辽宁省锦州市10—11学年度高一数学第一学期期末考试
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2010—2011学年度第一学期期末考试高 一 数 学注意事项：1．本试卷备有答题纸,把答案凃写在答题纸上．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分; 试卷满分为150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将答案涂在答题卡上。
（1）已知集合A 到B 的映射f ：x →y = 2x + 1，那么集合A 中元素2在B 中的象是（A ） 2 （B ） 5 （C ）6 （D ） 8（2）已知全集Ｕ＝R ，集合{}{},20|,1|<<=-==x x B x y x A 则（A ）),1[+∞ （B ）),1(+∞ （C ）),0[+∞ （D ）),0(+∞ （3）在空间直角坐标系中，点)1,2,3(--P 关于平面xOy 的对称点的坐标是（A ）)1,2,3(- （B ）)1,2,3(--- （C ）)1,2,3(- （D ）)1,2,3(-（4）有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为（A ）2cm 12 （B ）2cm 15π （C ）2cm 24π （D ）2cm 36π（5）在空间中，a 、b 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出//a b 的是（A ）,,//a b αβαβ⊂⊂ （B ）,a b αα⊥⊥（C ）//,a b αα⊂ （D ）,a b αα⊥⊂（6）判断下列各组中的两个函数是同一函数的为①(3)(5)()3x x f x x +-=+，()5g x x =-； ②()f x ，()g x = ③x x f =)(，2)(x x g =； 主视图 左视图 俯视图④()f x =()g x =；⑤2()f x =，()25g x x =-. （A ）①、② （B ）②、③ （C ）④ （D ）④、⑤（7）方程33x x +=的解所在的区间为 （A ）(0,1) （B ）(1,2) （C ）(2,3)（D ）(3,4) （8）直线12:,:(0,0,)l y ax b l y bx a a b a b =+=+≠≠≠，在同一坐标系中的图形可能是（9）设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)的值为 ( )（A ）正数 （B ）负数 （C ）非负数 （D ）正数、负数和零都有可能（10）两个球体积之和为12π，且这两个球的球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（A ）21 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （11）圆1C ：222880x y x y +++-=与圆2C ：224420x y x y +-+-=的位置关系是（A ）相离 （B ） 外切 （C ） 内切 （D ）相交（12）设a ＞0，f （x ）＝x x ea a e +是R 上的偶函数． 则a 的值为 （A ） 2-（B ） 1- （C ） 1 （D ）2第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：（共4个小题，每小题4分，满分16分；将答案写在答题纸相应题号的位置上）（13）x y R ∈，，{}22(,)1,(,)1,0,0x y A x y x y B x y a b a b ⎧⎫=+==-=>>⎨⎬⎩⎭，当A B 只有一个元素时，,a b 的关系式是_________（14）对于任给的实数m ,直线5)12()1(-=-+-m y m x m 都通过一定点，则该定点坐标为____ .（15）已知实数t 满足关系式33log log at t y a a= (0a >且1a ≠)，若x t a =,则()y f x =的表达式为_________ （16）已知二次函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且定义域为[1,2]a a -，则=+b a _________三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；字迹工整、清楚。
）（17）(本小题满分10分) 设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B =，求实数a 的取值范围.（18）(本小题满分12分) 已知函数()1f x x ax =++ (a ∈R ).（Ⅰ）试给出a 的一个值，并画出此时函数的图象；（Ⅱ）若函数 f (x )在R 上具有单调性，求a 的取值范围.（19）（本小题满分12分）如图, 在三棱柱111ABC A B C -中, 1CC ⊥底面ABC ，3AC =, 4BC =,5AB =, 点D 是AB 的中点.(Ⅰ) 求证1AC BC ⊥;(Ⅱ) 求证1//AC ∥平面1CDB .（20）(本小题满分12分)某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（Ⅰ）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元.（精确到1万元）.（21）(本小题满分12分)已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--,0>a 且1≠a .（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（Ⅲ）当1a >时，求使()0f x >的x 的取值范围.（22）(本小题满分12分)已知M 为圆22:414450C x y x y +--+=上任一点，且点(2,3)Q -．（Ⅰ）若(,1)P a a +在圆C 上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；（Ⅱ）求||MQ 的最大值和最小值．2010—2011学年度第一学期期末考试高 一 数 学参考答案一、选择题：B D C C B C A CA B D C二、填空题：（13）ab =22b a + （14）(9,4)- （15）233(0)xx y a x -+=≠ （16）13三、解答题：（17）解：由A B B B A =⊆ 得，而{}4,0A =-， …………………2分224(1)4(1)88a a a ∆=+--=+ …………………4分当880a ∆=+<，即1a <-时，B φ=，符合B A ⊆；当880a ∆=+=，即1a =-时，{}0B =，符合B A ⊆；当880a ∆=+>，即1a >-时，B 中有两个元素，而B A ⊆{}4,0=-；…………8分 ∴{}4,0B =-得1a =∴11a a =≤-或 …………………10分（18）(Ⅰ)解：略 ………………… 4分(Ⅱ)解：化简()()()⎩⎨⎧-<---++=.1111 ≥11x x a x x a x f ，，， ① a >1时，当x≥-1时，()(1)1f x a x =++是增函数，且()x f ≥()a f -=-1； 当x < -1时，()(1)1f x a x =--是增函数，且()(1)f x f a <-=-.所以，当a >1时，函数f (x ) 在R 上是增函数.同理可知，当a <-1时，函数f (x ) 在R 上是减函数. …………………6分② a =1或-1时，易知，不合题意.③ -1< a <1时，取x = 0，得f (0) =1，取x =21-a ，由21-a < -1，知f (21-a ) =1， 所以f (0) = f (21-a ). 所以函数f (x ) 在R 上不具有单调性. …………………10分综上可知，a 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞ . ………………… 12分（19）解：(Ⅰ)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面三边长AC =3, BC =4, AB =5,∴AC ⊥BC ．………………1分又∵1CC ⊥底面ABC ，∴1CC AC ⊥． ………………3分∵1CC BC C = ，∴AC ⊥平面11BCC B ，………………5分∴AC ⊥BC 1.. ………………6分(Ⅱ)设CB 1与C 1B 的交点为E , 连结DE . ……………… 7分∵D 是AB 的中点, E 是BC 1的中点,∴DE ∥AC 1. ………………9分∵DE ⊂平面CDB 1, AC 1⊄平面CDB 1, ………………11分∴AC 1∥平面CDB 1. ………………12分（20）解：(Ⅰ)投资为x 万元，A 产品的利润为)(x f 万元，B 产品的利润为)(x g 万元，由题设)(x f =x k ⋅1，)(x g =x k ⋅2，． …………2分 由图知41)1(=f ∴411=k ，又25)4(=g ∴452=k …………4分 从而)(x f =)0(,41≥x x ，)(x g =x 45，)0(≥x …………6分 (Ⅱ)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10-x 万元，设企业的利润为y 万元Y=)(x f +)10(x g -=x x -+10454，（100≤≤x ）， …………8分令),100(,1625)25(4145410,1022≤≤+--=+-==-t t t t y t x 则…………10分 当25=t ，4max ≈y ，此时42510-=x =3．75 ∴当A 产品投入3．75万元，B 产品投入6．25万元时，企业获得最大利润约为4万元。
…………12分（也可把B 设成x ，把A 设成10-x ）（21）解: （Ⅰ）()log (1)log (1)a a f x x x =+--,则10,10.x x +>⎧⎨->⎩解得11x -<<. 故所求定义域为{}11x x -<<.………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的定义域为{}11x x -<<,且()log (1)log (1)a a f x x x -=-+-+[]log (1)log (1)a a x x =-+--()f x =-, 故()f x 为奇函数. ………………………………………………………………9分 （Ⅲ）因为当1a >时，()f x 在定义域{}11x x -<<内是增函数， 所以1()011x f x x +>⇔>-. 解得01x <<.所以使()0f x >的x 的取值范围是{}01x x <<.………………………………12分（22）解：（Ⅰ）由点(,1)P a a +在圆C 上，可得045)1(144)1(22=++--++a a a a ，所以4,(4,5)a P =． 所以102)35()24(||22=-++=PQ , 351243PQ K -==--．………………………6分（Ⅱ）由22:414450C x y x y +--+=可得22(2)(7)8x y -+-=．所以圆心C 坐标为(2,7)，半径r = 可得24)37()22(||22=-++=QC ，因此 262224||max =+=MQ ，min ||MQ ==12分［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan 21-m ,α∈（0，2π）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan 21-m ，α∈(2π,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.解：∵A 、B 、C 三点共线，∴ｋAB ＝ｋAC ，.22132332+-=+--m解得m =21. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=----- 43tan 1tan 22=-∴αα 即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝31或tan α＝－3. ∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°，∴tan α＝31. 因此，直线l 的斜率是31 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.命题否定的典型错误及制作在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．一、典型错误剖析错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论 在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．例1 写出下列命题的否定：⑴ 对于任意实数x ，使x 2＝1；⑵ 存在一个实数x ，使x 2＝1．错解：它们的否定分别为⑴对于任意实数x，使x2≠1；⑵存在一个实数x，使x2≠1．剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x2≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x2≠1．正解：⑴存在一个实数x，使x2≠1；⑵对于任意实数x，使x2≠1．错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．例2写出下列命题的否定：⑴线段AB与CD平行且相等；⑵线段AB与CD平行或相等．错解：⑴线段AB与CD不平行且不相等；⑵线段AB与CD不平行或不相等．剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．正解：⑴线段AB与CD不平行或不相等；⑵线段AB与CD不平行且不相等．错误3——认为“都不是”是“都是”的否定例3写出下列命题的否定：⑴a，b都是零；⑵高一(一)班全体同学都是共青团员．错解：⑴a，b都不是零；⑵高一(一)班全体同学都不是共青团员．剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．⑵高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．错误4——认为“命题否定”就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．例4写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．错解：不满足条件C的点不都在直线F上．剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．正解：满足条件C的点不都在直线F上．二、几类命题否定的制作1．简单的简单命题命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．例5写出下列命题的否定：⑴ 3＋4＞6；⑵ 2是偶数．解：所给命题的否定分别是：⑴ 3＋4≤6；⑵ 2不是偶数．2．含有全称量词和存在量词的简单命题全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A 是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题．例6写出下列命题的否定：⑴不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实根．⑵存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0．⑶至少有一个整数是自然数．⑷至多有两个质数是奇数．解：⑴原命题相当于“对所有的实数m，x2＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实根”．⑵原命题的否定是“对所有的实数x，x2＋x＋1＞0”．⑶原命题的否定是“没有一个整数是自然数”．⑷原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；例7写出下列命题的否定：⑴他是数学家或物理学家．⑵他是数学家又是物理学家．⑶2123x x+-≥0．解：⑴原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．。
