驻波的能量分析_邓尚民

一、实验原理1. 驻波的形成驻波是两列振幅相等、频率相同、传播方向相反的波叠加形成的特殊波动现象。

当这两列波在空间相遇时，它们的振动方向相反，从而产生相互抵消的现象。

这种相互抵消的现象在空间上形成一系列稳定的波峰和波谷，称为驻波。

2. 驻波的特征（1）波节：驻波中振幅为零的点，称为波节。

波节在空间上固定不动，不会发生振动。

（2）波腹：驻波中振幅最大的点，称为波腹。

波腹在空间上固定不动，不会发生振动。

（3）波节间的距离：相邻波节之间的距离等于半个波长。

（4）波腹间的距离：相邻波腹之间的距离等于半个波长。

3. 驻波的形成条件（1）两列波振幅相等：只有当两列波的振幅相等时，它们在空间相遇才能形成稳定的驻波。

（2）两列波频率相同：只有当两列波的频率相同时，它们在空间相遇才能形成稳定的驻波。

（3）两列波传播方向相反：只有当两列波的传播方向相反时，它们在空间相遇才能形成稳定的驻波。

4. 驻波与波速的关系驻波的形成与波速有关。

当两列波在空间相遇时，它们的传播速度相同。

设波速为v，波长为λ，则频率f与波速v的关系为：v = fλ5. 驻波与弦线的关系在弦线上形成驻波时，弦线的长度应满足以下条件：（1）弦线长度为波长的整数倍：当弦线长度为波长的整数倍时，可以形成稳定的驻波。

（2）弦线两端固定：只有当弦线两端固定时，才能形成稳定的驻波。

6. 驻波实验原理驻波实验旨在验证驻波的形成条件、特征以及与波速、弦线的关系。

实验过程中，通过调节弦线长度、波源频率和张力，观察驻波的形成、变化和消失，从而验证驻波实验原理。

实验步骤如下：（1）搭建实验装置，包括弦线、波源、滑轮等。

（2）调节弦线长度，使其满足形成驻波的条件。

（3）调节波源频率，使其与弦线长度对应的波长匹配。

（4）观察驻波的形成、变化和消失，记录实验数据。

（5）分析实验数据，验证驻波实验原理。

通过驻波实验，我们可以了解驻波的形成条件、特征以及与波速、弦线的关系，为后续的物理学习和研究奠定基础。

驻波的平均能流密度驻波是一种特殊的波形态，它是由两个同频率、同振幅、反向传播的波在介质中相遇而形成的。

驻波的能流密度是描述驻波能量传输特性的物理量，它在电磁学、声学等领域有着广泛的应用。

一、驻波简介1.1 定义驻波是由两个反向传播且频率相同、振幅相等的平面波在介质中相遇而形成的一种波动现象。

在介质中，两个平面波之间会产生干涉，使得某些点上的振动方向和大小发生变化，形成了固定位置上振幅不变但方向不断变化的节点和振幅最大但位置不断变化的腹部。

1.2 特点（1）驻波只存在于一定范围内，超出这个范围后就会消失；（2）驻波能量不会随着时间而传递，只会停留在某些位置上；（3）节点处能量密度为零，腹部处能量密度最大。

二、平均能流密度2.1 定义平均能流密度是指单位时间内穿过单位面积的能量，它是描述波动传输能量特性的物理量。

在驻波中，平均能流密度可以用来描述驻波的能量传输特性。

2.2 计算公式平均能流密度的计算公式为：$$\bar{S}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}S(t)dt=\frac{1}{2}\omegaA^{2}\rho v$$其中，$T$为周期，$S(t)$为瞬时能流密度，$\omega$为角频率，$A$为振幅，$\rho$为介质密度，$v$为波速。

2.3 物理意义平均能流密度反映了单位时间内通过单位面积的能量传输情况。

在驻波中，由于节点处能量密度为零，因此平均能流密度也为零；而在腹部处，由于振幅最大，因此平均能流密度也最大。

三、影响因素3.1 振幅振幅是指驻波中两个相向传播的波的振动幅度大小。

在给定介质和频率下，振幅越大，则腹部处的平均能流密度就越大。

3.2 频率频率是指两个相向传播的波在介质中的振动周期。

在给定介质和振幅下，频率越高，则腹部处的平均能流密度就越大。

3.3 波速波速是指驻波中两个相向传播的波在介质中传播的速度。

在给定介质和频率下，波速越大，则腹部处的平均能流密度就越大。

驻波驻波（standing wave）频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。

波在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波。

例如，如图所示，一弦线的一端与音叉一臂相连，另一端经支点O并跨过滑轮后与一重物相连。

音叉振动后在弦线上产生一自左向右传播的行波，传到支点O 后发生反射，弦线中产生一自右向左传播的反射波，当弦长接近1／2波长的整数倍时。

两列波叠加后弦线上各点的位移为（设音叉振动规律为u＝Acosωt）u（x，t）＝2Asin（x）sin（ωt ）＝A（x）sin（ωt），弦线上每个固定的点均作简谐运动，但不同点的振幅不同，由x值决定。

振幅为零的点称为波节，振幅最大处称为波腹。

波节两侧的振动相位相反。

相邻两波节或波腹间的距离都是半个波长。

在行波中能量随波的传播而不断向前传递，其平均能流密度不为零；但驻波的平均能流密度等于零，能量只能在波节与波腹间来回运行。

测量两相邻波节间的距离就可测定波长。

各种乐器，包括弦乐器、管乐器和打击乐器，都是由于产生驻波而发声。

为得到最强的驻波，弦或管内空气柱的长度L必须等于半波长的整数倍，即，k为整数，λ为波长。

因而弦或管中能存在的驻波波长为，相应的振动频率为，υ为波速。

k＝1时，，称为基频，除基频外，还可存在频率为kn1的倍频。

入射波（推进波）与反射波相互干扰而形成的波形不再推进（仅波腹上、下振动，波节不移动）的波浪，称驻波。

驻波多发生在海岸陡壁或直立式水工建筑物前面。

紧靠陡壁附近的海水面随时间虽作周期性升降，海水呈往复流动，但并不向前传播，水面基本上是水平的，这就是由于受岸壁的限制使入射波与反射波相互干扰而形成的。

波面随时间作周期性的升降，每隔半个波长就有一个波面升降幅度为最大的断面，称为波腹；当波面升降的幅度为0时的断面，称为波节。

相邻两波节间的水平距离仍为半个波长，因此驻波的波面包含一系列的波腹和波节，腹节相间，波腹处的波面的高低虽有周期性变化，但此断面的水平位置是固定的，波节的位置也是固定的。

波长=音速/频率驻波两个振幅、波长、周期皆相同的正弦波相向行进干涉而成的合成波。

此种波的波形无法前进，因此无法传播能量，故名之。

驻波通过时，每一个质点皆作简谐运动。

各质点振荡的幅度不相等，振幅为零的点称为节点或波节（Node），振幅最大的点位于两节点之间，称为腹点或波腹（Antinode）。

由于节点静止不动，所以波形没有传播。

能量以动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。

频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。

波在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波引。

使用倍：由于波的行进当弦乐器的弦因振动发出声音时，振动频率最低者为例如X = 0 时，Y = 0，X = 180 时，Y = 0；若X 取值【180~360】，则我们可以看到，图像正好与原来的相反（在第四象限）。

这就是正弦波的图像了。

定义:统计热力学从粒子的微观性质及结构数据出发,以粒子遵循的力学定律为理论基础;用统计的方法推求大量粒子运动的统计平均结果,以得出平衡系统各种宏观性质的值.研究对象：大量粒子构成的集合体.研究方法：:统计力学的方法,应用几率规律和力学定律求出大量粒子运动的统计规律.优点:揭示了体系宏观现象的微观本质,可以从分子或原子的光谱数据直接计算体系平衡态的热力学性质.缺点：受对物质微观结构和运动规律认识程度的限制. 统计系统的分类与术语：①粒子(子):组成系统的分子,原子,离子等的统称. ②独立子系统:粒子间相互作用可忽略的系统. 如理想气体,完美晶体③相依子系统:粒子间相互作用不能忽略的系统. 如真实气体,液体④定域子系统(可辨粒子系统):粒子有固定的平衡位置,运动是定域的; 如固体. ⑤离域子系统(全同粒子系统):粒子处于混乱的运动中,无法分别,粒子彼此是等同的. 如:气体,液体。

驻波检测理论分析电压驻波比介绍电压驻波比（VSWR）为英文Voltage Standing Wave Ratio 的简写。

电压驻波比产生的原因主要是由于在系统或者电路中存在阻抗不匹配，在无线电通信中，由于天线与馈线的阻抗不匹配或天线与发信机的阻抗不匹配，高频能量就会产生反射折回，并与前进的部分干扰汇合发生驻波。

为了表示和测量天线系统中的驻波特性，也就是天线中正向波与反射波的情况，人们建立了“驻波比”(Standing Wave Ratio)这一概念，驻波比的全称是电压驻波比。

当两个阻抗数值一样时，即达到完全匹配，反射系数Γ等于0，驻波比为1。

这是一种理想的状况，实际上总存在反射，所以驻波比总是大于1 的。

理想的比例为1:1 ，即输入阻抗相等于传输线的特性阻抗, 但几乎不可能达到，如果当VSWR 1.25:1 时，反射功率大概为1.14 %，当VSWR 1.5:1 反射功率为4.06 %，当VSWR 1.75:1 时，反射功率为7.53 %，由这个数字我们可以知道, 驻波比越大, 反射功率越高。

在射频系统阻抗匹配中,特别要注意要使电压驻波比达到一定要求，在移动通信系统中，一般要求驻波比小于1.5，一样一般可以保证通信系统的良好工作。

同时，因为在宽带运用时频率范围很广，驻波比会随着频率而变，所以应使阻抗在宽范围内尽量匹配。

电压驻波比对系统性能的影响随着驻波比的恶化，有效传输的功率将会减少，这是由于理想的阻抗匹配(VSWR=1:1)可以使功率无损传输，而严重的阻抗失配(高VSWR)将导致传输到负载的功率减少。

高的VSWR可能引起多种系统问题，其中对VSWR最为敏感的器件是功率放大器，因为其输出功率较大可能达到200 瓦左右，导致很大的功率反射，从而造成无线电装置的工作范围缩小、发射信号使接收部分饱和。

更为严重的影响是损坏发射机并且击穿传输电介质。

同时由于天线上反射回的信号在功率放大器处再次反射，然后重新发射出去，导致了类似多径现象，因此高VSWR可能引起基站系统的遮蔽衰落VSWR 值很高也有可能会损坏天馈系统，反射波在天线和发射机之间来回反复时会丧失一部分能量而转化为热能损耗了，这一部分热量增加了馈线对热损耗的承受能力，会产生破坏作用。

大学物理波动学基础第7讲驻波半波损失驻波半波损失驻波是如何形成的?它有什么特征?驻波半波损失一、驻波的形成(波干涉的特殊情况)两列振幅相同的相干波相向传播时迭加而成的波, 叫做驻波.(1)没有波形的推进，也没有能量的传播, 参与波动的各个质点处于稳定的振动状态.(2)各振动质点的振幅各不相同, 但却保持不变, 有些点振幅始终最大, 有些点振幅始终为零.设有两振幅相同、频率相同、初相均为零的简谐波,沿 x 轴的正负方向传播, 波动表达式分别为⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=λνλνx t A y x t A y π2cos π2cos 21两波相遇, 则t xA x t A x t A y y y νλλνλνπ2cos π2cos 2 π2cos π2cos 21=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+=————驻波方程二、驻波方程驻波形成后, 弦上各点的振幅为π2cos 2 λxA 各点均作频率为ν 简谐运动(与 x 无关).(与 t 无关, 与 x 有关)txA y νλπ2cos π2cos 2=(一)波节和波腹λxA A π2cos 2=驻三、驻波特征0π2cos =λx(1)(1)当 时, A 驻= 0 (最小)——波节()2π12π2 +±=k x λ()L ，，，，210412=+±=⇒k k x λ1π2cos =λx (2)(2)当 时, A 驻= 2A (最大)——波腹 ππ2 k x ±=λL ，，，，2102=±=⇒k k x λ相邻波节或波腹的间距为(3)(3) x 不满足以上条件的个点, 振幅的变化范围为AA 2<<0驻()[]()()22212412411211λλλλλλ=−+=−=+−++=−++k k x x k k x x k k k k 均为半个波长(二)各点的相位(1)(1)波节两边相位相反, 两波节之间相位相同, 同时极大, 同时极小.(2)波形不右移或左移, 各以确定的振幅在各自的平衡位置附近作简谐运动.2T t =xy O四、相位突变(半波损失)相位在分界面处跃变π, 即半个波长, 相当附加(或损失)了半个波长的波程———— 半波损失.为什么自由端为波腹固定端为波节?波密介质: 密度 ρ 与波速 u 的乘积 ρu 较大的较大的介质介质.波疏介质: 密度 ρ 与波速 u 的乘积 ρu 较小的较小的介质介质.波密介质波疏介质实验表明: 当波从波疏介质传播到波密介质而在分界面处垂直入射时, 反射点为波节; 反之,波由波密介质垂直入射到波疏介质时, 则反射点处形成波腹.⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=λνωρωωλνωρωωρx t A u x t A x t A u x t A π2sin sin π2sin sin 22222222222221w w 驻波不是波动而是振动, 能量和波形均不传播.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=t x A νλωρπ4cos π4cos 122驻w 五、驻波能量六、驻波与行波的区别(1)振幅行波: 弦线上每个质点都以相同的振幅振动;驻波: 不同质点的振幅不同, 质点的振幅随质点的位置x 而改变.(2) 能量行波: 能量随波传播出去;驻波: 能量不能流过弦线上的节点, 节点是静止不动的, 呈“常驻状态”, 它只在振动动能和弹性势能之间交替变换.(3)本质驻波的实质是一种特殊形式的简谐运动.我们把驻波叫做波动的理由在于这个运动可以看作为沿相反方向行进的二个波的叠加.例题 在弦线上有一简谐波, 其表达式为:)SI (]3π)2002.0(π2cos[100.221+−×=−x t y 为了在此弦线上形成驻波, 并且在 x = 0 处为一波节, 此弦上还应有一简谐波, 求其表达式.解: ])2002.0(π2cos[100.222ϕ++×=−x t y 反向波为)]3π02.0π4(21cos[)]3π202(21cos[100.4 221++−+×=+=−ϕϕt x y y y因为 x = 0 处为波节)2πor ( 2π)3π(21−=−ϕ)32π(or 34π−=ϕ]3π4)2002.0(π2cos[100.222++×=−x t y )]3π02.0π4(21cos[)]3π202(21cos[100.4 221++−+×=+=−ϕϕt x y y y and。

实验目的：1、观察弦振动及驻波的形成；3、在振动源频率不变时，用实验确定驻波波长与张力的关系；4、在弦线张力不变时，用实验确定驻波波长与振动频率的关系；4、定量测定某一恒定波源的振动频率；5、学习对数作图法。

实验仪器：弦线上驻波实验仪（FD-FEW-II型）包括：可调频率的数显机械振动源、平台、固定滑轮、可动刀口、可动卡口、米尺、弦线、砝码等；分析天平，米尺。

实验原理：如果有两列波满足：振幅相等、振动方向相同、频率相同、有固定相位差的条件，当它们相向传播时，两列波便产生干涉。

一些相隔半波长的点，振动减弱最大，振幅为零，称为波节。

两相邻波节的中间一点振幅最大，称为波腹。

其它各点的振幅各不相同，但振动步调却完全一致，所以波动就显得没有传播，这种波叫做驻波。

驻波相邻波节间的距离等于波长λ的一半。

如果把弦线一端固定在振动簧片上，并将弦线张紧，簧片振动时带动弦线由左向右振动，形成沿弦线传播的横波。

若此波前进过程中遇到阻碍，便会反射回来，当弦线两固定端间距为半波长整数倍时，反射波与前进波便形成稳定的驻波。

波长λ、频率f和波速V满足关系：V = fλ (1)又因在张紧的弦线上，波的传播速度V与弦线张力T及弦的线密度μ有如下关系：(2)比较(1)、(2)式得：(3)为了用实验证明公式(3)成立，将该式两边取自然对数，得：(4)若固定频率f及线密度μ，而改变张力T，并测出各相应波长λ ，作ln T -lnλ图，若直线的斜率值近似为，则证明了的关系成立。

同理，固定线密度μ及张力T，改变振动频率f，测出各相应波长λ，作ln f - lnλ图，如得一斜率为的直线就验证了。

将公式(3)变形，可得：(5)实验中测出λ、T、μ的值，利用公式（5）可以定量计算出f的值。

实验时，测得多个(n个)半波长的距离l，可求得波长λ为：(6)为砝码盘和盘上所挂砝码的总重量；用米尺测出弦线的长度L，用分析天平测其质量，求出弦的线密度（单位长度的质量）：(7)实验内容：1、验证横波的波长λ与弦线中的张力T 的关系（f不变）固定波源振动的频率，在砝码盘上添加不同质量的砝码，以改变同一弦上的张力。