第四章 随机变量的数字特征第四章基本内容与学习要求内容提要：1 随机变量的数学期望和方差。
2 几种常见分布的数学期望及方差。
3 契比雪夫不等式。
4 协方差和相关系数。
5 矩与协方差矩阵。
6大数定律7中心极限定理。
重点难点：重点：数学期望，方差，几种重要的随机变量的数学期望及方差。
契比雪夫不等式、中心极限定理。
难点：协方差及相关系数。
学习要求：1 理解数学期望、方差的概念及背景，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差。
2 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。
3 会利用契比雪夫不等式作简单的估计。
4 理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质与计算。
5 掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。
6 了解矩与协方差矩阵。
7 了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解契比雪夫大数定律。
8 了解中心极限定理的含义及其客观背景，掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯定理。
9 会利用中心极限定理解决一般实际应用问题。
§ 4. 1 数学期望1. 数学期望的定义（1）离散型随机变量的数学期望定义4.1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为{},1,2,.k k P X x p k === .如果级数1kk k xp ∞=∑绝对收敛（即1k k k x p ∞=∑∞<），则称1k k k x p ∞=∑为随机变量X 的数学期望，记为EX .即有EX=1.kk k xp ∞=∑数学期望EX 是以概率为权的加权平均，体现了随机变量X 取值的集中位置或平均水平，所以数学期望也称为均值或简称为期望。
例4.1.2求服从两点分布的随机变量X 的数学期望。
解 设两点分布的概率分布为X 0 1k p q p由定义得 01.EX q p p =⨯+⨯=例4.1.3设随机变量(,),X B n p 求.EX解 因为{},0,1,2,,,k k n kn P X k C p q k n -===由离散型随机变量数学期望的定义，则EX ={}0n nkkn knk k kP k kC p qξ-====∑∑=!!()!nk n k k n kp q k n k -=-∑=1[(1)(1)]1(1)!(1)![(1)(1)]!nk n k k n npp q k n k ----=-----∑ （令1i k =-） =1[(1)]0(1)!![(1)]!n i n i i n npp q i n i ---=---∑=np q p np n =+-1)(. 例4.1.4 设随机变量(),X P λ 求.EX解 因为{},0,1,2,,!kP X k e k k λλ-=== 所以01!(1)!kkk k EX k ee k k λλλλ∞∞--===⋅=-∑∑11.(1)!k k e e e k λλλλλλλ-∞--====-∑， 0!nxn x e n ∞==∑（2）连续型随机变量的数学期望定义4.1.2设连续型随机变量X 的概率密度为p (x )，.如果积分⎰∞∞-dx x xp )(绝对收敛（即∞<⎰∞∞-dx x p x )(），则称⎰∞∞-dx x xp )(为随机变量X 的数学期望.即有EX =⎰∞∞-dx x xp )(.例4.1.5 设随机变量X 服从[,]a b 上的均匀分布，求.EX 解 由于均匀分布的概率密度为1,,()0,.a x b p x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它则EX =211()|.2()2bb aaa bxp x dx xdx x b a b a ∞-∞+===--⎰⎰ 例4.1.6 设随机变量X 服从参数为θ的指数分布，试求.EX解 已知X 的概率密度为1,0,()(0).0,，xe x p x θθθ-⎧>⎪=>⎨⎪⎩其它故1()xxx x EX xp x dx xe dx xe d xde θθθθθ---∞∞∞∞-∞⎛⎫===--=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰0000||.x x x x x xe e dx e dx e θθθθ---∞∞∞∞⎛⎫⎛⎫ ⎪=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰0xxxx e dx e d e θθθθθθθ∞---∞∞⎛⎫⎛⎫==--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰例4.1.7设随机变量2(,),X N μσ 求.EX 解 已知X 的概率密度为222)(21)(σμπσ--=x ex p ， ∞<<∞-x ，EX =dx exx 222)(21σμπσ--∞+∞-⎰（令t x =-σμ）x t σμ=+=dt et t σσμπσ22)(21-∞+∞-⎰+=+-∞+∞-⎰dt et 222πμdtet t 222-∞+∞-⎰πσ=.μ. (22t edt +∞--∞=⎰2. 随机变量函数的数学期望定理4.1.1(随机变量函数的期望计算公式)设()y f x =是连续函数，Y 是随机变量X 的函数，().Y f X = （1） 若X 为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,,k k P X x p k ===且级数()kkkf x p ∑绝对收敛，则有[()]().k k kEY E f X f x p ==∑（2）若X 为连续型随机变量，其概率密度为p (x )，且积分()()f x p x dx ∞-∞⎰绝对收敛，则有[()]()().EY E f X f x p x dx ∞-∞==⎰.对离散型情况，设(,)X Y 的联合分布为{,},1,2,,1,2,.i j ij P X x Y y p i j ===== 则[(,)](,).ijijij EZ E f X Y f x y p ==∑∑当(,)X Y 为连续型随机变量时，设联合概率密度为(,)p x y 则[(,)](,)(,).EZ E f X Y f x y p x y dxdy ∞∞-∞-∞==⎰⎰.例4.1.8 设X 为离散型随机变量。
