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量子力学真题和答案解析是物理学中的一个重要分支，研究微观领域的宇宙现象和微观粒子的行为规律。
具有复杂的数学理论基础，因此在学习和研究过程中常常会遇到各种难题和问题。
为了更好地理解和应用，解析真题和答案是非常重要的一步。
首先，解析真题前，我们需要了解一些基本概念和原理。
描述了微观粒子的行为，其中最基本的概念是量子态和波函数。
量子态描述了粒子的所有性质，而波函数则是的核心数学工具，用于描述粒子的状态和演化规律。
在研究真题时，我们需要仔细分析题目中给出的信息和条件。
通常，题目会给出一些实验或者观测结果，然后要求利用所学知识来推断和解释这些结果。
这就需要我们从题目中提取关键信息，并应用的原理进行分析。
解析真题时，我们可以采用逐步推导的方法。
首先，根据题目中给定的信息，我们可以确定所研究系统的量子态。
然后，根据波函数的演化规律，我们可以利用薛定谔方程或者时间演化算符来推导出系统的时间演化。
最后，我们可以根据所给条件和结果来验证和解释我们的推导和计算结果。
在解析真题时，我们还需要注意一些常见的问题和误区。
首先，是一种概率性理论，因此我们无法准确预测每一次实验的结果。
我们只能给出在大量重复实验中的平均结果。
其次，波函数的坍缩现象是的核心特征之一。
在测量时，波函数会坍缩到某一特定的量子态，从而给出确定的结果。
最后，量子纠缠是中的一个重要现象。
它描述了在某些情况下，两个或多个微观粒子之间存在着密切的关联，无论它们之间的距离有多远。
总结一下，解析真题和答案是学习和研究的重要一步。
我们需要了解的基本概念和原理，并且可以采用逐步推导的方法来分析和解决问题。
我们还需要注意中的一些常见问题和误区，以便更好地理解和应用的原理和概念。
通过解析真题和答案，我们可以提高对的理解，并且能够更好地应用于实际问题和研究中。
判断题1.对于定态而言,几率密度不随时间变化。
T.对F.错答案: T2.对于定态而言,几率流密度矢量不随时间变化。
T.对F.错答案: T3.厄密算符属于不同本征值的两个本征函数必相互正交。
T.对F.错答案: T4.在量子力学中,粒子在某一点的能量等于动能与势能之和。
T.对F.错答案: F5.力学量算符,,则和必相互对易。
T.对F.错答案: F6.微观粒子具有波粒二象性,其波动性是大量粒子之间相互作用的结果。
T.对F.错答案: F7.在任意态中,力学量x和必定满足关系式。
T.对F.错答案: T8.当氢原子处于1s态,核外电子绕核运动的轨道半径为。
T.对F.错答案: F9.若和都是厄密算符,则也是厄密算符。
T.对F.错答案: F10.若和都是厄密算符,则也是厄密算符。
T.对F.错答案: T11.在量子力学中,一个态与自身迭加并不一定形成新的态。
T.对F.错答案: T12.在量子力学中,势能和动能不能同时具有确定值。
T.对F.错答案: T13.粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度,而不决定于强度的绝对大小。
T.对F.错答案: T14.设粒子的归一化波函数为,则在球壳(r,r + dr)内找到粒子的几率为T.对F.错答案: F15.设粒子的归一化波函数为,则在范围内找到粒子的几率为。
T.对F.错答案: T16.若力学量算符,则在其共同本征态上,力学量F和G必同时具有确定值。
T.对F.错答案: T17.所有的波函数都可以按下列式子进行归一化:T.对F.错答案: F18.在由全同粒子组成的体系中,两全同粒子不能处于同一状态。
T.对F.错答案: F19.微观粒子具有波粒二象性,其粒子性只是原子、电子、质子…等个别粒子才具有的属性。
T.对F.错答案: F20.力学量算符在自身表象中的矩阵表示为一对角矩阵。
T.对F.错答案: T21.由自旋为的两全同粒子组成的体系,其自旋部分的波函数必为反对称的。
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下面是南开大学量子力学考研考试大纲《量子力学》(物理学院)考试大纲一、考试目的本考试是全日制“理论物理”和“粒子物理与原子核物理”硕士专业学位研究生的入学资格考试之专业基础课。
根据考生参加本考试的成绩和其他三门考试的成绩总分选择参加第二轮，即复试的考生。
二、考试的性质与范围本考试是测试考生量子力学知识和计算能力的水平考试。
考试范围包括本大纲规定的知识内容。
三、考试基本要求1.具备一定的物理学基础知识和数理方程解题能力。
2.正确理解量子力学的基本概念，掌握量子力学的基本解题方法。
四、考试形式本考试采取基本概念测试与基本计算能力测试相结合的方法。
试题分类参见“考试内容一览表”。
五、考试内容本考试涉及的量子力学知识内容包括：（1）波函数和薛定谔方程；（2）量子力学中的力学量；（3）态和力学量的表象；（4）自旋；（5）近似方法；（6）量子跃迁；（7）全同粒子和多体问题。
《量子力学》考试内容一览表序号题型题量时间（分钟）1问答题8个测试量子力学基本概念的问答题402计算题6个测试量子力学知识和解题能力的计算题140共计：180上面就是以上南开大学量子力学考研大纲了，再说一下给大家推荐的真题资料袋答案解析的，天津考研网主编《南开大学理论物理专业（715电动力学+843量子力学）全套考研资料》。
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考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研复习笔记第1章绪论1.1 复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。
黑体辐射、光电效应和固体的比热等一系类问题是经典物理无法解释的。
之后的旧量子论包括玻尔理论、爱因斯坦的光量子和德布罗意波粒二象性假说给物理学的发展带来了希望，它们也为量子力学的发展奠定了基础。
现代物理学中的两大支柱（量子力学、相对论）逐步验证并解释物理实验中的现象的同时，量子力学自身也在不断完善，并发展出了电磁场量子化理论、解释光子原子相互作用的量子电动力学、应用于原子中核子相互作用的量子色动力学理论，以及当下试图对引力场解释的超弦理论。
所以，不论是为了备考还是为了将来的物理学科研，学习好量子力学是十分重要的。
量子力学是现代物理学的基石，也是物理科研必备的工具。
【本章重难点】1．了解经典物理的成功和所面临的危机，以及量子力学的发展历史；2．掌握德布罗意波粒二象性关系；3．熟练运用玻尔-索末菲量子化条件。
一、波粒二象性（见表1-1-1）表1-1-1 波粒二象性相关概念图1-1-1 康普顿散射二、原子结构的玻尔理论1经典理论在解释原子结构上的困难（1）经典理论不能建立一个稳定的原子模型（运动的带电粒子发射电磁场）；（2）经典理论得出的频率是连续分布的，而实验中的原子光谱是分立的。
2玻尔假设表1-1-2 玻尔假设3索末菲量子化条件的推广式中，q 是电子的一个广义坐标；p 是对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈；n 是0和正整数，称为量子数。
该推广后的量子化条件可应用于多自由度的情况。
4玻尔理论缺陷（1）当理论应用到结构稍复杂于氢原子的其他原子比如氦原子时，结果与实验不符；（2）只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的强度。
量子力学统考真题答案解析近年来，量子力学成为物理学领域研究的热点，其在现代科技中的应用也越发广泛。
因此，掌握量子力学相关知识成为了很多学生的目标。
本文将对一些量子力学统考真题的答案进行解析，帮助读者更好地理解这一领域的知识。
真题一：在泊松括号的定义中，以下哪个性质是正确的？A. 反对称性B. 可加性C. 分配律D. 结合律答案解析：泊松括号的正确性质是反对称性，即对于量子力学中的两个算符A和B，其泊松括号满足{A, B} = -{B, A}。
可加性、分配律和结合律均不是泊松括号的性质。
真题二：以下哪个选项是描述薛定谔方程解的最准确的描述？A. 波函数是一种物理量B. 波函数是一种运动学参数C. 波函数描述了粒子的运动状态D. 波函数描述了粒子的位置答案解析：准确描述薛定谔方程解的选项是C，即波函数描述了粒子的运动状态。
量子力学中的波函数是对粒子运动状态的描述，可以通过求解薛定谔方程得到。
真题三：以下哪个选项是正确的？对于一个哈密顿量H，若其本征态满足ψ = Cψ，其中C为常数，则A. H是没有本征值的。
B. ψ是H的本征态。
C. ψ是H的本征值。
D. ψ不是H的本征态。
答案解析：本题要求判断给定情况下的哈密顿量H与其本征态之间的关系。
根据题目中给出的条件，可以得出结论：ψ是H的本征态。
因为薛定谔方程的解包含了波函数和能量本征值，ψ满足薛定谔方程，因此可以认为ψ是H的本征态。
真题四：以下哪个量是角动量算符的一个本征值？A. 平动动量B. 能量C. 电荷D. 波长答案解析：角动量算符的一个本征值是角动量，选项A的平动动量与角动量概念不同，选项B的能量与角动量没有直接关系，选项C的电荷也与角动量无关，只有选项D的波长与角动量有一定关系，因此答案选D。
通过以上对量子力学统考真题的答案解析，希望可以帮助读者更好地理解量子力学知识。
量子力学是一门复杂而且深奥的学科，需要持续的学习和思考。
只有通过理论的学习和实践的应用，我们才能真正掌握量子力学的精髓，为科学技术的发展做出贡献。
量子力学考研真题与量子力学考点总结8粒子在势场V中运动并处于束缚定态中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。
[中国科学院2006研]【解题的思路】直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。
【分析】在势场V中，粒子所受作用力为因此作用力F的平均值为得证。
【知识储备】①束缚态：在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。
②即③在某一表象下，算符F ∧在ψ态中的平均值为29两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0＜x ＜a ）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数：（1）两个自旋为1/2的可区分粒子； （2）两个自旋为1/2的全同粒子。
[中国科学院2007研]【解题的思路】对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。
【分析】（1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得 波函数为本征能量为对于两个可区分粒子基态能量波函数因此，能级简并度为4。
第一激发态或者能量波函数因此，能级简并度为8。
（2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。
基态能量波函数能级非简并。
第一激发态或者能量波函数能级简并度为4。
【知识储备】①一维无限深方势阱若势能满足在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是体系的能量本征值本征函数②全同粒子a．全同粒子定义在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。
b．全同性原理全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
描述全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称的，而且这种对称性不随时间改变。
c．两个电子的自旋函数若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χS和反对称自旋波函数χA，分别写为【拓展发散】两个自旋为1的全同粒子，即玻色子，求解相应的波函数和能量，以及简并度。
量子力学近年考研真题答案量子力学是物理学中的一门重要学科，近年来在考研中也是一个热门的考点。
考生们在备考过程中，对于量子力学的理解和掌握程度直接影响着他们在考试中的得分。
因此，了解量子力学近年来的考研真题答案是非常有必要的。
首先，我们来探讨一下近年来的考研真题中关于量子力学的选择题。
这些选择题主要涉及到量子力学的基本概念和原理，考察考生对于量子力学的基础知识的掌握程度。
例如，有一道题目是关于波粒二象性的，要求考生选择正确的描述。
答案是“物质既具有波动性又具有粒子性”。
这道题目考察了考生对于波粒二象性的理解，以及对于量子力学基本原理的掌握。
接下来，我们来看一下近年来的考研真题中关于量子力学的填空题。
这些填空题主要考察考生对于量子力学的数学表达和计算的掌握程度。
例如，有一道题目是关于波函数的归一化的，要求考生填写正确的表达式。
答案是“∫|Ψ(x)|^2dx=1”。
这道题目考察了考生对于波函数归一化条件的理解和应用能力。
除了选择题和填空题，近年来的考研真题中还出现了一些关于量子力学的解答题。
这些解答题主要考察考生对于量子力学的深入理解和应用能力。
例如，有一道题目是关于薛定谔方程的，要求考生推导出薛定谔方程的一维定态解。
这道题目考察了考生对于薛定谔方程的理解和推导能力。
通过分析近年来的考研真题答案，我们可以发现，量子力学在考研中的考察重点主要集中在基本概念和原理、数学表达和计算、深入理解和应用能力等方面。
因此，考生在备考过程中，应该注重对于这些方面的学习和掌握。
同时，我们也可以发现，近年来的考研真题中对于量子力学的考察难度逐年增加。
这也说明了量子力学在物理学中的重要性和复杂性。
因此，考生在备考过程中，除了掌握基础知识外，还需要注重对于量子力学的深入理解和应用能力的培养。
总结起来，量子力学在考研中的考察是一个重要的环节。
通过了解近年来的考研真题答案，考生可以更好地了解考察重点和难度，有针对性地进行备考。
同时，也可以通过分析真题答案，加深对于量子力学的理解和掌握。
量子力学知识精要与真题详解，益星学习网可免费下载题库目录第一章量子力学的诞生第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第二章波函数与Schrödinger方程第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第三章一维定态问题第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第四章力学量用算符表达与表象变换第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第五章力学量随时间的演化与对称性第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第六章中心力场第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第七章粒子在电磁场中的运动第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第八章自旋第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第九章力学量本征值问题的代数解法第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第十章定态问题的常用近似方法第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第十一章量子跃迁第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解第十二章散射第一节重点与难点解析第二节名校考研真题详解第三节名校期末考试真题详解附录1．南京大学2008年《量子力学》考研试题与答案2．浙江大学2009年《量子力学》考研试题与答案3．武汉大学2007年《量子力学》考研试题与答案4．吉林大学2009年《量子力学》考研试题与答案5．北京师范大学2009年《量子力学》考研试题与答案6．西安交通大学2006年《量子力学》考研试题与答案。
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在所有的专业课资料当中，真题的重要性无疑是第一位。
分析历年真题，我们可以找到报考学校的命题规律、题型考点、分值分布、难易程度、重点章节、重要知识点等，从而使我们的复习备考更具有针对性和侧重点，提高复习备考效率。
真题的主要意义在于，它可以让你更直观地接触到考研，让你亲身体验考研的过程，让你在做题过程中慢慢对考研试题形成大致的轮廓，这样一来，你对考研的"畏惧感"便会小很多。
下面是给大家找出来的南开大学量子力学导论考研真题解析含答案部分。
1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λm与温度T成反比，即λmT=b （常量）：并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
1.2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
1.3氦原子的动能是E=3kT/2（k为玻尔兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。
1.4利用波尔-索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H=10特拉斯，玻尔磁子MB=9*10-24焦耳/特拉斯，试计算动能的量子化间隔ΔE，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。
以上真题答案解析都是来自:“南开大学物理学院光学专业（光学+量子力学导论）考研红宝书”资料。
这套资料中不仅包含历年真题的答案解析，纵向讲解近数年的真题，同时真题试题的讲解过程中要糅合进相应的知识点，通过分析真题带领考生掌握历年命题规律，预测下一年的考试重点。
还包含专业动向介绍、本科授课课件讲义和期末模拟试卷、非常详细的为大家讲解每个章节的重点，政治、英语、数学的辅导材料都是赠送的。
大家可以参考一下。
研究南开大学量子力学导论考研真题，重点是要训练自己解答分析题的能力，做完以后，考生一定要将自己的答案和参考答案进行比较，得出之间的差别，然后对参考答案的答题角度进行分析，最终总结出自己的解答方法，自己慢慢体会，如果你能把一道题举一反三，那你的复习效果就能达到事半功倍。
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因为专一所以专业，理硕教育助您圆北理之梦。
详情请查阅理硕教育官网2010真题2011年真题2012年真题一、（50分）（1）何谓微观粒子的波粒二象性？（2）分别说明什么是束缚态，它应满足何种自然条件？（3）波函数的物理意义是什么？简并态和负宇称态？（4）物理上可观测量应对应何种性质算符，为什么？（5）氢原子能量量子数4n =，问氢原子轨道角动量有哪些可能的取值和取向？二、（20分）一粒子质量为m ，在三维无限深势阱中运动，势阱箱的长宽高分别在0,0,0x a y b z c ≤≤≤≤≤≤区间，在势阱内势场为零。
（1）求粒子的波函数和能量可能值（2）若a b c ==，讨论系统第二和第三激发的态简并度三、（20分）在磁场中运动的电子哈密顿量为z H WS =，初始电子处于h22X S π=?的状态，给出任意时刻的波函数在此状态下测量z S 得h22π-?的概率是多少？四、（30分）x σ，y σ，z σ为泡利算符，（1）在z σ表象中，求x σ和y σ的归一化本征失（2）求算符n σ??→→的归一化本征失和本征值，其中σ为泡利矩阵，n→=（cos α,cos β,cos γ）为空间单位矢量（3）在z σ本征值为1的态下，计算nσ??→→的平均值（4）在z σ本征值为1的态下，计算2()x ?σ （5）证明exp(i λz σ)=cos λ+i z σsin λ（6））证明exp(i λz σ)z σexp(-i λz σ)= z σcos2λ-y σsin2λ 五、（30分）(1)若系统哈密顿量为2221()2x y z Z H L L AL L =+++,在角动量算符z L 的本征态下，试求：（a ）系统能量本征值（b ）角动量算符X L 的平均值（c ）角动量算符L ??→沿矢量n→=（cos α,cos β,cos γ）投影的平均值（2）氢原子处于的ΨΦ200-12Φ310-12Φ31-1状态上，试求：（a ）能量和角动量z 分量的可能取值与相应概率（b ）求出角动量平方的平均值2013年真题。
2021量子力学考研配套考研真题解析一、真题精解精析1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。
假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。
（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。
（注意：参数在不同范围内，情况会不同）[浙江大学2014研] 【解题思路】①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。
【解析】（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量由薛定谔方程得本征能量为本征波函数为两粒子间有相互作用设因此即所以因为所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。
因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为满足交换对称性。
为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即所以体系的基态波函数为基态能量为（2）当S1＝S2＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。
因为，所以体系基态选择n1＝n2＝1。
因此体系坐标部分的波函数为满足交换对称性。
为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即所以体系的基态波函数为基态能量为【知识储备】①一维线性谐振子势能满足方程本征值本征函数其中②两个角动量的耦合a．体系的总角动量满足角动量的一般对易关系b．力学量的共同本征函数，满足其中③两个电子的自旋函数若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数和反对称自旋波函数分别写为其中表示第1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。
④费米子与波色子【拓展发散】①在冷原子研究领域，粒子除了可以被束缚在谐振子势中，也可以放置于a．无限深势阱中b．硬核球势阱中其中，a为球势阱半径。
②当要求体系中粒子的本征能量和波函数不是基态时，这时坐标部分的波函数可以构成交换反对称和交换对称的波函数，则按照费米子和玻色子满足的量子统计性质，选择相对应的自旋部分的波函数，最终可以得到要求的交换反对称或者交换对称总波函数。
【注】当两粒子坐标部分的波函数不在相同的量子态时，对于两个费米子组成的体系，由于洪特规则的限制，为了使得体系能量最低，体系基态的自旋部分只能选择自旋三重态，即要求总自旋最大化。
③体系中的粒子数可以不止两个，比如三个或者更多个粒子，也可以是玻色子和费米子的mixture，诸如此类问题，这些是冷原子物理中研究的前沿，需要更多仔细的思考。
④关于角动量理论本题中涉及的两个粒子的相互作用是，即自旋-自旋作用，也可以考查自旋-轨道相互作用（spin-orbit coupling），这些问题部分涉及当前的研究前沿，对于学有余力并对量子力学兴趣浓厚的同学值得去思考探究。
2有一量子力学体系，哈密顿量H的本征值与本征矢分别为E n与，，设F为任一算符，试证明[中国科学院2006研] 【解题思路】①对于证明题，可以从右边证到左边结果，也可以从左边证到右边，这需要根据题目所提供的具体信息判断，针对本题知道的本征方程，再观察分析要证明的等式的左右两边，可以明显判断从左边证明比较方便；②对于哈密顿量的有关性质在证明的过程中也可以充分使用，比如厄米性；③对于对易关系式和反对易关系式的展开需要熟练掌握的同时并且对于它们背后的物理内涵有深刻理解；④灵活运用完备性等式。
【解析】证明：因为本征方程和，所以，因此因为粒子数表象中基矢的完备性等式，所以得证。
【知识储备】①哈密顿量的厄米性②粒子数表象中基矢的完备性满足等式③力学量算符的对易关系式为反对易关系式为对易式中满足的基本恒等式[A，B＋C]＝[A，B]＋[A，C][A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C[AB，C]＝A[B，C]＋[A，C]B[A，[B，C]]＋[B，[C，A]]＋[C，[A，B]]＝0 【拓展发散】①本题设定在粒子数表象中证明等式，求得任一力学量和哈密顿量所满足的等式关系，也可以增加给定条件，若F也满足厄米性，，可以进一步确定在这种情况下满足的关系式；②对于有关连续变量的表象也可以用同样的方法去证明，同时要注意表达式中符号的书写规范。
3（1）考虑自旋为1/2的系统，试在S2，S z表象中求算符AS y＋BS z的本征值及归一化的本征态，其中S y，S z是自旋角动量算符，而A，B为实常数；（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量S y得到结果为的概率。
[中国科学院2007研] 【解题思路】①根据表象理论，一力学量在自身表象中的矩阵形式为对角矩阵，在这表象中，任意力学量的表达形式可以通过变换矩阵来求得；②通过力学量的矩阵形式来求解本征值和本征函数；③对量子系统进行测量，发生波包塌缩，对于力学量的测量所得本征值的几率可以通过力学量本征波函数完备展开计算得出。
【解析】（1）对于自旋为1/2的系统，在S2，S z表象中则有令本征方程为并且本征值所以即由久期方程可以得出本征值和相应的本征波函数为当时，当时，（2）自旋S y的本征值为的波函数为所以系统处于上，测量S y得到结果为的概率为【知识储备】 ①在表象中，，，的表示矩阵分别为②力学量算符Q ∧的本征方程为设任意波函数其中体系部分地处于态u n 中相应的概率分别为。
【拓展发散】①在S x 表象中求算符AS y ＋BS z 的本征值及归一化的本征态；②系统自旋为1，比如光子，可以同样求解算符AS y ＋BS z 在S z 表象中的本征值及归一化的本征态，但这时候要计算的矩阵为3×3。
4一个质量为m 的粒子被限制在r ＝a 和r ＝b 的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其它势，求粒子的基态能量和归一化波函数。
[中国科学院2007研]【解题思路】①分析题中所给出的信息，构建物理模型，r＝a和r＝b为粒子的运动边界，从r＝a到r＝b粒子只有动能，势能为零，在此之外，势能无穷大；②对于与时间无关的势场下粒子的运动，显而易见，直接使用定态薛定谔方程求解粒子的本征能量和本征波函数；③观察分析所提供的球面间的势能，也就可以和中心力场情况相类比，对于这种情况，一般选择在球坐标中解决问题比较方便。
【解析】粒子在r＝a和r＝b的两个不可穿透的同心球面之间运动，其相应的势能形式为所以由定态薛定谔方程可得对应的在球坐标系中的本征方程为令ψ（r，θ，φ）＝R（r）Y（θ，φ）因此在范围内，当时，令则解得由边界条件可知相应的有令，即，所以，即，因此由波函数的归一化可得所以即本征值和本征波函数分别为【知识储备】①在中心力场中运动的类氢原子的哈密顿量为相应的本征方程为其在球极坐标中的表示形式为令ψ（r，θ，φ）＝R（r）Y（θ，φ），则R（r）应满足径向方程为方便求解，令，u（r）所满足的方程为②波函数的归一化条件③波函数必须满足的三个基本条件有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。
【拓展发散】①粒子在r＝a和r＝b的两个同心球面之间运动，r＝b处的势能为一个有限值，求解透射率；②两个玻色子或者费米子在在r＝a和r＝b的两个同心球面之间运动，求解基态和第一激发态的波函数，这时候需要考虑整个量子体系满足玻色爱因斯坦统计或者费米狄拉克统计，也就是波函数要求交换对称和反对称，波函数为自旋波函数和坐标波函数的乘积，自旋部分有自旋单态和自旋三重态的考虑。
5处于一维谐振子势基态的粒子，受到微扰作用，求粒子跃迁到其它个激发态的总几率和仍处于基态的几率。
[中国科学院2008研]【解题思路】①在无微扰的状态下，粒子处在一维谐振子势的基态，这时候可以明确相应的本征能量和波函数，同时可以判断所处状态是简并还是非简并；②系统受到的微扰是坐标和时间的函数，明显可以直接使用含时微扰理论来求解跃迁几率。
【解析】分析题意，利用含时微扰理论可得，体系在微扰作用下由初态f k跃迁到终态f m态的概率幅为其中k＝0，即粒子初始状态为基态，因为并且对于谐振子的波函数而言所以因此所以跃迁几率为处在基态的几率为【知识储备】①一维谐振子势能满足方程由定态薛定谔方程可以求得，本征值为本征函数为其中②含时微扰体系哈密顿量，体系波函数ψ所满足的薛定谔方程为将ψ按的本征函数f n展开得则在t时刻发现体系处于f m态的概率是|a m（t）|2。
若体系在t＝0时处于的本征态f k，则体系在微扰作用下由初态f k跃迁到终态f m态的概率幅为相应的跃迁概率为【拓展发散】①有关函数的问题较为简单，无论坐标还是时间，都可以直接把积分函数解出答案，在本题中可以把微扰变为，来求解跃迁几率；②粒子处在激发态会增加运算难度，但思路一样；③粒子处在其他形式的势场，比如，一维无限深势阱、势垒、球势阱；④两个或者两个以上玻色子或者费米子，这时候如果是激发态，则要利用量子体系的统计性质构造总波函数满足对称性或反对称性，然后利用含时微扰计算跃迁几率。
62236有一个质量为m的粒子处在长度为a的一维无限深势阱中，，t＝0时粒子波函数，求：（1）归一化常数A；（2）粒子能量的平均值；（3）t＝0时粒子能量的几率分布；（4）任意t＞0时波函数的级数表达式。
[南京大学2001研] 【解题思路】①由波函数的归一化公式即可求得A；②对于力学量的平均值可以直接带入平均值公式求解；③任意波函数都可以由某一个完备集展开，相应的能量的完备集也可以，对于求解某一个能级的几率分布，只需要对展开式中本征波函数的振幅平方即可；④含时薛定谔方程可以求解t时刻波函数的具体形式。
【解析】（1）由波函数的归一化所以（2）利用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱可得本征波函数为本征能量为将用完备集展开可得因此由傅里叶变化可得所以粒子的平均能量为（3）粒子的本征能量为的几率为（4）粒子在任意时刻t 的波函数为【知识储备】①波函数的归一化条件②在某一表象下，算符F ∧在ψ态中的平均值为③设y 1、y 2、…、y n 、…是体系的可能状态，那么它们的归一化的线性叠加形式为c 1y 1＋c 2y 2＋…＋c n y n ＋…，这也是微观粒子的可能状态。
