广东省佛山市2020年高中数学青年教师基本功解题能力展示试题

PA ( x1 2, y1 ) ， PB ( x2 2, y2 ) ，
典型例题
所以
PA PB ( x1 2)( x2 2) y1 y2 (ky1 1)(ky2 1) y1 y2 (k 2 1) y1 y2 k ( y1 y2 ) 1 3(k 2 1) 2k 2 2 1 2 k 3 k 3 0.
2 y y y 2 x0 0 1．因为 tan∠BFA＝－kBF＝－ 0 ，tan∠BAF＝kBA＝ 0 ，所以 x0－2 x0＋1 3
y 2 t a n B A F 0 t a n 2 B A F t a n B F A 2 2 1 t a n B A F x 2 y 0 0 1 x 1 0 综上，存在 n＝2，使得∠BFA＝n∠BAF 恒成立．
2 2
y x 2, x y 2 12 1 ．解方程组 x 2 y 2 轴长为 4 的椭圆 得 P(2，0)或 P ( ，－ )． 7 7 4 3 1. 3 4
方法回顾与归纳
2 y 问题 2 已知双曲线 x2－ ＝1 的左顶点为 A，右焦点为 F，B 是双曲线在第 3
一象限内的任意一点．是否存在常数 n(n>0)，使得∠BFA＝n∠BAF？若存在，求 出 n 的值；若不存在，请说明理由．
y
B
A
O
F
x
方法回顾与归纳
解 当 BF 垂直于 x 轴时，B(2，3)．此时，∠BFA＝90° ，∠BAF＝45° ，∠BFA ＝2∠BAF．当 BF 不垂直于 x 轴时，设 B(x0，y0)，因为点 B 在双曲线上，所以
典型例题
y2－y1 4t 4t 当 t≠1 时， 直线 AB 的斜率为 k＝ ＝ ， 故直线 AB 的方程为 y＋ 2 x2－x1 3(t2－1) t ＋3 6－2t2 4t 4t ＝ 2 (x－ 2 )，整理得 y＝ 2 (x－1)．所以，直线 AB 恒过定点 M(1， 3(t －1) t ＋3 3(t －1) 0)． 因此，存在符合条件的点 M，其坐标为 M(1，0)．

x
2 3 3
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD． ABC 的外接圆半径为
2 3 3
x3 9． 函数 y x 的图象大致是( 3 3 x



x 1 ，则 A


R
B ＝(
) D． x 1 x 2 ) A. ) 10．已知 , 为锐角,且 tan A. B. C. ) D.
A． x 1 x 2 2． 复数 z
2017 年佛山市普通高中数学青年教师基本功 解题能力展示试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页． 满分 150 分． 考试用时 120 分钟． 注意：请将选择题部涂在答题卡，主观题在答题卷中作答.请在答卷侧边栏填写考号和相关事项.
8． ABC 的三边分别为 a, b, c .若 c 2, C A． b 2 a C． ABC 的面积为
)
3 C. 2
与双曲线的渐近线交于点 M ．若点 P ， M ， F 三点共线，且 MFO 的面积是 PMO 面积的 5 倍，则双曲线 C 的离 D. 3 心率为____________.
第 1 页 共 2 页
三、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分 10 分） 设数列 an 满足 a1 1 , a1 a2 an 1 an 1 ( n 2 , n N )
*
21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f x x sin x cos x . （Ⅰ）判断 f x 在区间 2,3 上零点的个数，并证明您的结论； （参考数据： 2 1.4, 6 2.4 ） （Ⅱ）若存在 x
(Ⅰ) 求数列 an 的前 n 项和 S n ； （Ⅱ）若对任意的 n N ，不等式 k S n 1 2n 9 恒成立，求实数 k 的取值范围.

青年教师基本功大赛试题一填空题（10分）1、新课标强调“从双基变四基”四基是指、、、。

2、、、。

3、初中数学新课程的四大学域是、、、。

学生是数学学习的，教师是数学学习的、与。

4、初中阶段《课标》中“数与代数”主要包括、_和三部分5、我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧……得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线（如下图），已知点P1（0，1），P2（－1，0），P3（0，－1），则该折线上的点P9的坐标为二选择题（10分）6、教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，学会------------------------- （）A、教教材B、用教材教7、《数学课程标准》中使用了“了解、理解、掌握、运用”等表述----------------------（）A、学习过程目标B、学习活动结果目标。

8、新课程的核心理念是--------------------------------------------------------------------------------（）A、联系生活学数学,B、培养学习数学的爱好,C、一切为了每一位学生的发展9、教学评价是指----------------------------------------------------------( )A.对学生学业成绩的评价B.对教师教学质量的评价C.对教师教和学生学的评价D.对教师、学生及课程的评价10、如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有------------------------------------（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上三解答题11 请你结合教学实际谈一下“预设”和“生成”的关系。

AQL
11 已知点 F 为抛物线 C ： y = 2 px ( p 0 ) 的焦点，点 K 为点 F 关于原点的对称点，点 M 在抛物线 C 上，则下 列说法错误 的是 ．．
在这一周内，下列结论中正确的是（
）
300 250 200 150 100 50 21 22 23 24 25 26 27 t/时间
C．关于直线 x =

6
对称
D．关于直线 x =

3
对称
10. 如图， PAD 为等边三角形，四边形 ABCD 为正方形，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ．若点 M 为平面 ABCD 内 P 的一个动点，且满足 MP = MC ，则点 M 在正方形 ABCD 及其内部的轨迹为 A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
A．使得 MKF = 12．如图 1，矩形 ABCD 中， AD = 3 .点 E 在 AB 边上， CE ⊥ DE 且 AE = 1 . 如图 2，△ADE 沿直线 DE
向上折起成 △A1DE ．记二面角 A − DE − A1 的平面角为 ，当 0 ， 1800 时，
) ① 存在某个位置，使 CE ⊥ DA1 ； ② 存在某个位置，使 DE ⊥ AC 1 ； ③ 任意两个位置，直线 DE 和直线 A1C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是 A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 2 4 6 8 10 12 14 AQI
(Ⅰ) 请给出该市创文前后的 CVLZN 数据的均值； (Ⅱ)如果 CVLZN 数据的均值同比降低了 80%，则可认为创文的效果显著. 根据上述数据，试判断该市创文效果 是否显著. 19． （本小题满分 12 分） 如图,四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中, A1 A ⊥ 底面 ABCD .四边形 ABCD 为梯形,

2024年教师资格考试高中数学学科知识与教学能力自测试题及答案指导一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在下列选项中，不属于高中数学课程性质的是（）A、理论性B、应用性C、综合性D、创新性答案：D解析：高中数学课程具有理论性、应用性和综合性，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

创新性虽然也是重要的教育目标之一，但并不是高中数学课程的基本性质。

因此，正确答案为D。

2、在以下数学概念中，不属于函数概念范畴的是（）A、映射B、定义域C、值域D、对应法则答案：C解析：函数的概念包括映射、定义域、值域和对应法则四个基本要素。

映射是指每个定义域中的元素都有唯一的值域元素与之对应；定义域是函数输入值的集合；值域是函数输出值的集合；对应法则是定义域和值域之间元素对应关系的描述。

值域是函数的一个组成部分，因此不属于函数概念范畴的选项为C。

正确答案为C。

3、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（-1，5）。

若点C 在直线y=x+2上，且三角形ABC是直角三角形，则点C的坐标可能是（）A、（1，3）B、（3，5）C、（-1，4）D、（2，4）答案：C解析：首先，三角形ABC是直角三角形，我们可以假设直角在A或B上。

假设直角在A点，则AC垂直于BC，因此斜率乘积为-1。

点A和点C的斜率为（y2-y1）/（x2-x1），将点A（2，3）和C（x，y）代入得（y-3）/（x-2）1=-1，解得y=2x-1。

将直线y=x+2和y=2x-1联立，解得x=-1，y=4，故点C的坐标为（-1，4）。

同理，假设直角在B点，则BC垂直于AB，斜率乘积为-1。

点B和C的斜率为（y-5）/（x+1）（3-5）/（2+1）=-1，解得y=4，点C的坐标为（-1，4）。

所以，点C的坐标可能是（-1，4），选项C 正确。

4、已知函数f（x）=ax^2+bx+c，若a≠0，且f（x）在x=-1时取得最小值，则下列结论错误的是（）A、a>0B、b=-2aC、f（x）在x=0时取得最大值D、f（x）的图像是一个开口向上的抛物线答案：C解析：函数f（x）=ax2+bx+c是一个二次函数，a≠0表示抛物线开口向上或向下。

2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功解题能力展示试题参考答案13．79−14．31115． 16．4π 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =−=.由2212a b b =，可得222136a b b ==. 因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………2分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=.…………………………………3分于是当2n ≥时，n a =.将②、③代入①式，可得，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n −=+，于是()241n b n =+. ………………………………………………4分由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n =+. ………………………………5分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+−.………………………8分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<− ⎪+−+⎝⎭（2n ≥）. 因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<−⇔<⇔+<+− ⎪+−++−+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+−>⇔−+>, 所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+−++−<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …10分 当1n =时，1277<.…………………………………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−+−−+−+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++−zF1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−+−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. …………………………………………………10分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. ………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−−−+−+⎝⎭. 当4n ≥时,2111723441n n ++++−1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−−−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111272347147<+++<. …………………………………………………10分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a ……………………………12分 18. 【解析】(Ⅰ)因为//BC AD ,BC ⊄平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以//BC 平面ADE , 同理//CF 平面ADE , 又BCCF C =,所以平面//BCF 平面ADE ,又BF ⊂平面BCF ,所以//BF 平面ADE . …………………………………………4分 (Ⅱ)以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz −如图所示, 则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E ,设()0CF h h =>,则()1,2,F h ,()1,1,0BD =−,()1,0,2BE =−,(1,2,2CE =−−设平面BDE 的法向量为(),,x y z =n ,则00BD BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n ,即020x y x z −+=⎧⎨−+=⎩,解得22x zy z=⎧⎨=⎩,令1z =,得()2,2,1=n ,设直线CE 与平面BDE 所成角为θ,则sin θ=4cos ,9CE CE CE ⋅<>==nn n ,所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. ……………………9分(Ⅲ)设(),,x y z =m 为平面BDF 的法向量,则00BD BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m ,即020x y y hz −+=⎧⎨+=⎩,解得2x yy z h =⎧⎪⎨=−⎪⎩,令y h =,得(),,2h h =−m ,依题意,1cos ,3⋅===⨯m n m n m n,解得87h =.所以线段CF 的长为87. …………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =，所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=． 所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ−−=−−，123212323(),3().x x x x y y y y λλ−=−⎧⎨−=−⎩解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ−⎧=+⎪⎪⎨−⎪=+⎪⎩ 因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ−−+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ−−+++−+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34−，所以121234y y x x ⋅=−，即1212043x x y y +=． 所以2291()1λλλ−+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………12分20. 【解析】(Ⅰ)方法1:设方案一中每组的化验次数为X ,则X 的取值为1,6．………………………1分所以()510.990.951P X ===,()5610.990.049P X ==−=, ……………………………………2分所以X 的分布列为所以1EX =⨯分故方案一的化验总次数的期望为:1111 1.24513.695EX ⨯=⨯=次． ………………………………4分 设方案二中每组的化验次数为Y ,则Y 的取值为1,12,所以()1110.990.895P Y ===,()111210.990.105P Y ==−=,……………………………………5分所以Y 的分布列为所以1EY =⨯分故方案二的化验总次数的期望为:55 2.15510.775EX ⨯=⨯=次． …………………………………7分 因13.69510.775>,所以方案二工作量更少．……………………………………………………………8分 方法2:也可设方案一中每个人的化验次数为X ,则X 的取值为15,65． 方案二中每个人的化验次数为Y ,则Y 的取值为111,1211． 同方法一可计算得0.249EX =,0.196EY =,因EX EY >,所以方案二工作量更少.(Ⅱ)设事件A :血检呈阳性；事件B :患疾病．…………………………………………………………9分则由题意有()0.01P A =,()0.004P B =,()0.99P A B =,…………………………………………10分 由条件概率公式()()()P AB P A B P B =,得()()()0.0040.99P AB P B P A B ==⨯, ………………11分故()()()0.0040.990.3960.01P AB P B A P A ⨯===,所以血检呈阳性的人确实患病的概率为39.6%.…12分21. 【解析】（I ）当0a =时，()sin cos f x x x x =+，[,]x ππ∈−.'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+−=.当x 在区间[,]ππ−上变化时，'()f x ，()f x 的变化如下表所以()f x 的单调增区间为(,)2ππ−−，(0,)2π；()f x 的单调减区间为(,0)2π−， (,)2ππ.……………………………………………………………………………4分（II ）任取[,]x ππ∈−.2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x −=−−+−+−=++=，所以()f x 是偶函数.'()cos (cos )f x ax x x x a x =+=+.当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,)π上恒成立，所以[0,)x π∈时，'()0f x ≥. 所以()f x 在[0,]π上单调递增.又因为(0)1f =，所以()f x 在[0,]π上有0个零点. 又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在[,]ππ−上有0个零点. 当01a <<时，令'()0f x =，得cos x a =−. 由10a −<−<可知存在唯一0(,)2x ππ∈使得0cos x a =−.所以当0[0,)x x ∈时，'()0f x ≥，()f x 单调递增； 当0(,)x x π∈时，'()0f x <，()f x 单调递减. 因为(0)1f =，0()1f x >，21()12f a ππ=−. ①当21102a π−>，即221a π<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有0个零点. ②当21102a π−≤，即220a π<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有2个零点. 综上，当220a π<≤时，()f x 有2个零点；当22a π>时，()f x 有0个零点.………………………………………………………………………………………12分22.写出来，谈的有想法就给分，采取加分原则.。

（考试时间120分钟 满分200分）姜堰市教研室命制一、 基础知识（30分）1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是 。

3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。

4、《江苏省2010年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 这五个能力。

5、《江苏省2010年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、 三个层次（分别对应A 、B 、C ）6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、 。

二、 解题能力（90分）1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。

2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．3、已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有 辆．5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 ．6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为7、(本题满分15分)试证明定理：在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

频率第4图第5图8、(本题满分15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()f θ；②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ；（Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．9、(本题满分15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （Ⅱ）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t10、(本题满分15分) 将曲线xy C 1:=绕原点逆时针旋转 45得曲线'C ，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参数方程的知识，求曲线C '的方程。

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。

1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。

完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。

2024年教师资格考试高级中学数学学科知识与教学能力复习试卷(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、三种基本数学思想是：公理化思想、演绎思想和_____ 思想。

A. 数形结合B. 转化C. 推理证明D. 模似2、“七种方法”指的数学研究方法有：观察法， _____ ，类比法，的技能；建模法，科学推理，应用软件法。

A. 转化法B. 比较法C. 分析法D. 实验法3、如果有一个函数f(x)，满足f(x)的图像在x轴上方有凹性，那么f(x)的相关导数具有以下哪个性质：A、f’(x)单调递增B、f’(x)单调递减C、f’’(x)>0D、f’’(x)<04、在高中数学教学中，为了教授梯度这一概念，老师应该如何设计教学活动？A、直接给出梯度的定义并让学生记忆B、使用生活中的实例来类比梯度的概念C、通过计算斜率的方式来解释梯度的概念D、只通过数学的理论推导来教授梯度5、下列哪个集合包含所有整数？A．{x|x是偶数} B．{x|x是奇数} C．N D．Z6、某班学生参加了一次运动会，测定每个学生跑步速度（单位：每分钟跑多少米）。

所有学生的跑步速度的平均值为 200 米/分钟，标准差为 10 米/分钟。

如果该班共有40 个学生，则低于 190 米/分钟速度的学生人数有多少？A．5 B．15 C．25 D．357.下列哪一项性质不属于圆的基本性质？A. 圆内接四边形的对角互补B. 圆的所有半径相等C. 圆内角的度数等于它所对的圆心角度数D. 垂径定理，即垂直于弦的直径把圆分成两个相等的部分8.下列等式中，表示得数等于3的平方的是？A. 3 × 3B. (-3) × (-3)C. (0.3) × (0.3)D. -3 × -37.正确答案应该是A。

圆内接四边形的对角互补是正方形的一个性质，不是所有圆的基本性质。

B项表明了圆的定义，即圆上任意两点的距离计算结果相同，均为半径的长度。

唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。 年华似水匆匆走过，岁月悄然无声增长，在静下来的时光里回首过往，发现人总是会在某一刻感叹良多。 许是念起一些事，许是念起一些人，许是念起经历的点点滴滴……
典型例题
解法二(假设验证法)假设存在这样的点 M．设 M(m，0)(m≠2)，A(x1，y1)，B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 x＝ky＋m．与椭圆方程联立，消去 x，整理得(k2＋3)y2＋2kmy ＋m2－4＝0．根据韦达定理，有 y1＋y2＝－k22＋km3，y1y2＝mk22＋－34．因为
回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。 是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。 听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。

高中数学教师解题比赛试题时量：120分钟 满分：150分注意: 1.本次考试允许使用各型计算器.2.若认为试题少了条件,请自行补充.若认为试题有误,可自行修改.不必要的修改为错解.填空题(每题7分,共56分)：．求和：1×21+2×22+3×23+…+n ×2n (n ∈N,n ≥5)=______________。

．已知三角形ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，则cosB 的范围是______________。

． 已知x 2+xy+y 2=3，则x 2+y 2的范围是______________。

．函数f(x)=3,.x x R ∈请给出它的单调递增区间:______________ 。

．已知函数f （x ）满足以下条件：在定义域R 上连续，图象关于原点对称，值域为 -1，1）。

请给出一个这样的函数：______________。

．已知点O 在△ABC 内部，且有24OA OB OC ++=0，则△OAB 与△OBC 的面积之比为。

．已知四面体ABCD 的五条棱长为2，一条棱长为1，那么它的外接球半径为________。

．从1到10的十个整数中任选三个,使它们的和能被3整除,这样的选法共有__________种。

解答题(每题20分,共80分)： ．设是x 1,x 2,x 3,…,x n 是非负实数，且112nk k x =<∑， n ∈N,n ≥5.求证：121(1)(1)(1)2n x x x --⋅⋅⋅->。

10．有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(胜利之门)或第20站(失败之门)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入胜利之门)的概率.11．已知在一个U形连通管内始终保持着4升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是A液体。

2020年教师资格《高中数学》真题及答案解析2020年下半年教师资格考试《高中数学》真题及答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）本大题共8小题，每小题列出四个备选项，只有一个符合题目要求，请考生用2B铅笔在答题卡上涂黑对应题目的答案字母。

错选、多选和未选均无分。

1.【答案】A=1被平面x=1截得的曲线是（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线答案】D3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】C二、简答题（共5小题，每小题7分，共35分）9.证明下列问题：12.简述为什么函数是普通高中数学课程的主线之一。

参考答案】1)函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数的观点和方法贯穿整个高中代数的全过程，又渗透到立体几何和解析几何中。

2)对函数概念的透彻理解，是求解有关函数应用题的基础，通过求解函数应用题，可以让学生体验“实际问题一建立数学模型一数学解答一实际问题的解”的问题解决模式，深化对函数概念的理解。

3)函数的思想在其他部分数学内容的研究中发挥着重要作用。

在高中课程中，函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量等都有着密切的联系。

用函数(映射)的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。

反过来，通过这些内容的研究，更加深了对于函数思想的认识。

4)在大学的数学中，函数(映射)的思想依然发挥着重要的作用。

例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。

这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。

综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。

13.简述数学运算的基本内涵。

参考答案】数学运算是指对数的、代数式的、函数的、向量的等数学对象进行加、减、乘、除等运算，以及运用运算规律和性质进行变形和化简的过程。

数学运算的基本内涵包括：运算对象、运算符号、运算规律和运算结果等。

2020年1月2日高中数学作业一、单选题1．在复平面内，复数512i-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 解：()()()512512121212i i i i i +==+--+Q， ∴在复平面内，复数512i-对应的点的坐标为(1,2)，位于第一象限． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2．已知集合{}2|20A x x x =-<，{}|11B x x =-<<，则A B =I （ ）A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()1,0-D ．()0,1【答案】D 【解析】 【分析】解二次不等式可求得A ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：解二次不等式220x x -<，得02x <<，所以集合()0,2A =， 又()1,1B =-， 所以()0,1A B =I ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题．3．已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．cos cos 0x y -> B ．cos cos 0x y +> C ．ln ln 0x y -> D ．ln ln 0x y +>【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明A,B,D 错误，再根据单调性证明C 成立. 【详解】当320x y ππ=>=>时cos 11cos x y =-<=； 当320x y ππ=>=>时cos cos 110x y +=-+=； 当110x y e=>=>时ln ln 10x y +=-<； 因为函数()ln f x x =在()0,∞+上单调递增，且0x y >>，所以()()f x f y >，即ln ln x y >，即ln ln 0x y ->.故选：C 【点睛】本题考查利用单调性判断大小，考查基本分析判断解能力，属基础题.4．函数()f x 的图像向右平移一个单位长度，所得图像与xy e =关于x 轴对称，则()f x =（ ）A ．1e x --B ．1e x +-C ．1e x ---D ．1e x -+-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出xy e =，关于x 轴对称，再向左平移1个单位即可，运用规律求解得出解析式． 【详解】解：xy e =关于x 轴对称得出xy e =-，把xy e =-的图象向左平移1个单位长度得出1x y e +=-，1()x f x e +∴=-， 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数图象的对称，平移，运用规律的所求函数即可，难度不大，属于容易题． 5．已知函数()()()22ln f x x x a x a =+++∈R 为奇函数，则a =（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，可得()()0f x f x -+=恒成立，结合对数的运算性质及多项式相等的充要条件，可得a 的值． 【详解】解：函数()()22ln f x x x a x=+++为奇函数，22()()2()2()0f x f x x ln x a x x ln x a x lna -+=-+-++++++==恒成立，解得1a =， 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握奇函数的性质()()0f x f x -+=恒成立，是解答的关键．6．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）A ．35B ．916C ．716D ．25【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型概率求解.计算出第3个大正三角形中黑色区域的面积，再除以大正三角形面积得结果. 【详解】设大正三角形面积为1，则黑色区域面积为3193444161-⨯⨯= 所以落在黑色区域的概率为916. 故选：B 【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 由3cos 5α=计算出tan 2α，再将tan 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭用两角差的正切公式拆开，代入求值即可. 【详解】 解：3cos 5α=Q ，22cos 2cos112sin 22ααα=-=-，且α为锐角cos25α∴=，sin 25α=sin12tan 22cos 25ααα∴=== 1tantan11422tan 14231tan tan 11422παπαπα--⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭++⨯ 故选：A 【点睛】本题考查二倍角公式与同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式，属于中档题.8．“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）是现在商家一种常见促销手段.今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】解：①若中奖的同学是甲，则甲预测结果是正确的，与题设相符，故中奖的同学是甲，②若中奖的同学是乙，则甲、丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是乙，③若中奖的同学是丙，则丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是丙，④若中奖的同学是丁，则乙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是丁，综合①②③④得：中奖的同学是甲，故选：A．【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属于中档题．9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3【答案】D【解析】【分析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【详解】年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1新增装机容量39.1 40.6 45.1 35.8 51.8 63.8 54.9 53.5 51.4中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW，全球累计装机容量594.1158.1436GW-=，占比为45.34%，选项D正确.故选：D【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.10．已知抛物线22y px =上不同三点A ，B ，C 的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是（ ）A ．A ，B ，C 的纵坐标成等差数列B ．A ，B ，C 到x 轴的距离成等差数列C ．A ，B ，C 到点()0,0O 的距离成等差数列D ．A ，B ，C 到点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离成等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】假设抛物线上三点A ，B ，C 的坐标分别为(),a a x y ，(),b b x y ，(),c c x y ，根据焦半径公式可判断. 【详解】解：设抛物线上三点A ，B ，C 的坐标分别为(),a a x y ，(),b b x y ，(),c c x y ， 则A ，B ，C 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离， 根据焦半径公式可得，2a p AF x =+，2b p BF x =+，2c p CF x =+， Q a x 、b x 、c x 成等差数列AF ∴，BF ，CF 也成等差数列故D 正确 故选：D 【点睛】本题考查抛物线的性质焦半径公式，等差数列的性质，属于中档题.11．已知函数()()sin sin f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间()0,π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】分别根据函数奇偶性定义、周期定义、解方程、求最值确定各个选项是否正确. 【详解】∵()()(),sin sin x R f x x x π∈-=-+-()sin sin x x f x π=--=-， ∴()f x 是奇函数，①正确；sin y x =的周期12T k π=，k ∈Z ，()sin y x π=的周期22T n =，n ∈Z ，∵{}{}1122|2,|2,T T k k T T n n π=∈=∈=∅Z Z I ， 所以()f x 不是周期函数，②错误；令()()sin sin 0f x x x π=+=，得()()sin sin sin x x x π=-=-， ∴2x x k ππ=-+，k ∈Z ，或2x x k πππ-=+，k ∈Z ， 解得21k x ππ=+，k ∈Z 或()211k x ππ+=-，又()0,x π∈，21x ππ=+或41x ππ=+或1ππ-，③正确； 当sin 1x =时，22x k ππ=+，k ∈Z ，当()sin 1x π=时，122x k =+，k ∈Z ，∵1|2,|2,22x x k k x x k k ππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈=∅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z I ， 即sin y x =与()sin y x π=不可能同时取得最大值1，故④错误. 故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性、周期、函数零点以及函数最值，考查综合分析判断能力，属中档题.12．已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若212153AF F F BF ==，则C 的离心率为（ ）A ．2 B ．3C ．12D ．13【答案】C 【解析】 【分析】由题意可表示出1AF 、1BF 、2BF ，在在12AF F ∆和12BF F ∆中利用余弦定理，再根据1212cos cos 0AF F AF F ∠+∠=，得到方程，解得.【详解】解：2121253c AF F F BF ===Q 122AF a c ∴=-，165BF c =，2625BF a c =-在12AF F ∆和12BF F ∆中利用余弦定理可得2222112112122cos AF AF F F AF F F AF F =+-⋅∠ 2222112112122cos BF BF F F BF F F BF F =+-⋅∠即()()()()2221222222222cos c a c c a c c AF F =-+--⋅⋅∠()222126662222cos 555a c c c c c AF F ⎛⎫⎛⎫-=+-⋅⋅⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1212cos cos 0AF F AF F ∠+∠=Q()()()()()2222226622222255062222225c c a c a c c c a c cc c ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴+=-⋅⋅⋅化简可得222950c ac a +-= 同除2a 得：22950e e +-=解得12e =或5e =-（舍去）故选：C 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，余弦定理得应用，属于中档题.二、填空题13．曲线e sin xy x =+在点()0,1处的切线方程是 ___________．【答案】210x y -+= 【解析】分析：求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式可得结果. 详解：Q 函数sin ,'cos xxy e x y e x =+∴=+，00'|cos 02x y e =∴=+=，∴曲线sin x y e x =+在点()0,1处的曲线方程是12y x -=，即210x y -+=，故答案为210x y -+=.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程为()()000y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．14．若实数变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n +=______. 【答案】0 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，进行平移即可得到结论． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由2z x y =+，得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A ，直线2y x z =-+的截距最小，此时z 最小，由1y y x =-⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,1)A --，此时213z =--=-，此时3n =-，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点，B ， 直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大，由11y x y =-⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)B -，此时2213z =⨯-=，即3m =， 则3(3)0m n +=+-=， 故答案为：0．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 15．在ABC ∆中，1a =，3cos 4C =，ABC ∆7，则c =______. 2 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin C ，再根据面积公式求出边b ，最后利用余弦定理可求边c . 【详解】 解：3cos 4C =Qsin C ∴=1sin 2ABC S ab C ∆Q ==2b ∴=2222cos c a b ab C =+-Q 2223122124c ∴=+-⨯⨯⨯c ∴=【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式以及余弦定理，属于中档题. 16．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为()m m ∈Z ，底面边长为()n n ∈Z ，内有一个体积为V 的球，若V 的最大值为92π，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______. 【答案】57π 【解析】 【分析】求出正三棱柱底面内切圆1r 、外接圆的半径，对12m r ≤和12mr >分类讨论，即可求出此三棱柱外接球表面积的最小值. 【详解】解：因为正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为()m m ∈Z ，底面边长为()n n ∈Z ，则底面三角形的内切圆的半径16r n =，外接圆的半径23r n = 三棱柱内的球的体积V 的最大值为92π，此时球的半径32r =，当12m r ≤，即3m n ≥时，三棱柱的内的球的半径6r n =，V 取得最大值3343n π⎫=⎪⎪⎝⎭，因为n Z ∈，所以354n 不可能为92π；当12m r >，即3m n <时，三棱柱的内的球的半径2m r =，V 取得最大值334362m m ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭3962m ππ∴=解得3m =，又m <，n ∈Z 所以6n ≥，n ∈Z设正三棱柱外接球的半径为R ，则22229234m n R ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎝⎭正三棱柱外接球表面积2294434n S R ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.当6n =时，S 取得最小值min 57S π=故答案为：57π 【点睛】本题考查球的内切和外接问题，以及球的表面积体积的计算问题，属于难题.三、解答题17．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121n n n n a b b ++=+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和.【答案】（1）2n n a =（2）222n n n S +=-【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出2a ，3a 即可求出等比数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得11221n n n n b b ++=+，即数列{}2n n b 是公差为1的等差数列，求出nb 的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n 项和. 【详解】（1）由1121nn n n a b b ++=+，取1n =，得22121a b b =+，解得24a =.取2n =，得33241a b b =+，解得38a =. ∵{}n a 是等比数列，则322a q a ==，212aa q==.∴{}n a 的通项公式为112n nn a a q -==.（2）∵11221n n n n b b ++=+，∴数列{}2n n b 是公差为1的等差数列.()12211n n b b n n =+-⨯=，则2n nn b =. 设{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n n n S =+++⋅⋅⋅+，234112322222n n S n+=++++L . 则2311111222222n n n S n +=+++⋅⋅⋅+-11111222112212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-=--. ∴222n n n S +=-. 【点睛】本题考查数列通项公式的计算，以及利用错位相减法求数列的n 项和，属于中档题. 18．党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长.“少年强则国强”，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面.全面实施《国家学生体质健康标准》，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求.《国家学生体质健康标准》有一项指标是学生体质指数（BMI ），其计算公式为：()()22kg BMI m =体重身高，当BMI 23.5>时，认为“超重”，应加强锻炼以改善BMI .某高中高一、高二年级学生共2000人，人数分布如表（a ）.为了解这2000名学生的BMI 指数情况，从中随机抽取容量为160的一个样本. 表（a ）（1）为了使抽取的160个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数；（2）分析这160个学生的BMI 值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b ）. 表（b ）（ⅰ）试估计这2000名学生中“超重”的学生数；（ⅱ）对于该校的2000名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强.应用卡方检验，可依次得到2K 的观测值1k ，2k ，试判断1k 与2k 的大小关系.（只需写出结论）【答案】（1）最合理的分层应分为以下四层：.高一男生：44人；高一女生：52人；高二男生：34人；高二女生：30人.（2）（ⅰ）“超重”人数为200人.（ⅱ）12k k > 【解析】 【分析】（1）按照高一男生、高一女生、高二男生、高二女生分层四层，然后利用分层抽样的方法确定每层的人数.（2）计算出“超重”发生的频率，用样本来估计总体的特征. 【详解】（1）考虑到BMI 应与年级或性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生、高一女生、高二男生、高二女生.高一男生：550160442000⨯=人；高一女生：650160522000⨯=人； 高二男生：425160342000⨯=人；高二女生：375160301200⨯=人. （2）（ⅰ）160人中，“超重”人数为462416+++=人，“超重”发生的频率为0.1，用样本的频率估计总体概率，估计在这2000人中，“超重”人数为20000.1200⨯=人. （ⅱ）12k k >. 【点睛】本题考查分层抽样的设计，用样本的数字特征来估计总体的特征，属于基础题.19．如图，三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，90APB ACB ∠=∠=︒，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点，点G 是BCE ∆的重心.（1）证明：PE ⊥平面ABC ；（2）若GF 与平面ABC 所成的角为60︒，且2GF =，求三棱锥P ABC -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）12 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可证PE AB ⊥，再证PEC PEA ∆∆≌得到PE EC ⊥即可得证PE ⊥平面ABC .（2）连接CG 并延长交BE 于点O ，则点O 为BE 的中点，连接OF ，可得OF ⊥平面ABC ，即FGO ∠为GF 与平面ABC 所成的角，由勾股定理可计算出OF 、PE 的值，根据13ABC V S PE ∆=⋅求出锥体的体积. 【详解】（1）∵PA PB =，E 是AB 的中点，∴PE AB ⊥. ∵90ACB ∠=︒，E 是AB 的中点，∴EC EA =， 又PC PA =，PE PE =，∴PEC PEA ∆∆≌. ∴90PEC PEA ∠=∠=︒，即PE EC ⊥.AB ⊂Q 平面ABC ，EC ⊂平面ABC ，且AB EC E =I ，∴PE ⊥平面ABC .（2）连接CG 并延长交BE 于点O ，则点O 为BE 的中点，连接OF ，则OF PE P . 由（1）得OF ⊥平面ABC ，∴FGO ∠为GF 与平面ABC 所成的角，即60FGO ∠=︒. 又在Rt FGO ∆中，2GF =，∴1OG =，3OF =.∵G 是BCE ∆的重心，O ，F 分别是BE ，BP 的中点，∴3OC =，3PE =∵PA PB =，90APB ACB ∠=∠=︒，E ，O 分别是AB ，BE 中点，∴3AB =23CE =，3OE =，则在CEO ∆中，()()222222331223OE OC CE +=+===，∴OC AB ⊥.所以三棱锥P ABC -的体积111332ABC V S PE AB OC PE ∆=⋅=⋅⋅⋅⋅143323126=⋅⋅⋅=.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及三棱锥的体积的计算，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知两定点()2,2A -，()0,2B ，动点P 满足2PA PB=（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）轨迹C 上有两点E ，F ，它们关于直线l ：40kx y +-=对称，且满足4OE OF ⋅=u u u r u u u r，求OEF ∆的面积.【答案】（1）动点P 的轨迹是圆，其方程为()()22228x y -+-=（2）23【解析】 【分析】（1）设动点P 的坐标为(),x y 表示出2PA PB=.（2）根据对称，由垂径定理可得圆心()2,2在直线l ：40kx y +-=上，即可求出直线l 的方程，易知OC 垂直于直线l ，且OC R =.设EF 的中点为M ，则()()OE OF OM ME OM MF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，计算可得CM u u u u r ，ME u u u r ，EF u u u r的值，即可求出OEF S ∆的面积. 【详解】（1）设动点P 的坐标为(),x y ，则PA PB==整理得()()22228x y -+-=，故动点P 的轨迹是圆，且方程为()()22228x y -+-=.（2）由（1）知动点P 的轨迹是圆心为()2,2C ，半径R =圆上两点E ，F 关于直线l 对称，由垂径定理可得圆心()2,2在直线l ：40kx y +-=上，代入并求得1k =，故直线l 的方程为40x y +-=.易知OC 垂直于直线l ，且OC R =. 设EF 的中点为M ，则()()OE OF OM ME OM MF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ()()OM ME OM ME =+⋅-u u u u r u u u r u u u u r u u u r224OM ME =-=u u u u r u u u r ，又22222OM OC CM R CM =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，222ME R CM =-u u u r u u u u r.∴224CM =u u u u r，CM=u u u u r ME ==u u u r 2FE ME ==u u u r u uu r 易知OC FEP ，故O 到FE 的距离等于CM ，∴12OEF S ∆=⨯=【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，以及直线与圆的综合问题，属于中档题.21．已知函数()12sin e xf x a x -=--，()f x '是()f x 的导函数，且()00f '=.（1）求a 的值，并证明()f x 在0x =处取得极值；（2）证明：()f x 在区间()2,22k k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 有唯一零点.【答案】（1）12a =，证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据()00f '=求出a 的值，再通过计算导函数的正负情况说明函数的单调性，计算出极值点. （2）根据()20f k π≥，202f k ππ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由零点存在性定理可知函数()f x 在区间()2,22k k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 有零点，再证明零点的唯一性即可. 【详解】解：（1）()2cos xe f a x x -=-+'，令()00f '=，得210a -+=，∴12a =. ∴()1sin e xf x x -=--，()()cos ee 1e cos xx x f x x x --'=-+=-.当0x <时，e 1cos x x ->≥，()cos e 0xf x x -'=-+>，故()f x 是区间(),0-∞上的增函数.当0x >时，令()1cos xg x e x =-，则()()e sin cos xg x x x '=-，在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上，()0g x '<，故()g x 是0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的减函数，∴()()00g x g <=，即在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上，()()e 0x f x g x -'=<，因此()f x 是区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数.综上所述，()f x 在0x =处取得极大值()00f =.（2）由（1）()1sin e xf x x -=--，∵()221e0k f k ππ-=-≥（当且仅当0k =时，()00f =.）222e 02k f k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦至少有一个零点. 以下讨论()f x 在区间2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上函数值的变化情况：由（1）()()cos ee 1e cos xx x f x x x --'=-+=-，令()1cos x g x e x =-，则()()e sin cos x g x x x '=-，令()0g x '=，在()0,∞+上，解得4x m ππ=+，N m ∈.①当0k =时，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 递减，()004g g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭；在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x递增，102g π⎛⎫=>⎪⎝⎭.故存在唯一实数0,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x =，即()()000e 0x f x g x -'==.在()00,x上，()0f x '<，()f x 递减，()()00f x f <=；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 递增，而2e 02f ππ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()0f x ≤，当且仅当0x =时，()00f =.故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点. ②对任意正整数k ，在区间2,24k k πππ⎛⎫+⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 递减，()2221e 04k g k g k ππππ⎛⎫+<=-< ⎪⎝⎭，在区间2,242k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x 递增，2102g k ππ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，故存在唯一实数2,242k x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，使()0k g x =，即()()e 0kx k k f x g x -'==，在()2,k k x π上，因()0g x <，故()0f x '<，()f x 递减，在,22k x k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭上，因()0g x >，故()0f x '>，()f x 递增，()221e 0k f k ππ->->，()222e 02k k f x f k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫<+=-< ⎪⎝⎭，∴()()20k f k f x π⋅<，∴()f x 在区间()2,k k x π即2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦有唯一零点.综上，()f x 在区间()2,22k k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 有唯一零点. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与函数零点问题，属于综合题，难度比较大.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数）.（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线1l ，2l ，其中1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，1l 与2l 交于点()00,P x y ，求证：PA PB PM PN ⋅=⋅.【答案】（1）24y x =，开口向右，焦点为()1,0的抛物线；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据代入消元法得曲线C 的普通方程，根据方程特征确定曲线形状；（2）设直线方程参数方程形式，代入抛物线方程，根据参数几何意义得PA PB ⋅，同理可得PM PN ⋅，最后根据倾斜角关系证结论.【详解】由4y m =，得4y m =，代入24x m =，得24y x =，即24y x =， ∴C 的普通方程为24y x =，表示开口向右，焦点为()1,0F 的抛物线. （2）设直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为πα-，则直线1l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， 与24y x =联立得()222000sin 2sin 4cos 40t y t y x ααα+-+-=，设方程的两个解为1t ，2t ，则2001224sin y x t t α-=， ∴2001224sin y x PA PB t t α-⋅==， 则2200002244sin ()sin y x y x PM PN παα--⋅==-， ∴PA PB PM PN ⋅=⋅.【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数方程证明，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若()2f a <，求a 的取值范围；（2）当[],x a a k ∈+时，函数()f x 的值域为[]1,3，求k 的值.【答案】（1）()1,3-；（2）1或2.【解析】【分析】（1）根据绝对值定义化简不等式，即得结果；（2）先根据a 与1大小关系分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值，最后根据最值求参数.【详解】（1）()12f a a =-<，得212a -<-<，即13a -<<，∴a 的取值范围是()1,3-;（2）当1a …时，函数()f x 在区间[],a a k +上单调递增， 则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得2a =，()()max []213f x f a k a k =+=+-=，得1k =，当1a <时，()21,11,121,x a x f x a a x x a x a --⎧⎪=-<<⎨⎪-++⎩…„，则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得0a =，()()max []213f x f a k a k =+=+-=，得2k =.综上所述，k 的值为1或2.【点睛】本题考查绝对值定义以及根据函数值域求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.。

角 边 AC 、 BC 为 直 径 的 半 圆 的 面 积 之 比 为 3 ， sin DAB 4 , 则 5
cos DNC
.
三、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 10 分）
已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 2 ， S5 =20 .
(2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y (单位:元)．当六月份这种酸奶一天的进货量 n (单位:瓶)为多少
时,Y 的数学期望达到最大值？
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
21．（本小题满分 12 分）
（Ⅱ）若等比数列 bn
满足
a4
b4
9
，且公比为
qபைடு நூலகம்
，从①
q
2
；②
q
1 2
；③
q
1 这三个条件中任选一个作为
2b
”的（
）
D．{x | x 4}
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 若 2 cos 2x 1 sin 2x ，则 tan x （ ）
A． 1
B． 1 3
C． 1或 1 3
D． 1或 1 或 3 3
5．已知斜率为 k (k 0) 的直线 l 过抛物线 C : x2 2 py ( p 0) 的焦点 F ，与抛物线 C 交于 A, B 两点，又直线 l 与
D． 2
2．已知集合 A {x | x ≥1}, B {x | (x 4)(x 2) ≥0} ，则 ðR ( A B) （ ）
A．{x | 2 ≤ x ≤1} B．{x |1≤ x ≤ 4}

20××年高考数学测试题（理科）（34）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，试卷满分150分，答题时间为120分钟．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3．非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整，笔迹清楚，请按照题号顺序在各个题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 参考公式如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么P(A B)P(A)P(B)=一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若集合}1|{2<=x x M ，}1|{xxy x N -==，则N M = A ．M B ．N C ．φ D ．}10|{}01|{<<<<-x x x x2．在复平面内，复数1＋i20××(1－i)2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos 0()(1)10xx f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩，则)34()34(-+f f 的值等于A ．2-B ．1C ．2D ．3 4．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ； 其中正确的命题个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，++11a b N (n N )、∈∈，则数列nb{a }前10项的和等于A.55B.70C.85D.1006．定义行列式运算1234a a a a =1423a a a a . 将函数3sin ()1cos xf x x的图象向左平移n （0n ）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 A ．6B ．3C ．56D ．237．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x，且(1)1,f (0)2f ，则(1)(2)(3)(2008)f f f f 的值为A ．-2B ．-1C ．0D ．18．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，!!(2)(4)642=--n n n n当n 为奇数时，!!(2)(4)531=--n n n n `现有四个命题：①(2007!!)(2006!!)2007!=， ②2006!!21003!=， ③2006!!个位数为0， ④2007!!个位数为5其中正确的个数为A .1 B.2 C.3 D .4二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每小题5分，满分30分.9．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值为 ． 10．设a ＝(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式61()a x x-展开式中含2x 项的系数是11．在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1， 则2221111CB CA h +=；类比此性质，如图，在四 面体P —ABC 中，若PA ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为 ；12．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22⨯列联表计算得2 3.918K ≈，经查对临界值表知2( 3.841)0.05P K ≥≈． 对此，四名同学做出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒FE DA r ：这种血清预防感冒的有效率为95% s ：这种血清预防感冒的有效率为5%则下列结论中，正确结论的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上） （1） p ∧﹁q ； （2）﹁p ∧q ； (3)（﹁p ∧﹁q ）∧（r ∨s ）； （4）(p ∨﹁r )∧(﹁q ∨s )▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分.13．（坐标系与参数方程选做题） 已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .14．（不等式选讲选做题） 已知g(x)=|x-1|-|x-2|,则g(x)的值域为 ；若关于x 的不等式2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题） 如图：PA 与圆O 相切于A ， PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知∠BPA=030，PA=PC=1，则圆O 的半径等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.16．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.17．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：23123456f(x)=x,f(x)=x ,f(x)=x ,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2. （1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分) 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =2π，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE =BAGFDECBAx ，G 是BC 的中点。

(
y0
4 x0 8 y0 2 (4 x0 2 4 x0 8) 2 2 4 y0 x0
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y0
8 y0 2 4 x0 2 8 4(2 y0 2 x0 2 ) 8 4 2 8 y y0 2 0． 0 2 2 2 2 2 4 y0 x0 4 y0 x0 4 y0 x0
2017 年佛山市普通高中数学青年教师基本功 解题能力展示试题参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 D 6 C 7 C 8 A 9 B 10 C 11 B 12 D
二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．
所以 S OAB
当且仅当
x0 2 2 时， OAB 面积的最小值为 2 ． … 7 分 y0 2 ，即 x0 1, y0 2 2
（Ⅲ）①当 x0 0 时， P(0, 1) ． 当直线 l : y 1 时，易得 Q(1, 2) ，此时 kF2 P 1 ， kF2Q 1 ． 因为 k F2Q k F2 P ，所以三点 Q, P, F2 共线． 同理，当直线 l : y 1 时，三点 Q, P, F2 共线． ②当 x0 0 时，设点 Q(m, n) ，因为点 Q 与点 F1 关于直线 l 对称，
3 1 < b6 ， 32 64 3 ． 64 3 ， ) ．…………………………………………10 分 64
0.3y，……………………1 分
∴ bn 的最大值是 b6
∴ 实数 k 的取值范围是 [
18. 解：（Ⅰ）随机变量 的可能取值为 0.6y，0， 随机变量 的分布列为