结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例(精)

最小势能原理、虚功原理解题示例最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。

例2.1如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A ，弹性模量均为E ，在节点1处作用水平集中力P，试用最小势能原理求各杆的内力。

图2.1解：令在外力作用下，节点1在x 向的位移为，在y 向的位移为。

x u y u 则有：杆号杆长杆变形1-22.5acos sin 0.60.8x y x y u u u u αα-=-1-32.236a0.4470.894x y u u -1-42.236a0.4470.894x y u u --杆应变能的表达式为：22EA U L L=∆则系统的总势能为：固树 （一）一次主题党词找标准、找差词，交流思想体会集中学习，每次确定习。

支部每季度召开于担当作为”、“坚1。

（三）开展“四个讲班子成到联系区县X X 局带头家学者给党员干部习教育实施方以下简称，做合“()()()()222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i xx y x y x y x x x y y xU Pu EA EAu u u u a aEAu u Pu a EA u u u u Pu a∏=-=-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：0;0x yu u ∂∏∂∏==∂∂即：()()0.3230.19200.1920.9720x y x y EAu u P a EAu u a--=-+=解得：3.510.694x y Pa u EA Pa u EA==杆的内力可由公式：求得，故各杆的内力为：EAN L L=∆1213140.620.4250.979N PN PN P---===-例2.2如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q ，试用最小势能原理求其挠度曲线。

虚功原理ΔCΔCyΔCxiP静定结构结构位移计算§4.1 应⽤虚⼒原理求刚体体系位移1、结构的位移：结构在荷载作⽤下，要产⽣内⼒和变形，结构的变形引起结构的位移，位移⼀般分为线位移和⾓位移两种，线位移是指结构上点的移动，⾓位移是指杆件横截⾯产⽣的转动。

2、产⽣位移的主要原因产⽣位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作⽤、②温度改变和材料胀缩、③⽀座移动和制造误差。

(1)荷载使静定结构产⽣内⼒、变形、位移；（2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产⽣内⼒、但能产⽣变形、位移；（3）⽀座移动或制造误差使静定结构不产⽣内⼒变形、但能产⽣位移；§4.2 结构位移计算的⼀般公式如结构在荷载、温度改变、⽀座移动等因素作⽤下⽽发⽣了图1所⽰变形和位移，这是结构的实际的位移状态。

要利⽤虚功⽅程求位移Δi2（状态②中i ⽅向的位移）。

应先虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载（如图2）。

求出虚拟⼒状态的内⼒和反⼒。

由虚功⽅程，即得平⾯杆系结构位移计算的⼀般公式：该式适⽤于：①静定结构和超静定结构；②弹性体系和⾮弹性体系；③各种因素产⽣的位移计算。

4.3 荷载作⽤下的位移计算如果弹性体系由荷载产⽣了内⼒（M P ，N P ，Q P ），⽽内⼒产⽣的变形可由材料⼒学公式得到：(a )M PM(b )注意：1．该式可⽤来求弹性体系由荷载产⽣的位移；2．该式既⽤于静定结构也⽤于超静定结构；3．第⼀、⼆、三项分别表⽰弯曲变形、轴向变形、剪切变形产⽣的位移；4．结构不同简化为：梁、刚架只考虑弯曲变形：桁架只有轴向变形：组合结构：对于具有弹性⽀承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加⼀项弹性⼒的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性⽀承和内部弹性联结的弹性⼒，两者⽅向⼀致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性⽀承和内部弹性联结的为刚度系数。

结构力学虚功原理结构力学虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它是通过能量方法来分析结构的力学性能和变形规律的一种理论工具。

虚功原理的提出，为结构力学的研究和工程实践提供了一种简洁而有效的分析方法，对于工程结构的设计和优化具有重要意义。

首先，我们来看一下虚功原理的基本假设。

虚功原理假设结构在受力作用下，其位移满足虚位移的要求。

所谓虚位移，是指在结构受力作用下，结构的位移不仅满足实际受力平衡条件，还需满足虚位移的平衡条件。

这个假设为后续的分析提供了基础，也是虚功原理得以应用的前提。

虚功原理的核心思想是能量守恒。

在结构受力作用下，结构内部会产生应变能和变形能，而外部施加的力会做功。

根据能量守恒的原理，结构受力平衡时，内部的能量增加等于外部做功，这就是虚功原理的基本表达式。

通过对这个表达式的分析，可以得到结构的受力方程和变形规律，为结构设计和分析提供了重要的依据。

虚功原理的应用非常广泛，它可以用于分析各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。

在工程实践中，虚功原理常常被用于分析复杂结构的受力性能，比如钢结构、混凝土结构等。

通过虚功原理的分析，可以得到结构的内力分布、变形情况，为结构的设计和施工提供了重要的参考依据。

除此之外，虚功原理还可以用于结构的优化设计。

通过对结构受力性能的分析，可以找到结构的薄弱环节，进而对结构进行合理的优化设计，提高结构的受力性能和使用效率。

这对于工程结构的安全性和经济性都具有重要意义。

总的来说，结构力学虚功原理是结构力学中的重要理论工具，它通过能量方法来分析结构的受力性能和变形规律，为工程结构的设计、分析和优化提供了重要的理论依据。

在工程实践中，虚功原理的应用具有重要的意义，可以帮助工程师更好地理解和分析结构的受力性能，为工程结构的设计和施工提供重要的参考依据。

通过对虚功原理的深入研究和应用，可以推动结构力学理论的发展，为工程结构的安全性和经济性提供更好的保障。

§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。

虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。

这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。

三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。

这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。

第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。

②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。

一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。

因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。

③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。

现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。

列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。

为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。

这种方法既方便而又不容易搞错。

在列方程时必须要注意这个问题。

∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。