第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法边长为a 的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆【题型目录】【题型目录】题型一： 建坐标系求向量值题型二： 三角形建坐标系求向量最值问题题型三： 四边形建坐标系求向量最值问题题型四： 多边形建坐标系求向量最值问题题型五： 建坐标系设三角函数求向量最值问题【典型例题】题型一： 建坐标系求向量值【例1】如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．-15B ．-13C ．13D ．14 利用向量坐标运算法则求出95EB ⎛= ⎝，，515EA ⎛=- ⎝1010则(7610BE BF FE BF FC +==+=-，(776,1010EA EF FA CF FA =+=+=-则92855EB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，515EA EB ⋅=-⨯故选：C ．【例2】已知正方形ABCD 的边长为2，以CD 为边作正三角形CDE ，使得,A E 位于直线CD 的两侧，则AC AE →→⋅的值为（ ）A ．6-B ．6-C ．6+D ．6+【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.【详解】以A 为坐标原点，以,AB AD 为,x y 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（ ）A 20OB OE OG ++=B ．2OA OD ⋅=-C ．4AG EH +=D ．AO 在OH 方向上的投影向量为 【答案】C【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.【详解】由题意，分别以,HD BF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：36045= OM AM =2AM ==，22(0,2)(2,2)(2,2)(0,0)0OB OE OG ++=-++-==，选项：()()222022OA OD ⋅=-⨯+-⨯=-，故B 正确，选项：(0,22),(22,2)AG EH ==---所以(0,22)(22,AG EH +=+---22(22)(2)AG EH +=--+选项：(2,2),(2,0)AO OH ==-所以AO 在OH 方向上的投影向量为：222242AO OH OH OH OH OH ⎛⎫-==- ⎪⎭，故D 故选：C.【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即1CE =丈10=尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇,AB AC 均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC DE ⋅=（ ）．A ．90平方尺B ．92平方尺C ．94平方尺D ．98平方尺 【答案】C【分析】设AB x =（尺），利用勾股定理可构造方程求得AB ，以A 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】设AB x =（尺），则1AC x =+（尺）， 5AD =（尺），()22251x x ∴+=+，解得：12x =．以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），则()0,0A ，()5,0D ，()5,12C ，()5,12E -，()5,12AC ∴=，()10,12DE =-，5014494AC DE ∴⋅=-+=（平方尺）． 故选：C.【例5】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1). (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.【题型专练】1．已知矩形ABCD 中，4AB ，2AD =，3DM MC =，BP PC =，则AM AP ⋅=（ ） A ．6B ．10C ．14D ．38 【答案】C 【分析】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，由条件得出点,P M 的坐标，进而得出向量,AP AM 的坐标，从而得出向量的数量积.【详解】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()0,4A , ()2,4,D ()2,0C由BP PC =，则()1,0P , 由3DM MC =，则()2,1M所以()1,4AP =-, ()2,3AM =-所以()()124314AM AP ⋅=⨯+-⨯-=故选：C2．（多选题）已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，下列结论正确的是（ ）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【详解】因为ABC 是边长为的等边三角形，AE EB =，的中点，且为原点建立平面直角坐标系，如图所示：，(1,AC =由2AD DC =得22,33AD AC ⎛== ⎝123,33D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，BD 的中点G ，连接GE ，易得GE AD 且GE CO ，⎭，0OC EO EC +=≠，故A 错误；，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故，31,2OA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,OB ⎛=-⎝，0,OC ⎛= ⎝，13OD ⎛=- ⎝所以13,33OA OB OC OD ⎛⎫+++=-- ⎪ ⎪⎝⎭，23OA OB OC OD +++=，故C 错误；D ，()1,3BC =-，13ED ⎛=- ⎝所以ED 在BC 方向上的投影为132BC ED BC+⋅=故选：BD.3．已知矩形ABCD ，3AB =，4=AD ．P 为矩形ABCD 所在平面内一点，1PA =， PC =则PB PD ⋅=______．【答案】0【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 坐标满足的关系，结合平面向量数量积的坐标运算，即可求得结果.【详解】以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：则()()()()0,0,3,0,0,4,3,4A B D C ，设点P 的坐标为(),x y ，则()(3,,,4PB x y PD x =--=-上述两式相减可得：则PB PD ⋅=2x +故答案为：0.4．如图，四边形ABCD 是边长为8的正方形，若14DE DC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=___________.【答案】20 【分析】建立平面直角坐标系，表示出来EA ，EF 的坐标，然后利用坐标求数量积即可.【详解】以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,8E ，()8,4F ，则()2,8EA =--，()6,4EF =-，所以()()268420EA EF ⋅=-⨯+-⨯-=. 故答案为：20.5．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为1，则a b ⋅=___________.【答案】6-【分析】根据向量的坐标运算求解即可【详解】由图可得()()2,1,3,0a b ==-，故6a b ⋅=- 故答案为：6-题型二： 三角形建坐标系求向量最值问题【例1】已知在边长为2的正三角形ABC 中，M ､N 分别为边BC ､AC 上的动点，且CN BM =，则AM MN ⋅的最大值为（ ）A ．73-B ．43-C ．13D ．34则(20)BC =，，(1CA =-，，设BM tBC =(0t ≤则t CN CA =(01t ≤≤)，则10)-，，(1N t -，∴(213)AM t =--，，(233)MN t t =-，，∴(21)(23)(3)(3)6MN t t t A M ⋅=-⨯-+-⨯=-当13t =时AM MN ⋅取最大值43-故选：B.【例2】已知OAB △是边长为1的正三角形，若点P 满足()()2OP t OA tOB t =-+∈R ，则AP 的最小值为 AB ．1 CD【答案】C【解析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立坐标系，∴OAB △为边长为1的正三角形，()1,1,02A B ⎛∴ ⎝⎭，∴()2OP t OA tOB =-+1122t t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，11,2222AP OP OA t ⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴12AP⎛===≥ 故选C ．【例3】在Rt ∴ABC 中，∴C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP ·BP 的最小值为（ ） A ．－12B ．0C ．4D ．－1【答案】A【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点P 的坐标，写出CP BP ，的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果.【详解】依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0，2)，D (2，0)，所以直线BD 的方程为y ＝－x ＋2， 因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以可设P (t ，2－t )(0≤t ≤2)， 所以CP ＝(t ，2－t )，BP ＝(t ，－t )，所以CP ·BP ＝t 2－＝12时，CP ·BP 取得最小值－故选：A.【点睛】本题考查用解析法求平面向量的数量积，注意参数范围即可，属基础题【例4】已知ABC 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．22a - B ．232a -C ．243a -D ．2a -()PA PB PC ⋅+；利用平方为非负数的特性求得最小值．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系则()()(,3,,,,PA x a y PB a x y PC a x =--=---=-所以()PA PB PC ⋅+()()(),3,,x a y a x y a x y --⋅---+--⎡⎤⎣⎦ ()(),32,2x a y x y --⋅-- 22223y ay +-【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题． 【例5】在直角∴ABC 中，90,1BCA CA CB ∠=︒==,P 为AB 边上的点且AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅≥⋅，则λ的取值范围是A ．1[,1]2B ．12[,22C ．22[]22D ．2[2【答案】D【详解】分析：把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围． 详解：∴直角∴ABC 中，∴BCA=90°，CA=CB=1，∴以C 为坐标原点CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，如图：C （0，0），A （1，0），B （0，1），()11AB =-，， ∴AP =λAB ， ∴λ∴[0，1]()11AP λ=-，，()1CP ，λλ=-，()11PB ，λλ=--． CP •AB ≥PA •PB ，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ． 2λ2﹣4λ+1≤0，点睛：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想． 【例6】已知AB AC ⊥， 1AB t=， AC t =，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯-=1174t t--17-≤= 13（当且仅当14t t =，即12t 时取等号），所以PB PC ⋅的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2- B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．，则(,PA x =-，(1PB =--，(1PC x =-则22()222[(PA PB PC x x y +=-+-当0x =，32y =时，取得最小值32(4⨯-故选：B ．2．在ABC 中，满足AB AC ⊥，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则()OA OB OC ⋅+的最小值为（ ）A ．0B ．C ．12-D ．2【分析】由已知可得ABC 为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数量积，进而可得【详解】由AB AC ⊥，2AB AC ==ABC ∴为等腰直角三角形，以A 为原点，AB ，AC 为x 轴和y 轴建立直角坐标系，如图所示，M 是BC O 是线段∴可设O 2(2OB ∴=，(,OC x =-，(,OA x =-()222OB OC x ∴+=-，()()()2224OA OB OC x x x ∴⋅+=---=故当24x =时，()OA OB OC ⋅+的最小值为1故选：C ．3．在Rt ABC 中90,2,4C CB CA ∠=︒==，P 在边AC 的中线BD 上，则CP BP ⋅的值可以为（ ） A ．12-B ．0C ．5D ．1-【答案】AB【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点P 的坐标，写出CP BP ，的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的性质，可求得CP ·BP 的最值得选项.【详解】解：依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x ，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，所以CP ＝(t ，，BP ＝(t ，－所以CP ·BP ＝t 2－－t )＝2t 2＝12时，CP ·BP 取得最小值－时，CP ·BP 取得最大值故选：AB.4．在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．28 可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得【详解】以A 为原点，则(,),(2,2),(32MA x y MB x y MC =--=---=-(MA MB MB MC MC MA x =⋅+⋅+⋅=5．如图，在∴ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，A ＝60°．若D 为BC 边上的任意一点，M 为线段AD 的中点，则()MB MC AD +⋅的最大值是_____．()MB MC AD +⋅，再利用二次函数的最值，142122⨯⨯⨯=，(232,2),(2,MB MC x AD x +=--=-()2(232)4MB MC AD x x +⋅=-+=当32x =时，()MB MC AD +⋅的最大值，最大值是故答案为：7.【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量数量积的最值，属于较难题. 6．已知0AB AC ⋅=，M 是BC 的中点(1)若2AB AC =，求向量AB AC -与向量AB AC +的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上的任意一点，且22AB AC ==，求⋅+⋅OA OB OC OA 的最小值．）建立直角坐标系，设出数据，写出向量AB AC -与向量AB AC +的坐标，代入夹角公式，计算的坐标，写出各个向量的坐标，代入⋅+⋅OA OB OC OA 计算得关于x ）因为0AB AC ⋅=，所以为原点，AB y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．AC a =，则，所以()(2,,2,AB AC a a AB AC a -=-+=设向量AB AC -与向量AB AC +的夹角为θ，所以()()2243cos 555AB AC AB AC a a a a AB AC AB ACθ-⋅+-===⋅-⋅+；22AB AC ==，所以[],,0,12x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，⋅+⋅OA OB OC OA()2OA OB OC OA OM =⋅+=⋅ 12,1,222x x x x ⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22244x x x x ⎫⎛-+-⎪ ⎝⎭当且仅当12x =时，⋅+⋅OA OB OC OA 取得最小值58-． 题型三： 四边形建坐标系求向量最值问题 【例1】如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅ 1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∴3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3,22A ⎛ ⎝⎭,∴又∴16AD BC =,则5,22D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132.【例2】如图，四边形ABCD 满足：1,2,3AB AD BD BC C π====∠=．若点M 为线段BD 上的动点，则AM CM ⋅的最小值为（ ）A ．54-B ．2516-C ．58-D ．158-【答案】B∴(AM CM x x ⋅=当58x =时，AM CM ⋅的最小值为故选：B ．【点睛】关键点点睛：构建坐标系，设【例3】已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=︒，AP AB ⋅的取值范围是（ ） A ．[2,4]- B ．(2,4)- C ．[2,2]- D ．(2,2)-，则可得AP AB ⋅的表达式，根据(13)D -，.，故(,AP AB x y ⋅=即AP AB ⋅的取值范围是4]，. 故选：A【例4】如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从D 点出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到C 点，在此过程中CD DE ⋅的最大值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．﹣1【答案】A【分析】以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出C 、D 、E 点坐标，然后分类讨论E 在线段DA ，AB ，BC 时，并结合数量积的坐标公式求DE CD →→⋅的最大值即可求解. 【详解】以BC 、BA 所在直线为x 轴、y 轴，建立坐标系如图:可得(0,1)A ，(0,0)B ，(1,0)C ，(1,1)D ， ∴当E 在DA 上，设1(,1)E x ，其中101x ≤≤， 此时1(1,0)DE x →=-，(0,1)CD →=， 故0DE CD →→⋅=；∴当E 在AB 上，设1(0,)E y ，101y ≤≤， 此时1(1,1)DE y →=--，(0,1)CD →= 110DE CD y →→⋅=-≤此时DE CD →→⋅最大值为0；∴当E 在BC 上，设2(,0)E x ，其中201x ≤≤， 2(1,1)DE x →=--，(0,1)CD →=，此时1DE CD →→⋅=-，综上所述，DE CD →→⋅的最大值是0. 故选：A ．【例5】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（ ）A ．83B ．214C ．114-D ．133-(AM DM a ⋅=-【详解】以B 点为原点，以所示，过点D 作因为,AB BC ⊥，则(2,),(3,AM a DM =-=-所以36(3)(2AM DM a a a ⋅=+-=-所以AM DM ⋅的最小值为214. 故答案为：B.【题型专练】1．正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围为__________．点坐标，求出各点及()AP PB PD ⋅+的坐标，代入所(,AP x x =，(1PB =-，(,1PD x =-()2(1AP PB PD x ∴⋅+=2114(044x x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭当14x =时，函数有最大值为()AP PB PD ∴⋅+的取值范围是4⎣⎦2．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为______. 【详解】则(32,PA PB +=-325PA PB +=+故答案为：5【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，求：(1)DE CB ⋅的值； (2)DE DC ⋅的最大值． 【答案】(1)1，(2)1【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解. (1)解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()()0,0,0,1,1,1D C B ，设()()1,,01E x x ≤≤， 所以()()1,,1,0DE x CB ==， 所以1101DE CB x ⋅=⨯+⨯=； (2)因为()()1,,0,1DE x DC ==， 所以101DE CB x x ⋅=⨯+⨯=， 因为01x ≤≤，所以DE DC ⋅的最大值是1.4．如图，,E F 分别是矩形ABCD 的边CD 和BC 上的动点，且2,1AB AD ==.（1）若,E F 都是中点，求EF AC ⋅.（2）若,E F 都是中点，N 是线段EF 上的任意一点，求AN NB ⋅的最大值. （3）若45EAF ∠=︒，求AE AF ⋅的最小值. ）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求EF AC ⋅.由EN EF λ=求N 关于应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求AN NB ⋅，则45DAE ∠=︒-，可得cos AF AE θ⋅=，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求AE AF ⋅的最小值【详解】1,1(1,EF =-,(2,1)AC =∴32EF AC ⋅=. （2）由（1）知，设1),(1,(,1,22EN EF x y λλλλ===---1(1,12N λλ+-，1(1,1),(1,2AN NB λλλ=+-+=-+∴2115(1)(1)224AN NB λλλλλ⋅=+-+-=-+=-时，AN NB ⋅最大值∴cos 45AF AE AF AE ⋅=21cos 2sin 22222θθ=++当且仅当24590θ+︒=︒时，等号成立，故AF AE ⋅最小值是5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，2CD =，60DAB ∠=︒，（1）AD DC ⋅=________．（2）P 是AB 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为___________．）根据图形，应用数量积的定义求AD DC ⋅即可.）令PA BA λ=且0≤，将PC PD ⋅转化为()()PA AD DC PA AD ++⋅+，结合数量积的运算律得到关的函数，即可求最小值【详解】（1）由题设知：1||||cos604242AD DC AD DC ⋅=︒=⨯⨯=.（2）若PA BA λ=且01λ≤≤，∴PD PA AD =+，PC PD DC PA AD DC =+=++，∴2()()PC PD PA AD DC PA AD PA AD PA DC PA ⋅=++⋅+=+⋅+⋅2PA AD AD DC AD +⋅++⋅，∴22325302025()115PC PD λλλ⋅=-+=-+，故当35λ=时，PC PD ⋅的最小值为11.故答案为：4，11. 题型四： 多边形建坐标系求向量最值问题【例1】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．由正八边形的性质可得轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，A 、C 、E 点坐标及AE 、AF 、AC 坐标，根据AE AC AF λμ=+的坐标运算可得答案.【详解】45⎫=⎪， 18045135-=，所以22.5，13522.5112.5-∠=-=HAB CAB ，所以180∠=AHO ，轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2=====OD OF OE OA OC ，(0,2F 2=MC ，所以(22,2=AE ，(2,2=AF ，(22,0=AC 由AE AC AF λμ=+得()22,22,0μ+即()222222222λμμ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得22-， 所以2222λμ+=-+-【例2】设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． (2221288PA PA PA x +++=22.5|OP ≤【详解】以圆心为原点，所在直线为于是(2221288PA PA PA x +++=cos 22.5||1OP ≤≤，所以245x ≤+，故222128PA PA PA +++的取值范围是故答案为：[1222,16]+．【题型专练】 1.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ）A. ()2,6-B. (6,2)-C. (2,4)-D. (4,6)-【答案】A【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，题型五： 建坐标系设三角函数求向量最值问题【例1】（多选题）如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（ ）A ．||OA OC +有最大值也有最小值B ．OA OC ⋅有最大值无最小值 C ．||OA BC +有最小值无最大值D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值 ()30,090α<<，所以)30),sin(30)α+， ()2sin ,2cos BC αα=-.由2OA OC +化简为30)根据；由OA OC ⋅化简为1sin(230)2α++根据α的范围可判断B ；由2OA BC +化简为60)+根据α的范围可判断C ；由OA BC ⋅化简为214sin α-根据α的范围可判断D.【详解】由题意30BCA ∠=，2,90BC A =∠=，所以3,1AC AB ==，设OCB α∠=，的补角即AB 与x 轴正半轴的夹角()30,090ABx αα∠=+<<，)30),sin(30)α+，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，(2sin BC α=-所以()3sin(30),sin(30)2cos OA OC ααα+=+++()()2223sin(30)sin(30)2cos OA OC ααα+=+++224sin (30)4cos 4sin(30)cos αααα=++++54sin(230)α=++，由于090α<<，所以30230210α<+<，3090+=得30α=时，sin(230)α+取最大值为2OA OC +有最大值为459+=，无最小值， 故||OA OC +有最大值无最小值，即错误；所以12cos 30)sin(230)2OA OC α⋅==++， 由于090α<<，所以30230210α<+<，23090α+=得30α=时，sin(230)α+取最大值为1130)2α++的最大值为131+=，无最小值，故OA OC ⋅有最大值()()22230)2sin sin(30)2cos OA BC ααα+=-+++22223sin (30)4sin 43sin(30)sin sin (30)4cos 4sin(30)cos αααααααα=++-++++++24sin (30)443sin(30)sin 4sin(30)cos ααααα=++-+++423sin(260)α=++，090α<<，所以60260240α<+<，6090+=得15α=时，sin(260)α+取最大值2OA BC +有最大值423+，无最小值，||OA BC +有最大值3+无最小值，故C 错误；23sin 30)2cos sin(30)OA BC ααα+⋅-=+ 33123sin sin 2cos sin cos 222ααααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝= ⎪⎝⎭⎭23sin α--=090α<<，所以0sin 1α<<，2314sin 1α-<-<，OA BC ⋅既无最大值也无最小值，故选：BD.【例2】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的直径均为1，∴ABE ，∴BEC ，∴ECD 均是边长为1的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP BD ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．3+C ．3D ．所以1cos 2AP ⎛ =⎝．3,2BD =⎛ ⎝故331sin 22AP BD α⎛⋅=⨯⨯ 所以AP BD ⋅的最大值为故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题【例3】如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角ABC 的斜边AB ，直角边BC ，AC ．若BC =2AC =，E 为半圆1O 弧的中点，F 为半圆2O弧上的任一点，则⋅BE AF 的最大值为（ ）A ．BC ．D ．4 点坐标，用坐标法计算⋅BE AF ，利用三角函数性质求得最大值．轴建立平面直角坐标系，则2(3,3),(cos BE AF θ=--=3cos 3BE AF θ⋅=-+-322ππθ≤≤，则344ππθ≤+所以⋅BE AF 取得最大值3故选：B.【题型专练】1.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC ⋅的最大值是（ ）A．1B C．2D．故(cosOB=同理可求得，即(sin=OCθ所以(cos sin,cos)(sin,cos sin⋅=+⋅+OB OCθθθθ所以当sin21θ=时，OB OC⋅取得最大值为2，故选：C．2．如图，在半径为4的扇形AOB中，=120∠，点P是AB上的一点，则·AOBAP BP的最小值为（）A．8-B．3-C．2-D．4-，建系，写出各点的坐标，将·AP BP表示为关于所在的直线为2π则(4cos AP =，(4cos BP =所以，()(4cos 234cos ·AP BP =⋅因为，203πθ≤≤，所以56π≤. 则，当62ππθ+=，即时，该式子有最小值为A. 3．（多选题）已知扇形AOB 的半径为1，120AOB ∠=︒，点C 在弧AB 上运动，12OC xOA yOB =+，下列说法正确的有（ ）A ．当C 位于A 点时，x y +的值最小B ．当C 位于B 点时，x y +的值最大 C ．CA CB ⋅的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．OC BA ⋅的取值范围33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π03θ，A 因为12OC xOA yOB =+，而(1CA=-，12CB⎛=-⎝所以1(cos cos2CA CBθ⋅=---113cos222θ--sinθ⎛-+⎝2π3θ，所以ππ5π666θ+,故12≤所以CA CB⋅的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故()(cosOC OA OB⋅-=，sin)θ，3,2⎛-⎝因为2π3θ，所以ππ5π666θ+,故-⎝π3cos6θ⎛⎫⎡⎤∴+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴3()2OC OA OB⎡⋅-∈-⎢⎣故选：ACD4．如图，点C是半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB上的点．(1)若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求OC OD+的最小值：(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE CD⋅的取值范围．，则OC OD t ⎛+=- ⎝222222OC OD t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22时，min 22OC OD +=，即OC OD +的最小值为2.11⎛⎫⎛⎫3⎡⎤所以cos CE CD ⎛⋅= ⎝30,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则所以1,12CE CD ⎡⋅∈⎢⎣。
