则(2)()4f x f x --+=-，由(2)y f x =-为偶函数，得(2)(2)f x f x --=-，于是(2)()4f x f x -+=-，显然有()(2)4f x f x ++=-，因此(2)(2)f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，函数()f x 的周期为4，由(2024)5f =-，得(0)5f =-，又(2)(0)4f f -+=-，所以(2)4(0)1f f -=--=.故选：A【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论①()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，②()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，③()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，④()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π6x =对称C.()f x 的一个零点为π6x =-D.()f x 的最大值为1【答案】AC 【解析】【分析】根据()()sin f x A x ωϕ=+的性质逐一判断即可.【详解】2ππ2T ==，故A 正确；2π2sin 63f π⎛⎫== ⎪⎝⎭π6x =不是对称轴，故B 错误；π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以π6x =-是()f x 的一个零点，故C 正确；因为振幅2A =，所以()f x 的最大值为2，故D 错误.故选：AC.10.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是（）A.若A B >，则a b>B.若sin sin A B >，则cos cos A B<C.若ABC 是锐角三角形，则222a b c +<D.若sin cos sin cos A A B B =，则ABC 是等腰三角形【答案】AB【解析】【分析】根据大角对大边判断A ，由正弦定理及余弦函数的性质判断B ，利用余弦定理判断C ，利用二倍角公式判断D.【详解】对于A ：因为A B >，根据大角对大边可得a b >，故A 正确；对于B ：因为sin sin A B >，由正弦定理可得a b >，所以A B >，由cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B <，故B 正确；对于C ：若ABC 是锐角三角形，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以222a b c +>，故C 错误；对于D ：若sin cos sin cos A A B B =，则sin2sin2A B =，又(),0,πA B ∈，所以()2,20,2πA B ∈，所以22A B =或2π2A B =-，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，故D 错误.故选：AB11.如图，一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2m x =时，正四棱锥的侧面积为28m B.当2m x =时，正四棱锥的体积为343m 3C.当2m x =时，正四棱锥的外接球半径为3m 6D.当2m x =时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m 2【答案】ABC【解析】【分析】画出正四棱锥P ABCD -，对于A ，四棱锥的侧面积为4PBC S ，对于B ，求出四棱锥的高PG ，可求出其体积，对于C ，设正四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在PG 上，由22OP OA OG AG ==+可求出外接球的半径，对于D ，利用等体积法可求出正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径.【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示为正四棱锥P ABCD -，对于A ，当2x =时，则2AB BC CD AD ====，设E 为BC 的中点，连接PE ，则,2PE BC PE ⊥=，所以四棱锥的侧面积为2144228m 2PBC S =⨯⨯⨯= ，所以A 正确，对于B ，设AC BD G ⋂=，连接,PG GE ，则PG ⊥平面ABCD ，1GE =，所以22413PG PE GE =-=-=所以四棱锥P ABCD -的体积为31122m 333ABCD S PG ⋅=⨯⨯=正方形，所以B 正确，对于C ，设正四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在PG 上，连接OA ，设外接的半径为R ，则,,OA OP R OG R AG ====在Rt OAG △中，222OA OG AG =+，所以)222R R =-+，解得m 6R =，所以C 正确，对于D ，设在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径为r ，则此球与正四棱锥的每一个面都相切，则11(4)33PBC ABCD ABCD S S r S PG +=⋅ 正方形正方形，所以1(4224)2r ⨯⨯⨯+=，解得m 3r =，所以D 错误，故选：ABC第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1a b m =-= ，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】分别求出向量2,2a b a b +- 的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算即可求出m 的值；【详解】因为向量()()1,2,,1,2(12,4),2(2,3)a b m a b m a b m =-=+=-+-=-- ，若向量2a b + 与2a b -平行，所以0(12)3(2)4m m ---+-⨯=⨯，解得12m =-.故答案为：12-.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,a b c 分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,a b c 的大小关系为__________.【答案】c a b<<【解析】【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断.【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数，右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有c a b <<.故答案为：c a b <<.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A 和千寻塔塔底O 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角23MCE ∠= （点E 在线段MO 上，CE MO ⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100米到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48MDE ∠= ，则可求得塔高MO 为__________米（参考数据sin23sin48sin25⎛⎫= ⎪⎝⎭0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN ，且MN 约8米，小华在线段AO 间走动到点P 时，他直立看塔尖MN 的视角最大（即MQN ∠最大），则此时他距离塔身的距离（即QE ）为__________米.【答案】①.69.7②.【解析】【分析】根据题意在DMC 中，由正弦定理可求CM 的值，进而求解ME 的值，即可根据MO ME OE =+即可计算MO ；设QE x =，利用两角差的正切公式，基本不等式可求tan MQN ∠的最大值，即可求解.【详解】因为23MCE ∠= ，48MDE ∠= ，所以25DMC ∠= ，在DMC 中，100m CD =，由正弦定理得，()100sin sin sin 25sin 180CD CM CM DMC CDM MDE ︒︒=⇒=∠∠-∠，所以()100sin 18048100sin 48sin 25sin 25CM ︒︒︒︒︒-==，100sin 48sin 23sin 1000.6868m sin 25ME CM MCE ︒︒︒⋅∴=∠==⨯=， 1.7m OE =所以68 1.769.7MO ME OE =+=+=.因为8MN =，所以60NE =，设()m QE x =，68tan ME MQE x x ∠==，60tan NE NQE x x∠==，所以()tan tan tan tan 1tan tan MQE NQE MQN MQE NQE MQE NQE ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠68608686068601x x x x x x -=≤⨯+⋅+，当且仅当6860x x ⨯=，即x =时，MQN ∠最大，所以QE =.故答案为：69.7；.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).【答案】（1）区间[60,70)中应抽4人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人（2）良好的最低分数线84.5分，优秀的最低分数线为93.3分【解析】【分析】（1）根据分层抽样按比例得出每个区间分别抽取学生人数；（2）利用平均数和概率公式计算良好的最低分数线和优秀的最低分数线.【小问1详解】依题意，设四个区间人数依次为：a b c d ,,,，则:::2:3:9:6a b c d =所以区间[60,70)中应抽24042396⨯=+++人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人.【小问2详解】平均分为0.0110650.01510750.04510850.03109584.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以良好的最低分数线84.5分由频率分布直方图易得，[]90,100的频率为0.03100.3⨯=，所以成绩优秀的最低分数线落在区间[]90,100中，不妨记为0x ，故()01000.030.2x -⨯=，解得093.3x ≈，所以成绩优秀的最低分数线为93.3分16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=；②()2sin cos cos 2sin sin sin sin A B C B C A B C -=+.（1）求角A ；（2）若6,a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）2π3（2）【解析】【分析】（1）若选①，则利用正弦统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案；若选②，利用三角函数恒等变换公式化简可求得答案；（2）对b c +=bc ，从而可求出三角形的面积.【小问1详解】选①，由222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=，得：222b c bc a ++=，所以222b c a bc +-=-，由余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又0πA <<，所以2π3A =.选②，由2sin cos cos 2sin sin sin sin()ABC B C A B C -=+，得2sin (cos cos sin sin )sin A B C B C A -=，所以2sin cos()sin A B C A +=，因为sin 0A ≠，所以1cos()2B C +=，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】因为222()248b c b c bc +=++=，所以22482b c bc +=-，因为2π3A =，所以由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，所以2236bc b c -=+，所以48236bc bc -=-，故12bc =，所以11sin 12222ABC S bc A ==⨯⨯= 17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,,SA SB E F ==分别是,SC BD 的中点，平面SAB ⊥平面ABD .（1）求证：EF //平面SAB ；（2）求直线SA 与BD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）只需由中位线定理证明//EF SA ，再结合线面平行的判定定理即可得解；（2）通过平行的传递性将原问题转换为：求EF 与BD 所成的角即为BFE ∠或其补角的余弦值，再结合解三角形相关知识进行求解即可.【小问1详解】如图，因为点F 是正方形ABCD 的对角线BD 的中点，所以,,A F C 三点共线，连结AC ，点F 是对角线,AC BD 的交点，所以F 是AC 的中点，因为E 是SC 的中点，所以//EF SA ，又因为EF ⊄平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以EF //平面SAB ，【小问2详解】连结BE ，由于平面SAB ⊥平面ABCD ，且平面SAB 平面ABCD AB =，BC AB ⊥，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，所以BC SB ⊥，又因为4,2SB BC ==，所以SC =，则12BE SC ==又122EF SA ==，12BF BD ==，异面直线SA 与BD 所成的角为EF 与BD 所成的角即为BFE ∠或其补角，在BEF △中，222cos28BF EF BE BFE BF EF +-∠==⨯⨯，所以异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为8.18.已知函数()()e e 2x x f x x --=∈R ，函数()()e e 2x x g x x -+=∈R .（1）试判断函数()f x 的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x 的不等式()()2310f x f x +->；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()f a =，求()g a 的值；②()()2,[]3x f x m g x ∈-⋅>-R 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，在R 上为增函数；1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）①m <.【解析】【分析】（1）由奇偶性与单调性的性质即可解出不等式；（2）①观察函数()f x 和()g x 的结构，结合题干提示，计算()()22g x f x ⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦的值，从而得到()f x 和()g x 的关系式，继而求出()g a 的值；②利用①小问中()f x 和()g x 的关系式，将题干不等式转化为关于()g x 的不等式.结合()g x 的定义和基本不等式得到m 的取值范围.【小问1详解】由题意可知，()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，()()e e 2x x f x f x ---==-，所以()f x 为奇函数；因为e x y =在R 上单调递增，e x y -=在R 上单调递减，()f x 在R 上为增函数；由()()2310f x f x +->，所以()()()231=13f x f x f x >---，由于()f x 在R 上单调递增，所以213x x >-，解得15x >，所以x 的解集是1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】①()()222222e 2e e 2e 144x x x xg x f x --++-+⎡⎤⎡⎤-=-=⎣⎦⎣⎦.由()f a =()2[]12g a =，而()0g a >，所以()g a =.②由①可知()()221f x g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，所以()()213g x m g x ⎡⎤--⋅>-⎣⎦，即()()22g x m g x ⎡⎤+>⋅⎣⎦，因为e e 2()122x x g x -+=≥=，当e 1x =即0x =时等号成立，所以()1g x ≥.故()2()g x m g x +>.而()2()g x g x +≥()g x =时等号成立，所以m <.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成(0π)αα<<的两条射线，21,e e 分别为,Ox Oy 同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy α-中的坐标，记为(),OP x y = .（1）在斜坐标系π3xOy -中，()2,3OM = ，求OM ；（2）在斜坐标系xOy α-中，()()2,1,1,1OP OQ ==- ，且OP 与OQ 的夹角π3θ=.①求α；②,A B 分别在射线,Ox Oy 上，3,,AB E F =为线段AB 上两点，且16AE AB = ，12AF AB = ，求OE OF ⋅ 的最小值及此时OB 的大小.【答案】（1（2）①2π3②最小值为154-，OB =【解析】【分析】（1）由向量数量积的定义以及运算律直接运算即可求解；（2）①分别得出OP =，OQ = ，121e e OP OQ ⋅=-⋅ ，然后列方程求解即可；②得出()2219234OE OF m n ⋅=+- ，再结合正弦定理、余弦定理得出222m n +的最小值以及何时取最小值，即可求解.【小问1详解】因为()2,3OM = ，则1223OM e e =+ ，2212112222(23)412913619e e e e e OM e =+=++=+⋅= ，所以OM = ；【小问2详解】①因为()122,12OP e e ==+ ，()121,1OQ e e =-=-，OP =，OQ = ，()()121212*********OP OQ e e e e e e e e e e ⋅=+⋅-=--⋅+⋅=-⋅ ，则1cos 2OP OQ OP OQθ⋅== ，化简并整理得()21212210e e e e ⋅-⋅-= ，解得121cos 2e e α=-⋅= 或12cos 1e e α==⋅ （舍去，因为0πα<<），则2π3α=；②依题意设1OA me = ，2OB ne =，因为F 为AB 中点，则1211112222OF OA OB me ne =+=+ ，同理()1211516666OE OA AE OA AB OA AO OB me ne =+=+=++=+ ，则()()22222212121156531212OE OF m e n e mne e m n mn ⋅=++⋅=+- ，在OAB 中，2π,33AOB AB ∠==，依据余弦定理得229m n mn +-=-，所以()()2222119842721234OE OF m n m n ⋅=+-=+- 在OAB 中，2π,33AOB AB ∠==，由正弦定理32πsin sin sin 3OA OB OBA OAB ==∠∠，设OAB β∠=，则OB n β==，π3OA m β⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2222π2π1cos 22122sin sin 121cos 2332m n ββββ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+=-+=⨯-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦312sin 222β⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π03β⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，当π4β=时，222m n +取最小值18-OE OF ⋅取最小值154-，OB n β===.【点睛】关键点点睛：第（2）问②的关键是得出()2219234OE OF m n ⋅=+- ，再结合正弦定理、余弦定理得出222m n +的最小值以及何时取最小值，由此即可顺利得解.。

天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内．1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A ．B ．0C ．1D ．22．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．四边形确定一个平面C ．三角形确定一个平面D ．一条直线和一个点确定一个平面3．某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：35，36，37，38，40，41，51，51，52，54，56，59，则该组数据的极差为（ ）A ．53B ．52C ．51D ．244．在中，若，则（ ）A ．B ．C ．10D ．5．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ）A．B ．C ．D ．6．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）A ．B ．C ．D ．7．从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（ ）A ．所取的2个球中至多有一个是黑球B ．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球C ．所取的2个球都是红球D ．所取的2个球中至少有一个红球8．某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）()21i z m m =++-i m =2-ABC △π4,5,6AB BC B ===AB BC ⋅= --(),x y A A 11219536512π3π22π35π6A A [)[)[]50,60,60,70,,90,100A ．图中B ．估计样本数据的第80百分位数为93分C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分D ．测试成绩低于80分的人数为450人9．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ）A ．与共线的单位向量的坐标为或B ．在方向上的投影向量为C ．与垂直的单位向量的坐标为或D ．若向量与向量垂直，则11．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形②该三棱台的表面积为0.001x =,αβ,m n ,m m αβ∥∥αβ∥,m n αα⊥∥m n ⊥,m αβα⊥∥m β⊥,m n n α⊥⊥m α∥()()2,1,4,3a b =-=-b 43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭b a 115a- a ⎛ ⎝a b λ+ a b + 37λ=ABC △,,A B C ,,a b c cos cos b aA B c--=ABC △12,4,AB BC AA M ===11A C ,,B C M ,,B C M 172+③二面角④三棱锥的外接球的表面积为其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．13．若复数（是虚数单位），则___________．14．一支羽毛球队有男运动员64人，女运动员56人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为30的样本，如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取的人数为___________．15．已知一组样本数据：3，4，4，4，6，6，7，8，8，则该组样本数据的众数为___________，中位数为___________．16．已知一组数据的平均数是3.6，方差是2，则新数据的平均数是___________，方差是___________．17．如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为___________．18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为___________；（ⅱ）直线与所成的角为___________．19．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居1M BC C --M ABC -81π413i1iz +=+i z =12,,,n x x x 122,2,,2n x x x +++ AOB △()45A O B x O y ''''''∠=︒△AOB △2O B '='O B ''A C ''P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PA E =PA O ABCD A EBD -OE CD中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为___________．20．在中，，并且满足．（ⅰ）角___________；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为___________．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．（本小题满分12分）已知向量满足．（Ⅰ）求向量的数量积；（Ⅱ）求向星夹角的余弦值；（Ⅲ）求的值．22．（本小题满分12分）甲、乙两名同学进行某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率；（Ⅰ）甲、乙两同学都能通过；（Ⅱ）甲、乙两同学恰有一人通过；（Ⅲ）甲、乙两同学中至少有一人通过．23．（本小题满分13分）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．ABC △5,3AB AC ==25CB AB ⋅=A =DBC D ,B C AD P 12AP =43PA mPB m PC ⎫⎛=+- ⎪⎝⎭mCD ,a b ()()2,1,1,3a b ==-,a b a b ⋅,a bθ2a b +2334111ABC A B C -E AC（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．24．（本小题满分13分）已知的三个内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积是，求；（Ⅲ）若为边上一点，且满足，，试求的最大值．滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测卷高一年级数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112ACDAABCDBCDA 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．1314．16 15．4，616．5.6，2 17．2 18 19．20．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．1AB ∥1BC E 1BC E ⊥11ACC A M 1A A 114AM AA =BM 1BC E ABC △,,A B C ,,a b c 222b ac bc =-+A ABC △2c b =a D AC cos cos AB BD BA BD AB A BD CDB λ⎫⎛⎪ +=+⎪ ∠⎝⎭a =BD CD +π3725π221．解：（Ⅰ）（Ⅱ）又（Ⅲ）22．解：设“甲通过”，“乙通过”，则“甲没通过”，“乙没通过”．由于两人测试的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立．由已知可得，．（Ⅰ）“两人都通过”，由事件的独立性定义，得所以两人都通过的概率为（Ⅱ）“恰好有一人通过”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得所以甲、乙两人中恰好有一人通过的概率为（Ⅲ）事件“至少有一人通过”，且与两两互斥所以所以两人中至少有一人通过的概率为23解：（Ⅰ）连接交于点，连接．()21131a b ⋅=⨯+⨯-=-a === cos ab a b θ⋅==== ()()()22,121,34,5a b +=+-=-2a b ∴+==A =B =A =B =A B A B AB A B ()()()()2311,,,3434A P A PB B P P ====AB =()()()231342P AB P A P B ==⨯=12AB AB = AB AB ()()()()()()()A A P AB B P AB P B P A P P B A B P =+=+ 211311534346412=⨯+⨯=+=512AB AB AB = ,AB AB AB ()()()()()()151121212P AB AB AB P AB P AB P AB P AB P AB AB =++=+=+= 11121B C 1BC G EG在中，为的中点，为的中点．是的中位线，平面平面平面（Ⅱ）在正三棱柱中，平面平面，在等边中，为的中点，又是平面内的两条相交直线．平面，又平面，平面平面（Ⅲ）连接，和都是直角三角形，且，，，由（Ⅱ）得，平面平面，平面平面，又平面，1AB C △G 1B C E AC EG ∴1AB C △1EG AB ∴∥EG ∈ 11,BC E AB ⊄1BC E1AB ∴∥1BC E111ABC A B C -1CC ⊥ ,ABC EB ⊂ABC 1CC EB∴⊥ABC △E AC AC EB ∴⊥AC EB∴⊥1CC AC 、11ACC A EB ∴⊥11ACC A EB ⊥1BC E ∴1BC E ⊥11ACC A EM AEM △1CC E △12CC AECE AM==11,AEM CC E CC E AEM ∴∠=∠△∽△111ππ,22CC E CEC CEC AEM ∠+∠=∴∠+∠= 1ME C E ∴⊥1BC E ⊥11ACC A 1BC E 111ACC A C E =ME ∈11ACC A平面为直线与平面所成的角．在中，所以直线与平面24．解：（Ⅰ）由余弦定理得，（Ⅱ）由面积公式得，又（Ⅲ）取的中点，则，又为等边三角形ME ∴⊥1BC EEBM ∴△BM 1BC E Rt BME △BE ME ==tan ME EBM BE ∴==△BM 1BCE222cos 2b c a A bc +-=2221cos 222b c a bc A bc bc +-===()π0,,3AA π∈∴=ABC △1sin 2ABC S bc A =△11πsin sin 4223ABC S bc A bc bc ====∴=△222,2,8c b b c =∴== 2226a b c bc a =+-=∴=AD E 2BA BD BE +=()2cos cos AB AC BD AC BA BD AC BE AC AB A BD CDB λ⎫⎛⋅⋅⎪ ∴+⋅=⋅=+⎪ ∠⎝⎭()AC AC λ=-=,BE AC BA BD∴⊥=π,3A ABD =∴ △在中，由余弦定理得，又由基本不等式得，当且仅当时，等号成立的最大值为4．2π3BDC ∴∠=BCD △2222cos a BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠2222()12a BD CD BD CD BD CD BD CD =++⋅=+-⋅=222()3()12244BD CD BD CD BD CD BD CD +++⎫⎛⋅≤=≤ ⎪⎝⎭BD CD =4BD CD ∴+≤BD CD ∴+。

苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。

新乡市2023-2024学年高一期末（下）测试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册占25%，第二册占75%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}Z 21A x x =∈-<-，{}220B x x x =--≤，则A B = （）A.{}1B.{}1,0-C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.22i3i 4-=+（）A.17i 1313- B.214i 2525-C.214i 2525+ D.17i 2525-+3.已知函数()21x f x x a-=+是奇函数，则=a （）A .B.1C.1- D.24.已知平面向量a ，b满足1a = ，2b = ，且2a b -= ，则cos ,a b = （）A.12B.14 C.16D.185.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则8π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.0B.1C.2D.36.将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（）A.甲分得黄球B.甲分得白球C.丙没有分得白球D.甲分得白球，乙分得黄球7.已知2sin 23sin 2αβ=，且()tan 1αβ-=，则()tan αβ+=（）A.1B.3C.5D.78.在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，M 是AB 的中点，N 是棱11B C 上的动点，则直线MN 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为（）A.12B.22 C.32D.34二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，E ，F 分别在棱11A B ，11A D ，11B C ，11C D 上，且平面AMN ∥平面EFDB ，下列结论正确的是（）A.MN EF ∥B.EF BD ∥C.AN DF∥ D.BE ∥平面AMN10.Z 国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z 国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨.2023年Z 国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：下列结论正确的是（）A.2023年Z 国从B 国进口的液化天然气比从A 国进口的多B.2023年Z 国没有从A 国进口液化天然气C.2023年Z 国从C 国进口的液化天然气一定比从D 国进口的多D.2023年Z 国从B 国进口的液化天然气一定比从D 国进口的多11.在ABC 中，D 是BC 的中点，4BC =，AD =，下列结论正确的是（）A.若AC =，则=ABB.ABC 面积的最大值为C.7BA CA ⋅= D.若2B C =，则3AB =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.函数()222x f x -=的最大值为______.13.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A 类样本，30个B 类样本.若A 类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B 类样本的平均数为______.14.已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O 与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O 的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()cos f x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.16.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2c bB a+=.（1）证明：2A B =；（2）若2a =，3π4C =，求ABC 的周长.17.为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组[)30,50，第二组[)50,70，…，第六组[]130,150.整理数据得到如图所示的频率分布直方图.（1）该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；（2）若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在[)50,70和[)110,130内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在[)110,130内的概率.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，点F 在棱BP 上，且EF BP ⊥，四边形ABCD 为正方形，2PD CD ==.（1）证明：BP DF ⊥；（2）求三棱锥F BDE -的体积；（3）求二面角F DE B --的余弦值.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率.新乡市2023-2024学年高一期末（下）测试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册占25%，第二册占75%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}Z 21A x x =∈-<-，{}220B x x x =--≤，则A B = （）A.{}1B.{}1,0-C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】根据题意，A 集合里的元素为整数，B 集合需解出具体解集，结合交集，得解.【详解】因为{}{}Z 211,2,3,A x x =∈-<-= ，{}{}22012B x x x x x =--≤=-≤≤，所以{}1,2⋂=A B .故答案选：C2.22i3i 4-=+（）A.17i 1313- B.214i 2525-C.214i 2525+ D.17i 2525-+【答案】B 【解析】【分析】由复数除法运算法则可得答案.【详解】()()()()22i 43i 22i 214i 214i 3i 43i 443i 252525----===-++-.故选：B3.已知函数()21x f x x a-=+是奇函数，则=a （）A.0 B.1C.1- D.2【答案】A 【解析】【分析】利用奇函数定义，列式计算即得.【详解】由函数()f x 是奇函数，得()()0f x f x +-=，则22110x x x a x a--+=+-+，解得0a =，函数21()x f x x-=定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，是奇函数，所以0a =.故选：A4.已知平面向量a ，b满足1a = ，2b = ，且2a b -= ，则cos ,a b = （）A.12B.14C.16D.18【答案】D 【解析】【分析】对2a b -= 两边平方可得a b ⋅，再由向量的夹角公式计算可得答案.【详解】因为()2222447-=+-⋅=a ba b a b ，因为1a =，2b = ，所以14a b ⋅= ，1cos ,8⋅==a b a b a b .故选：D.5.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则8π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.0B.1C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】由图中周期可得ω，由5π112f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得ϕ，后可得答案.【详解】由图可得，15πππ41264T =-=，则2ππT ω==.因为0ω>，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+.因为5π5πsin 211212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+，k ∈Z ，解得π2π3k ϕ=-+，k ∈Z .因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，则()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故8π8ππsin 2sin 5π0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6.将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（）A.甲分得黄球B.甲分得白球C.丙没有分得白球D.甲分得白球，乙分得黄球【答案】C 【解析】【分析】由对立事件的概念即可得解.【详解】甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球，乙分得红球，即丙分得白球，与丙没有分得白球互为对立事件.故选：C.7.已知2sin 23sin 2αβ=，且()tan 1αβ-=，则()tan αβ+=（）A.1B.3C.5D.7【答案】C 【解析】【分析】利用凑角、两角和与差的正弦展开式化简可得答案.【详解】因为()()2ααβαβ=++-，()()2βαβαβ=+--，所以()()2sin αβαβ⎡⎤++-=⎣⎦()()3sin αβαβ⎡⎤+--⎣⎦，展开化简()()()()()()2sin 2sin cos 2cos sin αβαβαβαβαβαβ⎡⎤++-=+-++-⎣⎦()()()()3sin cos 3cos sin αβαβαβαβ=+--+-，所以()()()()5cos sin sin cos αβαβαβαβ+-=+-，故()()tan 5tan 5αβαβ+=-=.故选：C.8.在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，M 是AB 的中点，N 是棱11B C 上的动点，则直线MN 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为（）A.12B.2 C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，先画出图象，作MG BC ⊥，然后由面面的垂直的性质可得MG ⊥平面11BCC B ，进而可知MNG ∠为直线MN 与平面11BCC B 所成的角，当MNG ∠取得最大值时，tan MGMNG NG∠=取得最大值，NG 取得最小值，从而可得直线MN 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值.【详解】如图，作MG BC ⊥，垂足为G ，连接NG .在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，因为平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，MG ⊂平面ABC ，MG BC ⊥，所以MG ⊥平面11BCC B .故MNG ∠为直线MN 与平面11BCC B 所成的角.当MNG ∠取得最大值时，tan MGMNG NG∠=取得最大值，NG 取得最小值.不妨设1AA AB a ==，则133cos 224MG MB B a ==⋅=，NG 的最小值为a ，于是3tan 4MG MNG NG ∠==.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，E ，F 分别在棱11A B ，11A D ，11B C ，11C D 上，且平面AMN ∥平面EFDB ，下列结论正确的是（）A.MN EF ∥B.EF BD ∥C.AN DF ∥D.BE ∥平面AMN【答案】ABD【解析】【分析】利用面面平行的性质结合线面平行的判定定理逐个选项判断即可.【详解】因为平面AMN ∥平面EFDB ，平面1111D C B A 与平面EFDB 和平面AMN 的都相交，,MN EF 是交线，所以MN EF ∥，故A 正确；因为长方体1111ABCD A B C D -，所以平面1111∥A B C D 平面ABCD ，而平面EFDB 与这两个平行平面的都相交，EF BD ,是交线，所以EF BD ∥，故B 正确，如图，连接MF ，此时平面DAMF 与平面1111D C B A 和平面ABCD 的都相交，,DA MF 是交线，所以DA MF ∥，而1111,DA D A DA D A =∥，所以11MF D A ∥，又因为11D F MA ∥，所以四边形11D FMA 是平行四边形，所以11MF D A =，MF DA =，所以四边形DAMF 是平行四边形，所以DF AM ∥，因为AM AN A = ，所以AN 与DF 不平行，故C 错误；如图，连接NE ，由长方体性质得面11BCC B ∥面11AA D D ，NA EB是交线，此时平面NEBA与这两个平面的都相交，,∥，所以BE AN又因为AN⊂面AMN，BE⊄面AMN，所以BE∥平面AMN，故D正确.故选：ABD10.Z国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨.2023年Z国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：下列结论正确的是（）A.2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多B.2023年Z国没有从A国进口液化天然气C.2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多D.2023年Z国从B国进口的液化天然气一定比从D国进口的多【答案】ABC【解析】【分析】由饼状统计图的实际含义逐一验算各个选项即可求解.【详解】对于B，2023年Z国从A国进口天然气2480吨，全部为气态天然气，所以2023年Z国没有从A国进口液化天然气，B正确.对于A，2023年Z国从B国进口天然气2435吨，其中气态天然气1630吨，液化天然气805吨，所以2023年Z 国从B 国进口的液化天然气比从A 国进口的多，A 正确.对于C ，假设2023年Z 国气态天然气其余部分全部来自C 国，共486524801630340415---=吨，则Z 国从C 国进口液化天然气24164152001-=吨，仍然大于从D 国进口的天然气的总量，所以2023年Z 国从C 国进口的液化天然气一定比从D 国进口的多，C 正确.对于D ，2023年Z 国从B 国进口液化天然气24351630805-=吨，2023年Z 国从D 国进口的天然气总量为1666吨，若全部为液化天然气，则2023年Z 国从B 国进口的液化天然气比从D 国进口的少，D 错误.故选：ABC.11.在ABC 中，D 是BC 的中点，4BC =，AD =，下列结论正确的是（）A.若AC =，则=ABB.ABC 面积的最大值为C.7BA CA ⋅=D.若2B C =，则3AB =【答案】BCD【解析】【分析】根据勾股定理可判定A;根据三角形面积公式可判定B;根据向量运算可判定C;结合正余弦定理可判定D.【详解】在ACD 中，222AC CD AD +=，所以π2C =，AB ==，A 错误.当AD BC ⊥时，AD 最大，所以ABC 面积的最大值为12BC AD ⋅=，B 正确.()()()()227BA CA BD DA CD DA BD DA BD DA DA BD ⋅=+⋅+=+⋅-+=-= ，C 正确.在ABC 中，由正弦定理可得sin 2sin AC AB C C=，得2cos AC AB C =.在ACD 中，由余弦定理可得222224cos 7cos 28cos AC CD AD AB C C AC CD AB C+--==⋅，即227cos 48C AB AB =-.在ABD △中，由余弦定理可得222227cos 22cos 124AB BD AD AB C C AB BD AB+--===-⋅，即2278cos 4AB AB C AB -=-，所以22778448AB AB AB AB AB-=⋅--，整理得22150AB AB +-=，解得3AB =（5AB =-舍去），D 正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.函数()222x f x -=的最大值为______.【答案】4【解析】【分析】根据二次函数的性质得222x -≤，再由指数函数的性质即可求解.【详解】因为222x -≤，所以()222224x f x -=≤=，故函数()222x f x -=的最大值为4.故答案为：4.13.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A 类样本，30个B 类样本.若A 类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B 类样本的平均数为______.【答案】3.5【解析】【分析】设B 类样本的平均数为x ，通过总体的平均数列方程，进而解方程可得B 类样本的平均数.【详解】设B 类样本的平均数为x ，则10 5.530440x ⨯+=，解得 3.5x =.故答案为：3.5.14.已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O 与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O 的表面积为______．【答案】8π【解析】【分析】把空间问题降维，转化在轴截面中进行研究，需要理解轴截面的概念，利用等面积法及勾股定理建立等式求解．【详解】解：如图，在轴截面梯形ABCD 中，3AD BC ==，22AB BF ==，设球O 的半径为r ，222EF OE OM r ===．()111122222ABCD S CD AB EF CD OE BC OM AB OF =+⋅=⋅+⨯⋅+⋅梯形，解得：4CD =，因为()()2222BC r CE BF =+-，所以22r =，所以球O 的表面积为24π8πr =，故答案为：8π．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()cos f x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）2π（2）()2ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （3）[]1,2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简()f x ，进而求得的最小正周期；（2）利用辅助角公式化简()f x ，进而求得单调递增区间；（3）利用整体代换的方法，求得在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【小问1详解】()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.()f x 的最小正周期为2π.【小问2详解】令πππ2π2π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得2ππ2π2π33k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.【小问3详解】因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以ππ2π,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin ,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]1,2f x ∈.故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2.16.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2c b B a +=.（1）证明：2A B =；（2）若2a =，3π4C =，求ABC 的周长.【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）由正弦定理以及三角恒等变换即可得证；（2）由正弦定理以及三角恒等变换即可得解.【小问1详解】因为cos 2c b B a+=，所以2cos c b a B +=，所以sin sin 2sin cos C B A B +=.因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，则B A B =-（或πB A B +-=，舍去），即2A B =.【小问2详解】因为3ππ4C A B =--=，2A B =，所以π6A =，π12B =.πππ62sin sin sin 12464B ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭.由sin sin sin a b c A B C==，可得22sin 1sin 22a c C A =⋅=⋅=，2sin 1sin 42a b B A =⋅=⋅=故ABC 的周长为2a b c ++=+.17.为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组[)30,50，第二组[)50,70，…，第六组[]130,150.整理数据得到如图所示的频率分布直方图.（1）该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；（2）若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在[)50,70和[)110,130内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在[)110,130内的概率.【答案】（1）200人（2）15【解析】【分析】（1）用学生成绩在[]110,150内的频率乘以1000即可得解；（2）写出从6人中任选3人的样本空间，以及抽取的3人中恰有1人成绩在[)110,130内的样本空间写出来，结合古典概型概率计算公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图，可得学生成绩在[]130,150内的频率为0.04，在[)110,130内的频率为0.16，故估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数为1000(0.040.16)200⨯+=.【小问2详解】学生成绩在[)50,70内的频率为0.08，在[)110,130内的频率为0.16，则抽取的6人中，成绩在[)50,70内的有2人，在[)110,130内的有4人.记成绩在[)110,130内的4名学生为a ，b ，c ，d ，在[)50,70内的2名学生为E ，F ，则从6人中任选3人，样本空间可记{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF ,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共包含20个样本.用事件A 表示“这3人中恰有1人成绩在[)110,130内”，则A ={aEF ，bEF ，cEF ，dEF }，A 包含4个样本.故所求概率()41205P A ==.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，点F 在棱BP 上，且EF BP ⊥，四边形ABCD 为正方形，2PD CD ==.（1）证明：BP DF ⊥；（2）求三棱锥F BDE -的体积；（3）求二面角F DE B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）49（3）13【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定求证；（2）由12F BDE E BDF C BDF V V V ---==转化求解；（3）由线面垂直的性质得BEF ∠即二面角F DE B --的平面角，即可求解．【小问1详解】证明：因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥.因为四边形ABCD 为正方形，所以DC BC ⊥.因为PD DC D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD .因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥.在PCD 中，PD CD =，E 是PC 的中点，则DE PC ⊥.因为BC PC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC .因为PB ⊂平面PBC ，所以DE PB ⊥.因为EF BP ⊥，DE EF E = ，所以BP ⊥平面DEF .因为DF ⊂平面DEF ，所以BP DF ⊥.【小问2详解】连接AC 交BD 于点M ，如图所示：则AC BD ⊥，又PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PD ⊥，而PD BD D ⋂=，则AC ⊥平面PDB ，则点C 到平面PDB 的距离为CM =因为E 是PC 的中点，所以12F BDE E BDF C BDF V V V ---==BD =，BP =，3BD DP DF BP ⋅==，3BF ==，所以123BDF S BF DF =⋅=△，18339C BDF V -=⨯=，所以49F BDE V -=.【小问3详解】解：由（1）可得DE ⊥平面PBC ，因为EF ⊂平面PBC ，EB ⊂平面PBC ，所以DE EF ⊥，DE EB ⊥.BEF ∠为二面角F DE B --的平面角.12PE PC ==，BE ==.因为PFE PCB ∽△△，所以PE EF PB BC =，解得3EF =.因为EF BP ⊥，即90EFB ∠=︒，所以1cos 3EF BEF BE ∠==.故二面角F DE B --的余弦值为13.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是1 3，每场比赛的结果相互独立.（1）求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率.【答案】（1）4 27（2）79 81【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A球队在3场比赛中都是平局，其概率为1111 33327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。

复旦中学高一期末数学试卷一､填空题1．已知角α终边经过点(2,1)P -，则sin α=．2．已知复数z 满足i 2i z =-，则z =3．满足π2cos 214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的角x 的集合为.4．已知函数()sin 22y x ϕ=+（0ϕ>）是偶函数，则ϕ的最小值是．5．已知{}n a 为无穷等比数列，23a =，14i i a +∞==-∑，则{}n a 的公比为．6．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p =．7．若数列{}n a 的通项公式为222023n a n n =-+，则n =时1i ni a =∑取到最大值.8．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知60BAC ∠=︒，求山的高度BC =m ..9．已知P 是边长为3的正方形ABCD 内（包含边界）的一点，则AP AB ⋅的最大值是.10．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}457,,10,0a S S ∈-，则n S 的最小值为11．已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-，求集合{}1,1500k m kb a a m =+≤≤∣中元素个数.12．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒，则当点P 满足120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且||2,||3b c == ，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是．二､选择题13．已知z 为复数，则“z z =”是“22z z =”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件14．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A ．cos 2y x=B ．tan y x=C ．πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 2y x=15．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①i e 10π+=；②2299cos isin cos isin cos isin i 101010101010ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中所有正确结论的编号是（）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对16．设无穷项等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，则下列四个说法中正确的个数是（）①若0d <，则数列{}n S 有最大项；②若数列{}n S 有最大项，则0d <；③若数列{}n S 是递增数列，则对任意的*n ∈N ，均有0n S >；④若对任意的*n ∈N ，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三､解答题17．已知复数z 满足()1i 2i,z O +=为坐标原点，复数z 在复平面内对应的向量为OZ .(1)求34i z +-；(2)若向量OZ 绕O 逆时针旋转π2得到,OZ OZ '' 对应的复数为z '，求z z ⋅'.18．设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使111000n T -<成立的n 的最小值．19．已知函数()sin ,f x x x =∈R .(1)求解方程:()13f x =;(2)设()()2π222g x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,求函数()g x 的单调递增区间;(3)在ABC 中,角,,A B C 所对应的边为,,a b c .若()4,f A b ABC == 的面积为求sin C 的值.20．已知数列{}n a ，若{}1n n a a ++为等比数列，则称{}n a 具有性质P.(1)若数列{}n a 具有性质P ，且1231,3a a a ===，求45,a a 的值；(2)若2(1)n nn b =+-，判断数列{}n b 是否具有性质P 并证明；(3)设212n c c c n n +++=+L ，数列{}n d 具有性质P ，其中13212321d d d c d d c =-=+=,,，试求数列{}n d 的通项公式.II 卷21．将函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则125...PA PA PA +++=.22．已知*(1,2,9)i a i ∈=⋯N ，且对任意()*28k k ∈≤≤N 都有11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，16a =，99a =，则91a a ++ 的最小值为.23．若向量,,a b c →→→满足a b ¹，0c ≠ ，且()()0c a c b -⋅-= ，则a b a b c++-的最小值是.24．已知函数()3112f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则122023202420242024f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为.1．5-【详解】∵角α终边经过点(2,1)P -，∴OP =sinα=，故答案为2【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解.【详解】因为复数z 满足i 2i z =-，所以2i12i iz -==--，所以z ==3．π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】借助余弦函数的性质计算即可得.【详解】由π2cos 214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()ππ22π43x k k +=±+∈Z ，即()πππ68x k k =±-+∈Z ，又[0,π]x ∈，则0k =，有πππ6824x =-=，当1k =，有ππ17ππ6824x =--+=，故角x 的集合为π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭.4．4π##14π【分析】利用三角函数的性质即可求解.【详解】因为函数()sin 22y x ϕ=+是偶函数，所以π2π,Z 2k k ϕ=+∈，解得ππ,Z 24k k ϕ=+∈，又0ϕ>，所以当0k =时，ϕ的最小值是π4.故答案为：π4ϕ=.5．12-##0.5-【分析】由题意知，||1q <，再利用无穷等比数列和的公式求解即可.【详解】因为无穷等比数列{}n a ，14i i a +∞==-∑，则||1q <，141a q=--，又213a a q q==，所以34(1)q q =--，解得12q =-或32q =（舍）.故答案为：12-.6．4【详解】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z ==，由韦达定理直线22,1,z z a a +==-∴=-'23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z =⋅=-'-=7．1011【分析】由0n a ≥判断出变号的相邻两项即可求解.【详解】令2220230n a n n =-+≥，解得202302n ≤≤，∵n N *∈,∴前1011项为正数，从1012项开始为负数，∴当1011n =时，1i ni a =∑取到最大值，故答案为：1011.8．600m【分析】先根据已知条件求解出,AM ACM ∠的大小，然后在ACM △中利用正弦定理求解出AC ，再根据,AC BC 的关系求解出BC .【详解】因为=45,60MAD CAB ∠︒∠=︒，所以180456075MAC ∠=︒-︒-︒=︒，所以180756045MCA ∠=︒-︒-︒=︒，又因为cos 45400m MA MD ︒==，所以MA =，又因为sin 60sin 45AC AM=︒︒，所以AC =，所以sin 60600m 2BC AC =︒=，故答案为：600m .【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将ACM △中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出AC 的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度BC 的目的.9．9【分析】在正方形中建立平面直角坐标系，设(,),(03,03)P x y x y ≤≤≤≤，结合向量数量积的概念可得结果.【详解】以A 点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设(,),(03,03)P x y x y ≤≤≤≤，可得(0,0),(3,0)A B ，所以(,),(3,0)AP x y AB ==，故(,)(3,0)3AP AB x y x ⋅== ，当3x =时，AP AB ⋅最大，最大值为9.故答案为：9.10．12-【分析】对4a 的值进行分类讨论，结合等差数列前n 项和最值的求法求得n S 的最小值.【详解】n S 取得最小值，则公差0d >，410a =-或40a =，（1）当17474530,0,770,5102a a a d S a S a +=>=⨯====-1130,51010a d a d ⇒+=+=-，16,20,28,2804n n a d a n a n n ⇒=-=>=-=-≤⇒≤，所以n S 的最小值为4146241212S a d =+=-+=-.（2）当1747410,0,77702a a a d S a +=->=⨯==-，不合题意.综上所述：457=0,= 10,0,n a S S S -=的最小值为12-.故答案为：12-11．9【分析】设{}n a 的公差为d ，由题意223344a b a b b a -=-=-基本量化简得到1122d a b ==.1k m b a a =+，代入基本量，化简得到22k m -=，通过m 的范围进而得到k 的范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，2233a b a b -=- ，1111224a d b a d b ∴+-=+-，即12d b =.2244a b b a -=- ，()1111283a d b b a d ∴+-=-+，得到1125a d b +=，将12d b =代入，得到11a b =，即1122d b a ==.1k m b a a =+ ，()111121k b a m d a -∴⋅=+-+，即()11112212k b b m b -⋅=+-，10b ≠ 得到22k m -=，21500,12500k m -≤≤≤≤ ，028k ≤-≤，210k ≤≤，所以元素个数为9个.故答案为：9.12．3+【分析】读懂题意，建立直角坐标系，将向量求模问题转化为费马点问题.【详解】以b为x 轴，c 为y 轴，建立直角坐标系如下图，设(),a x y = ，则()()2,0,0,3b c == ，a c a b a b --=+ ，a c ab a b ∴-+-++即为平面内一点(),x y 到()()()0,3,2,0,2,0-三点的距离之和，由费马点知：当点(),P x y 与三顶点()()()0,3,2,0,2,0A B C -构成的三角形ABC 为费马点时a c a b a b -+-++最小，将三角形ABC 放在坐标系中如下图：现在先证明ABC 的三个内角均小于120︒：4AB BC BC ==，22211cos 0213AB AC BCBAC AB AC +-∠==> ，222cos cos 02AB BC ACABC ACB AB BC+-∠=∠==，ABC ∴ 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为ABC 是等腰三角形，点P 必定在底边BC 的对称轴上，即y 轴上，120,30BPC PCB ︒︒∠=∴∠=，tan 233PO OC PCB =∠=⨯= ，即230,3⎛ ⎝⎭P ，现在验证120BPA ︒∠=：2333BP AP ==-，2221cos 22BP AP AB BPA BP AP +-∠==- ，120BPA ︒∴∠=，同理可证得120CPA ︒∠=，即此时点0,3⎛ ⎝⎭P 是费马点，到三个顶点A ，B ，C 的距离之和为233BP CP AP ++=+=+，即a c a b a b -+-++ 的最小值为3+；故答案为：3+13．A【分析】正向可得R z ∈，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得0a =或0b =，则必要性不成立.【详解】若z z =，则R z ∈，则22z z =，故充分性成立；若22z z =，设i,,R z a b a b =+∈，则2222i z a ab b =+-，222i z a ab b =--，则20ab =，0a =或0,b z =∴与z 不一定相等，则必要性不成立，则“z z =”是“22z z =”的充分非必要条件，故选：A 14．A【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得.【详解】对A ：2π2πT ==，又cos 2y x =是偶函数，故A 正确；对B ：tan y x =为奇函数，故B 错误；对C ：πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭周期为2π，故C 错误；对D ：sin 2y x =为奇函数，故D 错误.故选：A.15．A【分析】对①，通过欧拉公式，i e cos i sin πππ=+，算出即可；对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为29i i i 101010e e e πππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可.【详解】对①，由题意，i e 1cos i sin 11010πππ+=++=-++=，正确；对②，原式=29i i i 101010e eeπππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =29999i i i 10101021010299eeecos isin 22ππππππππ⎛⎫⎛⎫+++⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===+ =cosi sini 22ππ+=，正确.故选：A.16．C【分析】由等差数列的求和公式可得()2111+222n n n d d S na n a n +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,可看作关于n 的二次函数,由二次函数的性质逐个验证即可【详解】由等差数列的求和公式可得()2111+222n n n d d S na n a n +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,对于①,若0d <,由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项,故①正确；对于②,若数列{}n S 有最大项,则对应抛物线开口向下,则有0d <,故②正确；对于③,若对任意*n ∈N ,均有0n S >,对应抛物线开口向上,则有0d >,故数列{}n S 是递增数列,故③正确；对于④,若数列{}n S 是递增数列,则对应抛物线开口向上,则0d >,但无法确定0n S >恒成立,故④错误；故正确的有3个,故选:C【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用,考查数列的函数性质的应用17．(1)5(2)2-【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可.（2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可.【详解】（1）由()1i 2i z +=得：()()()()2i 1i 2ii 1i 1i 1i 1i 1i z -===-=+++-，34i 43i 5z ∴+-=-=.（2）又1i z =+，由复数的几何意义，得向量()1,1OZ = 绕原点O 逆时针旋转π2得到的()1,1OZ -'= ，则OZ '对应的复数为1i z '=-+，则()()1i 1i 2z z ⋅=+⋅-+=-'.18．(1)2n n a =.(2)10.【详解】试题分析：（1）借助于()12n n n a S S n -=-≥将12n n S a a =-转化为12(1)n n a a n -=>，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列1n a ⎧⎫⎨⎩⎭的通项公式112n n a =，可知数列为等比数列，求得前n 项和n T ，代入不等式111000n T -<可求得n 的最小值试题解析：（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->，即12(1)n n a a n -=>．从而21312,4a a a a ==．又因为123,1,a a a +成等差数列，即1232(1)a a a +=+．所以11142(21)a a a +=+，解得12a =．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =．（2）由（1）得112n n a =．所以2311[1()]1111122112222212n n n n T -=++++==-- ．由111000n T -<，得111121000n --<，即21000n >．因为9102512100010242=<<=，所以10n ≥．于是，使111000n T -<成立的n 的最小值为10．考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和19．(1)1(1)arcsin ,3k x k k Z π=+-∈(2)πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3)26【分析】(1)将()f x 代入方程,用反三角函数解出即可;(2)将()f x 代入()g x 用半角公式,辅助角公式进行化简,求出单调增区间即可;(3)先求出sin A 的值,再根据面积公式求出c 的值,根据sin A 的值求出角A 的值,再用余弦定理求出a ,再根据正弦定理即可求出sin A .【详解】（1）解:由题知()13f x =,即1sin 3x =,解得12arcsin ,3x k k Z π=+∈或12arcsin ,3x k k Z ππ=+-∈;即1(1)arcsin ,3k x k k Z π=+-∈（2）由题()()2π222g x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,即()()2π22sin 2g x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()222cos x x=+()()2cos 21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,()g x ∴的单调递增区间为:πππ2π22π262k x k -+≤+≤+,Z k ∈,解得:ππππ36k x k -+≤≤+,Z k ∈,故()g x 的单调递增区间为πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;（3）由()32f A =sin A ∴=π3A ∴=或2π3A =,14,sin 2ABC b S bc A === 3c ∴=,当π3A =时,在ABC 中由余弦定理得:22221691cos 22432b c a a A bc +-+-===⋅⋅,解得a =,此时在ABC 中由正弦定理得:sin sin a c A C=,解得sin sin c A C a =当2π3A =时,在ABC 中由余弦定理得:22221691cos 22432b c a a A bc +-+-===-⋅⋅,解得a =此时在ABC 中由正弦定理得:sin sin a c A C=,解得sin sin 74c A C a ==,综上:sin C =3111sin 74C =.20．(1)45,a a 分别为5、11(2)数列{}n b 具有性质P ，证明见解析(3)()1*N ,213n n n d n -+-=∈【分析】（1）根据数列数列{}n a 具有性质P 可得{}1n n a a ++为等比数列，根据等比数列性质可求得答案；（2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明；（3）求出2n c n =，可得12n n n d d ++=，进而推出22n n n d d +-=，分n 为奇偶数，求出n d ，综合可得答案.【详解】（1）由题意数列{}n a 具有性质P ，{}1n n a a ++为等比数列，设公比为q ，由1231,3a a a ===，得122334424,,,28,5a a a a q a a a +=+=∴=+=∴=∴，又45516,11a a a +=∴=；（2）数列{}n b 具有性质P ；证明：因为2(1)n n n b =+-，所以()()111212132n n n n n n n b b ++++=+-++-=⋅，则112132232n n n nn n b b b b +++++⋅==+⋅，即{}1n n b b ++为等比数列，所以数列{}n b 具有性质P .（3）因为212n c c c n n +++=+L ，则12c =，2121(1)1,(2)n c c c n n n -+++=-+-≥L ，故22(1)12,(2)n c n n n n n n ++==---≥，12c =适合该式，故2n c n =，所以由13212321d d d c d d c =-=+=,,得13223124d d d d d =-=+=,,，则123122311,2,,3,4d d d d d d d ===∴+=+=，因为数列{}n d 具有性质P ，故{}1n n d d ++为等比数列，设其公比为q '，则2q '=，故111222,22,n n n n n n n n n d d d d d d +++++=++∴=∴-=，当n 为偶数时，()()()2422244222122213n n n n n n n n d d d d d d d d ------=-+-++-+=++++= ；当n 为奇数时，()()()12412243112(21)212221133n n n n n n n n n d d d d d d d d ------+=-+-++-+=+-++=++= ，故()1*N ,213n n n d n -+-=∈.【点睛】关键点睛：本题是关于数列新定义类型题目，解答的关键是要理解数列新定义，并依据该定义去解决问题.21．10【分析】根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解.【详解】如图可知：函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =-共有5个交点，依次为12345,,,,A A A A A ，其中()31,0A ，∵函数()π4cos 2f x x =和直线()1g x x =-均关于点()31,0A 对称，则12345,,,,A A A A A 关于点()31,0A 对称，∴632,1,2,3i i PA i PA PA -+==uuu r uuuur uuu r ，且(31,PA =uuu r ，故533125...22510PA PA PA PA PA ===+++=⨯uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故答案为：10.22．31【分析】根据题意分两种情况讨论求出91a a ++ 的值，即可求得91a a ++ 的最小值.【详解】解：由题设，知：1i a ≥；211a a =+或231a a =-中恰有一个成立；321a a =+或341a a =-中恰有一个成立；…871a a =+或891a a =-中恰有一个成立；则①2117a a =+=，341a a =-，561a a =-，781a a =-，则()129357252a a a a a a +++=+++ ，当3571a a a ===时，129a a a +++ 的和为最小值为：31；②231a a =-，451a a =-，671a a =-，891a a =-，则()129468262a a a a a a +++=+++ ，当4681a a a ===时，129a a a +++ 的和为最小值为：32；因此，129a a a +++ 的最小值为：31.故答案为：31.23．2【解析】设,,a OA b OB c OC →→→→→→===，由条件可知AC BC ⊥，画出图形，由向量加减法及性质可得a b a bc→→→→→++-2||2||OM CM OC →→→+=，利用两边之和不小于第三边求解.【详解】设,,a OA b OB c OC →→→→→→===,因为0c a c b →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()0OC OA OC OB →→→→-⋅-=,即0AC BC →→⋅=,所以AC BC ⊥,取AB 中点M ,如图，所以2||2||a b a bOA OB OA OB OM AM cOC OC →→→→→→→→→→→→→++-++-+==2||2||2||2OM CM OC OC OC →→→→→+=≥=，当且仅当,,O M C 三点共线时取等号.故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，向量加法的几何意义，考查了数形结合思想，属于难题.24．2023【分析】利用函数的对称性得到()()12f x f x +-=，然后计算即可.【详解】根据题意，函数()3112f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()3311111122f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()12f x f x +-=，11012122024f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122023120232202210111013202420242024202420242024202420242024f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 101210112120232024f ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭故答案为：2023.。

楚雄州中小学2023—2024学年下学期期末教育学业质量监测高一年级数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4i -在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}{}290,1233M x x N x x x =-<=->，则M N ⋂=（）A.()3,2-B.()3,0-C.()0,3 D.()2,33.将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A.()sin 84x + B.()sin 82x +C.()sin 22x + D.()sin 21x +4.某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区5.已知0.320.3log 3,2,log 2a b c -===，则（）A.c b a <<B.<<b c aC.<<c a bD.a b c<<6.已知ππ2cos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）A.13 B.29-C.79D.79-7.如图，ABC 为正三角形，,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，若3,72BE AD CF BC EF DE FD ====，则DEF 的面积为（）A.2B.4C.23D.38.已知函数()f x mx x =的图象经过点()3,27，则关于x 的不等式()()16150f x f x +->的解集为（）A.(),3-∞ B.()3,+∞ C.()3,5 D.()5,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足()2i 5i z -=，则（）A.z 的虚部为2B.5z =C.5z z ⋅= D.1z +为纯虚数10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.()1π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()f x 在4π,3π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴D.()f x 在5π17π,36⎛⎫⎪⎝⎭上的取值范围为,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱CD 的中点，则（）A.向量AE 在AB 方向上的投影向量为12ABB.异面直线AE 与1BCC.三棱锥11D A CC -外接球的表面积为8πD.直线1BC 与平面11AC D 所成角的正弦值为63三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若实数,a b 满足2240a b +=，则ab 的最大值为___________．13.已知正四棱台的上底面边长为21，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．14.已知函数()ππsin (0)33f x x x ωωω⎫⎫⎛⎛=++> ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，则ω的取值范围为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量,,a b c满足()()3,4,,8,4a b c λ==-= ．（1）若//a b，求λ的值；（2）若()()210a c a c +⊥+ ，求向量a 与c 夹角的大小．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．已知()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-．（1）求角C 的大小；（2）若b =，求sin c B 的值；（3）若4,a b D =为AB 的中点，求CD 的长．17.某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g ）进行统计，并将样本数据分为[)[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95,95,105六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的60%分位数；（2）从样本数据在[)[]85,95,95,105内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率；（3）若规定质量在[]95,105内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．18.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y （单位：元）关于当天青菜需求量x （单位：公斤）的函数解析式（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．日需求量x 770780790800820830频数51020352010（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,8,6ABCD AB AD AB AD PA ⊥===，平面PBC⊥平面,,PAC M N 分别为,PB PD 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ．（2）证明：BC AC ⊥．（3）若二面角C PB A --的正切值为533，求三棱锥C PAD -的体积．楚雄州中小学2023—2024学年下学期期末教育学业质量监测高一年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4i -在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据其几何意义确定所在象限即可.【详解】4i -在复平面内对应的点()41-,在第四象限,故选：D.2.已知集合{}{}290,1233M x x N x x x =-<=->，则M N ⋂=（）A.()3,2-B.()3,0-C.()0,3 D.()2,3【答案】A 【解析】【分析】求得集合,M N ，结合集合交集的定义运算，即可求解.【详解】依题意得{}{}{}{}{}29033,123312332M x x x x N x x x x x x x x =-<=-<<=-<=-<=<，则{}32M N x x ⋂=-<<，故选：A ．3.将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A.()sin 84x +B.()sin 82x +C.()sin 22x + D.()sin 21x +【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则判断即可.【详解】将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()()sin 82g x x =+．故选：B4.某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】由图可得，丁地区销量最稳定，所以丁地区销量的方差最小．故选：D5.已知0.320.3log 3,2,log 2a b c -===，则（）A.c b a <<B.<<b c aC.<<c a bD.a b c<<【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小.【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，即12a <<，因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.300221-<<=，即01b <<，因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，且12<，所以0.30.3log 1log 2>，所以0.3log 20<，即0c <，所以c b a <<.故选：A 6.已知ππ2cos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）A.13 B.29-C.79D.79-【答案】C 【解析】【分析】根据两角和与差的余弦公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由ππcos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos sin cos sin 22223αααα+=-+，3α=，即22117sin ,cos212sin 12339ααα⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭．故选：C.7.如图，ABC 为正三角形，,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，若3,72BE AD CF BC EF DE FD ====，则DEF 的面积为（）A.2B.4C.23D.3【答案】D 【解析】【分析】由条件推理得到正三角形DEF ，根据线段比例关系，设出3BE x =，求得,BF FC ,利用余弦定理求得x 的值，即可计算得到.【详解】因,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，则得AEB BFC CDA ∠=∠=∠,即得60DEF DFE FDE ∠=∠=∠= ,故120BFC ∠= ．又3,2BE AD CF EF DE FD ===设3(0)BE x x =>，则2,3EF x FC x ==.由余弦定理得22(3)(5)491cos1202352x x x x +-==-⨯⨯，解得x =1，则2EF =，所以DEF 的面积为23234⨯=．故选：D .8.已知函数()f x mx x =的图象经过点()3,27，则关于x 的不等式()()16150f x f x +->的解集为（）A.(),3-∞ B.()3,+∞ C.()3,5 D.()5,+∞【答案】B 【解析】【分析】代入点坐标求得m 的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将()()16150f x f x +->恒等变换为()()()41515f x f x f x >--=-，最后利用函数单调性即可求解.【详解】由题意知()327f =，解得3m =，所以()3f x x x =，即()223,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，易得()f x 在R 上单调递增．因为()()33f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数．又()()164f x f x =，故()()16150f x f x +->等价于()()()41515f x f x f x >--=-，则415x x >-，解得3x >.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题.解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数()f x 解析式将()16f x 化成()4f x ，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足()2i 5i z -=，则（）A.z 的虚部为2B.5z =C.5z z ⋅=D.1z +为纯虚数【答案】ACD 【解析】【详解】先求出12i z =-+，借助于相关概念即可判断各选项.根据题意可得()()()5i 2i 5i12i 2i 2i 2i z +===-+--+，对于A ，显然12i z =-+的虚部为2，故A 正确；对于B ，由12i z =-+可得，z ==B 错误；对于C ，因12i,z =--则2||5z z z ⋅==，故C 正确；对于D ，12i z +=为纯虚数，故D 正确．故选：ACD .10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.()1π3sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.()f x 在4π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减C.直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴D.()f x 在5π17π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭上的取值范围为3332,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】【分析】根据图象求出A 、ω、ϕ可判断A ；求出1π212-x 范围，根据正弦函数的单调性可判断B ；求出17π6f ⎛⎫- ⎪⎝⎭可判断C ；求出1π212-x 的范围可得17ππsin 1212⎛⎫-- ⎪⎝⎭的范围可得答案.【详解】对于A ，由图可得()3,A f x =的最小正周期为7ππ44π66⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，则2π4πω=，解得12ω=，将π,06⎛⎫⎪⎝⎭代人()13sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得π3sin 012ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()ππ12k k ϕ+=∈Z ，解得()π12k k πϕ=-+∈Z ．因为π2ϕ<，所以π12ϕ=-，则()1π3sin 212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误．对于B ，由4π,3π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得1π7π17π,2121212x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为7π17ππ3π,,121222⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在4π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故B 正确．对于C ，因为17π17ππ3π3sin 3sin 3612122f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴，故C 正确．对于D ,由5π17π,36x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1π3π4π,21243x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以π<sin 22122⎛⎫--< ⎪⎝⎭x，π<3sin 22122⎛⎫--< ⎪⎝⎭x ，所以()f x的取值范围为,22⎛⎫-⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BCD .11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱CD 的中点，则（）A.向量AE 在AB 方向上的投影向量为12AB B.异面直线AE 与1BC所成角的余弦值为5C.三棱锥11D A CC -外接球的表面积为8πD.直线1BC 与平面11AC D所成角的正弦值为3【答案】AD【解析】【分析】利用投影向量可判断A ，连接11,DE A D ，易得1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC 所成的角，即可求出B ，三棱锥11D A CC -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球即可求出C ，连接1BD ，可得11C BD ∠即是直线1BC 与平面11AC D 所成的角，即可求解.【详解】对A ，因为E 是棱CD 的中点，所以向量AE 在AB 方向上的投影向量为12AB ，A 正确；对B ，连接11,DE A D ，由正方体的性质可知，11//BC AD ，由等角定理易得1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC所成的角，易得11D A D E AE ==1cos 5D AE ∠==，B 错误；对C ，三棱锥11D A CC -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球，易得外接球的半径为4442=11D A CC -外接球的表面积为24π12π⨯=，C 错误；对D ，连接1BD ，因为几何体1111ABCD A B C D -为正方体，体对角线垂直于没有公共点的面对角线，可得1111111,BD A C BD A D BD DC ⊥⊥⊥，，由线面垂直的判定定理可得1BD ⊥平面11AC D ，设直线1BC 与平面11AC D 所成的角为θ，则1111sin cos 3BC C BD BD θ=∠===，D 正确．故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若实数,a b 满足2240a b +=，则ab 的最大值为___________．【答案】20【解析】【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意可得22402a b ab +=≥，得20ab ≤，当且仅当a b ==或a b ==-时，等号成立，故ab 的最大值为20．故答案为：2013.已知正四棱台的上底面边长为21，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．【答案】①.4②.283##193【解析】【分析】利用勾股定理求出下底面的边长，利用棱台的体积公式计算可得体积.【详解】设该正四棱台下底面的边长为a ，则2132⎛-+= ⎪⎝⎭，解得4a =，故该正四棱台的体积为(1282244133⨯+⨯+⨯=．故答案为：①4；②283.14.已知函数()ππsin (0)33f x x x ωωω⎫⎫⎛⎛=++> ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，则ω的取值范围为___________．【答案】[)4,7【解析】【分析】化简得到()2π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，求得2π3x ω+的范围后，根据零点个数可构造不等式组求得结果.【详解】由题意可得()ππ2π2sin 2sin 333f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2π2ππ2π,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦．因为()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，所以π2π2π3π33ω≤+<，解得47ω≤<．故答案为：[)4,7四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量,,a b c 满足()()3,4,,8,4a b c λ==-= ．（1）若//a b，求λ的值；（2）若()()210a c a c +⊥+ ，求向量a 与c 夹角的大小．【答案】（1）6λ=-（2）2π3．【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参；（2）先根据垂直结合向量的模长求出10a c ⋅=- ，最后根据夹角公式计算即可.【小问1详解】根据题意可得()384λ⨯-=，解得6λ=-．【小问2详解】由()()210a c a c +⊥+ ，得()()22210220100a c a c a a c a c c +⋅+=+⋅+⋅+= ．因为5a == ，所以210210a c +⋅= ，所以10a c ⋅=-，所以101cos ,542a c a c a c ⋅-===-⨯ ，又[],0,πa c ∈ ，所以2π,3a c = ．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,abc ．已知()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-．（1）求角C 的大小；（2）若b =，求sin c B 的值；（3）若4,a b D =为AB 的中点，求CD 的长．【答案】（1）π6C =（2）2（3）2【解析】【分析】（1）由条件根据正弦定理和余弦定理化简，从而可得出答案；（2）根据正弦定理即可求解；（3）由向量可得()12CD CA CB =+ ，由向量求模公式即可求解.【小问1详解】由()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-，得()()()c a c a b b -+=-，即222222,c a b a b c -=+-，所以222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π6C =．【小问2详解】根据正弦定理sin sin c b C B =，可得πsin sin sin 62c B b C ===．【小问3详解】由题意可得()12CD CA CB =+ ，则2CD = ．17.某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g ）进行统计，并将样本数据分为[)[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95,95,105六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的60%分位数；（2）从样本数据在[)[]85,95,95,105内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率；（3）若规定质量在[]95,105内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．【答案】（1）73.75g（2）35（3）0.1164【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本数据的60%分位数.（2）求出5件产品中两个指定区间内的产品数，再利用列举法求出古典概率.（3）求出优等品率，再利用对立事件的概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图知，样本数据在[45,65)的频率为0.180.210.39+=，在[45,75)的频率为0.63，则样本数据的60%分位数(65,75)x ∈，于是0.39(65)0.0240.6x +-⨯=，解得73.75x =，所以样本数据的60%分位数约为73.75g.【小问2详解】样本数据在[)85,95内的产品被抽取的件数为0.09530.060.09⨯=+，记为,,A B C ，样本数据在[]95,105内的产品被抽取的件数为0.06520.060.09⨯=+，记为,,a b 则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b ，共10种，其中标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的情况有6种．所以标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率为63105=．【小问3详解】依题意，从该生产线上随机抽取1件产品，该件产品为优等品的概率为0.006100.06⨯=，则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为10.940.940.1164-⨯=．18.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y （单位：元）关于当天青菜需求量x （单位：公斤）的函数解析式（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．日需求量x770780790800820830频数51020352010（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．【答案】（1）()[)2800,0,800,800,800,.x x y x ∞⎧-∈⎪=⎨∈+⎪⎩（2）（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85【解析】【分析】（1）由题意可知需要对x 进行分类讨论，很容易得到函数解析式；（2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解.【小问1详解】当800x ≥时，()80021800y =⨯-=；当0800x <<时，218002800y x x =-⨯=-．故y 关于x 的函数解析式为()[)2800,0,800,800,800,.x x y x ∞⎧-∈⎪=⎨∈+⎪⎩【小问2详解】（i ）这100天有5天的日利润为2770800740⨯-=元，10天的日利润为2780800760⨯-=元，20天的日利润为2790800780⨯-=元，65天的日利润为800元，所以这100天出售青菜的日利润的平均数为5102065740760780800789100100100100⨯+⨯+⨯+⨯=元．（ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤故当天的利润不少于780元的概率为0.20.350.20.10.85+++=．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,8,6ABCD AB AD AB AD PA ⊥===，平面PBC ⊥平面,,PAC M N 分别为,PB PD 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ．（2）证明：BC AC ⊥．（3）若二面角C PB A --的正切值为3，求三棱锥C PAD -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）48【解析】【分析】（1）连接BD ，证明MN BD ∥，由线线平行证线面平行即得；（2）过A 作AH PC ⊥交PC 于H ，证AH ⊥平面PBC 得AH BC ⊥，由PA ⊥平面ABCD 得PA BC ⊥，可证BC ⊥平面PAC ，即得BC AC ⊥；（3）过C 作CF AB ⊥交AB 于F ,证CF ⊥平面PAB ，作FE PB ⊥交PB 于E ，连接CE ，证FEC ∠即为二面角C PB A --的平面角，由题设3EF x =，通过两组三角形相似求出25x =即得.【小问1详解】如图，连接BD ．因为,M N 分别为,PB PD 的中点，所以MN 为PBD △的中位线，则MN BD ∥．因为MN ⊄平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD ．【小问2详解】如图，过A 作AH PC ⊥交PC 于H ．因平面PBC ⊥平面PAC ，平面PBC ⋂平面PAC PC =，AH ⊂平面PAC ，故AH ⊥平面PBC ．因为BC ⊂平面PBC ，所以AH BC ⊥．因为PA ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥．因为PA AH A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC AC ⊥．【小问3详解】如图3，过C 作CF AB ⊥交AB 于F ，过F 作FE PB ⊥交PB 于E ，连接CE ．因PA ⊥平面ABCD ，CF ⊂平面ABCD ,则CF PA ⊥,因,,AB PA A AB PA ⋂=⊂平面PAB ,故得CF ⊥平面PAB .因PB ⊂平面PAB ,则CF PB ⊥．因为,FE PB FE CF F ⊥= ，,FE CF ⊂平面CEF ,所以PB ⊥平面CEF .又CE ⊂平面CEF ，则PB CE ⊥，则FEC ∠即为二面角C PB A --的平面角，依题意，tan 3FC FEC EF ∠==．设3EF x =，则FC =．因为8,6AB PA ==，所以10PB =．由BEF BAP △∽△，得BF EF PB PA =，即3106BF x =，则5,85BF x AF x ==-．又由BFC CFA △∽△，得BF FCCF FA =，即85x =-，解得25x =．2856,5AF =-⨯=因CF //AD ,则ACD 的面积为11862422AD AF ⨯⨯=⨯⨯=，故1624483C PAD P CAD V V --==⨯⨯=．【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和二面角的几何求法，属于难题.解题关键在于充分利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合图形执果索因即可；对于二面角的求法，一般是先找到平面的垂线，再由垂足向棱作垂线,连线后即可证得其平面角.。

上海市高一数学下学期期末考试试卷考试范围： 必修二 ；总分：150分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 4． 测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与β角均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是_________．2．化简sin sin()tan(3)23cos sin()2παπαπαπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭________． 3．复数112z i =-+，21z i =-，332z i =-，它们所对应的点分别为A 、B 、C ，若(),OC xOA yOB x y R =+∈，则yx=________. 4．设z ＝1－i ，则复数22()z z+·z ＝________． 5．已知向量()()1,3,3,3a b ==-，则a 与b 的夹角大小为___________.6．已知向量()()()2,1,0,1,4,3a b c ===，若λ为实数，且()a b c λ+⊥，则λ=___________.7．若函数()cos f x x =,[]2π,2πx ∈-,则不等式()0xf x >的解集为______. 8．若1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.9．已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______.10．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 11．若函数()2sin 21()6f x x a a R π⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点12,x x ，则12x x a +-的取值范围是______________.12．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．把复数z 1与z 2对应的向量OAOB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A ．，34π B ．3,4πC ．,4πD ．,4π14．已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且2243a a b =-=，，则b =（ ） A ．8B ．6C ．4D ．215．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在[,]-ππ有4个零点D ．()f x 的值域为[2,2]-16．在ABC 中，已知2b =，45B =︒，c =C 为（ ） A ．60︒B ．150︒C ．60︒或120︒D ．120︒三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．若不等式m 2－(m 2－3m )i <(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值.18．已知向量33cos,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求： （1）a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求实数λ的值．19．已知函数21())sin ()(02)632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围．20．在①sinsin sin A b cB C b a+=--；②c a =③2S CB =⋅，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C ，S 为ABC 的面积，若__________（填条件序号） （1）求角C 的大小；（2）若边长2c =，求ABC 的周长的最大值．21．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知222(2sin )4sin sin A B C B =-． （1）求角C 的大小；（2）若1,b c ==，求cos()B C -的值．高一数学下学期期末答案解析考试范围： 必修二 ；总分：150分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：5． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．6． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．7． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 8． 测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

南宁2023-2024学年度下学期高一期末考试（答案在最后）（时间120分钟，共150分）一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）.1.已知复数32i iz -=，则z 的虚部为（）A.-1B.1C.-2D.22.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.()()120,0,1,2e e ==B.()()121,2,5,7e e =-=C.()()123,5,6,10e e ==D.()()122,3,6,9e e =-=-3.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为（）A.π3B.π4C.π6D.π24.已知数据1238,,,,x x x x 的平均数10x =，方差2110s =，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数y 和方差22s 分别为（）A.2232,90y s == B.2232,92y s ==C.2230,90y s == D.2230,92y s ==5.设αβ､为不重合的两平面，n m ､为不重合的两直线，则下列说法正确的是（）A.m ∥,n α∥α，且,m n β⊂，则β∥αB.m ∥,m n α⊥，则n α⊥C.,m ααβ⊥⊥，则m ∥βD.,m m n P α⊥⋂=，则n 与α不垂直6.已知样本空间{}Ω1,2,3,4,5,6,7,8=，事件{}1,2,3,4A =，事件{}1,2,5,6B =，事件{}3,4,5,6C =，则下列选项错误的是（）A.A 与B 独立B.B 与C 独立C.A 与C 独立D.()()()()P ABC P A P B P C =7冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30456090120150 ､､､､､等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了ABD ，如图，测得5,6,4,3AB BD AC AD ====，若点C 恰好在边BD 上，则sin ACD ∠的值为（）A.12B.59C.6D.68.已知O 为ABC 内一点，且满足34523OA OB OC AB BC CA ++=++，则AOB ABCs s = （）A.25 B.14 C.34 D.35二､多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部逸对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分）.9.已知复数121i,33i z z =+=+，则下列说法正确的是（）A.1216z z +=B.12z z -对应的点在复平面的第三象限C.12z z 为纯虚数12D.z z ∈R 10.在平行四边形ABCD 中，4,2,60,AB AD BAD E ∠=== 是CD 的中点，则（）A.12AE AB AD=+ B.12AE =C.6AE BD ⋅=-D.AD 在AB 上的投影向量为12AB11.某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间[]45,95内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（）A.样本的众数为70B.样本中得分在区间[)75,85内的学生人数的频率为0.03C.用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人D.用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.512.如图所示，正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112212AB A B AA ===，点P 在四边形ABCD 内，点E 是AD 上靠近点A 的三等分点，则下列说法正确的是（）A.1AA ⊥平面1A BDB.该正四棱台的高为33C.若136A P =.，则动点P 的轨迹长度是10πD.过点E 的平面α与平面1D AC 平行，则平面α截该正四棱台所得截面多边形的面积为162三､填空题（每小题5分，共20分）.13.已知向量()()1,,4,a x b x ==- ，若a b ⊥ ，则x =__________.14.3i +是关于x 的方程260x x m -+=的一个根，则实数m =__________.15.对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为2152,13x s ==；抽取男生20人，其平均数和方差分别为2257,11y s ==，则总样本平均数为__________；总样本的方差为__________.16.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,1,1,2,3ABC PA AB BC AC ====，设三棱锥P ABC -外接球体积为V ，则P ABCV V -=__________.四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，正明过程或验算步骤）.17.（10分）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos cos a B b A =.（1）证明：ABC 为等腰三角形（2）若125,cos 13c C ==，求ABC 的面积.18.（12分）为备战运动会，射击队的甲､乙两位射击运动员开展了队内对抗赛.在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下：甲476549107810乙7586797678（1）求甲运动员的样本数据第85百分位数；（2）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差；（3）射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加运动会，请你帮助教练分析两个运动员的成绩，作出判断并说明理由.注：一组数据12,,,n x x x 的平均数为x ，它的方差为()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 19.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,,,E F G H 分别是1111,,,AB AC A B AC 的中点.求证：（1）证明：,,,B C H G 四点共面；直线1A A ，直线BG ，直线CH 三线共点（2）平面1EFA ∥平面BCHG .20.（12分）一个不透明的袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小､质地均一致.设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示游戏1游戏2摸球方式不放回依次摸2球有放回依次摸2球获胜规则若摸出的2球颜色相同，则甲获胜若摸出的2球颜色不同，则乙获胜（1）写出游戏1与游戏2的样本空间；求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的.（2）甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率.21.（12分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60,2,ADC PA AD E ∠=== 为AD 的中点.（1）求证：平面PCE ⊥平面PAD ；（2）求PC 与平面PAD 所成的角的正切值；（3）求钝二面角B PC E --的余弦值.22.（12分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin2sin cos cos c B A C A a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）点D 是AC 上的一点，ABD CBD ∠∠=，且1BD =，求ABC 周长的最小值.南宁2023-2024学年度下学期高一期末考试数学试题答案1.【解析】答案C ：()332i 2i 2i 12i i i---==--，虚部为-22.【解析】答案：B.另外三组向量共线3.【答案】A 【详解】正方体中，1A B ∥1D C ，所以1A D 与1A B 所成的角即异面直线1A D 与1D C 所成的角，因为1A BD 为正三角形，所以1A D 与1A B 所成的角为π3，所以异面直线1A D 与1D C 所成的角为π3.4.【答案】A 【详解】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选：A.5.【解析】答案：DA.缺少条件m n P ⋂=，错误B.n 与α夹角不固定，错误C.可能会出现m β⊂，错误D.m 与n 不重合，不可能有第二个交点，且m 与n 不平行，故n 与α不垂直，正确6.【解析】答案：D()()()()()()11,24P A P B P C P AB P BC P AC ======，即A B C ､､两两独立.但()()()()108P A P B P C P ABC =≠=，故D 错误，选择D.7.【答案】C【解析】由题意，在ABD 中，由余弦定理，222936255cos 22369AD BD AB ADB AD BD ∠+-+-===⋅⨯⨯；因为()0,πADB ∠∈，所以sin 9ADB ∠===，在ACD 中，由正弦定理sin sin AC ADADB ACD∠∠=3sin 2149ACD ∠=，解得sin 6ACD ∠=，8.【解析】答案：B原式化为()()()34523OA OB OC OB OA OC OB OA OC ++=-+-+- ，即4530OA OB OC ++=方法1：原式继续化为453OA OB CO += ，即453999OA OB CO +=，延长CO 至H 点，令453999OH OA OB CO =+= ，即,,A H B 三点共线，则14AOB ABC S HO S HC == .方法2：由奔驰定理，::4:5:3BOC AOC AOB S S S =，故314534AOB ABC S S ==++ 9.【解析】答案：BCDA.1244i z z +=+=，错误B.1222i z z -=--，对应的点在复平面的第三象限，正确C.()()121i 33i 6i z z =++=，为纯虚数，正确D.121i 133i 3z z +==∈+R ，正确10.【答案】AC【详解】如图，设,AB a AD b == ，则4,2,42cos604a b a b ==⋅=⨯⨯=，对于A 项，1122AE AD DE AD DC AD AB =+=+=+，故A 项正确；对于B 项，由A 项可得，12AE a b =+，两边取平方，2222111||164412244AE a b a a b b ⎛⎫=+=+⋅+=++= ⎪⎝⎭，则AE = B 项错误；对于C 项，因1,2AE a b BD a b =+=-+，则()22111111644622222AE BD a b a b a a b b ⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+=-⨯-⨯+=- ⎪⎝⎭，故C 项正确；对于D 项，AD 在AB 上的投影向量为241164||AD AB AB AB AB AB ⋅==，故D 项错误.故选：AC.11.【解析】答案：ACDA.众数为区间[)65,75的中点横坐标70，正确B.()100.0100.0150.0350.0101m ⨯++++=，即0.03m =，频率为0.3C.样本中成绩在80分以上的频率为0.0350.010100.25⨯+⨯=，用样本估计总体，总体人数为2400人，其中成绩在80分以上的人数约为24000.25600⨯=，正确D.样本平均数为0.01500.15600.35700.3800.19071.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，正确12.【答案】AD【详解】对于A 选项，因为11A B ∥AB ，所以111A BA B A B ∠∠=，由余弦定理可知222222111111111122AB A B AA A B A B BB AB A B A B A B +-+-=⋅⋅，22222211116333126A B A B A B A B+-+-=，解得1A B =22211AA A B AB +=，即11AA A B ⊥，同理可得11AA A D ⊥，又因为11111,A D A B A A D A B ⋂=⊂､平面1A BD ，所以1AA ⊥平面1A BD ，故A 正确；对于B 选项，如图①所示，过点1A 作1A H AC ⊥，垂足为H ，则四棱台的高为1A H，因为11A C AC ==，所以AH =，所以1A H ==，故B 错误；对于C选项，由勾股定理得6PH ==，故点P 的轨迹为以H 为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②，其中3HT HK ==，故9DT BK ==，又6SH HL ==，由勾股定理得ST KL ==，由于ST KL SH LH ==，所以π3SHT LHK ∠∠==，故5π6SHL ∠=，故动点P 的轨迹长度是5π65π6⨯=，故C 错误；对于D 选项，如图①，分别在棱1,DC DD 上取点,N M ，使得1::2:1DN NC DM MD ==，易得平面MEN ∥平面1D AC ，所以MEN 即为平面α截该四棱台所得截面多边形，易知11AD A B ==12233ME NM AD EN AC =====多边形的面积为D 正确，故选：AD.13.【解析】答案：2或-2a b⊥ ，则()21440a b x x x ⋅=⋅+⋅-=-= ，则2x =或-214.【解析】答案：10若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数，即123i,3i x x =+=-为该方程的两根，由韦达定理，()()3i 3i 101m=+-=15.【解析】答案：54；915（小数形式18.2也正确）设2z s 分别为总样本均值和方差，3020545050z x y =+=22230209113(5254)11(5754)18.250505s ⎡⎤⎡⎤=+-++-==⎣⎦⎣⎦16.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,1,1,ABC PA AB BC AC ====，设三棱锥P ABC -外接球体积为V ，则P ABCV V -=__________.【解析】答案：由于222AC AB BC =+，故90ABC ∠= .将三棱锥P ABC -补形为边长分别为的长方体，则其外接球半径344π21,π,336P ABC R V R V -=====，故P ABC V V -=17.【详解】（1）因为cos cos a B b A =，由正弦定理，所以sin cos cos sin A B A B =则()sin 0A B -=.0A B -=或πA B -=，又(),0,πA B ∈，所以ππA B -<-<，故0A B -=，即A B =.ABC 为等腰三角形（2）由A B =，则a b=2222222512cos 2213a b c a C ab a +--===，即2325,2a=5sin 13C ==1sin 2ABC S ab C =21125sin 24a C ==18.【详解】（1）根据题意可知，；把甲的数据按从小到大排列如下：445677891010因为85%108.5⨯=所以第9个数据是第85百分位数，所以第85百分位数为10.（2）()1445677*********x =+++++++++=甲()15667777889710x =+++++++++=乙222222221(77)2(87)(67)(107)2(57)(47)2(97) 4.610s ⎡⎤=-⨯+-+-+-⨯+-+-⨯+-=⎣⎦甲2222221(57)(67)2(77)4(87)2(97) 1.210s ⎡⎤=-+-⨯+-⨯+-⨯+-=⎣⎦乙（3）由（2）知，22,s x s x >=甲乙甲乙平均数方差命中9环及9环以上的次数甲7 4.63乙71.21（i ）因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且22s s >甲乙，则乙的成绩比甲稳定；（ii ）因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙多，所以，甲爆发力更强.（iii ）乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第六次以后就没有比乙少的情况发生，甲更有潜力.确定人选（11分），说出理由（12分），言之有理即可19.【详解】（1）,G H 分别是111,l A B AC 的中点GH ∴是111A B C 的中位线，GH ∴∥11B C 又在三棱柱111ABC A B C -中，11B C ∥BC∴由平行的传递性，GH ∥BC ，,,,B C H G ∴四点共面.设P BG CH =⋂，下证1P AA ∈BG ⊂ 平面11,AA B B CH ⊂平面11AAC C P ∴∈平面11,AA B B P ∈平面11AAC C1AA = 平面11AA B B ⋂平面11AAC C 1P AA ∴∈，即1,,AA BG CH 三线共点（2）,E F 分别为,AB AC 的中点，EF ∴∥BC ，EF ⊄ 平面,BCHG BC ⊂平面BCHG ，EF ∴∥平面BCHG ，在三棱柱111ABC A B C -中，11A B ∥11,AB A B AB =，I A G ∴∥11111,22EB A G A B AB EB ===，∴四边形1A EBG 是平行四边形，l A E ∴∥GB ，1A E ⊄ 平面,BCHG GB ⊂平面BCHG ，l A E ∴∥平面BCHG ，,,l l A E EF E A E EF ⋂=⊂ 平面l EFA ，∴平面1EFA ∥平面BCHG .20.【解析】（1）记三个红球为1,2,3号，记白球为w 号，用(),x y 表示两次摸球的情况，记游戏1与游戏2的样本空间分别为1Ω，2Ω()()()1Ω{1,2,1,3,1,,w =()()() 2,1,2,3,2,,w ()()()3,1,3,2,3,w ()()(),1,,2,,3}w w w ()()()()2Ω{1,1,1,2,1,3,1,w =()()()()2,1,2,2,2,3,2,w ()()()()3,1,3,2,3,3,3,w ()()()(),1,,2,,3,,}w w w w w 记1A =“在游戏1中甲获胜”，记2A =“在游戏2中甲获胜”()()()()()(){}11,2,1,3,2,1,2,3,3,1,3,2A =()()()()()()()()()(){}21,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3,,A w w =()()()11161Ω122n A P A n ===，()()()222105Ω168n A P A n ===，故游戏1是公平的.（2）记i B =“甲获得第i 局游戏胜利”，1,2,3i =，记W ="“甲获得比赛胜利”由（1），()()53,,1,2,388i i P B P B i ===()()()()1212312312123123()P W P B B B B B B B B P B B P B B P B B B =⋃⋃=++()()()()()()()()11123123.P B P B P B P B P B P B P B P B =++5535553517588888888256=⋅+⋅⋅+⋅⋅=21.【解析】（1）证明： 四边形ABCD 为菱形，DA DC ∴=，60,ADC ADC ∠=∴ 为等边三角形，CA CD ∴=，在ADC 中，E 是AD 中点，CE AD ∴⊥，PA ⊥ 平面,ABCD CE ⊂平面,ABCD CE PA ∴⊥，,PA AD A PA ⋂=⊂ 平面,PAD AD ⊂平面PAD ，EC ∴⊥平面PAD ，CE ⊂ 平面,PCE ∴平面PCE ⊥平面PAD .（2）解：EC ⊥ 平面,PAD ∴斜线PC 在平面内的射影为PE ，即CPE ∠是PC 与平面PAD 所成角的平面角，PA ⊥ 平面,ABCD AD ⊂平面,ABCD PA AD ∴⊥，在Rt PAE中，PE ==，在Rt CED中，CE ==，EC ⊥ 平面,PAD PE ⊂平面,PAD EC PE ∴⊥，在Rt CEP中，tan 5CE CPE PE ∠==，PC ∴与平面PAD所成角的正切值为5.（3）作BC中点M，以A为原点，AM为x轴，AD为y轴，AP为z轴建系))()()B3,1,0,3,1,0,0,1,0,0,0,2C E P-))()3,1,2,3,1,2,0,1,2PB PC PE=--=-=-设()()111222,,,,,m x y z n x y z==分别为平面PCB，平面PCE法向量m PBm PC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111320320y zy z⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，即(3m=n PEn PC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2122220320y zy z-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，即()0,2,1n=105cos,35m nm nm n⋅==，则钝二面角B PC E--的余弦值为10535-其他建系方法（i）：作CD中点N，以AB为x轴，AN为y轴，AP为z轴建系()()()132,0,0,3,0,,,0,0,0,222B C E P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭()()132,02,3,2,,,222PB PC PE⎛⎫=-=-=--⎪⎪⎝⎭平面PCB法向量31,3m⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，平面PCE法向量()3,1n=-其他建系方法（ii）：作AC中点O，以OB为x轴，OC为y轴建系)()()313,0,0,0,1,0,,,0,0,1,222B C E P⎛⎫---⎪⎪⎝⎭)()313,1,2,0,2,2,,222PB PC PE⎛⎫=-=-=--⎪⎪⎝⎭平面PCB法向量(3,3m= ，平面PCE法向量)3,1,1n=--22.（1）由二倍角公式得，2sin cos sin cosC cos c B B A A a ⎛⎫=+⎪⎝⎭故由正弦定理得2cos cos cos ,2sin cos sin cos sin cos sin b B a C c A B B A C C A B =+=+=，而()0,π,sin 0B B ∈∴≠，故1cos 2B =，则π3B =；（2）法1：设12,AD t CD t ==，设ADB ∠θ=，则π5π,66θ⎛⎫∈⎪⎝⎭在ABD 中，1115πsin sin 26t c θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1t c ==在BCD 中，()211πsin πsin 26t a θθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2t a ==周长())21222sin sin 2sin 14sin 1l t t a c θθθθ+=+++=+=-.令1sin ,12t θ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则))2222211222122414141t t t t t l t t t ⎫-++⎪++⎝⎭===---)()())212212121t t t t t ∞+⎡==∈+⎣+-+-即周长最小值为)∞⎡+⎣法2：由于ABD CBD ∠∠=，则π6ABD CBD ∠∠==，在ABD 中，sin sin AD cABD ADB ∠∠=；在BCD 中，sin sin CD aCBD BDC∠∠=；而sin sin ADB CDB ∠∠=，故c a AD CD =，设c a a ct AD CD AD CD+===+，则a c bb AD CD t t+=+=>，即1t >，在ABC 中，222222212cos ()3()4b ac ac B a c ac a c ac a c =+-=+-=+-≥+，即22a c btb +≥=，于是2t ≤，故12t <≤，分别在,ABD CBD利用余弦定理得2222221,1c a AD c DC a t t ⎛⎫⎛⎫=+-==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两式相减得)22222a c a c c a t---=，当a c =时，上式恒成立，此时ABC为正三角形，周长为13πsin 3⨯=当a c ≠时，2231a c t +=-，于是231b t =-，故22111a b c t t t +++===---，由于12t <≤，故当2t =1t +-取最小值ABC周长的最小值为.。