数学必修3自主练习 ：3.4互斥事件及其发生的概率 含解析 精品

2019-2020年高中数学 3.4概率的应用课时作业（含解析）新人教B版必修3一、选择题1．从一篮鸡蛋中取1个，如果其重量小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，则重量不小于30克的概率是( )A ．0.30B ．0.50 C.0.80 D ．0.70[答案] D[解析] 由题意得1个鸡蛋其重量不小于30克的概率是1－0.30＝0.70.2．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner 随机化方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的( )A ．3.33%B ．53% C.5% D ．26% [答案] A[解析] 应用Warner 随机化方法调查300名运动员，我们期望有150人回答了第一个问题，而在这150人中又有大约一半的人即75人回答了“是”．其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用兴奋剂的大约占5150≈3.33%，故选A.3．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是89的是( )A ．颜色全相同B ．颜色不全相同C ．颜色全不相同D ．颜色无红色 [答案] B[解析] 每次任取一个，有放回的抽取3次，所得基本事件总数为27个，颜色全相同的有3个，颜色不全相同的有24个，故颜色不全相同的概率为2427＝89，故选B.4．4名学生与班主任站成一排照相，班主任站在正中间的概率是( ) A.15 B ．14C.13 D ．12[答案] A[解析] 5人站一排有5个位置，班主任站在任一位置等可能，∴P ＝15.5．甲、乙乒乓球队各有运动员三男两女，其中甲队一男与乙队一女是种子选手，现在两队进行混合双打比赛，则两个种子选手都上场的概率是( )A.16 B ．536C.512 D ．13[答案] A[解析] 每队选一男一女上场，不同的上场结果(即基本事件总数)有3×2×3×2＝36种，而两个种子选手都上场的情况有2×3＝6种．∴概率为P ＝636＝16.6．x 是[－4,4]上的一个随机数，则使x 满足x 2＋x －2<0的概率为( ) A.12 B ．38C.58 D ．0 [答案] B[解析] x 2＋x －2<0的解集为(－2,1)，区间的长度为3，区间[－4，4]的长度为8，∴所求概率P ＝38.二、填空题7．在3名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动，其中至少有一名男生参加的概率为________．[答案] 0.7[解析] 从5名学生中抽取2人的方法共有10种，“至少有一名男生参加”包括“两名都是男生”和“一名女生一名男生”两种情况，共7个基本事件，故所求概率为710＝0.7.8．口袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概率为0.75，摸出白球或黑球的概率为0.60，那么口袋中共有白球、红球、黑球各________个．[答案] 35,40,25[解析] 黑球个数为100×(1－0.75)＝25个；红球个数100×(1－0.60)＝40个，白球个数100－25－40＝35个．三、解答题9．今有长度不等的电阻丝放在一起，已知长度在84～85 mm 间的有三条，长度在85～86 mm 间的有四条，长度在86～87 mm 间的有五条，从中任取一条，求：(1)长度在84～86 mm 间的概率；(2)长度在85～87 mm 间的概率．[解析] 取到长度在84～85 mm 的电阻丝的概率为312，取到长度在85～86 mm 的电阻丝的概率为412，取到长度在86～87 mm 的电阻丝的概率为512.(1)P 1＝312＋412＝712.(2)P 2＝412＋512＝34.10．(xx·河北邯郸市高一期末测试)柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，记事件A 表示“取出的鞋配不成对”；事件B 表示“取出的鞋都是同一只脚的”；事件C 表示“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但配不成对”．(1)请列出所有的基本事件；(2)分别求事件A 、事件B 、事件C 的概率． [解析] (1)设3双不同的鞋分别为x 1x 2、y 1y 2、z 1z 2.∴随机地取出2只的所有基本事件有：(x 1，x 2)、(x 1，y 1)、(x 1，y 2)、(x 1，z 1)、(x 1，z 2)、(x 2，y 1)、(x 2，y 2)、(x 2，z 1)、(x 2，z 2)、(y 1，y 2)、(y 1，z 1)、(y 1，z 2)、(y 2，z 1)、(y 2，z 2)、(z 1，z 2)共15个．(2)由(1)得事件A 包含的基本事件分别有(x 1，y 1)、(x 1，y 2)、(x 1，z 1)、(x 1，z 2)、(x 2，y 1)、(x 2，y 2)、(x 2，z 1)、(x 2，z 2)、(y 1，z 1)、(y 1，z 2)、(y 2，z 1)、(y 2，z 2)共12个，∴P (A )＝1215＝45.事件B 包含的基本事件分别有(x 1，y 1)、(x 1，z 1)、(x 2，y 2)、(x 2，z 2)、(y 1，z 1)、(y 2，z 2)共6个，∴P (B )＝615＝25.事件C 包含的基本事件分别有(x 1，y 2)、(x 1，z 2)、(x 2，y 1)、(x 2，z 1)、(y 1，z 2)、(y 2，z 1)共6个，∴P (C )＝615＝25.一、选择题1．甲、乙、丙、丁四人做相互传递球练习，第一次甲传给其他三人中的一人(假设每个人得到球的概率相同)，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了三次，则第三次球仍传回到甲手中的概率为( )A.39 B ．29C.310 D ．710[答案] B[解析] 本题可用树形图进行解决，如图所示，共有27种结果，第三次球传回到甲手中的结果有6种．故所求概率为P ＝627＝29.2．一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B ＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为( )A.22B ．23C.2－ 3 D ．2－2[答案] D[解析] 如图，E 为斜边AC 上的点，且AE ＝1cm ，则蚂蚁应在线段AE 及边AB 上爬行，所求概率P ＝22＋2＝2－2，故选D.3．有大小相同的五个球，上面标有1,2,3,4,5，现从中任取两球，则这两球的序号不相邻的概率为( )A.15 B ．25C.35 D ．45[答案] C[解析] 从五个小球中任取两球的基本事件共有10种．其中序号相邻的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种，所求概率P ＝1－410＝610＝35.4．(xx·安徽黄山市高一期末测试)抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a 、b ，则满足a2<|b －a 2|<6－a 的概率为( )A.1336 B ．518C.736D ．536[答案] C[解析] 基本事件总数为36个，满足a2<|b －a 2|<6－a 的基本事件有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(2,2)、(2,6)共7个，故所求概率为P ＝736. 二、填空题5．从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，甲被选中的概率是____________． [答案] 12[解析] 从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，所有可能的结果如图所示．如图知，所有可能的结果有6种，记“甲被选中”为事件A ，则A 含有3种可能结果． ∴P (A )＝36＝12.6.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．[答案] π4[解析] 记“豆子落入圆内”为事件A ，则P (A )＝μAμΩ＝圆面积正方形面积＝πa 24a 2＝π4.三、解答题7．已知直线Ax ＋By ＋1＝0，若A 、B 从－3，－1,0,2,7这5个数中选取不同的两个数，求斜率小于0的直线的概率．[解析] 直线方程变形为y ＝－A B x －1B (B ≠0)，记“斜率小于0”为事件M ，其中包含：①A 、B 同取正值记为事件M 1；②A 、B 同取负值记为事件M 2，且M 1、M 2为互斥事件．事件总个数为5×4＝20.∴P (M 1)＝220＝110，P (M 2)＝220＝110.∴由互斥事件概率的加法公式，得P (M )＝110＋110＝15.8．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否则测评为合格．假设此人对A 和B 饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．[解析] 将5杯饮料编号为：1、2、3、4、5，编号1、2、3表示A 饮料，编号4、5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)、(124)、(125)、(134)、(135)、(145)、(234)、(235)、(245)、(345)，共有10种．令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P (D )＝110.(2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710..。

3．4互斥事件及其发生的概率（一）【新知导读】1．某个人去新华书店买书，走到一个十字路口，他犹豫了，是向前走，还是向左拐，还是向右拐？把他的三个选择视为三个事件，你知道这三个事件有什么关系吗？2.盒子中放有红，黄，蓝，白四种颜色的球各一个，从中任取一球，设事件A为“取得红球”，事件B为“取得黄球”，事件C为“取得白球或蓝球”，则：（1）A，B是互斥事件吗？（2）A，C 是互斥事件吗？（3）B，C是互斥事件吗？3.把红，黑，白，蓝四张纸牌，随机地分给甲，乙，丙，丁四人，每人得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是什么事件？【范例点睛】例1：判断下列给出的事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理.从40张扑克牌(红桃,黑桃,方块,梅花点数从1～10各10张)中,任取一张.(1)”抽出红桃”与”抽出黑桃”;(2)”抽出红色牌”与”抽出黑色牌”(3)”抽出牌点数为5的倍数”与”抽出的牌点数大于9”.思路点拨：根据互斥事件与对立事件的定义进行判断.判断是否为互斥事件,主要是看两事件是否同时发生;判断是否为对立事件,首先看是否为互斥事件,然后再看两事件是否必有一个发生,若必有一个发生,则为对立事件,否则,不是对立事件.易错辨析：对立事件是非此即彼的关系,要看一次试验的结果有几种.例2：在某一时期内,一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下:(1)[10,16);(2)[8,12);(3)[14,18).思路点拨：把事件”最高水位在[10,16)”看作是彼此互斥的事件的和,再用加法公式.方法点评: 在用加法公式之前,要先判断是否为互斥事件,再将要求概率的事件写成几个已知(或易求)概率的事件的和.最后用概率加法公式求得.【课外链接】1.若10把钥匙中只有2把能打开某锁,则从中任取2把能将该锁打开的概率为______________.【自我检测】1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有1个白球和全是白球B.至少有1个白球和至少有1个红球C.恰有1个白球和恰有2个白球D.至少有1个红球和全是白球2.如果事件A,B 互斥,那么 ( )A.A+B 是必然事件B.A B +是必然事件C.A 与B 一定互斥D.A 与B 一定不互斥3.下列命题中,真命题的个数是 ( )①将一枚硬币抛两次,设事件A 为”两次出现正面”,事件B 为”只有一次出现反面”,则事件A与B 是对立事件;②若事件A 与B 为对立事件,则事件A 与B 为互斥事件③若事件A 与B 为互斥事件,则事件A 与B 为对立事件;④若事件A 与B 为对立事件,则事件A+B 为必然事件.A ．1 B.2 C ．3 D ．44.甲,乙两人下棋,甲获胜的概率为40％,甲不输的概率为90％,则甲,乙两人下成和棋的概率为( )A.60％B.30％C.10％D.50％5.某射击运动员在一次射击训练中,命中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28.则这名运动员在一次射击中:命中10环或9环的概率是__________,少于7环的概率是____________.6.在区间[0,10]上任取一个数x ,求3x <或6x >的概率___________.7.有5张1角,3张2角和2张5角的邮票,任取2张,求其中两张是同价格的概率___________.8.已知随机事件E 为”掷一枚骰子,观察点数”,事件A 表示”点数小于5”,事件B 表示”点数是奇数”,事件C 表示”点数是偶数”.问:(1)事件A+C 表示什么?(2)事件,,A A C A C ++分别表示什么?9.我国已经正式加入WTO,包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平,其中有21％的进口商品恰好5年关税达到要求,18％的进口商品恰好4年关税达到要求,其余的进口商品将在3年或3年内达到要求,求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率.10.袋中有2个伍分硬币，2个贰分硬币，2个壹分硬币，从中任取3个，求总数超过7分的概率.10.某地区有5个工厂,由于用电紧张,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的),假定工厂之间的选择互不影响.(1)求”5个工厂均选择星期日停电”的概率;(2)求”至少有2个工厂选择同一天停电”的概率.3.4 互斥事件及其发生的概率(一)【新知导读】1. 三个事件不可能同时发生2. 是，是，是3. 是互斥事件但不是对立事件【范例点睛】例1. (1)是互斥事件,不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,也不是对立事件.例2.记河流年最高水位在”[8,10)”为事件A, ”[10,12)”为事件B ,”[12,14)”为事件C, ”[14,16)”为事件D, ”[16,18)”为事件E,则A,B,C,D,E 为互斥事件.由互斥事件的概率的加法公式,得 (1)最高水位在[10,16)的概率为()()()()0.280.380.160.82P B C D P B P C P D ++=++=++=.(2) 最高水位在[8,12)的概率()()()0.10.280.38P A B P A P B +=+=+=. (3)最高水位在[14,18)的概率为()()()0.160.080.24P D E P D P E +=+=+=.【课外链接】1. 1745【自我检测】 1.C 2.B 3.B 4.D 5.0.44 0.03 6. 347111111P =+= 7.1445 8. (1)A+C 表示出现点数为1,2,3,4,6. (2){5,6}A =,{5}A C +=,{5,6}{1,3,5}{1,3,5,6}A C +=⋃=9. 79％ 10.710。

2016年春节前夕，南京市某超市进行有奖促销活动，有一等奖与二等奖奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，假设每位顾客只有一次机会．问题1：假设顾客甲获奖，说明什么？提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖．问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生？提示：不能同时发生．问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗？提示：必有一个发生．1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，A n彼此互斥．(3)规定：设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．3．对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为A．(2)性质：P(A)＋P(A)＝1，P(A)＝1－P(A)．1．从集合的角度理解互斥事件与对立事件．设两个事件分别为A和B，则(1)事件A和B互斥可用图(1)表示．(2)事件A和B对立可用图(2)表示．2．运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．[例1] 判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件．并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．[思路点拨] 根据互斥事件、对立事件的定义判断．[精解详析] (1)是互斥事件. 不是对立事件．道理是：在所选的两名同学中，“恰有一名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)不可能是互斥事件．从而也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)不可能是互斥事件．也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件．也是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是对立事件．[一点通]对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和是不是必然事件，这是判断两个事件对立的基本方法．1．下列说法：①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次正面朝上”，事件B：“只有一次反面朝上”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件其中，正确的个数是________．解析：由对立事件与互斥事件的定义知，只有②④正确．答案：22．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环．事件B：命中环数为10环．事件C：命中环数小于6环．事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．解：事件A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．又因为事件C与事件D 至少有一个发生，所以C与D也是对立事件．[例2] (12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)事件A、B、C的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[思路点拨] 明确事件的特征，利用互斥事件或对立事件求解．[精解详析] P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P (C)＝501 000＝120.(3分)故事件A，B，C的概率分别为11 000，1100，120.(4分)(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ＋B ＋C .(5分) ∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )(6分) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(7分) (3)法一：设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件(9分)∴P (N )＝1－P (A ＋B )＝1－(11 000＋1100)＝9891 000.(11分) 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.(12分)法二：不中特等奖且不中一等奖即为中二等奖或不中奖 ∴P ＝501 000＋1 000－611 000＝9891 000.(12分)[一点通]针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和．最后用概率加法公式求得．3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．∴P (B ＋D ＋E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.答案：354．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：(1)[10，16)(m)； (2)[8，12)(m)；(3)水位不低于14 m.解：设水位在[a ，b )范围内的概率为P ([a ，b ))．由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P ([10，16))＝P ([10，12))＋P ([12，14))＋P ([14，16))＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82. (2)P ([8，12))＝P ([8，10))＋P ([10，12))＝0.1＋0.28＝0.38. (3)P ([14，18))＝P ([14，16))＋P ([16，18))＝0.16＋0.08＝0.24.[例3] 一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2，…，9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？[思路点拨] 用对立事件的性质去求解． [精讲详析] 从9张票中任取2张，有 (1，2)，(1，3)，…，(1，9)； (2，3)，(2，4)，…，(2，9)； (3，4)，(3，5)，…，(3，9)； …(7，8)，(7，9)；(8，9)，共计36种取法．记“号数至少有一个为奇数”为事件B ，“号数全是偶数”为事件C ，则事件C 为从号数为2，4，6，8的四张票中任取2张有(2，4)(2，6)(2，8)(4，6)(4，8)(6，8)共6种取法．∴P (C )＝636＝16，由对立事件的性质得P (B )＝1－P (C )＝1－16＝56.[一点通]1．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率．2．涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解．5．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的对立事件为两颗卫星预报都不准确，故所求概率为1－(1－0.8)·(1－0.75)＝0.95.答案：0.956.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示．随机选出一个成员，求：(1)他至少参加2个小组的概率； (2)他参加不超过2个小组的概率．解：(1)由题图知3个课外兴趣小组的总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A 表示“选取的成员至少参加2个小组”． 于是P (A )＝1－P (A )＝1－6＋8＋1060＝35.(2)用事件B 表示“选取的成员参加不超过2个小组”，用B 表示“选取的成员参加3个小组”，所以P (B )＝1－P (B )＝1－860＝1315.1．利用互斥事件的概率加法公式可以求一些复杂事件的概率，但一定要注意公式使用前提，一是两两互斥，二是有一个发生．2．利用互斥事件与对立事件的概率公式有助于解决较复杂的古典概型问题，可以把一个复杂事件分成几个简单的互斥事件或者考虑一个事件的对立事件往往能达到化繁为简的目的．课下能力提升(十八)一、填空题1．从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是________．①至少有一个红球；至少有一个白球 ②恰有一个红球；都是白球 ③至少有一个红球；都是白球④至多有一个红球；都是红球解析：对于①，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于③，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于④，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．答案：②2．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．解析：∵摸出红球的概率P 1＝45100＝0.45，∴摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32. 答案：0.32 3.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15、0.20、0.45，则不中靶的概率是________．解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A ，B ，C ，D 彼此互斥，故射手中靶概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0．15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，所以不中靶的概率P (D )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.80＝0.20. 答案：0.204．袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则取得的两球中至少有1个白球的概率是________．解析：从5个球中任取两个球含10个基本事件， 取得的两球中没有白球的含3个基本事件，且此事件 与事件A ：“取得的两球中至少有一个白球”对立， 则P (A )＝1－P (A －)＝1－310＝710.答案：7105．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A －)＝________．解析：因为事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又因为P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35，所以P (A )＝25，所以P (A －)＝1－P (A )＝1－25＝35.答案：35二、解答题6．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由． 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．7．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．解：(1)设“该队员中属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率为P (A )＝5＋4＋320＝35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率为P (B )＝1－220＝910.8．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示“和为6”的事件，求P (A )；(2)现连玩三次，以B 表示“甲至少赢一次”的事件，C 表示“乙至少赢两次”的事件，则B 与C 是否为互斥事件？试说明理由；(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)令x 、y 分别表示甲、乙出的手指数，则基本事件可表示为坐标中的数表示甲、乙伸出的手指数的和． 因为S 中点的总数为5×5＝25， 所以基本事件总数n ＝25. 事件A 包含的基本事件为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个， 所以P (A )＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件，如“甲赢一次，乙赢两次”的事件中，事件B 与C 是同时发生的． (3)由(1)知，和为偶数的基本事件数为13个，即甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225，所以这种游戏规则不公平．。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修三互斥事件及其发生的概率（A ）时间：120分钟；满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，）1．若事件A 与事件B 是对立事件，且2.0)(=A P ，则=)(B P2．投掷一枚质地均匀的骰子，若事件A 为“向上的点数至少为5”。

则事件A 是指 。

3．如果事件A 、B 是对立事件，A －与B －分别是A 、B 的对立事件，那么下面结论正确的是①．A ＋B 是必然事件 ②.A ＋B 是必然事件③.A 与B 互斥 ④.A 与B 一定不互斥4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是5．甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是30%，两人下成和棋的概率为50%，则甲不输的概率是6．（2012南京二模）某单位从4名应聘者A,B,C,D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B 两人中至少有一人被录用的概率为7．同时抛掷两枚骰子，所得点数之和小于11的概率为8．在5名学生中有3名男生和2名女生，从中安排2名学生值日，其中至少有一名女生的概率为9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，下列四组事件中是互斥而不对立的两个事件为①．至少有1个黑球与都是黑球②．至少有1个黑球与至少有1个红球③．恰有1个黑球与恰有2个黑球④．至少有1个黑球与都是红球10．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则事件A＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是一级品”B＝“在这200件产品中任意选出9件，全都是二级品”C＝“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”D＝“在这200件产品中任意选出9件，其中一定有一级品”其中，(1)________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(2)P(D)＝________，P(B)＝________，P(A)＋P(C)＝________.11．某地区年降水量在下列范围内的概率如下表如示：年降水量(单位：mm)[0,50)[50,100)[100,150)概率P 0.140.300.32 则年降水量在[50,150)(mm)范围内的概率为________，年降水量不低于150mm的概率是________．12．掷一颗骰子，出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是13．将一枚硬币连掷3次，则至少出现一次正面的概率为14．把10张卡片分别写上0,1,2，…，9后，任意叠在一起，从中任取一张，设“抽得大于3的奇数”为事件A，“抽得小于7的奇数”为事件B，则事件“抽得大于3的奇数或小于7的奇数”的概率为二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）15（14分）．某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，中靶环数大于6的概率为0.7，求事件A“中靶环数大于0小于等于6”的概率．16．（14分）某种彩色电视机的一等品率为90%，二等品率为8%，次品率为2%，某人买了一台该种彩色电视机，求：（1）这台电视机是正品（一等品或二等品）的概率；（2）这台电视机不是一等品的概率。

2018版高中数学第三章概率3.4 互斥事件学案苏教版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章概率3.4 互斥事件学案苏教版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

4 互斥事件1．了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系．(易混、易错点)2．了解两种互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算．（重点）3．注重思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，知道转而采用逆向思维．（难点)［基础·初探]教材整理互斥事件、对立事件阅读教材P112～P113“例1”上边的内容,并完成下面的问题．1．互斥事件的概念不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2．互斥事件概率的加法公式（1）如果事件A,B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B）＝P(A)＋P(B）．(2)一般地,如果事件A1，A2，…,A n两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n）＝P(A1）＋P(A2）＋…＋P（A n）．3．对立事件及概率公式（1)如果两个互斥事件必有一个发生,那么称这两个事件为对立事件,事件A的对立事件记为错误!。

(2）对立事件A与错误!必有一个发生，故A＋错误!是必然事件．对立事件的概率公式：P （错误!)＝1－P（A)．填空:(1）若事件A与事件B为对立事件，且P（A)＝错误!,则P（B)＝________.【解析】因为事件A与事件B为对立事件，则P（B）＝1－P(A)＝1－14＝错误!.【答案】错误!（2)抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现1点"，事件B为“出现3点"，事件C为“出现5点"，则“出现奇数点”的概率为________．【解析】由条件知事件A，B，C为互斥事件，设“出现奇数点"为事件D,则D＝A＋B＋C，由互斥事件概率加法公式得P（D)＝P(A＋B＋C)＝P(A）＋P(B）＋P（C)＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.【答案】1 2［小组合作型]互斥事件、对立事件的判断各事件是否是互斥事件，是否是对立事件．并说明理由．（1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2）至少有1名男生和全是女生;(3)至少有1名男生和至少有1名女生；(4）至少有1名男生和全是男生．【精彩点拨】找出各事件对立的试验结果，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断．【自主解答】（1)是互斥事件，但不是对立事件．理由是：“恰有一名男生”即选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)是互斥事件,也是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况,它与“全是女生"不可能同时发生,且其和事件是必然事件,所以是对立事件．(3）不是互斥事件，从而也不是对立事件．理由是:“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况．“至少有1名女生"包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种情况，他们可同时发生,故不是互斥事件．(4)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生"和“两名都是男生”，与“全是男生”可同时发生．1．判断两个事件是不是互斥事件时，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看他们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，再看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析,对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．［再练一题］1．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中,任取一张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1）“抽出红桃”与“抽出黑桃"；(2）“抽出红色牌"与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解】(1）是互斥事件，但不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃"和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件．(2）是互斥事件,又是对立事件．理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌"两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以他们既是互斥事件，又是对立事件．(3）不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10,因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件。

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3.4 互斥事件（1）教学目标：1．了解互斥事件、对立事件的概念，2．能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；3．了解两个互斥事件概率的加法公式．教学重点：互斥事件概率的加法公式．教学难点:互斥事件与对立事件的区别与联系．教学方法：谈话、启发式．教学过程:一、问题情境体育考试的成绩分为4个等级;优、良、中、不及格．某班50名学生参加了体育考试，结果如下：问题1:在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良?问题2：从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的测试成绩为“优”的概率,为“良”的概率，为“优良”（优或良)的概率分别是多少？二、学生活动优的概率为509，良的概率为5015．优良的概率为5024，是优和良的概率之和．三、建构数学体育考试成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A ，B ，C,D ．1．不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2．“优良”可以表示为A ＋B ．3．事件A ，B ，C,D 其中任意两个都是互斥的．推广：一般地，如果事件A1，A2，…,An 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，An 彼此互斥．若事件A,B 至少有一个发生，我们把这个事件记作事件A ＋B ．四、探索新知问题3：如果将“测试成绩合格”记为事件E, “不合格”记为D 那么E 与D 能否同时发生 ?他们之间还存在怎样的关系？两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ． 对立事件与互斥事件有何异同？1．对立事件是相对于两个互斥事件来说的 ；2．我们可用如图所示的两个图形来区分:A ，B 为互斥事件 A ，B 为对立事件3．结合集合知识，进一步认识互斥事件与对立事件:表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但是两个对立事件集合的并集是全集，而两个互斥事件集合的并集不一定是全集．五、数学运用1．例题．例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中任意摸出2只球．记摸出2只白球的事件为A,摸出1只白球和1只黑球的事件为B．问：事件A与事件B是否为互斥事件?是否为对立事件？结论:1．根据对立事件的意义，A＋A是一个必然事件,它的概率等于1．又由于A与A互斥，我们得到 P(A＋A）＝P(A)＋P（A）＝12．对立事件的概率的和等于1 P(A）＝1－P（A)3．如果事件A，B是互斥事件,那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率,等于事件A，B分别发生的概率的和．即:P（A＋B）＝P（A）＋P（B）4．一般地，如果事件A1,A2,…，An彼此互斥,那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An） = P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An）．例2 某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：（1）求射击1次，至少命中7环的概率；（2）求射击一次,命中不足7环的概率．注：像例2这样,在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种①将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；②在直接计算某一事件的概率较复杂时，可转而求其对立事件的概率．2．练习．（1）作业:课后练习1，2．（2）对飞机连续射击两次．每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中}，B＝{每次都没击中｝，C ＝{恰有一次击中}，D＝{至少有一次击中}，其中彼此互斥的事件是_____________________________ ；互为对立事件的是________________．3．某射手在一次训练射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0．21，0．23，0．25,0．28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环、或7环的概率；（2）不够7环的概率．六、要点归纳与方法小结:本节课学习了以下内容：1．互斥事件和对立事件的概念；2．如何判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；3．两个互斥事件概率的加法公式．。

自我小测1．从一批产品中取出3件产品，设A：“三件产品全不是次品”，B：“三件产品全是次品”，C：“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的序号是__________．①A与C互斥；②B与C互斥；③任何两个均互斥；④任何两个均不互斥．2．抛掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的点数是奇数”，B为事件“落地时向上的点数是偶数”，C为事件“落地时向上的点数是3的倍数”．以上三个事件每两个组成的一对事件中，互斥事件的个数为__________．3．某人射击一次，设事件A：“中靶”；事件B: “击中环数大于5”；事件C：“击中环数小于5”；事件D：“击中环数大于0且小于6”，则下列正确的关系的序号是__________．①B和C为互斥事件；②B和C为对立事件；③A与D是互斥事件；④A与D为对立事件．5环”．4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一次，恰得正品的概率为__________．5．一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率为__________．6．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是__________．7．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球，设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝3 10，P(B)＝12，求“3个球中既有红球又有白球”的概率．8．某战士射击一次，问：(1)若事件A(中靶)的概率为0.95，则事件E(不中靶)的概率为多少？(2)若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率为多少？(3)在(1)(2)的条件下，求事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率是多少？9．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．10．(2012湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)参考答案1答案：②解析：∵C包含三件产品中三正，二正一次，一正二次三种情况，∴A，B互斥，B，C 互斥且对立．2答案：1解析：只有A，B为互斥事件．3答案：①解析：“击中环数大于5”的对立事件是：“击中环数不大于5”，它包括事件“击中4答案：0.96解析：由互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率公式可得P＝1－0.03－0.01＝0.96.5答案：5 6解析：由列举法知从9张票中任取2张共有36种结果，又事件A＝“号数至少有一个为奇数”的对立事件A＝“号数都为偶数”，共包括(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种，故P(A)＝61 366=.∴P(A)＝1－P(A)＝5 6 .6答案：5 9解析：记没有5点或6点的事件为A，至少有一个5点或6点的事件为B，则P(A)＝4 9 .因A∩B＝∅，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－49＝59.故至少有一个5点或6点的概率为5 9 .7解：记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A(“3个球中有1个红球，2个白球”)和事件B(“3个球中有2个红球，1个白球”)，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝314 1025+=.8解：(1)A与E互为对立事件．所以P(A)＋P(E)＝1，所以P(E)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05；(2)事件B与C也是对立事件．所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3；(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)＝P(C)－P(E)＝0.3－0.05＝0.25.9解：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)共18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则此事件由6个基本事件组成，因而P(M)＝61183=.(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1，C1全被选中”这一事件．由于N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}．故事件N由3个基本事件组成，所以P(N)＝31 186=.由对立事件的概率公式，得P(N)＝1－P(N)＝15 166 -=.10解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为 1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝15310020=，P(A2)＝30310010=，P(A3)＝2511004=.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝3317 2010410++=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7 10.。