下载文档原格式
加权马尔可夫链预测多种状态之间的转移概率模型构建随着信息技术的迅猛发展，数据处理和分析技术在各个领域得到了广泛应用。
在信息处理和预测模型中，马尔可夫链是一种常见的概率模型，它通过描述状态之间的转移概率来实现对未来状态的预测。
然而，在实际应用中，许多系统具有多种状态，并且这些状态之间的转移概率可能受到不同因素的影响，因此需要构建一种能够灵活应对多种状态转移的预测模型。
在这种需求下，加权马尔可夫链成为了一种有效的预测模型。
加权马尔可夫链通过为每种状态之间的转移概率赋予权重，来反映不同因素对转移概率的影响，从而更准确地描述系统的状态转移过程。
本文将重点介绍加权马尔可夫链预测多种状态之间的转移概率模型构建的方法和应用。
一、加权马尔可夫链的基本原理1.1 马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种随机过程，具有马尔可夫性质，即未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫链可以用状态空间、初始概率分布和转移概率矩阵来描述，其中转移概率矩阵反映了系统从一个状态到另一个状态的概率。
1.2 加权马尔可夫链的概念在实际应用中，许多系统的状态转移概率可能受到不同因素的影响，因此需要引入权重来衡量不同因素对转移概率的影响。
加权马尔可夫链通过为每种状态之间的转移概率赋予权重，从而更准确地描述状态之间的转移关系。
二、加权马尔可夫链预测模型构建方法2.1 数据准备构建加权马尔可夫链预测模型首先需要准备数据，包括系统的状态空间和历史状态序列。
对于多种状态的系统，需要对不同状态之间的转移概率进行统计，并分析不同因素对转移概率的影响。
2.2 转移概率权重计算在得到历史状态序列后，需要对转移概率进行权重计算。
常见的方法包括基于经验统计的加权计算和基于专家知识的主观赋权计算。
对于基于经验统计的方法，可以采用最大似然估计等统计方法来计算转移概率的权重；对于基于专家知识的方法，需要依靠领域专家对各种因素的影响进行权重赋值。
2.3 模型训练和验证在进行转移概率权重计算后，需要进行模型训练和验证。
马尔可夫预测马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。
它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。
6.1 马尔可夫预测的基本原理马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。
二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。
具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。
设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。
6.1.1 马尔可夫链为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。
如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。
设有参数集(,)T ⊂-∞+∞，如果对任意的t T ∈，总有一随机变量t X 与之对应，则称{,}t X t T ∈为一随机过程。
如若T 为离散集（不妨设012{,,,...,,...}n T t t t t =），同时t X 的取值也是离散的，则称{,}t X t T ∈为离散型随机过程。
设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为{1,2,,}S N =，称其为状态空间。
系统只能在时刻012,,,...t t t 改变它的状态。
为简便计，以下将n t X 等简记为n X 。
一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。
在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。
这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。
具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。
用数学语言来描述就是：马尔可夫链 如果对任一1n >，任意的S j i i i n ∈-,,,,121 恒有{}{}11221111,,,n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i ----======= (6.1.1)则称离散型随机过程{,}t X t T ∈为马尔可夫链。
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
经济分析马尔柯夫预测法简介马尔柯夫预测法是一种常用的经济分析方法，通过建立数学模型和运用概率论中的马尔柯夫链理论，对经济现象进行预测和分析。
本文将介绍马尔柯夫预测法的原理、应用领域，以及如何在经济分析中应用该方法。
原理马尔柯夫链是一个数学模型，描述了在给定一组状态和转移概率的情况下，从一个状态转移到另一个状态的过程。
在马尔柯夫链中，当前状态的转移概率只与其前一状态相关，与其他状态无关。
这种特性使得马尔柯夫链适用于描述具有无记忆性的随机过程，如经济现象。
马尔柯夫预测法的基本思想是利用已知的历史数据，通过计算状态转移概率，预测未来的状态。
具体来说，首先需要确定要预测的状态集合，然后根据历史数据计算每个状态之间的转移概率。
接下来，根据当前状态的概率分布和转移概率，可以计算下一个状态的概率分布。
重复这个过程，就可以预测未来一系列状态的概率分布，从而进行经济分析和预测。
应用领域马尔柯夫预测法在经济领域有广泛的应用，尤其适用于对具有周期性和趋势性的经济现象进行分析和预测。
以下是一些常见的应用领域：股市预测马尔柯夫预测法可以用于股市的短期和中期预测。
通过建立状态集合，如涨、平、跌，以及计算各个状态之间的转移概率，可以预测股市的走势。
这种方法可以为投资者提供决策依据，以制定更合理的投资策略。
经济周期分析经济周期是经济活动在一定时间内的波动和变化。
马尔柯夫预测法可以对经济周期进行分析和预测。
通过建立不同经济周期的状态集合，并计算各个状态之间的转移概率，可以预测下一个经济周期所处的状态，从而帮助决策者制定相应的政策措施。
消费行为预测马尔柯夫预测法也可以用于预测消费者的购买行为。
通过建立不同购买状态的集合，并计算各个状态之间的转移概率，可以预测消费者下一次购买的可能状态和商品类别。
这对于企业进行市场预测和产品定价提供了参考意见。
应用实例以下是一个应用实例，展示了如何在经济分析中应用马尔柯夫预测法：假设某公司生产和销售某种产品，根据过去几个季度的销售数据，我们想要预测下一个季度的销售情况。
马尔可夫预测算法马尔可夫预测算法是一种基于马尔可夫链的概率模型，用于进行状态转移预测。
它被广泛应用于自然语言处理、机器翻译、语音识别等领域。
马尔可夫预测算法通过分析过去的状态序列来预测未来的状态。
本文将介绍马尔可夫预测算法的原理、应用以及优缺点。
一、原理1.马尔可夫链马尔可夫链是指一个随机过程，在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与其他历史状态无关。
每个状态的转移概率是固定的，可以表示为一个概率矩阵。
马尔可夫链可以用有向图表示，其中每个节点代表一个状态，每个边表示状态的转移概率。
（1）收集训练数据：根据需要预测的状态序列，收集过去的状态序列作为训练数据。
（2）计算转移概率矩阵：根据训练数据，统计相邻状态之间的转移次数，然后归一化得到转移概率矩阵。
（3）预测未来状态：根据转移概率矩阵，可以计算出目标状态的概率分布。
利用这个概率分布，可以进行下一步的状态预测。
二、应用1.自然语言处理在自然语言处理中，马尔可夫预测算法被用于语言模型的建立。
通过分析文本中的单词序列，可以计算出单词之间的转移概率。
然后利用这个概率模型，可以生成新的文本，实现文本自动生成的功能。
2.机器翻译在机器翻译中，马尔可夫预测算法被用于建立语言模型，用于计算源语言和目标语言之间的转移概率。
通过分析双语平行语料库中的句子对，可以得到句子中单词之间的转移概率。
然后利用这个转移概率模型，可以进行句子的翻译。
3.语音识别在语音识别中，马尔可夫预测算法被用于建立音频信号的模型。
通过分析音频数据中的频谱特征，可以计算出特征之间的转移概率。
然后利用这个转移概率模型，可以进行音频信号的识别。
三、优缺点1.优点（1）简单易懂：马尔可夫预测算法的原理相对简单，易于理解和实现。
（2）适用范围广：马尔可夫预测算法可以应用于多个领域，例如自然语言处理、机器翻译和语音识别等。
2.缺点（1）数据需求大：马尔可夫预测算法需要大量的训练数据，才能准确计算状态之间的转移概率。
加权马尔可夫链预侧的理论由于每个时段的股票价格序列是一列相依的随机变量，各阶自相关系数刻画了各种滞时(各个时段)的股票价格之间的相关关系的强弱。
因此，可考虑先分别依其前面若干时段的股票价格(对应的状态)对该时间段股票价格的状态进行预测，然后，按前面各时段与该时段相依关系的强弱加权求和来进行预测和综合分析，即可以达到充分、合理地利用历史数据进行预测的目的，而且经这样分析之后确定的投资策略也应该是更加合理的。
这就是加权马尔可夫链预测的基本思想。
其具体步骤如下:1)将股票价格序列由小到大排列，运用有序聚类生成股票价格的分级标准。
2)按1)所生成的分级标准，确定各时段股票价格所处的状态。
3)马氏性检验。
4)计算各阶自相关系数式中k r 表示第k 阶(滞时为k 个时期)的自相关系数: l x 表示第l 时段的股票价格;x 表示股票价格均值,n 表示股票价格序列的长度。
5)对各阶自相关系数规范化，即把作为各种滞时(步长)的马尔可夫链的权重(m 为按预测需要计算到的最大阶数)。
6)对“5)”所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了股票价格状态转移过程预测的概率法则。
7)分别以前面若干时间段的股票价格为初始状态，结合其相应的转移概率矩阵即可预测出该时段股票价格的状态概率8)将同一状态的各预测概率加权和作为股票价格处于该状态的预测概率，即所对应的i 即为该时段股票价格状态的预测。
待该时段股票价格的状态确定后，将其加入原序列，再重复步骤“1) -v8)”，可进行下一时段股票状态的预测。
9)可进一步对该马尔可夫链的特征〔遍历性、平稳分布等)和最佳持股时间、股票投资策略等进行分析。
6.1.2应用实例分析本节以上海证券交易所的收市综合指数为例(收市综合指数的预测分析和单支股票价格的预测分析数学原理相同)，用2002年3月3日至4月15日连续30个交易日的收市综合指数(见表6.1)来进行接下来几个交易日的收市综合指数预测，并进行其他相关的分析。
南京邮电大学学位论文原创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
本人学位论文及涉及相关资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。
研究生签名：_____________日期：____________南京邮电大学学位论文使用授权声明本人授权南京邮电大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档；允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。
本文电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。
论文的公布（包括刊登）授权南京邮电大学研究生院（筹）办理。
涉密学位论文在解密后适用本授权书。
研究生签名：____________导师签名：____________日期：_____________南京邮电大学硕士学位论文摘要学科、专业：理学、应用数学研究方向：应用概率与随机信息系统作者：2009级研究生温海彬指导教师：王友国教授题目：马尔可夫链预测模型及一些应用英文题目：The application on some predic t ion with Markov chain model主题词：转移概率；优化；马尔可夫链；加权马尔可夫链；灰色马尔可夫链Keywords:transition probability;optimization;Markov chain;weighted Markov chain;gray Markov chain摘要马尔可夫链是一种时间离散、状态离散、带有记忆情况的随机过程，是预测问中常用的一种数学模型。
本文基于马尔可夫链分别对安徽17个地级市人均GDP、东方6+1彩票和全国电信业务总量进行预测。
最优分割法确定的加权马尔可夫链预测1王艳1，毛明志2，赵东方31.军事经济学院基础部，武汉（430035）2.中国地质大学数理学院，武汉（430074）3.华中师范大学数学与统计学院，武汉（430079）Email: shuxuewy@摘 要：加权马尔可夫链预测首先是建立分级标准，然后采取以规范化的各阶自相关系数为权重，对降雨量趋势作加权预测，因此分级标准就对加权预测的效果有很大的影响。
本文主要是用最优分割算法确定分级标准，并用武汉市1951年至2004年的年降雨量数据预测了2008年的降雨量情况。
预测结果表明2008年是个偏枯年，预测年降雨量值在968mm 与1184mm 之间，为此武汉市应该做好防旱的准备。
关键词：最优分割法；加权马尔可夫链；降雨量 中图分类号：S165+.251. 最优分割法最优分割法是有序样本聚类分析的一种方法，可用于对某一阶段气象要素资料进行分段以确定不同时段的气象特征。
有序样本x 1,x 2,…,x n 由第i 个值到第j 个值(i ＝1,2,…,n-1；j>i)的变差计算公式为2(,)(/(1))jjlll il iv i j x x j i ===−−+∑∑，最优分割法的步骤如下：步骤1：计算任意分割点i ，j 之间的变差，组成一变差矩阵V 。
步骤2：由V 阵中元素计算各部分数据的2分割的相应变差(2|)(1,)(1,)m v i v i v i m =++ (i ＝1,2,…,m -1；m =2,3,…, n )找出最小值，并记最小值为*11(2)min (2|)m m i m v v i ≤≤−= (m =2,3,…, n )步骤3：完全类似步骤2，在**(|(1))(1)(1,)m i i v k v k v k v i m −=−++(i =k -1,k ,…,m -1；m = k , k +1,…,n ) 中找出最小值，当m ＝n 时，就是n 个数据的最优k 分割所对应的总变差，由总变差的分割点确定n 个数据的k 分割。
步骤4：确定分类数。
关于分类数k 的确定，可以通过做*()m v k 与k 的关系的曲线图，曲线拐弯处的k 值即为最优分类数。
当曲线拐弯很平缓时，可以选取的k 很多，这时还需要有其他的方法来确定，比如均方比和特征根法。
2. 最优分割法确定的加权马尔可夫链预测模型加权马尔可夫链首先由冯耀龙，韩文秀在文献[1]中引入，其后也有人对它进行研究[2-5]。
其理论基本思想是：一列相依的随机变量序列，各阶自相关系数刻画了各种步长序列的相依关系及其强弱。
因而，可考虑分别依其前面若干时段的数据，依据相依关系，利用加权求和思想，充分利用已知信息，对未来序列的状态作合理预测。
对于加权预测来说，重点在于如何建立分级标准，分级标准确定的状态序列直接决定加1本课题得到湖北省自然科学基金（项目编号：2004ABA071）的资助。
权预测的好坏。
本文主要是用最优分割法确定的加权马尔可夫链预测，其步骤如下：(1)利用最优分割法确定状态序列。
(2)对状态序列进行马氏性检验。
检验一组数据是否具有马尔可夫性质是运用马尔可夫链模型分析的必要前提。
对离散状态序列的马尔可夫链通常可用2χ统计量进行检验。
设研究的序列包含m 个状态，用f ij 表示指标序列X 1, X 2,…, Xn 中从状态i 经过一步转移到达状态j 的频数，以所有f ij 为元素的矩阵就是转移频数矩阵，将转移频数矩阵各列之和分别除以各行各列的总和就得到边缘频率，并把它作为边缘概率的估计，记为l j P，即l 111miji j m miji j fPf====∑∑∑，根据概率论知识，统计量l l 2112|ln |m mij ij i j jPf Pχ===∑∑服从自由度为2(1)m −的2χ分布，其中l ij P表示m m ×转移概率矩阵。
给定显著性水平α，查表可得分位点22(1)m αχ−值，通过计算得到统计量2χ值。
若222(1)m αχχ>−，则可认为序列{Xn}符合马尔可夫性，否则可认为该序列不可作为马尔可夫链来处理。
(3) 计算各阶的权重设(1,2,)t X t n ="是一序列，时间间隔21t t −设为(0)τ>，计算序列的各阶自相关系数的公式为211()()/()n knk tt k t t t r XX X X X X −+===−−−∑∑，其中k r 表示第k 阶(滞时为k 年)自相关系数，n 为序列长度。
归一化各阶自相关系数，即1||/||mk k kk w r r==∑，并将它们作为各阶步长的马而可夫链的权重(m 为按预测需要计算的最大阶数)(4) 构造状态转移概率矩阵设数据序列从状态i E 经过m 步转移到达状态j E 的次数为()m ij m ，则称以()m ij m 为元素构成的矩阵为m 步状态转移频数矩阵， ()m ij P 为由元素构成的矩阵为m 步状态转移概率矩阵其计算公式为：()()/m m ijij i P m M =，其中i M 为状态i E 出现的总次数。
(5) 加权预测第一步：以前面若干个时段各自的降雨量为初始状态，结合其相应的状态转移概率矩阵，即可预测出现在时段降雨量的状态概率()k iP 。
(i 为状态，k 为步长)第二步：将同一状态的各个预测概率加权，并作为降雨量处于该状态的预测概率，即()1mk i k i k P w P ==∑，根据隶属度最大原则，取max{,}i P i I ∈所对应的状态i 为我们所预测的状态。
3. 武汉市2008年降雨量预测表1 武汉市地区1951－2004降雨量(单位mm)1954195519561957195819591960 1961 年份1951 1952 1953雨量1306 1056 1117 205812239941348143515781044 1065 等级 3 2 2 5 3 2 3 3 4 2 2 年份1962 1963 1964 1965196619671968196919701971 1972 雨量1649 1128 1378 929731118499317481239801 1080 等级 4 2 3 1 1 2 2 4 3 1 2 年份1973 1974 1975 1976197719781979198019811982 1983 雨量1232 968 1322 89511998161003162411571632 1895 等级 3 1 3 1 3 1 2 4 2 4 5 年份1984 1985 1986 1987198819891990199119921993 1994 雨量1208 1030 1051 1449133216561332179611181584 1047 等级 3 2 2 3 3 4 3 5 2 4 2 年份1995 1996 1997 1998199920002001200220032004雨量1297 1327 947 173113801183909151612361072等级 3 3 1 4 3 2 1 4 3 2武汉市1951－2004年的降雨量数据来源于武汉市气象局，利用最优分割算法建立降雨数v k与k的关系的曲线图，见图1，据的分级标准，首先确定分类数，作出*()m图1 最优分割点Fig. 1 the point of optimal partition曲线在5时有个拐弯，因此选取分为5类，确定的标准见表2。
表2 降雨量分级标准Tab.2 The classified standard of rainfall状态分级标准(单位:mm) 级别1 x<=968 枯水年2 968<x<=1184 偏枯年3 1184<x<=1449 平水年4 1449<x<=1748 偏丰年5 x>1748 丰水年下面对武汉市1951－2004的年降雨量状态序列进行马氏性检验。
我们算得统计量2112|ln|11721/292 40.1404m mij ij i j jP f P χ====≈∑∑，给定显著性水平0.05α=，查表可得分位点2(16)26.3αχ=，因此222(1)m αχχ>−，故武汉的年降雨量序列符合马尔可夫性，可以用来作加权马尔可夫链预测。
我们先用1951-2004年的降雨量序列加权预测2005年的降雨量状态，取预测降雨区间的中间值作为2005年的降雨量；同理以1951－2005年的降雨量序列预测2006年的降雨量状态，取预测降雨区间的中间值作为2006年的降雨量；然后我们取1951－2004年的年降雨量平均值作为2007年的降雨量。
在前面分析的基础上，最后我们用1951－2007年的降雨量序列加权预测2008年的降雨量状态，显然，2008年以后，我们就可以知道本文模型在应用于武汉市降雨量研究中的可靠度。
我们以1951－2004年的降雨量资料为基础，加权预测2005年降雨量状态，整个加权预测的过程我们可以用matlab 程序直接求出[7]，预测的Pi 分别为0.2265, 0.2251, 0.2392, 0.2676, 0.0416, 从而知道当i ＝4时，Pi=0.2676为最大值，这说明2005年的降雨量状态是4（偏丰年），即降雨量区间是[1449mm ，1748mm]，所以，我们取预测降雨区间的中间值1598.5mm 作为2005年的降雨量。
同理，以1951－2005年的降雨量序列预测2006年的降雨量状态，预测的Pi 分别为0.1630, 0.2469, 0.3124, 0.1979, 0.0798,从而知道当i ＝3时，Pi=0.3124为最大值，这说明2006年的降雨量状态是3(平水年)，即降雨量区间是[1184mm ，1449mm]。
所以，我们取预测降雨区间的中间值1316.5 mm 作为2006年的降雨量。
根据上面的分析，我们取1951－2004年雨量的平均值1259.8mm 作为2007年的降雨量，根据状态的划分标准，此时是属于状态3。
最后我们用1951－2007年的雨量加权预测2008年的雨量，预测结果见表3。
表3 武汉市2008年降雨量预测 Tab.3 Wuhan 2008 rainfall prediction转移概率 初始年 状态滞时 (年)权重 1 2 3 4 5概率来源 2007 3 1 0.11701/3 5/18 2/9 1/9 1/18 (1)P 2006 3 2 0.24773/17 6/17 4/17 4/17 0 (2)P 2005 4 3 0.22332/9 1/3 1/9 2/9 1/9 (3)P 2004 2 4 0.35413/16 3/8 1/4 1/8 1/16 (4)P 2003 3 5 0.05791/8 3/8 1/8 3/8 0 (5)P Pi(加权和)0.20600.34890.20490.18690.0534由表3可知，当i ＝2时，Pi=0.3489为最大值，这说明2008年的降雨量状态是2(偏枯年)，即降雨量预测区间是[968mm ，1184mm]。
