(完整版)曲边梯形的面积

880第3章曲边梯形（原创版）目录1.曲边梯形的定义和性质2.曲边梯形的计算方法3.曲边梯形的应用案例正文3.1 曲边梯形的定义和性质曲边梯形是指一个四边形，其中两边是平行的，被称为上底和下底，另外两边不平行，被称为腰。

与直角梯形不同，曲边梯形的两腰可以有不同的长度和倾斜度。

曲边梯形的一些基本性质包括：- 对角线相等：曲边梯形的对角线相等，即上底的两个端点到下底的两个端点的距离相等。

- 面积计算：曲边梯形的面积可以通过上底、下底和高来计算，公式为：面积 = (上底 + 下底) ×高÷ 2。

3.2 曲边梯形的计算方法计算曲边梯形的面积和高的方法有多种，其中较为常见的是使用平行四边形的性质和海伦公式。

- 平行四边形性质：将曲边梯形切割成两个直角三角形和一个平行四边形，可以发现平行四边形的高和直角三角形的高相等。

因此，可以通过计算平行四边形的面积和直角三角形的面积来计算曲边梯形的面积。

- 海伦公式：海伦公式是一种计算三角形面积的公式，可以推广应用于计算曲边梯形的面积。

通过将曲边梯形分割成多个小三角形，可以计算出每个小三角形的面积，然后将它们相加得到曲边梯形的面积。

3.3 曲边梯形的应用案例曲边梯形在实际生活中的应用非常广泛，例如：- 计算不规则物体的表面积：当物体的表面呈曲边梯形时，可以使用曲边梯形的面积公式来计算表面积。

- 设计建筑物：在建筑物的设计过程中，可能会遇到曲边梯形的结构，如楼梯、屋顶等。

了解曲边梯形的性质和计算方法有助于优化建筑物的结构和美观度。

- 解决实际问题：在解决一些实际问题时，如计算梯田的种植面积、计算不规则水池的容积等，曲边梯形的知识可以发挥重要作用。

第五章 定积分内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。

要求：理解定积分的概念和性质。

掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。

重点:定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。

难点:定积分的概念;变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。

§1。

定积分的概念一、实例分析1．曲边梯形的面积设函数)(x f y =∈C[a , b ］, 且)(x f y =〉0。

由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形.如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高。

（2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高。

(3） 预备一张呈曲边梯形状的纸， 将其撕成许多细长条. （4） 启示:将曲边梯形分割为许多细长条， 分割得越细， 误差越小。

第i 个细长条面积)],,[()(11---=∆∈∀∆≈∆i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ曲边梯形面积： ∑=∆≈ni i i x f S 1)(ξ定积分概念示意图.ppt定义： ),,2,1,max {()(lim 10n i x x f S i ni ii =∆=∆=∑=→λξλy =f (x )x =a x =by =f (x )a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义设)(x f y =在［a ， b ］有定义， 且有界。

(1) 分割： 用分点b x x x a n =<<<= 10把［a ， b ]分割成n 个小区间：},,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x ni x x i i i i i i =∆=-=∆=--λ记(2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i, 做乘积: i i x f ∆)(ξ。

1.4定积分与微积分基本定理1．4.1 曲边梯形面积与定积分如图，阴影部分是由直线x＝1，x ＝2，y ＝0和曲线f (x )＝x 2所围成的曲边梯形，问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段． 问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？ 提示：不能．问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以．1．曲边梯形曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，称为曲边梯形． 2．求曲边梯形面积的方法求由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形如图①的面积的步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．[对应学生用书P25]问题1：求曲边梯形的面积与变力所做功的步骤是什么？ 提示：分割、近似代替、求和、取极限． 问题2：你能将区间[a ，b ]等分吗？ 提示：可以．定积分的概念设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .把区间[a ，b ]分成n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i =0n －1f (ξi )Δx i ，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝li m λ→0 ∑i =0n －1f (ξi )Δx i .其中f (x )叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，f (x )d x 叫做被积式，此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积．1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”．例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等分数越多，这种“代替”就越精确．当n 越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．2．定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如⎠⎛a bx 2d x ＝⎠⎛a bt 2d t .[对应学生用书P26][例1] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)]．[思路点拨] 按分割、近似代替、求和、取极限求值四步骤进行． [精解详析] 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎡⎦⎤2i －2n，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i =1nf ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx ＝i =1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i =1n i 2＋2. ＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143. [一点通] 求曲边梯形面积的过程：1．下列关于函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 内各点处的函数值的说法正确的是( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 解析：当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 内的值相差很小，所以函数值相差很小，故选D.2．用以直代曲的思想，求由y ＝3x ，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积． 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替：用小矩形面积ΔS i (i ＝1,2，…，n )近似代替小曲边梯形面积，ΔS i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n＝3n 2()i －1，(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i =1nΔS i ＝3n 2[1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n. (4)取极限：S ＝li m n →∞∑i =1nΔS i ＝li m n →∞32·n －1n ＝32.[例2] 利用定积分表示由曲线y ＝x －2，x ＝y 2围成的平面区域的面积S .[思路点拨] 用定积分表示平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分函数，再确定积分上、下限，当公式S ＝⎠⎛a b|f (x )－g (x )|d x 中的f (x )或g (x )是分段函数时，面积要分块表示．[精解详析] 曲线所围成的平面区域如图所示， S ＝A1＋A 2，其中，A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成， A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成． ∴A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ＝⎠⎛012x d x .A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x .∴S ＝⎠⎛012 x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .(1)定积分的几何意义：当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是以曲线f (x )为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图像以及直线x ＝a 、x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题．定积分的值可正可负可为零，而面积是正值．3．利用定积分表示下图中阴影部分的面积，答案：(1)⎠⎛121⎠⎛2121xd x (2)⎠⎛-11(－x 2＋1)d x 4．利用定积分表示由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．解：由题意，作图形，并解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x (y >0)，x ＋y －6＝0，得x ＝2，y ＝4.所以y 2＝8x 与直线x ＋y －6＝0的交点为(2,4)． 所以所求面积为S ＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x .[例3] (12分)说明下列定积分的几何意义，并根据其几何意义求出定积分．(1)⎠⎛023d x ； (2)⎠⎛232x d x ；(3)⎠⎛-a a a 2－x 2d x .[精解详析] (1)⎠⎛023d x 表示的是图(1)中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积是6，所以⎠⎛023d x ＝6.(4分)(2)⎠⎛232x d x 表示的是图(2)中阴影所示的梯形面积，其面积为5. ∴⎠⎛232x d x ＝5.(8分)(3)⎠⎛-a aa 2－x 2d x 表示的是图(3)中阴影部分的面积，该图形是一个以原点为圆心，半径为a 的上半圆的面积，其面积为π2a 2.∴⎠⎛-a aa 2－x 2d x ＝π2a 2.(12分)[一点通] 利用定积分的几何意义求定积分⎠⎛a bf (x )d x ，关键是确定由曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的图形的形状，若图形是三角形、梯形、矩形、圆(或一部分)，则可用相应面积公式计算．5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式．(1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ；(2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x ；(3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .答案：(1)＞ (2)< (3)＜6．利用定积分的几何意义，说明下列等式． (1)⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.解：(1)如图1，⎠⎛012x d x 表示由曲线y ＝2x ，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，而S △＝12×2×1＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)如图2，⎠⎛-111－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方部分的面积．由S 半圆＝π2，得⎠⎛-111－x 2d x ＝π2.几类曲边梯形的面积与定积分的关系1．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n 等分，则每个小区间的长度为( )A.1n B.2n C.2n －1D.2n ＋1解析：每个小区间长度为：1－(－1)n ＝2n .答案：B2．求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎡⎦⎤t (i －1)n ，ti nD.⎣⎡⎦⎤t (i －2)n ，t (i －1)n 解析：每个小区间长度为t n ，故第i －1个区间的左端点为：0＋(i －2)×t n ＝t (i －2)n ，右端点为t (i －2)n ＋t n ＝t (i －1)n.答案：D3．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)解析：当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．答案：C4．如图，阴影部分的面积为( )[对应课时跟踪训练(十)]A.⎠⎛a bf (x )d x B.⎠⎛a bg (x )d x C.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛a b[g (x )－f (x )]d x解析：由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )， ∴阴影部分的面积为⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x . 答案：C5．把y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵当0<x <π2时，sin x >0，∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎛02πsin x d x .答案：⎠⎛2πsin x d x .6．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S 1＝________(如图1)； (2)S 2＝________(如图2)； (3)S 3＝________(如图3)．答案：(1)⎠⎛3π0⎠⎛ππ3sin x d x (2)⎠⎛-42x 22d x (3)⎠⎛49x 12d x 7．利用定积分表示曲线y ＝x 2与x ＋y ＝2所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2得交点的横坐标为x ＝1及x ＝－2，如图，∴S ＝⎠⎛-21[(2－x )－x 2]d x ＝⎠⎛-21(2－x －x 2)d x .8．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x 2d x .解：由y ＝4－x 2可化为x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛-114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－ 3.S 矩形＝AB ·BC ＝2 3.∴⎠⎛-114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。

第五章 定积分§5－－1 定积分的概念和性质一、两个实例1 曲边梯形的面积单曲边梯形由其他曲线围成的图形，可以用两组互相垂直的平行线分割成若干个矩形与单曲边梯形之和．适当选择直角坐标系，将单曲边梯形的一直腰放在x 轴上，两底边为x =a ，x =b ，设曲边的方程设为y =f (x )．先设f (x )在[a ，b ]上连续，且f (x )≥ 0，如图所示．以A 记图示曲边 梯形的面积．用区间[a ，b ]为宽，高为f (ξ)(a <ξ<b )的矩形面积来作为A 的近似值．(1)分割 任取一组分点a=x 0<x 1<x 2<...<x i －1<x i <...<x n －1<x n =b 将区间[a ，b ]分成n 个小区间[a ，b ]=[x 0，x 1]⋃[x 1，x 2]⋃...⋃[x i －1，x i ]⋃...⋃[x n －1，x n ]，第i 个小区间的长度为∆x i =x i －x i －1，(i =1，2，...，n )．过各分点作x 轴的垂线，将原来的曲边梯形分成n 个小曲边梯形(图5－2(2))，第i 个小曲边梯形的面积为∆A i ．(2)小范围内以不变代变取近似 在每一个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi ，(i =1，2，...，n )，认为f (x )≈f (ξi )， (x i －1≤ξi ≤x i )，以这些小区间为底、f (ξi )为高的小矩形面积作为第i 个小曲边梯形面积的近似值∆A i ≈f (ξi )⋅∆x i ，(i =1，2，...，n )．(3)求和得近似 将n 个小矩形面积相加，作为原曲边梯形面积的近似值 A =i ni i ni i x f A ∆ξ∆∑∑==≈11)(． (1)(4)取极限达到精确 以||∆x ||表示所有小区间长度的最大者， ||∆x ||=max{∆x 1，∆x 2，...，∆x n }，当||∆x ||→0时，和式(1)的极限就是原曲边梯形的面积A ，即A =∑=→ni i i x x f 1||||)(lim∆ξ∆．曲边梯形中的曲线方程y =f (x )与面积的关系：以S (x )表示以[a ，x ]为底边的曲边梯形的面积，(a ≤x ≤b )，则所求面积A =S (b )=S (b )－S (a ) ．∆S =S (x+∆x )－S (x )表示以[x ，x +∆x ]积，不妨设f (x )<f (x +∆x )，∆x >0，则 f (x )⋅∆x <∆S <f (x +∆x )⋅∆x ，f (x )<xs ∆∆< f (x +∆x )； 因为f (x )在[x ，x+∆x ]连续，由介值定理，存在ξ∈[x ，x+∆x ]xs ∆∆= f (ξ)，∆S =f (ξ)⋅∆x ． 当∆x →0，ξ→x ，因为f (x )连续，f (ξ)→f (x )，所以 xsx ∆∆∆0lim→=S '(x )=f (x )．即f (x )恰好是面积函数S (x )关于x 的变化率．因此可见，已知曲边y =f (x )，求图5－2(1)那样的曲边梯形的面积A ，从分析角度讲，实际上给出了面积函数S (x )的变化率f (x )，求S (x )在[a ，b ]段的累积量S (b )－S (a )． 2 变速直线运动的路程设一物体沿一直线运动，已知速度v =v (t )是时间区间[t 0，T ]上t 的连续函数，且v (t )≥0，求这物体在这段时间内所经过的路程s ．(1)分割 任取分点t 0<t 1<t 2<...<t n －1<t n =T ，把时间区间[t 0，T ]分成n 个小区间 [t 0，T ]=[t 0，t 1]⋃[t 1，t 2]⋃...⋃[t i －1，t i ]⋃...⋃[t n －1，t n ]，记第i 个小区间[t i －1，t i ]的长度为∆t i =t i －t i －1，物体在第i 时间段内所过走的路程为∆S i ，(i =1，2，...，n )．(2)在小范围内以不变代变取近似 在小区间[t i －1，t i ]上认为运动是匀速的，用其中任一时刻τi 的速度v (τi )来近似代替变化的速度v (t )，即v (t )≈v (τi )，t ∈[t i －1，t i ]，得到∆S i 的近似值∆S i ≈v (τi )⋅∆t i ．(3)求和得近似 把n 段时间上的路程近似值相加，得到总路程的近似值s ≈∑=ni i i t v 1)(∆τ． (2)(4)取极限达到精确 当最大的小区间长度||∆t ||=max{∆t 1， ∆t 2，...， ∆t n }趋近于零时，和式(2)的极限就是路程s 的精确值，即 s =∑=→ni i i t t v 1||||)(lim∆τ∆．若s =s (t )，t 0≤t ≤T 表示路程函数，则v (t )=s '(t )，可见问题实质也是已知路程函数的变化率，求s (t )在时间段[t 0，T ]内的累积量s (T )－s (t 0)．二、定积分的定义定义 设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义且有界，任取一组分点a =x 0<x 1<x 2<...<x n =b ，把区间[a ，b ]分成n 个小区间[a ，b ]=Y ni i i x x 11],[=-，第i 个小区间长度记为∆x i =x i －x i －1，(i =1，2，...，n )．在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi ，(i =1，2，...，n )，作和式i ni i x f ∆ξ∑=1)(，称此和式为f (x )在[a ，b ]上的积分和．记||∆x ||=ni ≤≤1max ∆x i ．如果当||∆x ||→0时，积分和的极限存在且相同，则称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积，并称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即⎰ba dx x f )(=∑=→ni i i x x f 1||||)(lim∆ξ∆．其中“ ⎰ ”称为积分号，[a ，b ]称为积分区间，积分号下方的a 称为积分下限，上方的b 称为积分上限，x 称为积分变量，f (x )称为被积函数，f (x )dx 称为被积表达式．实例１ 由曲线y =f (x )、直线x =a ，x =b 和x 轴围成的曲边梯形面积为A =⎰ba dx x f )(；实例２ 以速度v (t )作变速直线运动的物体，从时刻t 0到T 通过的路程为s =⎰Ttdt t v 0)(．关于定积分的定义，作以下三点说明：(1)f (x )在[a ，b ]上可积，只是要求f(x)在[a ，b]上有界、当||∆x ||→0时和式i ni i x f ∆ξ∑=1)(存在极限，并未要求f (x )在[a ，b ]上连续．可以证明，若f (x )在积分区间上连续或仅有有限个第一类间断点，则f (x )在[a ，b ]上必定是可积的．(2)如果已知f (x )在[a ，b ]上可积，那么对[a ，b ]的任意分法及在ξi 在[x i －1，x i ]中任意取法，极限∑=→ni i i x x f 10||||)(lim∆ξ∆总存在且相同，因此若用定积分的定义求⎰ba dx x f )(时，为了简化计算，对[a ，b ]可采用特殊的分法以及ξi 的特殊取法．(3)定积分⎰ba dx x f )(是一个数，这个数仅与被积函数f (x )、积分区间[a ，b ]有关，而与积分变量的选择无关，因此⎰ba dx x f )(=⎰ba dt t f )(=⎰ba du u f )(．三、定积分的几何意义在实例1中已经知道，当[a ，b ]上的连续函数f (x )≥0时， 定积分⎰ba dx x f )(表示由y =f (x )为曲边、x =a ，x =b 和x 轴界定的单曲边梯形的面积．现若改f (x )≥0为f (x )≤0，则－f (x )≥0，此时界定的单曲 边梯形的面积是 A =∑∑=→=→-=-ni i i x ni ii x x f x f 1||||1||||)(lim)]([lim∆ξ∆ξ∆∆ =－⎰ba dx x f )(．。