平面向量常见题型与解题方法归纳
（1）
常见题型分类
题型一：向量的有关概念与运算
例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 .
例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少？
题型二：向量共线与垂直条件的考查
例1（1）,a b r r 为非零向量。“a b ⊥r r ”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-r r r r 为一次函数”的
A 充分而不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
（2）已知O ，N ，P 在所在平面内，且，且，则点O ，N ，P 依次是的
A.重心 外心 垂心
B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心
D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21,
23).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a
＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间.
例3： 已知平面向量a ϖ＝(3，－1)，b ϖ＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ϖ＝a ϖ＋(sin α－3)b ϖ, d ϖ＝－k a ϖ＋(sin α)b ϖ,且c ϖ⊥d ϖ，试求实数k 的取值范围.
例4：已知向量)1,2(),2,1(-==，若正数k 和t 使得向量
b t
a k y
b t a x 1)1(2+-=++=与垂直，求k 的最小值.
题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查
向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n) (m ﹤2
π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求实数m 、n 的值.
例8：已知a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证： a +b 与a -b 互相垂直； （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α
巩固练习
1.函数的图象按向量a r 平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量a r 可以等于
1.
2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.
3给出下列命题
① 非零向量、满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°；
② ·＞0是、的夹角为锐角的充要条件；
③ 将函数y =|x -1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y =|x |；
④若（）·（）=0，则△ABC 为等腰三角形
以上命题正确的是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
