人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案(精简篇)

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人教版高中数学必修5测试题及答案全套(20200731141056).pdf

(2) 何时两人距离最近
16．在△ ABC中， a， b， c 分别是角 A，B， C的对边，且 cosB cosC
(1) 求角 B 的值；
b
.
2a c
(2) 若 b＝ 13 ，a＋ c＝ 4，求△ ABC的面积 .
第二章数列
测试三数列
Ⅰ 学习目标
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法 ( 列表、图象、通项公式 ) ，了解数列是一种特殊的函数 .
7．在等差数列 { an} 中，已知 a1＋a2＝ 5， a3＋ a4＝ 9，那么 a5＋ a6＝ ________.
8．设等差数列 { an} 的前 n 项和是 Sn，若 S17＝ 102，则 a9＝________. 9．如果一个数列的前 n 项和 Sn＝ 3n2＋ 2n，那么它的第 n 项 an＝________. 10．在数列 { an} 中，若 a1＝ 1， a2＝ 2， an＋ 2－an＝ 1＋ ( －1) n( n∈ N*) ，设 { an} 的前 n 项和是 Sn，则 S10＝ ________.
三、解答题
11．已知数列 { an} 是等差数列，其前 n 项和为 Sn， a3＝7， S4＝ 24．求数列 { an} 的通项公式 .
12．等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，已知 a10＝30， a20＝ 50. (1) 求通项 an； (2) 若 Sn＝ 242，求 n.
13．数列 { an} 是等差数列，且 a1＝50， d＝－． (1) 从第几项开始 an＜ 0； (2) 写出数列的前 n 项和公式 Sn，并求 Sn 的最大值 .
②cos( A＋ B) ＝ cos C ③ sin A
B
C cos
2
2

【好题】高中必修五数学上期末试题及答案(1)

【好题】高中必修五数学上期末试题及答案(1)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1103．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x ＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．44．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．45．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．116．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（） A ．3B ．32C ．2D ．527．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（） AB ．3CD8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝，则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 9．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( )ABCD10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =11．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（） A ．1B ．12C ．34 D ．3212．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．14．在平面直角坐标系中，设点()0,0O，(A ，点(),P x y的坐标满足0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 15．在钝角ABC V中，已知1AB AC ==，若ABC V的面积为2BC 的长为______．16．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.17．设122012(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____18．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式 n a =_______．19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若212a =，则5S =__________． 20．已知是数列的前项和，若，则_____．三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=.（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

【人教版】高中数学必修五期末模拟试卷带答案(1)

一、选择题1．不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．2．已知0 < a < 1，则141a a+-的最小值是（） A ．4B ．8C ．9D ．103．已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（）A ．[1,7]B ．[5,13]-C ．[5,7]-D ．[1,13]4．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（） A ．(1,12 B ．()12++∞，C ．（1，3）D ．（3，+∞）5．在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5c =，3b =，23A π=，则sin sin A C=（） A ．75 B ．57C ．37D ．736．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若2224ABCa b c S +-=（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（）A ．有一个角是30°的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，3ABCS =，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（）A ．2633B ．2393 C ．83D ．238．在ABC 中，tan sin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( ) A ．(2,22⎤⎦B ．(22,4⎤⎦C ．(4,222⎤+⎦D ．(222,6⎤+⎦9．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（） A ．23B ．45C ．32D ．5410．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（）A ．5049B ．5050C ．5051D ．510111．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问相逢时驽马行几里？（） A ．540B ．785C ．855D ．95012．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-二、填空题13．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则24z x y =+-的最大值是___.14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则a =_______．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1a =，3B π=，当ABC ∆的面积等于3时，tan C =__________．16．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______17．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 18．已知x ，y 是正数，121x y +=，则21x y xy ++的最小值为________. 19．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()n 1n a ,a +均在l 上，若2a 6=，则3a 的值为______．20．已知函数()f x 在()1,∞-+上单调，且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +等于________.三、解答题21．已知函数2()(3)22f x x a x a b =+-+++，,a b ∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集为{|4x x <-或2}x >，求实数a ，b 的值；（2）若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围．22．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y =1被椭圆截得的弦的中点坐标为3144P ⎛⎫⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程. 23．如图所示，某镇有一块空地OAB ，其中3km,60,90OA OAM AOB =∠=∠=.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM △地带上形成假山，剩下的OBN △地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN 的周围安装防护网.设AOM θ∠=.（1）当3km 2AM =时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；（2）若=15θ，问此时人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN 的面积最小？最小面积是多少？24．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围.25．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值；（2）求{}n b 的通项公式.26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，124n n S a n +=+-，*n N ∈． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()122121n n n n a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足1340n T >的正整数n 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解求出,,a b c 的关系，然后再判断二次函数的图象．【详解】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，∴21210b a c a a ⎧-+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，∴20b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩， 2222(2)y ax bx c ax ax a a x x =++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，二次函数的图象，解题关键是掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的解、二次函数的图象之间的关系．2．C解析：C 【分析】利用“1”变形为()1411a a a a ⎛⎫+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭，再利用基本不等式求最值. 【详解】由01a <<，根据均值不等式得14144(1)[(1)]55249111a a a a a a a a a a -⎛⎫+=-++=+++= ⎪---⎝⎭，当且仅当4(1)1a aa a -=-，即23a =时有最小值9. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．A解析：A【解析】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．详解：设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．比较α、β的系数，得123vvλλ+=⎧⎨+=⎩，从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．故选A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．4．A解析：A【解析】试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A．考点：简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．5．A解析：A 【分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果. 【详解】由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得7a =，由正弦定理：sin 7sin 5A a C c ==. 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.6．D解析：D 【分析】根据角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，得到ABC 是等腰三角形，再由2221sin 24+-==ABC a b c S ab C ，结合余弦定理求解. 【详解】因为0AE BC ⋅=，所以AE BC ⊥，又因为AE 是角A 的平分线，所以ABC 是等腰三角形，又2221sin 24+-==ABCa b c Sab C ，所以2221sin cos 22a b c ab C C ab+-==，因为()0,C π∈，所以4Cπ,所以ABC 是等腰直角三角形，故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.7．B解析：B 【分析】由三角形的面积公式可得，4c =，再由余弦定理可得a =，最后由正弦定理可得结果. 【详解】11c sin60=424︒=⋅⋅⋅=∴=ABCSc c由余弦定理可得：22212cos 1612413,2=+-=+-⨯⨯=∴=a b c bc A a由正弦定理可得：2sin sin sin 2sin sin 32++=====++a b c a b c sinA B C A B C 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题目. 8．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，据此有：a b +≤△ABC的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>，综上可得：ABC周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.9．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+，因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和，所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==，则95959459S a T b ==，5545a b =，故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.10．B解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=，所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.11．C解析：C 【分析】由已知条件转化为两个等差数列的前n 项和为定值问题，进而计算可得结果．【详解】由题可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差13的等差数列{}n a ，驽马每日行程构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列{}n b ，则a n ＝103+13（n ﹣1）＝13n +90，b n ＝97﹣0.5（n ﹣1）＝97.5﹣0.5n ，则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∵数列{a n }的前n 项和为2n ×（103+13n +90）＝2n×（193+13n ），数列{b n }的前n 项和为2n ×（97+97.5﹣0.5n ）＝2n ×（194.5﹣2n）， ∴2n ×（193+13n ）+2n ×（194.5﹣2n）＝2250，整理得：25n 2+775n ﹣9000＝0，即n 2+31n ﹣360＝0，解得：n ＝9或n ＝﹣40（舍），即九日相逢，相逢时驽马行了92×（194.5﹣92）=855. 故选：C 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列及等差数列的前n 项和，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．12．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-，可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.二、填空题13．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化解析：21 【分析】画出,x y 满足的可行域，当目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值，求解即可．【详解】画出,x y 满足的可行域，由20250x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B ，则目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值为718421+-=.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．14．4【分析】先由正弦定理可得再由余弦定理可得即可由解出【详解】abc 为三个连续自然数由正弦定理可得即由余弦定理可得解得故答案为：4【点睛】本题考查正余弦定理的应用解题的关键是分别利用正弦定理和余弦定理解析：4 【分析】先由正弦定理可得2cos 2a Aa，再由余弦定理可得5cos 22a Aa ，即可由52222a a a a解出a .【详解】a ，b ，c 为三个连续自然数，1,2b a c a ∴=+=+，由正弦定理可得sin sin a cA C =，即22sin sin 22sin cos a a a AA A A，2cos 2a Aa，由余弦定理可得22222212155cos 221221222a a a a abc a a Abca a a aa ，52222a a a a ，解得4a =.故答案为：4. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是分别利用正弦定理和余弦定理表示出cos A ，即可得出52222a a a a.15．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出解析：-【解析】由题意1sin 23ac π=4c =⇒=，则b ==，所以由余弦定理cosC ==sin C ==tan (C ==-- 点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边4c =，进而运用余弦定理求出边b ==，然后再运用余弦定理求出cosC ==，进而求出sin C ==tan (C ==- 16．【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中即则由正弦定理得：故答案为：【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键解析：【分析】由ACB ∠与BAC ∠，求出ABC ∠的度数，根据sin ACB ∠，sin ABC ∠，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长．【详解】解：在ABC ∆中，50AC m =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒，即30ABC ∠=︒，则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得：50sin 21sin 2AC ACBAB ABC∠===∠．故答案为：. 【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s ts ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s tt s=，即s =时，等号成立． 2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．18．【分析】首先将题中已知条件转化可得利用基本不等式可求得之后应用不等式的性质求得结果【详解】由可得即所以由得当且仅当时取等号所以有所以所以的最小值为当且仅当时取等号故答案为：【点睛】该题考查的是有关求解析：89【分析】首先将题中已知条件转化，可得2x y xy +=，利用基本不等式可求得8xy ≥，之后应用不等式的性质求得结果. 【详解】由121x y +=可得21x y xy+=，即2x y xy +=，所以211111x y xy xy xy xy+==+++，由121x y =+≥ 得8xy ≥，当且仅当24x y ==时取等号，所以有1108xy <≤，19118xy <+≤，18191xy ≥+，所以21811191x y xy xy xy xy+==≥+++，所以21x y xy ++的最小值为89，当且仅当24x y ==时取等号，故答案为：89. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，利用不等式的性质求最值，属于中档题.19．-2【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程求得则数列为公比q 为的等比数列运用等比数列的通项公式可得所求值【详解】直线经过坐标原点是的一个法向量可得直线的斜率为即有直线的方程为点均在上可得即有解析：-2 【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．【详解】直线经过坐标原点，()n 3,1=是l 的一个法向量，可得直线l 的斜率为3-，即有直线l 的方程为y 3x =-，点()n 1n a ,a +均在l 上，可得n n 1a 3a +=-，即有n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列，可得321a a q 623⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭．故答案为2-．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．20．【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是解析：2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性，利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性，结合函数的单调性，根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值，最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称，又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =，所以5051a a 2+=-，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为：2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，等差数列的性质，涉及函数的图象的平移变换，属中档题，小综合题，难度一般.三、解答题21．（1）1,12a b ==-；（2）[)(]3,410,11．【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，应用韦达定理可求得,a b ；（2）易得方程()12f x b =+的解为2x =和5x a =-，由一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系可得5a -的范围，从而得结论．【详解】（1）因为函数2()(3)22,,f x x a x a b a b =+-+++∈R ，()0f x >的解集为{|4x x <-或2}x >，所以4-，2是方程2(3)220x x a a b +-+++=的两根．由42(3)4222a a b -+=--⎧⎨-⨯=++⎩，解得112a b =⎧⎨=-⎩．（2）由()12f x b <+，得2(3)2100x a x a +-+-<．令2()(3)210h x x a x a =+-+-，则()()()[25h x x x a =---]，所以()20h =．故()0h x <的解集中的3个整数只能是3，4，5或1-，0，1．若解集中的3个整数是3，4，5，则556a <-≤，得1011a <≤；若解集中的3个整数是1-，0，1，则251a -≤-<-，得34a ≤<．综上，实数a 的取值范围为[)(]3,410,11．【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系是解题关键．22．（Ⅰ）23x +y 2=1；（Ⅱ）x ﹣y =0或x +y =0.【分析】（Ⅰ）根据直线椭圆的过上顶点，得b =1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a 2=3，即得椭圆方程；（Ⅱ）先设直线l 方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F 1F 2|为底边长求△ABF 2面积函数关系式，在根据基本不等式求△ABF 2面积最大值，进而确定直线l 的方程. 【详解】（Ⅰ）直线x +y =1与y 轴的交于（0，1）点，∴b =1，设直线x +y =1与椭圆C 交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 232=，y 1+y 212=，∴221122x y a b +=1，222222x y a b+=1，两式相减可得21a （x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0， ∴()2121221212()y y b x x x x a y y -+=--+， ∴22b a- ⋅3212=-1，解得a 2=3，∴椭圆C 的方程为23x +y 2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F 1（，0），F 2，0），设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），可设直线l 的方程x =my l 的方程x =my 代入23x +y 2=1，可得（m 2+3）y 2﹣my ﹣1=0，则y 3+y423m =+，y 3y 4213m -=+， |y 3﹣y 4|23m ==+， ∴212ABF S=|F 1F 2|⋅|y 3﹣y 4|=⋅|y 3﹣y 4|==≤=，=，即m =±1，△ABF 2面积最大，即直线l 的方程为x ﹣y =0或x +y =0. 【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.23．（1）9km ；（23）15θ=︒时，OMN的面积最小，最小面积为(2272km 4.【分析】（1）利用余弦定理求得 OM ，结合勾股定理求得θ，判断出OAN 是等边三角形，由此求得防护网的总长度. （2）结合正弦定理求得MNAM，由此求得人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的倍数.（3）求得,OM ON ，由此求得三角形OMN 面积的表达式，结合三角函数最值的求法，求得当15θ=︒时，OMN的面积最小为(2272km 4.【详解】（1）在三角形OAM中，由余弦定理得2OM ==，所以222279944OM AM OA +=+==，所以三角形OAM 是直角三角形，所以90,30OMA θ∠=︒=︒.由于30MON ∠=，所以60AON A ∠=∠=︒，所以OAN 是等边三角形，周长为339⨯=，也即防护网的总长度为9km . （2）15θ=︒时，在三角形OAM 中，由正弦定理得sin 60sin 60sin15sin15OM AM AM OM ⋅︒=⇒=︒︒︒，在三角形OMN 中，180********ONA ∠=︒-︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin 30sin 60sin 30sin 30sin 75sin 75sin 75sin15MN OM OM AM MN ⋅︒⋅︒⋅︒=⇒==︒︒︒︒︒.所以sin 60sin 30sin 60sin 30sin 60sin 302sin 601sin 75sin15cos15sin15sin 302MN AM ︒⋅︒︒⋅︒︒⋅︒====︒=︒︒︒︒︒以O 为顶点时，OMN 和OAM △的高相同，所以3OMN OMNOAMOAMS MNS SSAM===，即人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △.（3）在三角形OAN 中，180603090ONA θθ∠=︒-︒-︒-=︒-，由正弦定理得()333sin 60sin 60sin 90cos cos ON ON θθθ⋅︒==⇒==︒︒-.在三角形OAM 中，18060OMA θ∠=︒-︒-，由正弦定理得()()()()333sin 60sin 60sin 18060sin 60sin 602sin 60OM OM θθθθ⋅︒==⇒==︒︒-︒-+︒+︒+︒.所以()11271sin 302416sin 60cos OMNSOM ON θθ=⋅⋅⋅︒==⋅+︒⋅ ()27116sin cos 60cos sin 60cos θθθ=⋅︒+︒⋅27271616==2727168==272784==.由于()0,60AOM θ∠=∈︒︒，所以当26090,15θθ+︒=︒=︒时，OMN S△最小值为(22722727km 444-==.【点睛】求面积最值的实际问题，可转化为三角函数求最值来求解. 24．（1）3B π=；（2）1(,12-. 【分析】（1）根据等差数列的性质可知cos cos 2cos a C c A b B +=，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sin 2sin cos B B B =，求得cos B ，进而求得B ；（2）先利用二倍角公式及辅助角对原式进行化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的单调性求得()2sin cos A A C 2+-的范围.【详解】因为2cos cos cos b B a C c A =+由正弦定理得， 2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+即：()sin 2sin cos A C B B +=，则sin 2sin cos B B B =，因为sin 0B ≠ 所以1cos 2B =，又0B π<< 得3B π=（2）∵3B π=，∴23A C π+=∴2222sin cos()2sin cos(2)3A A C A A π+-=+-=131cos 2cos 2sin 212cos 22222A A A A A --+=+-=1)3A π-，∵203A π<<，233A πππ-<-<∴sin(2)13A π<-≤ 则()2sin cos A A C 2+-的范围为1,12⎛- ⎝ 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 25．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ；（2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥， ()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅ 两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-， ()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式，故()121nn b n =-⋅+. 【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法． 26．(1)22n n a =+；(2)6．【分析】(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式；(2)把n b 拆项为1112121n n n b +=-++，然后求和．【详解】(1)因为124n n S a n +=+-，则()1262n n S a n n -=+-≥，当2n ≥时，112n n n n n a S S a a -+=-=-+，即122n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-． ∵122a -=，取1n =，则()21112422a S a a -====-，对()1222n n a a +-=-也成立．所以{}2n a -是首项和公比都为2的等比数列，从而22n n a -=，所以22n n a =+． (2)由题设，()()()()()11112121211212121212121n n n n n n n n n n b +++++-+===-++++++，则2231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由1111332140n +->+，得11113121340120n +<-=+，即121120n ++>，即12119n +>，则6n ≥.所以正整数n 的最小值为6．【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法．。

【好题】高中必修五数学上期末试题含答案

【好题】高中必修五数学上期末试题含答案一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（） A ．6B ．16C ．32D ．643．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（） A ．3B ．32C ．2D ．524．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（） A ．25B ．35C ．45 D ．855．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（）A ．-1B ．12C ．1D ．326．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．67．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20198．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．19．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（） A ．20B ．24C ．28D ．3210．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S 12．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（）A ．3B ．8C ．12D ．24二、填空题13．已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为_____________．14．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.15．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为． 16．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=L __________．17．已知数列{}n a 的前n 项和为2*()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______．18．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．19．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.20．设122012(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____三、解答题21．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3sin cos 20b A a Ba --=.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若7b =，ABC ∆的面积为3，求a c +的值． 22．已知正项等比数列{}n a 满足26S =，314S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，已知数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T 证明：1n T <． 23．已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，求实数a 的取值范围.24．在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足(1)1(1)n n n n a b n n ++=+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .25．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=u u u v u u u v，ABC ∆的面积为22，求边b ．26．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果．【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.3．B解析：B 【解析】【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(52)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32．故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．4．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．5．D解析：D 【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由1y x+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率，由图可知，113212PAk +==最大．故答案为32．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．6．A解析：A 【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.7．A解析：A 【解析】【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-，∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．8．C解析：C 【解析】【分析】【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去），则公差d ＝2．故选：C ．9．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.10．A解析：A 【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，，而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率，结合图象，可得1AC k =-，13BC k =，所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.11．C解析：C 【解析】【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7．【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0 数列的前7项为负，故数列{S n }中最小值是S 7 故选C ．【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．12．C解析：C【解析】【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

【典型题】高中必修五数学上期末试题(含答案)

【典型题】高中必修五数学上期末试题(含答案)一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3B ．5C ．33D ．－314．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（） AB ．3CD．25．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S =)A ．3116B ．158C ．7D ．317．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）． A ．45S S < B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =8．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．910．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（）A ．6-B ．5C ．10D ．10-11．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（） A ．63B ．61C ．62D ．5712．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，二、填空题13．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 14．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．15．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．16．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______． 17．观察下列的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________．18．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.19．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________． 20．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题21．在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .22．设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.23．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值. 24．在ABC ∆中，3sin cos a C c A =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3ABC S ∆=，223b c +=+，求a 的值．25．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量＝(2sinB,2－cos2B)，＝(2sin 2()，－1)，.(1)求角B 的大小； (2)若a ＝，b ＝1，求c 的值．26．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－14. (1)求sin A 的值； (2)求·BA BC u u u v u u u v的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误；当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34，故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．B解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立，当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果3．C解析：C 【解析】【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q =，因此，()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---，故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．4．D解析：D 【解析】【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，a =22246748c c c +-=，解得：2c =由7cos 8A =得sin A ==所以，11sin 242282ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.5．A解析：A 【解析】【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状．【详解】22cos 2a baC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA++\=化简得sin cos sin A C B =()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．6．A解析：A 【解析】【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ．【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．B解析：B 【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.8．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，1122x x x x+≥⋅=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当12x x+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.9．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--，所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 10．A解析：A 【解析】【分析】【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍，联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划11．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ，据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.12．A解析：A 【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x =-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，，而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率，结合图象，可得1AC k =-，13BC k =，所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.二、填空题13．4【解析】【分析】设f（x）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有解析：4【解析】【分析】设f（x）34x2﹣3x+4，其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y＝a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b，利用f （b）＝b求出b的值，由抛物线的对称轴求出a的值，从而求出结果．【详解】解：画出函数f（x）＝34x2﹣3x+4＝34（x－2）2＋1的图象，如图，可得f（x）min＝f（2）＝1，由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x2－3x＋4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a ≤1，此时a ≤x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]，所以a ≤1<b ，f （a ）＝f （b ）＝b ，可得2233443344a ab b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0，解得b ＝43或b ＝4. 当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83，不符合题意，舍去，所以b ＝4，此时a ＝0，所以b －a ＝4.故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．14．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛解析：21a -<<【解析】【分析】设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为()10f <，即可求解.【详解】由题意，设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足()10f <，即220a a +-<，即(1)(2)0a a -+<，解得21a -<<，即实数a 的取值范围是21a -<<.【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为(1)0f <是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.15．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线解析：22 【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x =+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果.【详解】 ∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r 共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+ ∴22222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即2x =时取等号 ∴y x的最小值为22. 【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.16．7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域得到及其内部其中把目标函数转化为表示的斜率为截距为由于当截距最大时最大由图知当过时截距最大最大因此由于当且仅当时取等号考点：1线性规划的应用；2利解析：7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域，得到及其内部，其中把目标函数转化为，表示的斜率为，截距为，由于当截距最大时，最大，由图知，当过时，截距最大，最大，因此，，由于，当且仅当时取等号，.考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.17．4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行解析：4980【解析】【分析】表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.【详解】解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字，2018是该表的第1009个数字，由19021100921-<<-，所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字，由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置，即104984980m n =⨯=g，故答案为：4980【点睛】此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．18．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题19．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：110,,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】【分析】由题得11(1)2a q =-，利用(1,0)(0,1)q ∈-⋃即可得解【详解】由题意知，1112a q =-，可得11(1)2a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-⋃，所以可求得1110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现解析：8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+=Q ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题21．（1）2n a n =；（2）S n ＝212n -•3n +1+32 【解析】【分析】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求通项公式；（2）求得b n ＝2n •3n ，由数列的错位相减法求和即可．【详解】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，a 3＝6，且前7项和T 7＝56．可得a 1+2d ＝6，7a 1+21d ＝56，解得a 1＝2，d ＝2，则a n ＝2n ；（2）b n ＝a n •3n ＝2n •3n ，前n 项和S n ＝2（1•3+2•32+3•33+…+n •3n ），3S n ＝2（1•32+2•33+3•34+…+n •3n +1），相减可得﹣2S n ＝2（3+32+33+…+3n ﹣n •3n +1）＝2•（()31313n --﹣n •3n +1），化简可得S n ＝212n -•3n +1+32．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．22．（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．【详解】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 61255a a -==-，可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）2220120+，由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；（2）设()*112n a n a b n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n，可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值；当d ＜0时，T n ()21221212dnd d-=--＜，对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得20212d ≥-，且d ＜0，解得d ≤29log 10．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．23．（1）22n a n =+；（2）63【解析】【分析】（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k .【详解】（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+；（2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.24．(1) 6A π=;(2) 2a =. 【解析】试题分析：（1sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以tan A =．进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到2b c +=+式得到2a =．解析：（Isin cos C c A =，所以cos 0A ≠，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，sin sin cos A C C A ⋅=⋅．又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，所以tan A =．又因为 ()0,A π∈，所以 6A π=．（II）由11sin 24ABC S bc A bc ∆===bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2222cos6a b c bc π=+-，即()()222212a b c bc b c =+-=+-，因为223b c +=+，解得 24a =.因为 0a >，所以 2a =.25．（1）或；（2）c ＝2或c ＝1. 【解析】【分析】 (1)根据＝0得到4sinB·sin 2＋cos2B －2＝0，再化简即得B ＝或 .(2)先确定B 的值，再利用余弦定理求出c 的值.【详解】(1)∵，∴＝0，∴4sinB·sin 2＋cos2B －2＝0，∴2sinB[1－cos ]＋cos2B －2＝0，∴2sinB＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0，∴sinB＝，∵0<B<π，∴B＝或. (2)∵a＝，b ＝1，∴a>b，∴此时B ＝，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c＝2或c ＝1.综上c ＝2或c ＝1.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.26．（1315；（2）32- 【解析】【分析】（1）先求得15sin 4B =,再根据正弦定理求得sin A 即可；（2）根据余弦定理解得2AB =,再由数量积的定义求解即可【详解】（1）1cos 4B =-Q , 15sin 4B ∴=, 根据正弦定理可得,sin sin BC AC A B =,即3sin 15A =,sin 16A ∴= （2）根据余弦定理可得,2222cos AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅, 即2223432AB AB =++,解得2AB =, 13cos 2342BA BC BA BC B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r 【点睛】本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力。

【人教版】高中数学必修五期末模拟试卷附答案

一、选择题1．已知正数x，y 满足1431x y+=+，则x y+的最小值为（）A．53B．2 C．73D．62．已知实数,x y满足约束条件50x yx yy++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则241z x y=++的最小值是（）A．14-B．1C．5-D．9-3．在各项均为正数的等差数列{}n a中，n S为其前n项和，7S=14，则2614ta a=+的最小值为（）A．9 B．94C．52D．24．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若()sin sin sinc C a A b a B=+-，角C的角平分线交AB于点D，且3CD=，3a b=，则c的值为（）A．72B．473C．3D．235．一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75︒，距离为126海里，灯塔C在A 的北偏西30，距离为123海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则此时灯塔C位于游轮的（）A．正西方向B．南偏西75︒方向C．南偏西60︒方向D．南偏西45︒方向6．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得15BCD∠=︒，45BDC∠=︒，302CD m=，并在点C测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB为( )A． B．C ．60mD ．20m7．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（）A ．43-B ．34-C ．34D ．438．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．4C ．8D ．129．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭10．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（） A ．1629B ．1627C ．1113D ．132911．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（） A ．1011B ．910C ．89D ．212．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（） A ．18B ．19C ．20D ．21二、填空题13．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z =__________．14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，且2C A =，则a =______.15．在ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，BD =，则ABC 的面积为_________.16．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则3211x yx y +--的最小值为______． 17．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．18．如图，在四边形ABCD 中，已知AB BC ⊥，5AB =，7AD =，135BCD ∠=︒，1cos 7A =，则BC =________.19．已知数列{}n a 满足112a =，()*112n n a a n +=∈N .设2n n n b a λ-=，*n ∈N ，且数列{}n b 是递增数列，则实数λ的取值范围是________.20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n na -=；④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3．（1）求11+2+a b的最小值；（2）证明：92+a b b aab22．如果x ，y R ∈，比较()222+x y 与()2xy x y +的大小．23．将函数()sin 3cos f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，,6c g b π⎛⎫== ⎪⎝⎭ABC 的面积. 24．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，且bcos A c ⋅=. （1）求角B ；（2）若ABC的面积为BC 边上的高1AH =，求b ，c . 25．若数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 26．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =．（1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．A解析：A 【分析】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 【详解】解：作出不等式组5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示的阴影部分由241z x y =++可得11244z y x =-+-，则144z -表示直线11244z y x =-+-在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当11244z y x =-+-经过点A 时，z 最小，由500x y x y ++=⎧⎨-=⎩可得5522A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，此时552411422z=-⨯-⨯+=-，故选：A.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.3．B解析：B【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式求得26a a+，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．【详解】由题意172677()7()1422a a a aS++===，∴264a a+=，∴26262614114()()4t a aa a a a=+=++6622262644119(5)(52)444a aa aa a a a=++≥+⋅=，当且仅当62264a aa a=，即622a a=时等号成立．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．4．B解析：B【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C的值，由ABC ACD BCDS S S=+△△△可得出ab a b=+，结合3a b=可求得a、b的值，再利用余弦定理可求得c的值.【详解】()sin sin sinc C a A b a B=+-，由正弦定理可得()22c a b a b=+-，可得222a b c ab+-=，由余弦定理可得：2221cos22a b cCab+-==，0Cπ<<，所以3Cπ=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.5．C解析：C 【分析】根据题设中的方位角画出,ABD ACD ∆∆，在ABD ∆中利用正弦定理可求出AD 的长，在ACD ∆中利用余弦定理求出CD 的长，利用正弦定理求CDA ∠的大小（即灯塔C 的方位角）. 【详解】如图，在ABD ∆中，45B =︒，由正弦定理有126242sin 45sin 603AD AB ===︒︒，24AD =. 在ACD ∆中，余弦定理有2222cos30CD AC AD AC AD =+-⨯⨯︒，因AC =，24AD =，12CD =，由正弦定理有sin 30sin CD AC CDA =︒∠，sin CDA ∠=60CDA ∠=︒或者120CDA ∠=︒.因AD CD >，故CDA ∠为锐角，所以60CDA ∠=︒，故选C. 【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.6．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203BC3tan 30203203ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．7．A解析：A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ．【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=，即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---，故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．8．C解析：C 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22x zy =-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y =+转化为斜截式，即22x z y =-+，平移直线2xy =-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.9．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.10．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 11．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++，因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=，又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是解析：455【分析】画出满足条件的平面区域，结合22(4)z x y =++的几何意义以及点到直线的距离求出z 的最小值即可．【详解】画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，的平面区域，如图所示：而22(4)z x y =++()40-，的距离，显然()40-，到直线240x y -+=的距离是最小值，由8445541d -+==+，得最小值是55， 45．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．14．8【分析】根据大边对大角可得可设由已知条件利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可【详解】由题意可得又角ABC 的对边abc 为三个连续偶数故可设由由余弦定理得所以即解得故故答案为：【点睛解析：8 【分析】根据大边对大角，可得a c <, 可设22,2,22a n b n c n =-==+,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于n 的方程求解即可. 【详解】由题意可得A C <,a c ∴<,又角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，故可设22,2,22,a n b n c n =-==+由2,sin sin 2,sin 2sin cos ,C A C A C A A =∴=∴=sin sin a b A B=,()sin 1cos 2sin 221C c n A A a n +∴===-,由余弦定理得()()()()()()22222224414144cos 222222121n n n b c a n n n A bc n n n n n ++--+-++====+++. 所以()()142121n n n n ++=-+,即()()()2114,n n n +=-+解得5n =,故228a n =-=. 故答案为：8. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.15．【分析】设将利用三角形面积公式表示出来可得在中利用余弦定理可得解得即可求出进而可得的值再利用三角形面积公式即可求解【详解】因为平分所以设则因为设所以所以因为所以即在中所以可得解得：所以所以所以故答案解析：8【分析】设12BAD CAD BAC θ∠=∠=∠=，AB x =，将BAD CAD ABC S S S +=△△△利用三角形面积公式表示出来，可得1cos 2x xθ+=，在ABD △中，利用余弦定理可得212cos 2x xθ+-=，解得2x =，即可求出cos θ，sin θ，进而可得sin BAC ∠的值，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠，设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=，因为BAD CAD ABC S S S +=△△△，设AB x =，所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=，所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=，因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x xθ+=，在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=，可得220x x --=，解得：2x =，所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以sin BAD ∠==，3sin 2sin cos 24BAC θθ∠===，所以1sin 2ABCSAC AB BAC =⋅∠=，【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将BAD CAD ABC S S S +=△△△用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积.16．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：5+. 【详解】正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x y x y yx ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨--⎪--=-⎪⎩故得到113121323211=5++111111x 1111y x y x x y y x y x y⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------（）（）1111-y x ⎫⎫-⎪⎪⎭⎭. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然解析：16 【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过A 时，z 最大由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.18．【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由正弦定理得所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角解析：)41【分析】由余弦定理可得8BD =、1cos 2ABD ∠=，由诱导公式可得1sin 2CBD ∠=，进而可得cos CBD ∠=sin BDC ∠，再由正弦定理即可得解. 【详解】在ABD △中，由余弦定理得2222cos 64BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=，所以8BD =，所以2221cos 22AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，又AB BC ⊥，所以1sin cos 2CBD ABD ∠=∠=，0,2CBD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos CBD ∠==，所以()sin sin sin cos cos sin BDC BCD CBD BCD CBD BCD CBD ∠=∠+∠=∠∠+∠∠12==，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC BD BDC BCD ===∠∠，所以)41BC BDC =∠==.故答案为：)41.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题.19．【分析】根据题意可得数列的通项公式代入表示根据数列是递增数列所以得恒成立参变分离以后计算【详解】由可得数列是首项和公比均为的等比数列所以则又因为是递增数列所以恒成立即恒成立所以所以故答案为：【点睛】解析：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得数列{}n a 的通项公式，代入表示n b ，根据数列{}n b 是递增数列，所以得10n n b b +->恒成立，参变分离以后计算.【详解】由()*112n n a a n +=∈N 可得，数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，所以12n n a =，则()222n n nn b n a λλ-==-，又因为{}n b 是递增数列，所以()()()11122222220n n n n n b b n n n λλλ++=+---=+->-恒成立，即220n λ+->恒成立，所以()min 223n λ<+=，所以32λ<. 故答案为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算1n n a a +-判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解min ()a f n <或者max ()a f n >.20．②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解：由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确；若则故③正确；若则数列的前项和故解析：②③④ 【分析】由题意可得，存在x ∈R ，使244x x -，求得x 值，可得14n na a +=，再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案．【详解】解：由存在x ∈R ，使得不等式2*144()n na xx n N a +-∈成立，得244x x -，即2440x x -+，则2(2)0x -，2x ∴=．∴14n na a +=．则数列{}n a 为等比数列，故①错误，②正确；若12a =，则121242n n n a --==，故③正确；若12a =，则数列{}n a 的前n 项和212(14)22143n n n S +⨯--==-，故④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的判定，训练了等比数列通项公式与前n项和的求法，属于中档题．三、解答题21．（1）45；（2）证明见解析【分析】（1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.【详解】（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，，∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a bb aab，需证2292a b +≥，因为()222239222a b a b ++≥==，所以92+a bb a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.22．()()2222x y xy x y ≥++，当且仅当x y =时等号成立【分析】运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可. 【详解】()()()2222442224433222x y xy x y x y x y xy x xy y x y x y xy +-++--++=+--=()()()()()()()2223333222324y x x y y y x x y x y x y x xy y x y x y ⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()20x y -≥，223024y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，()2223024y x y x y ⎡⎤⎛⎫∴-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．()()2222x y xy x y ∴≥++，当且仅当x y =时等号成立.【点睛】本题考查了用作差比较法进行比较两个多项式的大小，考查了配方法的应用，属于中档题. 23．（1）()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈；（2）2或【分析】（1）由题可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+即可解得单调递增区间；（2）由题可得2c =，6B π=或2B π=，由余弦定理可求得a ，即可求出面积.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ()f x 图象向右平移6π个单位长度得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象，所以()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈ （2）由（1）知，62c g π⎛⎫⎪⎝⎭==，因为21sin cos cos 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=，所以1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=±⎭+又因为()0,B π∈，所以7,666B πππ+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=⎭+时，,636B B πππ+==，此时由余弦定理可知，2422cos 126a a π+-⨯⨯=，解得a =，所以12sin26ABCSπ=⨯⨯⨯=，当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=-⎭+时，2,632B B πππ+==，此时由勾股定理可得，a ==，所以122S =⨯⨯=△ABC 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式. 24．（1）6π；（2）b =2c =. 【分析】（1）化角为边，化简得222c a b +-=，再利用余弦定理求角B ；（2）由正弦定理算出c ，由面积公式算出a ，由余弦定理计算b 中即可. 【详解】解：（1）因为cos b A c =-，所以2222b c a b c bc +-⋅=-，所以22222b c a c +-=-，即222c a b +-=.由余弦定理可得222cos 22c a b B ac +-==，因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）由正弦定理可得sin sin 22sin sin6AH AH AHBc Bππ∠===.因为ABC的面积为11sin 22ac B a ==，解得a = 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-=4842228+-⨯⨯=，则b = 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）21n a n =-；（2）113n nn S +=-. 【分析】（1）利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求通项公式；（2）由（1）知利用错位相减法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，也符合上式，所以对任意正整数n ，21n a n =-.（2）由（1）得213n n n b -=，所以1312135232133333n n n n n S ---=+++++…，① 234111352321333333…n n n n n S +--=+++++，② -①②，得32121111212333333n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…， 21113311132[1()]12122231333n n n n n -++⨯--+=+-=--，所以113n nn S +=-．【点睛】方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和. 26．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1n n a b a =即可求出；（2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】（1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212a b a ==，3313a b a ==，（2）设1n a k +=，n n n A b B =，若n k B ≤，则+1n n n n nk A A b b B =≥=，若n n B k A <<，则+1n n n n A b b B ==，若n k A ≥，则+1n n n nn A k b b B B =≥=，综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==，由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥，当1q =时，1n nA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n n n n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.。

答案高中数学必修5模块期末综合测试卷一(人教A版)

高中数学必修5模块期末综合测试卷一（答案）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．解析：设最小内角为α，则sin α，cos α，1成等比数列，所以1－sin 2α＝sin α，解得sin α＝5－12或sin α＝－5－12(舍)．答案： B2．解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6∴a 5＝－3∴d ＝a 5－a 15－1＝2 ∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2 ＝n 2－12n故n ＝6时S n 取最小值．答案： A3．解析：不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，即方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为x ＝－12或13，故⎩⎨⎧ －12＋13＝－b a ，－12×13＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.答案： C4．解析：由已知a n ＋1－a n ＝2n ，所以a 2－a 1＝2×1，a 3－a 2＝2×2，a 4－a 3＝2×3，…，a n －a n －1＝2×(n －1)，以上各式两端分别相加得：a n －a 1＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n (n －1)，即a n ＝n (n －1)∴a 2 009＝2 008×2 009.答案： D5．解析：由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．由已知，得2ac cos B ·sin B cos B ＝3ac ，即sin B ＝32，又B 是三角形的内角，所以B ＝π3或2π3.故选D. 答案： D6．解析： a 7·a 8·a 9a 1·a 2·a 3＝q 18＝2， ∴q 9＝2，a 4·a 5·a 6＝(a 1·a 2·a 3)·q 9＝5 2.答案： A7．解析：作出可行域如图所示目标函数y ＝12x －12z 过点A (1，－1)时z max ＝3答案： B8．解析：易知X ，Y －X ，Z －Y 成等比数列∴(Y －X )2＝X (Z －Y )化简可得Y (Y －X )＝X (Z －X )．答案： D9．解析： a ＞|b |≥0，故a n ＞b n .答案： D10．解析：由题可知a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，∴a ＝c ＋4.∵sin A ＝32，∴A ＝120°. 又cos A ＝cos 120°＝b 2＋c 2－a 22bc＝(c ＋2)2＋c 2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝c 2－4c －122c (c ＋2)＝－12，整理得c 2－c －6＝0，∴c ＝3(c ＝－2舍去)，从而b ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝1543.故选B. 答案： B11．解析：设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 3＝a 12q 3＝2a 1a 4＋2a 7＝a 1q 3＋2a 1q 6＝52即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2a 1q 3＋2a 1·q 3·q 3＝52 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，故S 5＝16×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31. 答案： C12．解析：由已知，2＝2x ＋y ≥22xy ＝22c ，所以c ≤12. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．解析： ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ·1·cos 23π，∴a 2＋a －2＝0，∴(a ＋2)(a －1)＝0∴a ＝1答案： 114．解析：不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立．若a ＋2＝0，则4x －3＞0，显然不恒成立；若a ＋2≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，42－4(a ＋2)(a －1)＜0，解得a ＞2.答案： (2，＋∞)15．解析：可行域如图所示目标函数y ＝－abx ＋z∵a ＞0，b ＞0∴斜率－ab ＜0∴直线过A (1,4)时z 取到最大值8∴ab ＝4∴a ＋b ≥2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝2时等号成立)∴a ＋b 的最小值为4.答案： 416．解析：由3≤xy 2≤8得18≤1xy 2≤13①由4≤x 2y ≤9得16≤x 4y 2≤81②①×②得2≤x 3y 4≤27 ∴最大值为27 答案： 27 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解析：在△ACD 中∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，得AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD .在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，得BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD .又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝1 00042，而1.2AB ≈7 425.6，则实际所需电线长度约为7 425.6 m.18．解析：原不等式即(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0，适合不等式，故(0－a －1)(2a －3)<0，即(a ＋1)(2a －3)>0，∴a >32或a <－1.若a >32，则－2a ＋3－a ＋12＝52(1－a )<－54，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫3－2a ，a ＋12；若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(1－a )>5，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫a ＋12，3－2a .综上，a 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.当a >32时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫3－2a ，a ＋12.当a <－1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫a ＋12，3－2a .19．解析： (1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 20．解析：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则ab ＝72，蔬菜的种植面积S ＝(a －4)(b －2)＝ab －4b －2a ＋8＝80－2(a ＋2b )≤80－42ab ＝32(m 2)当且仅当a ＝2b ，即a ＝12，b ＝6时，S max ＝32.答：矩形温室的边长为6 m,12 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m 2.21．解析：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x ，y 台，总利润是z ，则z ＝6x ＋8y由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y 均为整数．由图知直线y ＝－34x ＋18z 过M (4,9)时，纵截距最大．这时z 也取最大值z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元．22．解析： (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项式为a n ＝4n －2.设{b n }的公比为q ，由已知条件b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1. (2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝[1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1]．4T n ＝[1×4＋3×42＋5×42＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n ]．两式相减得：3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n＝13[(6n －5)4n ＋5]． ∴T n ＝19[(6n －5)4n ＋5].友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

【好题】高中必修五数学上期末试题附答案(1)

【好题】高中必修五数学上期末试题附答案(1)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（） A ．163B ．13C ．2D ．43．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD4．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（） A ．198B ．199C ．200D ．2015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S =（） A ．2B ．73C ．83D ．36．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形8．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝，则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n -10．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．5611．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（） A．2BC ．5D ．92二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________；14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升； 15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .16．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当b =2ac =，ABC ∆的面积为______.17．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．18．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．19．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积6S =+形的外接圆半径是______20．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．三、解答题21．在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

【人教版】高中数学必修五期末模拟试题(含答案)

一、选择题1．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是（） A ．14B ．13C ．12D ．12．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（） A ．8B ．7C ．6D ．33．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤4．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．若3,60a b A ===︒，则边c =（） A ．1B ．2C ．4D ．65．已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，3a =，2b =，且22cos ac B a b ⋅-=-，则B =（） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆直径为（）A．B ．5C．D．7．小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12m BC =，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45∘，④cos BAC ∠=⑤30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为（） A．B ．12mC．D．8．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112z x y =+的取值范围是（）A ．514z ≤≤B ．1524z ≤≤ C ．112z ≤≤ D ．312z ≤≤9．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（）A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（） A ．13λ≥B ．15λ>C ．15λ≥D ．0λ>11．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（）A ．1011B ．910C ．89 D ．212．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116a b+取最小值时，n 的值是（） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知2xy x =+，则42x y+的最小值为_________14．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45︒方向上，另一灯塔在南偏西60︒方向上，则该船的速度是____海里/小时.16．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝α（0＜α＜2π），已知AB 的取值范围是（1，2），则cos α的值为_____．17．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足940a c -<，对任意的x ∈R 都有()0f x >恒成立，则12(2)2(1)(0)⎛⎫ ⎪⎝⎭-+f f f f 的取值范围是_________. 18．在ABC 中，2AB =，4AC =．BC 边上的中线2AD =，则=ABC S △_____．19．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为__________.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，当0n S >时，n 的最大值为______.三、解答题21．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元).（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.22．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 23．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判ABC 断的形状.24．在①()cos cos 3cos 0C A A B +=，②()cos23cos 1B A C -+=，③3cos sin 3b C B a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，___________，求角B 的值和b 的最小值.25．已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得20202021n T >的最小正整数n ． 26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*224n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a-成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()222221log log +=n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，对任意*n N ∈，23n mT >恒成立，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简22211()44u mn vm n mn=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正数m ，n ，2m nu +=，222v m n mn =++，则2222222222()12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn+++===+⨯++++++ 2111111111444444213()11mnm m m n n n n m=+⨯=+⨯≤+⨯=+++++，当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是为13.故选：B . 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤，故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 4．C解析：C【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．考点：余弦定理，正弦定理．5．B解析：B 【分析】由余弦定理化简得222b a c -+=，得到cos A =，进而求得3sin 4A =，再由正弦定理，解得1sin 2B =，即可求解. 【详解】在ABC 中，因为22cos 4ac B a b ⋅-=-，由余弦定理可得2222224a c b ac a b ac +-⋅-=-，即2222224a c b a b +--=-，整理得222b ac -+=，所以222cos 2c b a A bc -+==，因为(0,)A π∈，所以3sin 4A ==，又由正弦定理，可得sin sin a b A B=，解得sin 1sin 2b A B a ==，因为(0,)B π∈，所以6B π=或56B π=，又因为a b >，所以A B >，所以6B π=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.6．C解析：C 【解析】11sin 122224ABC S ac B c c ∆==⨯⨯⨯== ,c =22222cos 132********b ac ac B =+-=+-⨯=-= ,5b = , 252sin 2b R B === ，选C. 7．D解析：D 【分析】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，表示出OB OC ，，在BOC ∆中，由余弦定理列方程求解；选①②③④，表示出AB AC ，，在BAC ∆中，由余弦定理列方程求解. 【详解】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，则OC h =，3OB =，在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即2223122233h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =；选①②③④，则3AB h =，2AC h =，在BAC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，即()2223612222833h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理解和运算求解能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】画出不等式组对应的平面区域，由,x y 都取最大值得出z 的最小值，当z 取最大值时，点(),x y 落在直线250x y +-=上，再结合基本不等式得出z 的最大值.【详解】该不等式组对应的平面区域如下图所示由可行域易知，当4,2x y ==时，112z x y =+取得最小值111442+= 当点(),x y 落在直线250x y +-=上时，112z x y=+取得最大值此时25x y +=，2225224x y xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭ 112542225x y z x y xy xy +∴=+==≥ 当且仅当2x y =，即55,24x y ==时取等号，显然55,24⎛⎫⎪⎝⎭在可行域内即1524z ≤≤ 故选：B 【点睛】关键点睛：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案.9．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论．【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈，故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ．【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．10．A解析：A 【分析】根据1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅，根据d =2，即可求得1a 的值，即可求得n a ，进而可得211111()(21)(23)42123n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法即可求得n T 的表达式，分析即可得答案. 【详解】因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅ 所以2141214()()[]2a a a a a ++=⋅，整理可得2111(22)2(26)a a a +=⋅+ 解得11a =，所以*12(1)21,n a n n n N =+-=-∈，所以211111()(21)(23)42123n n n b a a n n n n +===--+-+，所以1111111111(1+++)45375923212123n T n n n n =-+-+-⋅⋅⋅---+-+=11111111(1)()432123342123n n n n +--=-+++++，因为对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，所以111()042123n n +>++，即13n T <，所以13λ≥. 故选：A【点睛】解题的关键是熟练掌握等差数列、等比数列的性质，并灵活应用，易错点为：在利用裂项相消法求和时，需注意是相邻项相消还是间隔项相消，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.11．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++，因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题13．【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为所以所以所以所以所以所以所以当且仅当即时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正解析：【分析】依题意可得21x y +=，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为2xy x =+，2x xy =+-，所以()()()()2222221(1)42222x y x xy x x xy x y ⎡⎤+-+=+-=+-++⎣⎦，所以2242144x y y x xy +-+=-，所以()()222210x y x y +-++=，所以()2210x y +-=，所以21x y +=，所以42x y +≥=42x y =，即14x =，12y =时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥，即可直接求解．【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b 为正实数，2a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时取等号， 32ab ab ∴-≥，230ab ab ∴--≥，即()()310ab ab -+≥解得：3ab ≥或1ab ≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已知条件转换成关于ab 的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运算能力，属于基础题．15．【分析】由题意设得到然后在中利用正弦定理求解【详解】如图所示：设船的初始位置为半小时后行驶到两个港口分别位于和所以则设则在中所以利用正弦定理解得所以船速为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的实际解析：()1031+【分析】由题意，设BA x =，得到CA x =，然后在Rt BDA 中，利用正弦定理求解. 【详解】如图所示：设船的初始位置为A ，半小时后行驶到B ，两个港口分别位于C 和D ，所以45BCA ∠=︒，15CBD ∠=︒，则30CDB ∠=︒，设BA x =，则CA x =，在Rt BDA 中，10DA x =+. 所以利用正弦定理10sin 60sin 30x x+=︒︒，解得)531x =所以船速为)()153110312÷=.故答案为：)1031【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得解析：24【分析】延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CFAD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==,设BC x =，在BCE ∆与BCF ∆中，分别运用正弦定理可得关于cos α的方程，联立可得答案. 【详解】解：如图，，延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==, 设BC x =，在BCE ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BEE BCE=∠∠,即：2sin(2)sin x παα=-，可得22cos xα=，同理，在BCF ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BFBFC BCF=∠∠,即：1sin sin(2)x απα=-，可得2cos 1x α=，故可得：2124cos α=，可得21cos 8α=，又02＜＜πα，故2cos 4α=, 2. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数学建模的能力与运算能力，属于中档题.17．【分析】用abc 把各函数值表示出来再由已知条件得到abc 之间的关系进而得到不等式恒成立即可求范围【详解】∵∴又由二次函数对任意的都有恒成立知：而∴故∴令即∴若有即可而在上无最大值无最小值但∴故答案为解析：1(,)2+∞【分析】用a 、b 、c 把各函数值表示出来，再由已知条件得到a 、b 、c 之间的关系，进而得到不等式恒成立，即可求范围【详解】 ∵1(0),(),(1),(2)42242a bf c f c f a b c f a b c ==++=++=++ ∴1()2412242(2)2(1)(0)422()884a b f ca b c b c f f f a b c a b c c a a+++++===+-+++-+++ 又由二次函数2()f x ax bx c =++对任意的x ∈R 都有()0f x >恒成立知：2400b ac a ⎧∆=-<⎨>⎩，而940a c -<∴94c b a -<<>，故b a -<<∴2242c b c c a a a ++>>-32t => 即22222422t t b c t t a ++>>- ∴22111211()()228422b c t t a ++>+>-，若221111()(),()()2222f t tg t t =+=- 有max min 12()()84b c f t g t a +>+>即可，而在3,2()t ∈+∞上()f t 无最大值，()g t 无最小值但31()()22g t g >=∴1()12(2)2(1)(0)2f f f f >-+故答案为：1(,)2+∞ 【点睛】本题考查了一元二次函数、一元二次不等式以及一元二次方程根与系数关系，首先由各函数值的表达式代入目标式并化简，再由一元二次方程根与系数关系确定系数间的不等关系，进而构造一元二次函数，根据不等式恒成立，求目标式范围18．【分析】中分别用余弦定理表示再利用解边长再根据余弦定理求角最后根据三角形面积公式求解【详解】设中中解得：中故答案为：【点睛】本题考查解三角形重点考查数形结合分析问题计算能力属于基础题型解析：15【分析】ABD △，ADC 中，分别用余弦定理表示cos ADB ∠，cos ADC ∠，再利用cos cos 0ADB ADC ∠+∠=解边长BC ，再根据余弦定理求角BAC ∠，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】设BD DC x ==，ABD △中，22222cos 224x xADB x +-∠==⋅⋅，ADC 中，22222412cos 224x x ADC x x+--∠==⋅⋅ 180ADB ADC ∠+∠=，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=,212044x x x-∴+=，解得：6x =26BC ∴=， ABC 中，(22224261cos 2244BAC +-∠==-⨯⨯,2115sin 144BAC ⎛⎫∴∠=--= ⎪⎝⎭, 11524152ABCS∴=⨯⨯= 15【点睛】本题考查解三角形，重点考查数形结合分析问题，计算能力，属于基础题型.19．34【分析】当为奇数时可得当为偶数时利用等差数列的通项公式及前项和公式即可得出【详解】当为奇数时当为偶数时则数列是以为首项的等差数列故答案为:34【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式【分析】当n 为奇数时，20n na a +-=，可得135792a a a a a =====，当n 为偶数时，22n n a a +-=，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式即可得出. 【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴ 当n 为奇数时，20n n a a +-= ，135792a a a a a ∴=====，当n 为偶数时，22n n a a +-=，则数列{}2n a 是以23a =为首项，2的等差数列，()()12913924843253422a a a a a a a a a ⨯⎛⎫∴+++=+++++++=⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭34=.故答案为: 34 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，分类讨论、分组求和的方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.20．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20解析：【分析】根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式0n S >即可得解.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅，所以()()()2111628a d a d a d +=++，化简得21100a d d +=，因为0d ≠，所以110a d =-，因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即15152a d +=，将110a d =-代入得510152d d -+=，解得2d =-，所以120a =，所以2(1)20(2)212n n n S n n n -=+⨯-=-+，由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<，所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.三、解答题21．（1）3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈；（2）4-；（3）0.65 【分析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案；（2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，进而结合基本不等式求出()4544kx x +++的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案；（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，可知36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802x x k x ++≥+，求出()()20842x x x +++的最大值，令()()max20841802x x k x ++⎡⎤≥⎢⎥+⎣⎦，即可得出答案. 【详解】（1）由题意，80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭3601808204kk x x =---+，即3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈. （2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，因为[0,10]x ∈，所以4414x ≤+≤，所以()4544kx x ++≥=+4544k x x+=+，即4x =时，等号成立.所以()451801284180124k y k x k x ⎡⎤=+-++≤+-⎢⎥+⎣⎦故政府补贴为4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为18012k +-.（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+，令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x mm++++==+++，由函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281*********h m h ==⨯++=+，所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈. 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损.【点睛】本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 22．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽. 【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x米，因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭，由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<；（2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=，当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立．因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 23．（1）120︒；（2）等腰钝角三角形. 【分析】（1）根据2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，利用正弦定理转化为222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解.（2）根据（1）利用两角差的正弦公式和辅助角公式转化为sin sin B C +=()sin 601B +=求解.【详解】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，所以22(2)(2)a b c b c b c =+++，即222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为()0,A π∈，所以120A =.（2）由（1）知()sin sin sin sin 60B C B B +=+-，()1sin sin 6012B B B =+=+=，因为()0,60B ∈，所以6090B +=，解得30,30B C ==，所以ABC 是等腰三角形. 【点睛】方法点睛：有关三角形形状的判断方法：灵活运用正、余弦定理实现边角转化，合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式辅助角公式等，通过边或角进行判断． 24．条件选择见解析；3B π=，b 最小值为12. 【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值；选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值；选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得tan B =()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值. 【详解】解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：()()cos cos cos 0A B A A B π-++-=⎡⎤⎣⎦，()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B = 又()0,B π∈，所以3B π=，因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈. 由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2211a a a a =+---2331a a =-+，()0,1a ∈，又2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，当12a =时，()2min 14b =，即b 的最小值为12；若选择②：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=，解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍去），又()0,πB ∈，所以3B π=.（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，sin sin cos C B C B =，又sin 0C ≠，所以sin B B =，tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（剩下同①）【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 25．（1）21n a n =-；（2）1011.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得答案；（2）求出112121n b n n =--+利用裂项相消可得答案. 【详解】（1）111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 1a 符合上式，所以21n a n =-．（2）()()21121212121n b n n n n ==--+-+， ∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++，令120201212021n ->+，解得1010n >，所以最小正整数n 为1011. 【点睛】数列求和的方法技巧：（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 26．（1）12n na ；（2）233m <. 【分析】（1）根据题设中的递推关系有12n n a a -=，算出1a 后可求{}n a 的通项.（2）利用裂项相消法可求n T ，求出n T 的最小值后可得m 的取值范围.【详解】（1）因为()*224n n S a a n N =-∈，故11224n n S a a --=-，所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=，其中2n ≥，所以322a a =且212a a =，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，故21321a a a =+-即111441a a a =+-，故11a =且10a ≠，故0n a ≠，故12n n a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2，故12n n a . （2）()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭, 所以1111111111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0n b >，故{}n T 为增数列，故()1min 13n T T ==，故1323m >即233m <. 【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.。

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人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案
人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案
高中数学必修5试总复习题一一.选择题1.由a1?1，d?3确定的等差数列?an?，当an?298时，序号n等于A.99 B.100 C.96 D.101
2.?ABC中，若a?1,c?2,B?60?，则?ABC的面积为A.1 2 B.3 2 C.1 D.3
3.在数列{an}中，a1=1，an?1?an?2，则a51的值为A.99 B.49 C.102
D. 101 4.已知x?0，函数y?4 x?x的最小值是A.5 B.4 C.8 D.6 5.在等比数列中，a1 1?2，q?1 2，a1 n?32，则项数n为A. 3 B. 4 C.
5 D.
6 6.不等式ax2?bx?c?0A. a?0,??0 B. a?0,??0 C. a?0,??0 D. a?0,??0 ?x 7.设x,y满足约束条件??y?1 ?y?x,则z?3x?y的最大值为??y??2 A. 5 B. 3 C.
7 D. -
8 8.在?ABC中,a?80,b?100,A?45?,则此三角形解的情况是A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 9.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于A.2 3 B.-211 3 C.-3 D.-4 10.一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为二、填空题11.在? ABC中，
B?450,c?b?A=_____________; 12.已知等差数列?an?的前三项为
a?1,a?1,2a?3，则此数列的通项公式为________ . 13.不等式2x?1?1的解集是 . 3x?1 nn2S?n?n，那么它的通项公式为a=_____ 14.已知数列{a｝的前n项和n 三、解答题 15已知等比数列?an?中，
a1?a3?10,a4?a6? 16求不等式的解集：?x 求函数的定义域：y? 25，求其第4项及前5项和. 4?4x?5?0 ?5 17 求a的值; 求不等式ax 2?5x?a2?1?0的解集. 19{xx??2或x?1}
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 17. 解：
cosC?cos????A?B????cos?A?B???1 ?C=120°┄┄┄5分 2 ??a?b? 由题设：? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
ab?2?? ?AB?AC?BC?2AC?BCcosC?a?b?2abcos120?
22222 ?a2?b2?ab??a?b??ab?232??2?2?10 ┄┄13分 ?AB?
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 18.依题意，可知方程
ax?5x?2?0的两个实数根为由韦达定理得：21和2，┄┄┄┄┄┄2分215+2=? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 2a 1 2解得：a=-2
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 {x?3?x?}
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 19.在△ABC中，
∠B=152o-122o=30o，∠C=180o-152o+32o=60o，
∠A=180o-30o-60o=90o，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 35，
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分2 3535∴AC=sin30o=.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分 24 35答：船与灯塔间的距离为n mile. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 4 BC= 20.解：由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得： an?a1?2?2n
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分设纯收入与年数n的关系为f,则：
f?21n??25?20n?n2?25 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 2由f>0得
n-20n+25 解得10?n?10? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分又因为n?N,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利┄┄┄┄┄┄┄8分
年平均收入为25f=20-?20?2?5?10 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 nn 当且仅当n=5时，年平均收益最大. 所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。

┄┄┄┄┄┄┄┄14分。