2020年七年级数 《有理数》全章复习与巩固(提高)知识讲解

1 《有理数》全章复习与巩固（提高） 【学习目标】 1．理解有理数及其运算的意义，发展运算能力；了解无理数的概念，会判断无理数. 2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值． 3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题． 4．会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，发展数感． 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、有理数与无理数 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类：

要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 2

作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 00C表示冰点

表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2．无理数：无限不循环小数叫做无理数． 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式． （2）目前常见的无理数有两种形式：①含π类．②看似循环而实质不循环的数， 如：1．313113111……（相邻两个3之间1的个数逐渐增加）． 3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 4．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 5．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值

是0． 数a的绝对值记作a． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．

（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果 3

中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指

数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9， 3(3)27． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成10na的形式（其中110a，n是正整数），此种记法

叫做科学记数法．例如：200 000=5210． 【典型例题】 类型一、有理数与无理数的相关概念

1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值． 【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立． (2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立． 【答案与解析】因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y＝0，mn＝1，a＝1， 所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 ＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010 ＝a2-a+1． ∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1 【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念． 举一反三： 【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】 【变式1】选择题 （1）已知四种说法： ①|a|=a时，a>0； |a|=-a时， a<0． ②|a|就是a与-a中较大的数． ③|a|就是数轴上a到原点的距离． ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|． 其中说法正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）有四个说法： ①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 4

③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ） A．①② B．③④ C．②④ D．①② （3）已知(-ab)3>0，则（ ） A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A．120 B．-15 C．0 D．-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ ） A．-a6与(-a)6 B．-a3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3)2 D．(ab)3与ab3 （6）下列实数中是无理数的是（ ）

A．0.306 B．3.143 C．13 D．3.101001000…(0的个数逐渐增加) 【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C（6）D 【变式2】（2015•甘南州）在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约27000000个，将这个数用科学记数法表示为（ ） A．2.7×105 B． 2.7×106 C． 2.7×107 D． 2.7×108 【答案】C．

2．（2016•江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2016|=________． 【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n﹣2016|. 【答案】 2016. 【解析】解：∵m，n互为相反数， ∴m+n=0， ∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016； 故答案为2016． 【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．

类型二、有理数的运算 【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】

3．(1)211143623324 (2)5153()(1.5)()1244 2354

1

(3)24121522



(4)1377751112.534812863 5

(5)1003221511221132 【答案与解析】 （1）原式21111143622332412

（2）原式543421215239 （3）原式3132(4)12(1516)104 （4）原式12561[1(2)1]()233253

（5）1125112()41192原式3.9 【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等． 举一反三： 【变式】

（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923

（2）23155115(1)()()(2)()299229 【答案】 （1）225117832[()10.25]199[()2]7148923 251471834()199(2)492584929

118343()199(2)449292 20(3)3 2033

123

（2）23155115(1)()()(2)()299229 955515()()()()499289