平面向量题型归类及解题方法

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案考点题型与解题方法单选题1、下列说法错误的是（ ）A ．向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度与向量AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等2、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是（ ）A ．[−4√2,4√2]B ．[−4√2,8+4√2]C ．[8−4√2,8+4√2]D ．[−4√2,8−4√2] 3、已知a ⃗=(2,−1), b ⃑⃗=(x, 4)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，则|a ⃗+b ⃑⃗|=（ ） A ．1B ．3C ．√5D ．54、如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB ⌢的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若AB =2，则|AC⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[√2,3]C ．[3,√10]D ．[√2,√10]5、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ） A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同； C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗6、在△ABC 中，已知a =11，b =20，A =130°，则此三角形（ ） A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定7、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2√3B ．−2√3iC ．√3−3iD ．3+√3i8、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．34C ．√24D ．√23多选题9、在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC B ．若A >B ，则sin2A >sin2B C ．a =bcosC +ccosB D ．若(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|+AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|⋅AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12，则△ABC 为等边三角形10、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2√3，c =3，A +3C =π，则下列结论正确的是（ ） A ．cosC =√33B ．sinB =√23C ．a =3D ．S △ABC =√211、已知e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ |的最小值为√32，则下列结论正确的是（ ） A ．e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 的夹角是π3B ．e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 的夹角是2π3 C ．|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=√32D ．|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=1填空题12、已知A(1,0)，B(0,1)，O 为坐标原点，t ∈[0,1]，则|tAB⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为______．部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(四)参考答案1、答案：D分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.A.向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与向量AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向相反，长度相等，故A 正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D 不正确. 小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型. 2、答案：B分析：先求出AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围即可.如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2， 于是AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 等于AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的模与AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的乘积， 又|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√2，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为2√2×(−2)=−4√2． 则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ． 3、答案：D分析：利用向量的垂直，求出x ，然后求解向量的模．解：a ⃗=(2,−1)，b ⃑⃗=(x,4)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，可得2x −4=0，解得x =2， 所以a ⃗+b ⃑⃗=(4,3)，则|a ⃗+b ⃑⃗|=√42+32=5． 故选：D ． 4、答案：D分析：根据题意可得出0≤|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤2，然后根据向量的运算得出|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2= (|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1，从而可求出答案.因为点C 为AB⌢的中点，AB =2，所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2,∠CAB =π4， 所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2=AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2+|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2+2|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cos π4=|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2+2|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+2=(|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1， 因为点M 为线段AB 上的一点，所以0≤|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤2，所以2≤(|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1≤10， 所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是[√2,√10], 故选：D. 5、答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确. 故选：D. 6、答案：A分析：根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为180°，即可判断解的情况. ∵a <b ，∴A <B ，又∵A =130°，∴A +B +C >180°， 故此三角形无解． 故选:A. 7、答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3， ∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i 2)=32−3√3i2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ． 8、答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B 9、答案：ACD分析：A 由正弦定理及等比的性质可说明；B 令A =π3,B =π6可得反例；C 由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理即可证；D 若AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AG⃑⃑⃑⃑⃑⃗，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ABC 的形状. A ：由asinA =bsinB =csinC ，根据等比的性质有bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC ，正确； B ：当A =π3,B =π6时，有sin2A =sin2B ，错误；C ：sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)，而B +C =π−A ，即sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理易得a =bcosC +ccosB ，正确；D ：如下图，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|是单位向量，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗| =AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，即AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0、AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=12，则AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗且AG 平分∠BAC ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为π3， 易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD小提示：关键点点睛：D 选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状. 10、答案：AD解析：根据正弦定理得到cosC =√33，sinB =sin2C =2√23，根据余弦定理得到a =1，S △ABC =√2，得到答案.A +3C =π，故B =2C ，根据正弦定理：bsinB=c sinC，即2√3sinC =3×2sinCcosC ，sinC ≠0，故cosC =√33，sinC =√63，sinB =sin2C =2sinCcosC =2√23. c 2=a 2+b 2−2abcosC ，化简得到a 2−4a +3=0，解得a =3或a =1， 若a =3，故A =C =π4，故B =π2，不满足，故a =1. S △ABC =12absinC =12×1×2√3×√63=√2.故选：AD .小提示：本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11、答案：ABD分析：根据条件知，(e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2的最小值为34，结合二次函数与方程的特点可求出e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 的夹角为π3或2π3，从而求出|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |的值．∵ e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 是两个单位向量，且|e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ |的最小值为√32，∴ (e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2的最小值为34，(e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2=λ2+2λe 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ +1的最小值为34，即λ2+2λe 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ +14=0在λ∈R 上有唯一一个解，所以Δ=(2e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ )2−1=0，所以e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ =±12∴ e 1⃑⃑⃑ 与e 2⃑⃑⃑ 的夹角为π3或2π3，所以A,B 正确，∴ |e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |2=1或3， ∴ |e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=1或√3，所以D 正确，故选：ABD ． 12、答案：54解析：根据向量的数量积运算，结合函数的性质即可求出． 解：∵A(1,0)，B(0,1)，∴ AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1)，AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0)，BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1)，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)， ∴|tAB⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |， =|t(−1，1)−(−1，0)|+|34(0，−1)−(1−t)(1，−1)|，=|(1−t ，t)|+|(t −1，14−t)|，=√(1−t)2+t 2+√(t −1)2+(14−t)2， =√2t 2−2t +1+√2t 2−52t +1716， =√2(√t 2−t +12+√t 2−54t +1732)，=√2(√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2)， 令f(t)=√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2，令T(t,0)，M(12，12)，N(58，−38)，则f(t)=|MT|+|TN|⩾|MN|=5√28，此时t =47∈[0，1]，则当t =47时，则|tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为54． 所以答案是：54．小提示：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，解答的关键是将f(t)=√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2转化为动点T(t,0)到两定点的距离之和，从而求出函数的最小值．。

平面向量题型归纳题型一 平面向量的线性运算例 1：记 N ᰰᰰ ᰰ，y ＝ ᰰt ᰰ ≤ y t N i !{ᰰ，y }＝ y t ᰰ ≤ y设 a t b 为平面向量，则()yt ᰰ ݔ y ᰰt ᰰ ݔ yA ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |}B ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |}C ．N ᰰᰰa +b 2t a －b 2≤ a 2 + b 2D ．N ᰰᰰa +b 2t a －b 2≤a 2 +b 2【答案】：D【解析】方法一：对于平面向量 a t b t |a + b |与|a －b |表示以 a t b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又 a + b t |a －b |中的较大者与 a t |b |一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有 N ᰰᰰ a + b 2t a －b2≤ a 2 + b 2 ,故选项 D 正确，选项 C 错误．方法二：若 a t b 同向，令 a ＝2t |b |＝3，这时|a + b |＝5，|a －b |＝1，N i !{|a + b |，|a －b |}＝1，N i !{|a |，|b |}＝2；若令|a |＝2，|b |＝6，这时 a + b＝8t a －b ＝4t N i !{ a + b t |a －b |}＝4 ， 而 N i !{ a t |b |}＝2 ， 显然对任意 a t b ， N i !{|a + b |，|a －b |} 与N i !{ a t |b |}的大小关系不确定， 即选项 A 、B 均错． 同理， 若 a t b 同向， 取|a |＝1t |b |＝2， 则 a + b＝3t |a －b |＝1，这时 N ᰰᰰa +b 2t a －b 2= ⸹，而 a 2+b 2 ＝5，不可能有 N ᰰᰰ a + b 2t a －b 2≤a 2 +b 2，故选 C 项错．【易错点】平面向量加减法线性运算性质。

平面向量一.向量的基本概念与基本运算1①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x2121y y x x2求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC uuu r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a； (ii) a +(a )=(a )+a =0 ； (iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r作为基底量的基本定理知，该平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r 的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr (2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r，则1212a b x x y y r r若a b rr ，则02121 y y x x3及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积 1已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r ︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影为射影3a r ·b r 等于a r的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积42||a a a a r r r r52222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =r7已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =121x x y y 已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =222221212121y x y x y y x x当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD u u u r u u u r. （5）若AB CD u u u r u u u r，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若a r 与b r 共线， b r 与c r 共线，则a r 与c r共线. （8）若ma mb r r ，则a b r r.（9）若ma na r r，则m n .（10）若a r 与b r 不共线，则a r 与b r都不是零向量. （11）若||||a b a b r r r r，则//a b r r . （12）若||||a b a b r r r r，则a b r r .题型2.向量的加减运算1.设a r 表示“向东走8km ”, b r 表示“向北走6km ”,则||a b r r.2.化简()()AB MB BO BC OM u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r.3.已知||5OA u u u r ,||3OB u u u r ,则||AB uuu r的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD u u u r u u u r u u u r 为与的和向量，且,AC a BD b u u u r r u u u r r ，则AB u u u r ，AD u u u r.5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB u u u r u u u r ,则AC u u u r BC uuu r ，AB u u u rBC uuu r .题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b r r r r （2）2(253)3(232)a b c a b c r r r r r r2.已知(1,4),(3,8)a b r r ，则132a b rr .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b r r ，如下图，请做出向量132a b r r和322a b r r .a rb r题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC u u u r u u u r ，表示AD u u u r. 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b u u u r u u u r rr ，求AB AD u u u r u u u r 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB u u u r，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ u u u r，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F r ,2(2,3)F r ,3(1,4)F r,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a r，(5,2)b r ，求a b r r ，a b r r ，32a b r r .5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y r与AB u u u r 相等，求,x y 的值. 6.已知(2,3)AB u u u r ，(,)BC m n u u u r ，(1,4)CD u u u r ，则DA u u u r.7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B ，且30AB BC u u u r u u u r r ，求OC uuu r的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e u r u u r u r u u r 和 B.1221326e e e e u r u u r u u r u r 和4 C.122133e e e e u r u u r u u r u r 和 D.221e e e u u r u u r u r 和2.已知(3,4)a r ，能与a r构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55 D.4(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA u u u r ，150xOA o，求OA u u u r 的坐标.2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||OA u u u r ，60xOA o，求OA u u u r 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）a b r r ，（2）()a a b r r r ， （3）1()2a b b r r r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（2）a b r r ，（3）(2)a a b rr r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b r r，12a b r r ，求a r 与b r 的夹角.2.已知(2)a b r r，求a r 与b r 的夹角.3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC . 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，求（1）||a b r r ，（2）|23|a b r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（5）||a b r r ，（6）1||2a b rr .3.已知||1||2a b r r ，，|32|3a b r r ，求|3|a b r r .题型12.求单位向量 【与a r 平行的单位向量：||ae a rr r 】1.与(12,5)a r平行的单位向量是 . 2.与1(1,)2m r平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a r，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）//a b r r ？（2）a b r r ？2.已知(1,2)a r，(3,2)b r ，（1）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 垂直？ （2）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r平行？3.已知a r 是非零向量，a b a c r r r r ，且b c r r ，求证：()a b c r rr .题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A ，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线.2.设5),28,3()2AB a b BC a b CD a bu u u r rr u u u r r r u u u r r r ，求证：A B D 、、三点共线.3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b u u u r r r u u u r r r u u u r r r，则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A ，(8,1)B ，若点(21,2)C a a 在直线AB 上，求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B ，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC u u u r u u u r u u u r成立？题型15.判断多边形的形状1.若3AB e u u u r r ，5CD e u u u r r ，且||||AD BC u u u r u u u r,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A ，(6,3)B ，(0,5)C ，求证：ABC 是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC u u u r u u u r u u u r,求证：ABC 是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a r，(2,1)b r ，当k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 平行？2.已知a r，且a b r r ，||2b r ，求b r 的坐标. 3.已知a b r r 与同向，(1,2)b r，则10a b r r ，求a r 的坐标.3.已知(1,2)a r ，(3,1)b r ，(5,4)c r，则c r a r b r .4.已知(5,10)a r ，(3,4)b r ，(5,0)c r，请将用向量,a b r r 表示向量c r .5.已知(,3)a m r，(2,1)b r ，（1）若a r 与b r 的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a r 与b r的夹角为锐角，求m 的范围.6.已知(6,2)a r，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）a r 与b r 的夹角为钝角？（2）a r 与br 的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A ，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC ，2AB CD ，求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B ，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30o 角，求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC 三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，（1）若0AB AC u u u r u u u r，求c 的值；（2）若5c ，求sin A 的值.【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b r r r r ，求||a b r r 和向量,a b r r的夹角.2.已知x a b r r r ，2y a b u r r r ，且||||1a b r r ，a b r r ，求,x y r u r的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b r r ，则(32)(25)a b a b r r r r.4.已知两向量(3,4),(2,1)a b r r，求当a xb a b r r r r 与垂直时的x 的值. 5.已知两向量(1,3),(2,)a b r r，a b r r 与的夹角 为锐角，求 的范围.11 变式：若(,2),(3,5)a b r r ，a b r r 与的夹角 为钝角，求 的取值范围.选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c r r r ，则c r （ ） A.1322a b r r B.1322a b r r C.3122a b r r D.3122a b r r 2.排除法例：已知M 是ABC 的重心，则下列向量与AB u u u r 共线的是（ ）A.AM MB BC u u u u r u u u r u u u rB.3AM AC u u u u r u u u rC.AB BC AC u u u r u u u r u u u rD.AM BM CM u u u u r u u u u r u u u u r。

思路探寻求解平面向量问题的三种方法陈燕华平面向量是高考数学试题中的重点考查内容，通常会考查平面向量的定义、定理、运算法则，以及与不等式相结合的综合性问题.由于向量既具有“数”的形式，也有对应的图形，所以解答平面向量问题一般可以从几何和代数两个角度入手.本文重点介绍三种求解平面向量问题的方法，以帮助同学们拓宽解题的思路.一、基底法基底法是指运用平面向量的基本定理来解题的方法.在解题时，需首先选取两个不共线的基底向量 e 1、 e 2，根据平面向量的基本定理，将问题中的其他向量都用基底向量 e 1、e 2表示出来，然后运用平面向量的运算法则来解题.基底法是解答平面向量问题的基本方法.例1.如图1，在△ABC 中，BC =AC =1,AB =3, CE =x CA , CF =x CB ,其中x ,y ∈()0,1，且x +4y =1，若M 、N 分别是线段EF 、AB 中点，则线段MN 长度最小值为_____.解：选取 CA 、CB 为基底向量，∵ CM =12 CE +12 CF =x 2 CA +y 2CB ，CN =12 CA +12CB ,∴ MN = CN - CM =æèöø12CA +12 CB -æèçöø÷x 2 CA +y 2 CB =æèöø12-x 2 CA +æèçöø÷12-y 2CB ，∴|| MN 2=éëêùûúæèöø12-x 2 CA +æèçöø÷12-y 2 CB 2=æèöø12-x 22+æèçöø÷12-y 22-æèöø12-x 2∙æèçöø÷12-y 2，∵x +4y =1，x =1-4y ∈()0,1，∴y ∈æèöø0,14，∵|| MN 214()21y 2-6y +1，y ∈æèöø0,14，y =时，|| MN 2有最小值17，即 MN 最小值为.运用基底法解题的关键是，选取合适的基底向量，运用向量的基本定理和运算法则解题.二、平方法平面向量中有很多关于向量的模的运算问题.在解答此类问题时，我们可以运用平方法来求解.我们知道||a 2=a 2，在解答与平面向量的模有关的问题时，可以首先将向量的模平方，便可将问题转化为常规的平面向量运算问题，然后利用平面向量的运算法则便可使问题获解.例2.已知点A 、B 、C 分别是圆O ：x 2+y 2=1上任意不同的三点，若 OA =3 OB +xOC ,则正实数x 的取值范围是_____.解：由题意可得，|| OA =|| OB =||OC =1，两边平方可得， OA 2=()3 OB +x OC 2，即1=9+x 2+6x cos ∠BOC ，∵点A 、B 、C 分别是圆O ：x 2+y 2=1上任意不同的三点，∴∠BOC ∈()0，π，则-1＜x 2+86x＜1，解不等式可得2＜x ＜4或-4＜x ＜-2，∵x 为正实数，∴x 的取值范围是2＜x ＜4.这里将OA 平方，便将问题转化为向量运算问题，通过运算、化简，可建立关于x 的不等式，解不等式就可求得x 的取值范围.三、投影法数量积a ·b 的几何意义是：a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.投影法是利用数量积a ·b 的几何意义来解题的方法.在解答两个向量的乘积问题时，我们可以根据数量积a ·b 的几何意义，寻找b 在a 的方向上的投影，通过作垂线或求它们夹角的余弦值，得到最终的答案.例3.如图2，圆O 是△ABC 的外心，|| AC =4,|| AB =2,则 AO ∙( AC -AB )=_____.解：过点O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，∵ AO ∙()AC - AB = AO ∙ AC - AO ∙ AB ， AO ∙ AC =|| AO ∙|| AC cos ∠OAD =|| AD ∙|| AC =12|| AC2=8，同理可得， AO ∙ AB =|| AO ∙|| AB cos ∠OAB =||AD ∙|| AB =12|| AB 2=2，∴AO ∙()AC - AB =8-2=6.值得注意的是，a 在b 方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围.基底法、平方法、投影法都是解答平面向量问题的常用方法.相比较而言，基底法的应用范围最广，平方法、投影法的适用范围较窄.很多情况下，需要同时使用两种或两种以上的方法才能使问题获解.因此同学们在解题时要注意灵活变通，这样才能提升解题的效率.（作者单位：江苏省启东市第一中学）图1图252。

高考数学必考题型：平面向量的综合解题技巧及其重点题型的讲解
平面向量的概念及线性运算最新考纲要求:1.了解向量的实际背景．
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
考情定向分析:这一章主要是考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.。

平面向量知识归纳和题型总结平面向量章节分析:向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.平面向量的概念、几何运算和基本定理1.向量的相关概念2.向量的线性运算3.向量的共线定理非零向量a 与向量b 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b a =λ。

延伸结论:,,A B C 三点共线//AB AC ? ?当且仅当有唯一R λ∈,使AB AC =λ4.平面向量的基本定理如果12,e e是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使:1122a e e =λ+λ ,其中不共线的向量12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.练习:（1）已知12,e e 是平面向量的一组基底,11122122,a x e y e b x e y e =+=+,①若a b = 当且仅当12x x =且12y y =.②若0,a =则120x x ==.（2）如图,OA OB 为单位向量，||23OC = ，其中,OA OB 的夹角为120，,OA OC 的夹角为30。

若OC OB OA =λ+μ ，求,λμ的值。

5.一个常用结论:ABC △中, M 为边BC 的中点, 则有:2AM AB AC =+.练习:设ABC ?的重心为点G ,设,.AB a AC b == 试用,a b表示AG .典型例题分析:知识点一:基本概念例1.1.如果12,e e是平面α内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( )①12+e e λμ(,λμ∈R )可以表示平面α内的所有向量;平面α内的所有向量都可以表示成12+e e λμ(,λμ∈R )。

专题07平面向量易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律a b b a +=+ ②结合律()a b c ++ =()a b c ++减法求a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a与b的差三角形法则()a b a b -=+-数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）||||||a a λλ=（2）当0λ>时，a λ 与a的方向相同；当0λ<时，a λ 与a的方向相同；当0λ=时，0a λ=()()a a λμλμ= ()a a aλμλμ+=+()a b a bλλλ+=+共线向量定理向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b a λ=.共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a b λ=，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.解决向量的概念问题应关注以下七点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(6)非零向量a 与||a a 的关系：||a a是a方向上的单位向量．(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小易错提醒：（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -= ，AM AN NM -= ，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+=.A ．AB AD AC+= C ．AB AD CD AD++=uu u r uuu r uu u r uuu r 变式1：给出下列命题，其中正确的命题为（A ．若AB CD = ，则必有B ．若1233AD AC AB =+ C ．若Q 为ABC 的重心，则D ．非零向量a ，b ，c 变式2：如图所示，在平行四边形(1)试用向量,a b来表示DN (2)AM 交DN 于O 点，求AO 变式3：如图所示，在矩形1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（）A ．ABC ，，三点共线C ．A BD ，，三点共线2．如图，在平行四边形ABCD A ．1233AB AD-+C ．1536AB AD - 3．在四边形ABCD 中，若AC AB = A ．四边形ABCD 是平行四边形C ．四边形ABCD 是菱形4．已知,AD BE 分别为ABC 的边A ．43a ＋23bC ．23a 43-b 5．如果21,e e是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（①(12,R a e e λμλμ=+∈②对于平面α内任一向量③若向量1112e e λμ+ 与λ④若实数λ、μ使得1e λ+ A ．①②B 6．给出下列各式：①AB 对这些式子进行化简，则其化简结果为A ．4B 7．已知平面向量a ，bA ．若a b ∥，则a = C ．若a b ∥，b c ∥，则8．设1e 与2e 是两个不共线的向量，k 的值为（）41．平面向量基本定理和性质（1）共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈ ，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠ ，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+ 叫做向量a关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+ 叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==．（3）线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB AC AD λλ+=+ ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．DACB（4）三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=；⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+；⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．（5）中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+ )AC，反之亦正确．DACB2．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+ ，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a的坐标，记作(,)a x y = ．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA 一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y = ，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．3．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||AB ②已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ= ，∥12211212向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a λ （λ∈R ），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(),a x y =，22(),b x y = ，则a b∥的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．易错提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相。

6．1 平面向量的概念1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.(3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素． (2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b .■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．典型例题1向量的相关概念给出下列命题：①若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB→|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 典型例题2向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上． 【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．用有向线段表示向量的步骤典型例题3共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA→＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF→，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →. 2．[变问法]本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD→共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意]对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．6．2.1向量的加法运算1．向量加法的定义及运算法则(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 3．向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )典型例题1平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【解】 法一：可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；(3)再作向量OD→＝c ；(4)作平行四边形CODE ，则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .OE →即为所求．(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 典型例题2平面向量的加法运算化简： (1)BC→＋AB →； (2)DB→＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【解】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝(BC→＋CD →)＋DB → ＝BD→＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量加法运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简． 典型例题3向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】 如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA→，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →. 由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．6．2.2 向量的减法运算1．相反向量(1)定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．(2)结论①－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． ■名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．(3)几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． ■名师点拨(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．(3)对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. 典型例题1向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB→＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB→－AD →－DC →.【解】 (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB→＝AB →. 法二：原式＝AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→. (2)法一：原式＝DB→－DC →＝CB →.法二：原式＝AB→－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.向量减法运算的常用方法典型例题2向量的减法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c . 【解】 法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，连接BC ， 则CB→＝b －c . 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD→＝b －c ， 所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c . 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB→＝a ＋b －c . 法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC→＝a ＋b －c .求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 典型例题3用已知向量表示其他向量如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB→＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.【解】 因为四边形ACDE 是平行四边形， 所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD→＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.6．2.3 向量的数乘运算1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |．(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．■名师点拨λ是实数，a 是向量，它们的积λa 仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a ，λ－a 均没有意义．2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa )＝(λμ)a ． (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ． (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b ．(2)向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． ■名师点拨若将定理中的条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa . 典型例题1向量的线性运算(1)计算：①4(a ＋b )－3(a －b )－8a ； ②(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )； ③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）.(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．【解】 (1)①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b .②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c .③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b＝53a －1118b .(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．典型例题2向量共线定理及其应用已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【解】 (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB→. 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． (2)因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1.向量共线定理的应用(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB→＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法． 典型例题3用已知向量表示其他向量如图，ABCD 是一个梯形，AB→∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．(1)AC→＝________；(2)MN →＝________．【解析】 因为AB →∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →. (1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1. (2)MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2. 【答案】 (1)e 2＋12e 1 (2)14e 1－e 2[变条件]在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →.解：因为MN→＝MD →＋DA →＋AN →， MN→＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN→＝(MD →＋MC →)＋DA →＋CB →＋(AN →＋BN →)．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点， 所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0. 所以2MN→＝DA →＋CB →，所以MN →＝12(－AD →－BC →)＝－12e 2－12e 1.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．6．2.4 向量的数量积1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向； ②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． ■名师点拨按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角．作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定零向量与任一向量的数量积为0． ■名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a ·b ，千万不能写成a ×b 的形式． 3．投影向量如图(1)，设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b投影(project)，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图(2)，在平面内任取一点O ，作OM→＝a ，ON →＝b ，过点M作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．(2)若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e .■名师点拨当θ＝0时，OM 1→＝|a |e ；当θ＝π2时，OM 1→＝0；当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，OM 1→与b 方向相同；当θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，OM 1→与b 方向相反；当θ＝π时，OM 1→＝－|a |e .4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0．(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (4)|a·b |≤|a ||b |. ■名师点拨对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．5．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)． ■名师点拨(1)向量的数量积不满足消去律；若a ，b ，c 均为非零向量，且a·c ＝b·c ，但得不到a ＝b .(2)(a·b )·c ≠a·(b·c )，因为a·b ，b·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b )·c与向量c 共线，a·(b·c )与向量a 共线，因此，(a·b )·c ＝a·(b·c )在一般情况下不成立．(3)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 典型例题1平面向量的数量积运算(1)已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a ＋3b )．(2)如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD→·BC →；②AB →·DA →. 【解】 (1)(a ＋2b )·(a ＋3b ) ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192. (2)①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°， 所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°， 所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6.[变问法]若本例(2)的条件不变，求AC →·BD →.解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC→·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →) ＝AD→2－AB →2＝9－16＝－7.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．典型例题2向量模的有关计算(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4 D．12(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.13 B.12C.15 D.14【解析】(1)|a＋2b|＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos 60°＝34，即1＋|b|2－|b|＝34，解得|b|＝12.【答案】(1)B(2)B求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．典型例题3向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角(1)已知|a |＝6，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则a 与b 的夹角为________；(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为______．【解析】 (1)设a 与b 的夹角为θ，(a ＋2b )·(a －3b )＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2 ＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12， 所以cos θ＝12.又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3.(2)设a 与b 的夹角为θ，由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |.又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】 (1)π3 (2)π3 命题角度二：证明两向量垂直已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时，求证：b ⊥(a＋t b )．【证明】 因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值． 此时b ·(a ＋t b )＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋t b)．命题角度三：利用夹角和垂直求参数(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与k a－b互相垂直，则k 的值为()A．－32B．32C．±32D．1(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3，则实数λ＝________．【解析】(1)因为3a＋2b与k a－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(k a－b)＝0，所以3k a2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝3 2.(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】(1)B(2)－8或5求向量a与b夹角的思路(1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．6．3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理(1)e 1，e 2是同一平面内的两个不共线的向量，{e 1，e 2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底．(2)基底{e 1，e 2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的． 典型例题1平面向量基本定理的理解设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎨⎧λ＝1，1＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎨⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，所以e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底．③因为e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)， 所以e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎨⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎨⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.[提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． 典型例题2用基底表示平面向量如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE与BF 交于点G ，若AB→＝a ，AD →＝b ，试用基底{a ，b }表示向量DE →，BF →.【解】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD→＋AB →＋12BC → ＝－AD→＋AB →＋12AD →＝a －12b . BF→＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a ，b }表示AG →.解：由平面几何知识知BG ＝23BF ， 故AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF → ＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b －13a ＝23a ＋23b .2．[变条件]若将本例中的向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”，即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用基底{a ，b }表示向量DE→，BF →. 解：DE→＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF→＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF → ＝－2CE→＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 典型例题3平面向量基本定理的应用如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .【解】 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. 因为A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理， 得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以AP→＝45AM →，BP →＝35BN →， 所以AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2.1．[变问法]在本例条件下，若CM→＝a ，CN →＝b ，试用a ，b 表示CP →.解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2，则NP→＝25NB →，CP→＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB →＝b ＋25(CB →－CN →) ＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其他条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .解：如图，设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－2e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. 因为A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－2λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理， 得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23.所以AP→＝23AM →，BP →＝23BN →， 所以AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示第1课时 平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示1．平面向量坐标的相关概念■名师点拨(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e 1和e 2互相垂直．(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则 ①a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ②a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； ③λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． ■名师点拨(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 典型例题1平面向量的坐标表示已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA→的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA→的坐标．【解】 (1)设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA→＝(23，6)． (2)BA→＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标． 典型例题2平面向量的坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则A ．(－23，－12)B ．(23，12)C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3 CA →，CN →＝2 CB →，求点M ，N 的坐标．【解】 (1)选A.因为a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，且c 满足3a －2b ＋c ＝0，所以c ＝2b －3a ＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．(2)法一：因为A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)． 因为CM→＝3 CA →，CN →＝2 CB →， 所以CM→＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)， CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， 所以⎩⎨⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎨⎧x 2＋3＝12，y 2＋4＝6.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎨⎧x 2＝9，y 2＝2.所以M (0，20)，N (9，2)．法二：设O 为坐标原点，则由CM→＝3 CA →，CN →＝2 CB →， 可得OM→－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 所以OM→＝3 OA →－2 OC →，ON →＝2 OB →－OC →. 所以OM→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)． 所以M (0，20)，N (9，2)．平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行． 典型例题3向量坐标运算的综合应用已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，及OP→＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【解】 (1)OP→＝OA →＋tAB →＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23. 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13. 若点P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.(2)OA→＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，所以⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．[变问法]若保持本例条件不变，问t 为何值时，B 为线段AP 的中点？ 解：由OP→＝OA →＋tAB →，得AP →＝tAB →.所以当t ＝2时，AP→＝2AB →，B 为线段AP 的中点．向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．第2课时 两向量共线的充要条件及应用两向量共线的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0．■名师点拨(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b . 典型例题1向量共线的判定(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________．(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB →与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋k b ＝(1＋3k ，－2＋4k )， 因为(3a －b )∥(a ＋k b )，所以0－(－10－30k )＝0， 所以k ＝－13.故填－13.(2)因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，AC→＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，所以AB→∥AC →，所以AB →与AC →共线．又AB →＝23AC →，所以AB →与AC →的方向相同．[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a －b )与(a ＋k b )是反向还是同向？ 解：由向量(3a －b )与(a ＋k b )共线，得k ＝－13， 所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋k b ＝a －13b ＝(1，－2)－13(3，4) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－103＝13(0，－10)， 所以向量(3a －b )与(a ＋k b )同向．向量共线的判定方法典型例题2三点共线问题(1)已知OA→＝(3，4)，OB →＝(7，12)，OC →＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 共线；(2)设向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，求当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．【解】 (1)证明：由题意知AB→＝OB →－OA →＝(4，8)，AC→＝OC →－OA →＝(6，12)，所以AC →＝32AB →， 即AB→与AC →共线． 又因为AB→与AC →有公共点A ，所以点A ，B ，C 共线．(2)法一：因为A ，B ，C 三点共线，即AB →与AC →共线，所以存在实数λ(λ∈R )，使得AB→＝λAC →.因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)， 即⎩⎨⎧4－k ＝λ（10－k ），－7＝λ（k －12），解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线． 法二：由已知得AB→与AC →共线，因为AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 所以k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．判断向量(或三点)共线的三个步骤典型例题3向量共线的应用如图所示，在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC→＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标． 【解】 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54， 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54. 因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设M (x ，y )，则AM→＝(x ，y －5)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.因为AM→∥AD →， 所以－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤1．平面向量数量积的坐标表示已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． ■名师点拨公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉与a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．两个公式、一个充要条件(1)向量的模长公式：若a ＝(x ，y )，则|a |(2)向量的夹角公式：设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是。

高中数学向量题型和解题方法由于向量集数形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，因此关于向量问题的解题方法自然也就多彩多样，解决向量问题时我们应该从多个维度去思考，哪种方法简单，我们就选择哪种方法。

今天我们就从五个方面：利用基本定义求解、利用基底求解、利用坐标或建立坐标系求解、利用几何法求解、利用代数法求解等分别介绍平面向量的解题方法和策略。

只有掌握了所有的这些方法，对于向量的学习才会真正做到融会贯通。

一、利用基本定义求解为了提高和培养孩子的数学学习兴趣，可让孩子读读这本书：二、利用基底求解基底法就是指利用平面向量基本定理，将所求向量转化为已知的两个不共线向量来求解问题。

注意：如果图形中有向量垂直，我们就以互相垂直的向量作为基底。

三、利用坐标或建立坐标系求解利用坐标或建立坐标系求解就是建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解。

实际上，坐标法具有天然的优势，有时能轻松解决较为复杂的问题，特别是后面我们要学习的向量在立体几何中的应用。

四、利用几何法求解几何法就是把向量问题利用平面几何的思想和方法，转化为几何问题。

这就需要我们对所学习的平面几何基本图形性质十分清楚。

我们学习到的基本平面图形主要有三角形、四边形、圆、椭圆、双曲线、抛物线等。

每种图形的基本定义、定理、性质甚至推论我们都要了如指掌，转化使用时才会得心应手。

五、利用代数法求解所谓代数法就是将题目中的已知条件和所求结论，利用代数的方法，通过代数运算解决问题。

比如我们学过的完全平方、基本不等式、函数解析式等，通过转化，在这里都会有很巧妙的应用。

以上就是高中数学向量题型和解题方法。

高中数学中常见的平面向量问题求解平面向量是高中数学中一种重要的概念，广泛运用于解决各种几何和代数问题。

在本文中，将介绍几个常见的平面向量问题，并给出详细的解题过程和方法。

一、向量的表示和运算在解决平面向量问题之前，首先需要了解向量的表示和运算方法。

平面向量通常用有序对表示，如向量AB可以表示为→AB=(x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)分别表示向量的初始点和终点。

平面向量之间可以进行加法、减法、数量乘法和向量的数量积运算。

二、向量共线和垂直1. 向量共线若两个向量→AB和→CD平行或反平行，则可以判断它们共线。

要判断两个向量共线，可以比较它们的分量比例，如果两个向量的x和y 分量的比例相等，即(x2-x1)/(y2-y1)=(x4-x3)/(y4-y3)，则可以判断两个向量共线。

2. 向量垂直若两个向量→AB和→CD垂直，则可以判断它们的数量积为0。

要判断两个向量垂直，可以计算它们的数量积，如果数量积为0，即(→AB)·(→CD)=0，则可以判断两个向量垂直。

三、向量的模和方向角1. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作|→AB|或AB。

计算向量的模可以使用勾股定理，即|→AB|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

向量的模满足非负性和三角不等式，即|→AB|≥0，|→AB|+|→BC|≥|→AC|。

2. 向量的方向角向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角，通常用α表示。

计算向量的方向角可以使用反正切函数，即α=arctan((y2-y1)/(x2-x1))。

四、向量叉乘和面积向量叉乘是一种运算，用于求解向量之间的关系和面积。

向量→AB和→CD的叉乘可以表示为(→AB)×(→CD)，其结果是一个向量，垂直于→AB和→CD构成的平面，并且模等于两个向量的模的乘积乘以它们所夹的夹角的正弦值。

五、平面向量的应用平面向量在几何和代数问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景。

高考妙招平面向量常见题型分类汇编一、利用平面向量待定系数求参数值
二、向量基本定理与不等式,、三角函数相结合
三、坐标系法处理平面向量的数量积
在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。

1、数量积的定值问题
2、数量积的最值问题
3、数量积的范围问题
四、平面向量的投影问题
数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。

（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）
（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题
1、定值问题
2、范围问题
3、综合问题
五、几何法处理平面向量的模长
利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长
六、平面向量与三角形的四心三角形“四心”的向量表示
3、三角形外心与向量
4、三角形内心与向量
七、平面向量的范围最值问题
1、面向量数量积的范围、最值问题
2、平面向量模的取值范围、最值问题
3、平面向量夹角的取值范围、最值问题
4、平面向量系数的取值范围、最值问题
八、共线定理的应用
九、一个向量等式的应用
十、平面向量与三角形面积综合。

平面向量题型归纳一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。

注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？〔向量可以平移〕。

例：A 〔1,2〕，B 〔4,2〕，那么把向量AB 按向量a ＝〔－1,3〕平移后得到的向量是 ：向量的大小〔或长度〕，记作：||AB 或||a 。

3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。

假设e 是单位向量，那么||1e =。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6．平行向量〔也叫共线向量〕：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！〔因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，以下结论中正确的选项是 〔 〕A.AB CD =B.AB AD BD -=C.AD AB AC +=D.AD BC +=07．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 、AB BA =-。

例：以下命题：〔1〕假设a b =，那么a b =。

〔2〕假设,a b b c ==，那么a c =。

〔6〕假设//,//a b b c ，那么//a c 。

〔3〕假设AB DC =，那么ABCD 是平行四边形。

〔4〕假设ABCD 是平行四边形，那么AB DC =。

其中正确的选项是_______ 题型1、根本概念 1：给出以下命题：①假设|a |＝|b |，那么a =b ；②向量可以比拟大小；③方向不相同的两个向量一定不平行；④假设a =b ，b =c ，那么a =c ；⑤假设a //b ，b //c ，那么a //c ；⑥00a ⋅=；⑦00a ⋅=；其中正确的序号是 。

初中数学中的平面向量如何进行运算与解题平面向量是初中数学中的一个重要概念，它在解决几何和代数问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍平面向量的运算规则和解题方法，帮助读者更好地理解和应用平面向量。

一、平面向量的表示形式平面向量可以通过坐标形式或位置向量形式来表示。

1. 坐标形式：在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)分别是平面上的两个点，AB代表向量。

2. 位置向量形式：对于平面上的任意一点P(x, y)，以原点O(0, 0)为起点，可以得到P的位置向量为OP = (x, y)。

二、平面向量的加法与减法平面向量的加法与减法遵循如下规则：1. 加法：设向量AB = (x1, y1)，向量CD = (x2, y2)，则它们的和为：AB + CD = (x1 + x2, y1 + y2)。

2. 减法：设向量AB = (x1, y1)，向量CD = (x2, y2)，则它们的差为：AB - CD = (x1 - x2, y1 - y2)。

三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点乘，表示为A·B。

1. 定义：设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A·B的数量积为：A·B = x1 * x2 + y1 * y2。

2. 性质：（1）A·B = B·A，数量积的交换律。

（2）A·A = |A|^2，数量积的性质，其中|A|表示向量A的模长。

四、平面向量的数量积的应用平面向量的数量积在求解各种几何问题中有着广泛的应用，以下是其中的两个例子：1. 判断垂直与平行关系：若向量A·B = 0，则向量A和向量B垂直；若向量A·B ≠ 0且 |A·B| = |A| * |B|，则向量A和向量B平行。

2. 求角的余弦：若向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的夹角θ的余弦值为：cosθ = (x1 * x2 + y1 * y2) / (|A| * |B|)。

平面向量方法、题型、及应试技巧总结 一. 向量有关概念： 1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线 段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。女口： 已知A (1,2), B(4,2),则把向量AB按向量a = (- 1,3)平移后得到的向量是 _________ (答: (3,0)) 2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB共线的单位向量是 AB ). _|AB|

4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5. 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记 作：a // b，规定零向量和任何向量平行。

提醒： ① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ② 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量 共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③ 平行向量无传递性！(因为有0)； ④ 三点A B、C共线=ABAC共线； 6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a的相反向量是一a。女口 下列命题：(1)若，则。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相 同，终点相同。(3)若AB rDC，则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形， 贝u AB=DC。(5)若adTcI 贝u a=c。(6)若 a/t)b/ c ，贝u a〃c。其中正确的是 _________ (答：(4) (5)) 二. 向量的表示方法： 1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB，注意起点在前，终点在后； 2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a，b，c等； 3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，则平面内的任一向量a可表示为 xi yj = x,y，称x, y为向量a的坐 标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向 量的终点坐标相同。 三. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面 内的任一向量a,有且只有一对实数'1、、2，使e+ '2e2。女口

向量题型归纳和解题方法向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述空间中的方向和大小。

在学习向量的过程中，我们需要掌握一些基本的概念和解题方法。

本文将对向量的题型进行归纳和解题方法进行介绍。

一、基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。

通常用有向线段来表示，其中起点表示向量的起点，终点表示向量的终点，箭头表示向量的方向和大小。

2. 向量的模长：向量的模长是指向量的长度，通常用||AB|| 或|AB| 表示。

计算公式为：||AB||=√(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²。

3. 向量的方向角：向量的方向角是指向量与某个坐标轴或平面的夹角。

通常用α、β、γ表示。

4. 向量的共线性：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的。

如果两个向量的方向不同，则它们是不共线的。

5. 向量的平行四边形法则：两个向量的和是以它们为对角线的平行四边形的对角线。

二、题型归纳1. 向量的加减法：给定两个向量，求它们的和或差。

2. 向量的数量积：给定两个向量，求它们的数量积。

3. 向量的夹角：给定两个向量，求它们的夹角。

4. 向量的投影：给定一个向量和一个方向，求该向量在该方向上的投影。

5. 向量的垂直：给定两个向量，判断它们是否垂直。

6. 向量的共线性：给定两个向量，判断它们是否共线。

三、解题方法1. 向量的加减法：根据平行四边形法则，将两个向量首尾相接，然后连接对角线，对角线的长度即为所求向量的模长。

2. 向量的数量积：计算两个向量对应坐标的乘积之和，即可得到它们的数量积。

3. 向量的夹角：根据向量的数量积公式，计算两个向量的数量积，然后根据余弦定理计算夹角。

4. 向量的投影：根据向量的数量积公式，计算向量在该方向上的投影。

5. 向量的垂直：计算两个向量的数量积，如果结果为0，则它们垂直。

6. 向量的共线性：计算两个向量的数量积，如果结果为0，则它们共线。

以上是向量的基本概念、题型归纳和解题方法的介绍。