《离散数学课件》二元运算基本概念和性质

定义 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的 二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 特点： - 变量和函数值的取值限定在同一个集合上。 例1 - (1) N 上的二元运算：加法、乘法. - (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. - (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除 法. - (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘ 为 S 上二元运算.

二元运算的特异元素 5.1 二 元 运 算 及 其 性 质 单位元
定义 设∘为S上的二元运算,如果存在el（或er）S，使得 对任意x∈S 都有 el ∘x =x (或x∘er =x)， 则称el(或er )是S中关于∘运算的左(或右)幺元（单位元）. 若e∈S关于∘运算既是左单位元又是右单位元，则称 e 为S上关于∘运算的幺元. 例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1 Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵
第5章 代数系统的一般 性质
代数结构
【引例】 （1）在Z集合上，x∈Z,
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
则f(x)=-x是将x映为它的相反 数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运 算的结果。这个运算可表示为函数： f ：Z→Z
（2）在R+ 集合上，x∈R+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒 数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数 运算的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ → R+。 （3）设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b，a×b)是将两个数a， b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加 （减，乘）法运算的结果。这个运算可以表示为函数f : R2 → R。

二元关系离散数学
二元关系是离散数学中非常重要的概念之一。

二元关系是指将两个元素组合在一起形成的一种关系。

例如，整数之间的“大于”、“小于”等关系。

在二元关系中，每个元素都称为关系的一部分。

二元关系可以用箭头或括号表示。

例如，如果我们有集合A={1，2，3}和集合B={a，b，c}，那么我们可以定义二元关系R={(1，a)，(1，b)，(2，b)}，这表示1和a、1和b，2和b之间存在关系。

二元关系的性质也是离散数学中非常重要的。

二元关系可以是自反的，反对称的，传递的和等价的。

自反关系表示每个元素都与自己存在关系，反对称关系表示如果两个元素之间存在关系，那么它们不能同时与相同的元素存在关系，传递关系表示如果两个元素之间存在关系，那么这种关系会传递到它们之间的其他元素之间，等价关系表示该关系是自反的、对称的和传递的。

这些性质有助于我们理解和描述二元关系。

二元关系在离散数学中有许多应用。

例如，它们可以用于网络分析、逻辑推理、图像处理等领域。

在计算机科学中，二元关系在数据库中的查询和排序算法中也有广泛应用。

总之，二元关系是离散数学中重要的概念之一，它将两个元素联系在一起，并具有许多重要的性质和应用。

f 1 : ranf →N, f 1 (x) = x/2
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反函数
定理 设 f：A→B是双射的, 则f 1：B→A也是双射的.
证 因为 f 是函数, 所以 f 1 是关系, 且
dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 对于任意的 y∈B = dom f 1, 假设有x1, x2∈A使得
<x,y1>∈f∧<x,y2>∈f y1 = y2
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反函数的定义及性质
对于双射函数f：A→B, 称 f 1：B→A是它的反 函数.
反函数的性质 定理 设 f：A→B是双射的, 则
f 1∘f = IB, f∘f 1 = IA
对于双射函数 f：A→A, 有 f 1∘f = f∘f 1 = IA
T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1
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自然映射
5. 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g：A→A/R g(a) = [a], a∈A
称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.
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实例
例8 (1) A的每一个子集A’都对应于一个特征函 数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 例如 A={a, b, c}, 则有
解 BA = {f0, f1, … , f7}, 其中 f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}, f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>}, f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}

举例
A表示某大学所有学生的集合，B表示大学开设的 表示某大学所有学生的集合， 表示大学开设的 表示某大学所有学生的集合 所有课程的集合， 所有课程的集合， 则A×B可以用来表示该校学生选课的所有可能情 × 可以用来表示该校学生选课的所有可能情 况。 是直角坐标系中x轴上的点集 令A是直角坐标系中 轴上的点集，B是直角坐标 是直角坐标系中 轴上的点集， 是直角坐标 系中y轴上的点集 轴上的点集， 系中 轴上的点集， 于是A× 就和平面点集一一对应 就和平面点集一一对应。 于是 ×B就和平面点集一一对应。
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其它常用的关系
小于或等于关系： 小于或等于关系：LA={<x,y>|x,y∈A∧x≤y}，其中 A⊆R。 ∈ ∧ ， ⊆ 。 整除关系： 整除y}， 整除关系：DB={<x,y>|x,y∈B∧x整除 ，其中 B⊆Z* ∈ ∧ 整除 ⊆ Z*是非零整数集 包含关系： ⊆ 包含关系：R⊆＝{<x,y>|x,y∈A∧x⊆y}，其中 是集合族 ∈ ∧ ⊆ ，其中A是集合族
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笛卡尔积举例
举例
设A={a,b}, B={0,1,2}，则 ， A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>} × B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>} ×
举例
设 A={ x | 0<x<2 } ,B={ y |0<y<1 },则 则 A × B={ <x,y>| 0<x<2且0<y<1 } 且 1 y