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浙江省松阳县古市中学七年级数学下册《1.2 三角形的角平分线和中线》教案 浙教版教学目标：1、通过折纸、画图等实践活动，认识三角形的角平分线和中线。
2、利用量角器、刻度尺和折纸等方法画三角形的角平分线和中线。
通过画图体验三角形三条角平分线、三条中线交于一点。
教学重点：三角形的角平分线和中线的概念，会画三角形的角平分线和中线。
教学难点：理解三角形的三条角平分线、中线交于一点。
教学过程：一、创设情景，引入新课。
1、请学生任意画一条线段和一个角，并画出这条线段的中点和角的平分线，通过画图，回忆线段中点和角平分线的概念。
2、提出问题： 在一个三角形中，能否找到三个内角的角平分线和三边的中点？3、试一试：（带着问题，师生共同动手操作。
）①请学生拿出已准备的任一三角形，记作△ABC ，把内角∠BAC 对折一次，使AB 与AC 重合，得到一条折痕AD ，问：AD 一定平分∠BAC 吗？②在另一张三角形纸片中，用刻度尺画出BC 的中点D ，然后连结AD 。
问：AD 平分BC 吗？ 在学生动手操作、观察后，教师给予归纳。
二、学习概念，探求规律。
1、归纳列表 AC D ACD的角平分线，边中点的线段。
2、一点说明：三角形中重要线段：角平分线、中线，它们的主要特征是：①都是线段，②这些线段一个端点是三角形的顶点，另一端点在这个顶点的对边上。
3、做一做：教科书第9页。
学生在准备的三张纸片中任取两张，在一张纸片中利用量角器或折纸的方法画出三条角平分线，在另一张纸片中通过刻度尺测量或折纸的方法得到三边的中点，再画出三条中线，引导学生观察各纸片上的三条线段的位置关系，然后通过小组交流，再归纳出结论。
三、理清思路，体验转化。
1、例题：教科书第9页。
先让学生分析思路，再让个别学生口述，教师板书解题步骤，注意强调每一步结论的依据，并加深学生理解，激励学生用不同方法求解。
解后反思：（1）、根据条件，讨论可能产生的结论。
（2）、建立所求未知量与已知量的等量关系。
九年级下期数学专题复习第七讲几何（二）考点一：角平分线的性质定理和判定定理的应用1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.53．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO= ．4．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．5.如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．6．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）考点二：线段的垂直平分线性质定理判定定理的应用1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3D．12．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 度．3．课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证：设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的式子表示解的度数：θ3= ，θ4= ，θ5= ；（2）图1-图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α（0°＜α＜n 0180）；（3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．4．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D 作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ；（3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．考点三：等腰（边）三角形的性质及判定的应用1．已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为 2．衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF 、AG 分别架在墙体的点B 、点C 处，且AB=AC ，侧面四边形BDEC 为矩形．若测得∠FAG=110°，则∠FBD=3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点C在半圆圆心上，点B在半圆上，则∠A的度数约为4．（2011•巴彦淖尔）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒5．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是6.在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是7．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC= °．8．如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为．9．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是度．10．如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的毎个小正方形的边长均为1个单位1长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有11．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=4 3，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有12.△ABC中，AB=AC，P是平面上一点，若△BCP、△ABP、△ACP都是等腰三角形，则满足条件的点P有个。
考点一、 平行线的性质及判定题型一、理由填空题1．（2021-2022成都天府七中七下期中·17）（8分）如图，点G 在CD 上，已知180BAG AGD Ð+Ð=°，EA 平分BAG Ð，FG 平分AGC Ð，请说明//AE GF 的理由．解：因为 )，180(AGC AGD Ð+Ð=° )，所以(BAG AGC Ð=Ð )．因为EA 平分BAG Ð，所以112Ð= ( )．因为FG 平分AGC Ð，所以122Ð= ，得12(Ð=Ð )，所以//(AE GF )．【考点】平行线的判定【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力【分析】根据邻补角的定义及题意得出BAG AGC Ð=Ð，再根据角平分线的定义得到12Ð=Ð，即可判定//AE GF ．【解答】解：因为180BAG AGD Ð+Ð=°（已知），180AGC AGD Ð+Ð=°（邻补角的定义），所以BAG AGC Ð=Ð（同角的补角相等），因为EA 平分BAG Ð，180(BAGAGD Ð+Ð=°所以112BAGÐ=Ð（角平分线的定义），因为FG平分AGCÐ，所以122AGC Ð=Ð，得12Ð=Ð（等量代换），所以//AE GF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；BAGÐ；角平分线的定义；AGCÐ；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．2．（2021-2022成都锦江区盐道街外国语学校七下期中·17）（8分）已知，如图，12Ð=Ð，34Ð=Ð，试说明//EG FH的道理，以下是说明道理的过程，请将其填写完整，并在括号内填出所得结论的理由．12Ð=ÐQ（已知）1(AEFÐ=Ð )2(AEF\Ð=Ð )//(AB CD\ )(BEF CFE\Ð=Ð )34(Ð=ÐQ )43(BEF CFE\Ð-Ð=Ð-Ð )即GEF HFEÐ=Ð//(EG FH\ )【考点】平行线的判定与性质【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力【分析】利用对顶角相等得出1AEFÐ=Ð，再利用平行线的判定定理和性质定理可得BEF CEFÐ=Ð，易得GEF HFEÐ=Ð，利用内错角相等，两直线平行可得结论．【解答】解：12Ð=ÐQ（已知），1Ð=Ð（对顶角相等），AEF\Ð=Ð（等量代换），AEF2\（同位角相等，两直线平行），AB CD//\Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），BEF CEFQ（已知）Ð=Ð34\Ð-Ð=Ð-Ð（等式的基本性质），BEF CEF43即GEF HFE\Ð=Ð\（内错角相等，两直线平行）．//EG FH故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式的基本性质；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．3．（2021-2022成都金牛区铁路中学七下期中·17）（8分）完成下列推理，并填写理由．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，求证：CF∥DO．证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）∴∠DEA＝∠BOA＝90°（ ）∴ （ ）∴∠EDO＝ （ ）又∵∠CFB＝∠EDO（已知）∴∠DOF＝∠CFB（ ）∴ （ ）【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】由DE与BO都与AO垂直，利用垂直定义得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到DE与BO平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由已知的一对角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得到CF与DO平行．【解答】证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知），∴∠DEA＝∠BOA＝90°（垂直的定义），∴DE∥BO（同位角相等，两直线平行），∴∠EDO＝∠DOF（两直线平行，内错角相等），又∵∠CFB＝∠EDO（已知），∴∠DOF＝∠CFB（等量代换）∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；DE∥BO；同位角相等，两直线平行；∠DOF；两直线平行，内错角相等；等量代换；CF∥DO；同位角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）∴∠DEA＝∠BOA＝90°（ 垂直的定义 ）∴ DE∥BO （ 同位角相等，两直线平行 ）∴∠EDO＝ ∠DOF （ 两直线平行，内错角相等 ）又∵∠CFB＝∠EDO（已知）∴∠DOF＝∠CFB（ 等量代换 ）∴ CF∥DO （ 同位角相等，两直线平行 ）4．（2021-2022成都金牛中学七下期中·17）（6分）完成下面的证明，已知：如图，∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．证明：∵∠1＝∠2（ ），∴EF∥ （ ）．∴∠3＝∠ （ ）．∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线（ ），∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝ （ ）．∴∠ACB＝∠AED（ ）．∴BC∥DE（ ）．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】由平行线的判定得CD∥EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AED＝∠ACB，进而可判定BC∥DE．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等）．∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线（已知），∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4（角平分线的定义）．∴∠ACB＝∠AED（等量代换）．∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行）．故答案为：已知；CD；内错角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；已知；2∠4；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．Ð=Ð，5．（2021-2022成都锦江区教育科学研究院附中七下期中·17）（8分）如图，已知//AD BC，12要证34180Ð+Ð=°，请补充完整证明过程，并在括号内填上相应依据：Q（已知），AD BC//\Ð=Ð )，13(Q（已知），Ð=Ð12\Ð=Ð )，23(\ )，//(BE DF\Ð+Ð=° )．34180(【考点】JB ：平行线的判定与性质【专题】17：推理填空题【分析】根据平行线的性质以及已知条件填空．【解答】解：//AD BC Q （已知），13\Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），12Ð=ÐQ （已知），23\Ð=Ð（等量代换），//BE DF \（同位角相等，两直线平行），34180\Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补）．【点评】本题考查的是平行线的判定条件以及平行线的性质，需要熟练掌握．6．（2021-2022成都锦江区七下期中·23）（6分）已知：如图，ABC ADC Ð=Ð，BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð，//ED BF ．求证：AED EDC Ð=Ð．证明：BF Q 和DE 分别平分ABC Ð和(ADC Ð )，12ABF ABC \Ð=Ð，EDC Ð= ADC Ð（角平分线的定义）．又ABC ADC Ð=ÐQ （已知），\Ð ABF =Ð（等量代换）．又：//DE BF （已知），\Ð ( )．\ （等量代换）．【考点】平行线的判定与性质【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线【分析】根据角平分线的定义即可得到EDC ABF Ð=Ð，再根据平行线的性质等量代换即可得解．【解答】证明：BF Q 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð（已知），12ABF ABC \Ð=Ð，12EDC ADC Ð=Ð（角平分线定义）．又ABC ADC Ð=ÐQ （已知），EDC ABF \Ð=Ð（等量代换），又//ED BF Q （已知），AED ABF \Ð=Ð（两直线平行，同位角相等），AED EDC \Ð=Ð（等量代换）．故答案为：已知；12；EDC ；AED ABF =Ð；AED EDC Ð=Ð．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．题型二、证明题1．（2021-2022成都锦江区教育科学研究院附中七下期中·16）（8分）如图所示，已知直线AB ，CD 被直线EF 所截，如果BMN DNF Ð=Ð，12Ð=Ð，那么//MQ NP ．为什么？【考点】9J ：平行线的判定【专题】14：证明题【分析】由已知结合等式的性质，可得PNF QMN Ð=Ð，根据同位角相等，两直线平行可得//MQ NP ．【解答】证明：BMN DNF Ð=ÐQ ，12Ð=Ð（已知），12BMN DNF \Ð+Ð=Ð+Ð，即PNF QMNÐ=Ð//MQ NP \（同位角相等，两直线平行）．【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．2．（2021-2022成都七中育才七下期中·16）（8分）已知：如图，∠C＝∠F，∠CBA＝∠FED，求证：AC ∥DF．【考点】平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】证明：∵∠CBA＝∠FED，∴BC∥EF，∴∠DGB＝∠F，∵∠C＝∠F，∴∠C＝∠DGB，∴AC∥DF．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．3．（2021-2022成都实验外国语西区七下期中·16）（7分）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．（1）求证：AE⊥CE；（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．【考点】平行线的判定；垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可；（2）根据平行线的判定解答即可．【解答】证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF，∴∠2=12∠BEF，∠3=12∠DEF，∵∠BEF+∠DEF＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥CE；（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，∴AB∥CD．【点评】此题考查平行线的判定和角平分线的定义，关键是根据平行线的判定定理解答．4．（2021-2022成都七中七下期中·17）如图，在四边形ABCD中，DE是AD的延长线，已知AC平分∠DAB，AB∥CD，∠1＝40°．求证：∠2＝80°．【考点】平行线的性质．【专题】证明题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】先利用平行线的性质求出∠CAB，再利用角平分线的性质求出∠DAB，最后利用平行线的性质求出∠2．【解答】证明：∵AB∥CD，∠1＝40°．∴∠1＝∠CAB＝40°，∠2＝∠DAB．∵AC平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠CAB＝80°．∴∠2＝80°．【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，掌握“两直线平行，内错角（同位角）相等”是解决本题的关键．5．（2021-2022成都郫都区七下期中·18）（10分）如图，已知直线AB和直线CD被直线EF所截，交点分别为M、N点，已知∠BME+∠CNM＝180°．（1）试说明AB与CD的位置关系，并指出理由；（2）若MP是∠BME的平分线，NQ是∠DNM的平分线，用推导的方式说明MP与NQ的位置关系．并写出每步推导的理由．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】（1）由题意可知∠BME+∠AME＝180°，从而可求得∠AME＝∠CNM，则可得AB∥CD；（2）由（1）得AB∥CD，则可得∠BME＝∠DNM，再由角平分线的定义得∠PME=12∠BME，∠QNM=12∠DNM，则有∠PME＝∠QNM，即可得MP∥NQ．【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵∠BME+∠AME＝180°，∠BME+∠CNM＝180°，∴∠AME＝∠CNM，∴AB∥CD；（2）由（1）得：AB∥CD，∴∠BME＝∠DNM（两直线平行，同位角相等），∵MP是∠BME的平分线，NQ是∠DNM的平分线（已知），∴∠PME=12∠BME，∠QNM=12∠DNM（角平分线的定义），∴∠PME＝∠QNM（等量代换），∴MP∥NQ（同位角相等，两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．6．（2021-2022成都实验外国语七下期中·18）（8分）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．【考点】平行线的判定．【专题】证明题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．【分析】（1）根据平行线的判定即可求解；（2）根据平行线的性质得到∠DGF＝∠EFG，根据等量关系得到∠DGF＝∠C，根据平行线的判定可得CE∥GF，再根据平行线的性质和邻补角的定义即可求解．【解答】（1）证明：∵∠D+∠AED＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DGF＝∠EFG，∵∠C＝∠EFG，∴∠DGF＝∠C，∴CE∥GF，∵∠CED＝75°，∴∠DHG＝75°，∴∠FHD＝105°．【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2021-2022成都金牛中学七下期中·18）（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝110°，∠ABC＝∠ADC，BE平分∠ABC，与CD相交于点E，DF平分∠ADC，与AB相交于点F．（1）求证：BE∥DF；（2）求∠BED的度数．【考点】平行线的判定与性质．【分析】（1）欲证明BE∥DF，只需推知∠FDE+∠BED＝180°，依据“同旁内角互补，两直线平行”证得结论；（2）利用平行线的性质和角平分线的性质得到∠FDE=12∠ADC＝35°．然后再根据“两直线平行，同旁内角互补”得到：∠BED＝180°﹣∠FDE＝145°．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠FBE=12∠ABC，∠FDE=12∠ADC．∵∠ABC＝∠ADC，∴∠FBE＝∠FDE．∵AB∥CD，∴∠FBE+∠BED＝180°．∴∠FDE+∠BED＝180°．∴BE∥DF；（2）解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°．∵∠A＝110°，∴∠ADC＝70°．∴∠FDE=12∠ADC＝35°．∵BE∥DF，∴∠BED＝180°﹣∠FDE＝145°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．8．（2021-2022成都泡桐树中学七下期中·19）（10分）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．【考点】平行线的判定与性质．【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2＝∠A＝∠1，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3＝180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，∴∠3＝25°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝25°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．9．（2021-2022成都七中高新校区七下期中·19）（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG＝∠G．（1）GE与AD平行吗？为什么？（2）如果∠B＝∠BFE＝x，请用含x的代数式表示∠ACB的度数．【考点】三角形内角和定理；列代数式；平行线的判定与性质．【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAC＝2∠DAC，再根据三角形外角的性质可得∠BAC＝∠G+∠AFG，因为∠AFG＝∠G，可知∠BAC＝2∠G，从而得到∠DAC＝∠G，即可判定AD∥GE．（2）根据（1）中结论AD∥GE可知∠BAD＝∠BFE＝x，所以∠BAC＝2∠BAD＝2x，再根据三角形内角和定理可求∠C．【解答】解：（1）GE与AD平行，理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠BAC＝∠G+∠AFG，∠AFG＝∠G，∴∠BAC＝2∠G，∴∠DAC＝∠G，∴AD∥GE．（2）∵AD∥GE．∴∠BAD＝∠BFE＝x，∴∠BAC＝2∠BAD＝2x，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣x﹣2x＝180°﹣3x．【点评】本题考查平行线的判定和三角形内角和定理，解题关键是结合图形熟练运用三角形内角和定理以及平行线的性质和判定定理．10．（2021-2022成都武侯区西川实验学校七下期中·19）（10分）如图，AD交BC于点D，点F在BAÐ=Ð，EF与AC相的延长线上，点E在线段CD上，若点H在FE的延长线上，且EDH CÐ=Ð，F H交于点G，180Ð+Ð=°．BDA CEG（1）求证：//AD EF；（2）求证：AD是BACÐ的平分线．【考点】平行线的判定与性质【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线【分析】（1）根据已知条件和邻补角的定义得到CEG CDAÐ=Ð，根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）180Q，180Ð+Ð=°，BDA CDAÐ+Ð=°BDA CEG\Ð=Ð，CEG CDA\；AD EF//（2）EDH CQ，Ð=Ð\，DH AC//\Ð=Ð，H EGCQ，Ð=ÐF H\Ð=Ð，F EGCAD EFQ，//\Ð=Ð，CAD EGCBAD FÐ=Ð，\Ð=Ð，BAD CAD\平分BACADÐ．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．11．（2021-2022成都锦江区七下期中·25）（6分）已知：如图，//AB CD ，BF 平分ABE Ð，且180FBE DEB Ð+Ð=°，求证：2ABE D Ð=Ð．【考点】平行线的性质【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线【分析】延长DE 交AB 的延长线于点M ，利用平行线的性质和判定可得结论．【解答】证明：延长DE 交AB 的延长线于点M ，//AB CD Q ，D M \Ð=Ð，180FBE DEB Ð+Ð=°Q ，//DM BF \，M ABF \Ð=Ð，BF Q 平分ABE Ð，2ABE ABF \Ð=Ð，2ABE D \Ð=Ð．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．12．（2021-2022成都金牛中学七下期中·20）（10分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式叠放在一起．（1）若∠DCE ＝45°，则∠ACB 的度数为 ；（2）若∠ACB ＝140°，求∠DCE 的度数；（3）猜想∠ACB与∠DCE之间存在什么数量关系？并说明理由；（4）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的值；若不存在，请说明理由．【考点】平行线的判定；余角和补角．【分析】（1）根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；（2）根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；（3）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；（4）当∠ACE＝30°时，CB∥AD时，根据平行线的判定即可解决问题；【解答】解：（1）∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°∴∠ACE＝45°∵∠BCE＝90°∴∠ACB＝90°+45°＝135°故答案为：135°；（2）∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；（3）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°；（4）30°；理由：∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠D＝∠DCB＝30°，∴CB∥AD．【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时注意不能重复，也不能遗漏．13．（2021-2022成都七中七下期中·20）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；（2）若点G为直线CD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN ⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①如图2，当点G在射线FD上运动时，若β＝56°，求α的度数；②当点G在直线CD上运动时，请直接写出α和β的数量关系．【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】（1）结论：AB∥CD．只要证明∠AEM＝∠EMD即可．（2）①依据平行线的性质可得∠AEG＝124°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠HEN=12∠AEG＝62°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣62°＝28°；②分三种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，α=12β，当点G在FM上时，可得α＝90°−12β，当点G在点M的左侧时，α＝90°−12β．【解答】解：（1）结论：AB∥CD．理由：如图1中，∵EM平分∠AEF交CD于点M，∴∠AEM＝∠MEF，∵∠FEM＝∠FME．∴∠AEM＝∠FME，∴AB∥CD．（2）①如图2中，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β＝56°，∴∠AEG＝124°，∵∠AEM＝∠MEF，∠HEF＝∠HEG，∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF=12∠AEG＝62°，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝28°．②结论：α=12β或α＝90°−12β．理由：当点G在F的右侧时，可得α=12β．∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β，∴∠AEG＝180°﹣β，∵∠AEM＝∠MEF，∠HEF＝∠HEG，∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF=12∠AEG＝90°−12β，∵HN⊥EM，∴∠HNE＝90°，∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN=12β．当点G在FM上时，可得α＝90°−12β．理由：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF=12（∠AEF﹣∠FEG）=12∠AEG=12β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°−12β；当点G在点M的左侧时，可得α＝90°−12β．理由：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF=12（∠AEF﹣∠FEG）=12∠AEG=12β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°−12β．【点评】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义等知识是解题的关键．14．（2021-2022成都外国语学校七下期中·20）（12分）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC 边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：∠1＝ °，∠2＝ °；（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，①请直接写出∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）；②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的54倍，求n的值．（3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．【考点】平行线的性质；列代数式；角的计算．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；（2）①根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；②根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，再利用∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的54倍，分两种情况列方程，计算可求解；（3）结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解．【解答】解：（1）∠1＝180°﹣60°＝120°，∠2＝90°；故答案为：120，90；（2）①如图2，∵DG∥EF，∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）＝（90+n）°；故答案为：（90+n）；②∵∠ABC＝60°，∴∠ABE＝180°﹣60°﹣n°＝120°﹣n°，∵DG∥EF∴∠1＝∠ABE＝120°﹣n°，当∠1=54∠2时，120﹣n=54（90+n），解得n=10 3；当54∠1＝∠2时，54（120﹣n）＝90+n，解得n=80 3；综上所述，n值为103或803；（3）当n＝60°时，AB⊥DE（GF）；当n＝90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；当n＝150°时，AB⊥DG（EF）；当n＝180°时，AC⊥DG（EF），BC⊥DE（GF）；当n＝240°时，AB⊥DE（GF）；当n＝270°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；当n＝330°时，AB⊥DG（EF）．【点评】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．15．（2021-2022成都七中育才七下期中·18）（10分）已知直线PQ∥MN．（1）如图1，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，求∠ACB的度数；（2）在（1）的条件下，G为直线MN上一动点（不与点A重合），BD平分∠GBA，交MN于点D，试探究∠CBD与∠BGA的数量关系并证明；（3）如图2，当点C位于PQ上，∠BCA＝90°且AB⊥PQ于点K，∠CEM＝60°，在△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，设旋转时间为t，当BK与△ACK的一边平行时，直接写出此时t的值．【考点】平行线的性质．【专题】证明题；分类讨论；线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；推理能力．【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和可以得解；（2）可分三种情况讨论；（3）画出△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，BK与△ACK的一边平行的所有情况，即可得解．【解答】解：（1）∵PQ∥MN，∴∠PBA+∠MAB＝180°，∵BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，∴∠CBA+∠CAB=12（∠PBA+∠MAB）＝90°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝90°；（2）由题意可分三种情况讨论：①如图，BG在∠CBA左侧，则：∠CBD＝∠GBD﹣∠GBC＝∠GBD﹣（12∠PBA﹣∠BGD）＝∠GBD−12∠PBA+∠BGD，∵∠GBD=12（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）＝90°−12∠BGD−12∠GAB，∴∠CBD＝90°−12∠BGD−12∠GAB−12∠PBA+∠BGD＝90°+12∠BGD−12（∠GAB+∠PBA）=12∠BGD，∴∠BGA＝2∠CBD；②如图，BG在∠CBA内部，则：∠CBD＝∠GBD+∠GBC＝∠GBD+（∠BGD−12∠PBA）＝∠GBD+∠BGD−12∠PBA，∵∠GBD=12（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）＝90°−12∠BGD−12∠GAB，∴∠CBD＝90°−12∠BGD−12∠GAB−12∠PBA+∠BGD＝90°+12∠BGD−12（∠GAB+∠PBA）=12∠BGD，∴∠BGA＝2∠CBD；③如图，BG在∠CBA右侧，则：∠CBD＝180°﹣（∠GBD+∠GBQ+12∠PBA）＝180°﹣（∠GBD+∠BGD+12∠PBA）∵∠GBD=12（180°﹣∠BGD﹣∠GAB）＝90°−12∠BGD−12∠GAB，∴∠CBD＝180°﹣（90°−12∠BGD−12∠GAB+∠BGD+12∠PBA）＝180°﹣（90°+12∠BGD+12∠PBA−12∠GAB）＝180°﹣（90°+90°−12∠ABG−12∠GAB）=12（∠ABG+∠GAB）=12（180°﹣∠BGA），∴∠BGA＝180°﹣2∠CBD；综上，∠CBD与∠BGA的数量关系为：∠BGA＝2∠CBD或∠BGA＝180°﹣2∠CBD．（3）如图，可以画出△BCK以每秒10°绕点C逆时针旋转一周的过程中，BK与△ACK的一边平行的所有情况，①△BCK旋转到△DCL处，DL∥CA，此时旋转角＝∠BCK＝30°，t＝30÷10＝3s，②△BCK旋转到△FCO处，FO∥CK，此时旋转角＝∠OCK＝90°，t＝90÷10＝9s，③△BCK旋转到△GCW处，WG∥KA，此时旋转角＝∠WCK＝180°，t＝180÷10＝18s，④△BCK旋转到△HCR处，HR∥CA，此时旋转角＝∠GCW+∠WCK＝180°+30°＝210°，t＝210÷10＝21s，⑤△BCK旋转到△TCS处，ST∥CK，此时旋转角＝∠SCW+∠WCK＝180°+90°＝270°，t＝270÷10＝27s，⑥△BCK再旋转90°，此时BK回到原处，与AK在同一直线，不算平行，综上所述，当旋转时间为3s或9s或18s或21s或27s时，BK与△ACK的一边平行．【点评】本题考查平行线的动点问题，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、三角形的有关知识及分类讨论的思想方法是解题关键．16．（2021-2022成都锦江区盐道街外国语学校七下期中·20）（10分）已知直线//AB CD ．（1）如图1，直接写出BME Ð、E Ð、END Ð的数量关系为 ；（2）如图2，BME Ð与CNE Ð的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究P Ð与E Ð之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，1ABM MBE n Ð=Ð，1CDN NDE n Ð=Ð，直线MB 、ND 交于点F ，则F EÐ=Ð ．【考点】JA ：平行线的性质【专题】551：线段、角、相交线与平行线【分析】（1）由//AB CD ，即可得到END EFB Ð=Ð，再根据EFB Ð是MEF D 的外角，即可得出E EFB BME END BME Ð=Ð-Ð=Ð-Ð；（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到NPM NGB PMA CNP PMA Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，再根据三角形内角和定理，即可得到22180E PMA CNP Ð+Ð+Ð=°，即2()180E PMA CNP Ð+Ð+Ð=°，即可得到2180E NPM Ð+Ð=°；（3）延长AB 交DE 于G ，延长CD 交BF 于H ，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到E ABE AGE ABE CDE Ð=Ð-Ð=Ð-Ð；依据CHB Ð是DFH D 的外角，即可得到111()111F CHB FDH ABE CDE ABE CDE n n n Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð-Ð+++，进而得出11F E n Ð=Ð+．【解答】解：（1）如图1，//AB CD Q ，END EFB \Ð=Ð，EFB ÐQ 是MEF D 的外角，E EFB BME END BME \Ð=Ð-Ð=Ð-Ð，故答案为：E END BME Ð=Ð-Ð；（2）如图2，//AB CD Q ，CNP NGB \Ð=Ð，NPM ÐQ 是GPM D 的外角，NPM NGB PMA CNP PMA \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，MQ Q 平分BME Ð，PN 平分CNE Ð，2CNE CNP \Ð=Ð，22FME BMQ PMA Ð=Ð=Ð，//AB CD Q ，2MFE CNE CNP \Ð=Ð=Ð，EFM D Q 中，180E FME MFE Ð+Ð+Ð=°，22180E PMA CNP \Ð+Ð+Ð=°，即2()180E PMA CNP Ð+Ð+Ð=°，2180E NPM \Ð+Ð=°；（3）如图3，延长AB 交DE 于G ，延长CD 交BF 于H ，//AB CD Q ，CDG AGE \Ð=Ð，ABE ÐQ 是BEG D 的外角，E ABE AGE ABE CDE \Ð=Ð-Ð=Ð-Ð，①1ABM MBE n Ð=ÐQ ，1CDN NDE n Ð=Ð，11ABM ABE CHB n \Ð=Ð=Ð+，11CDN CDE FDH n Ð=Ð=Ð+，CHB ÐQ 是DFH D 的外角，111()111F CHB FDH ABE CDE ABE CDE n n n \Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð-Ð+++，②由①代入②，可得11F E n Ð=Ð+，即11F E n Ð=Ð+．故答案为：11n +．【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义、三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．17．（2021-2022成都天府七中七下期中·20）（10分）已知：直线//AB CD ，M ，N 分别在直线AB ，CD 上，H 为平面内一点，连HM ，HN ．（1）如图1，延长HN 至G ，BMH Ð和GND Ð的角平分线相交于点E ．①若20H Ð=°，75END Ð=°，则MEN Ð的度数为 ；②探究MEN Ð与MHN Ð的数量关系，并给予证明；（2）如图2，BMH Ð和HND Ð的角平分线相交于点E ．作MP 平分AMH Ð，//NQ MP 交ME 的延长线于点Q ，若150H Ð=°，求ENQ Ð的度数．【考点】平行线的性质【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观【分析】（1）①过点E 作//EP AB 交MH 于点Q ，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得MEN Ð的度数；②过点E 作//EP AB 交MH 于点Q ，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证；（2）过点H 作//GI AB ，利用（1）中结论2180MEN MHN Ð-Ð=°，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等得出360()AMH HNC BMH HND Ð+Ð=°-Ð+Ð，进而用等量代换得出2360MEN MHN Ð+Ð=°．过点H 作//HT MP ，由①的结论得2360MEN MHN Ð+Ð=°，150H Ð=°，105MEN Ð=°．利用平行线性质得180ENQ ENH NHT Ð+Ð+Ð=°，由角平分线性质及邻补角可得1150(180)1802ENQ ENH BMH Ð+Ð+°-°-Ð=°．继续使用等量代换可得ENQ Ð度数．【解答】解：（1）①如图，过点E 作//EP AB 交MH 于点Q ，//EP AB Q ，//AB CD ，//EP CD \，又NE 平分GND Ð，12QEN DNE GND \Ð=Ð=Ð，111()222MEN MEQ QEN BMH GND BMH GND \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð．2MEN BMH GND \Ð=Ð+Ð．180GND DNH Ð+Ð=°Q ，DNH MHN MON BMH Ð+Ð=Ð=Ð．MHN BMH MHN \Ð=Ð-Ð．180GND BMH MHN \Ð+Ð-Ð=°，即2180MEN MHN Ð-Ð=°，20MHN Ð=°Q ，100MEN \Ð=°．故答案为：100°；②2180MEN MHN Ð-Ð=°，理由如下：如图，过点E 作//EP AB 交MH 于点Q ，//EP AB Q ，//AB CD ，//EP CD \，又NE 平分GND Ð，12QEN DNE GND \Ð=Ð=Ð，111()222MEN MEQ QEN BMH GND BMH GND \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð．2MEN BMH GND \Ð=Ð+Ð．180GND DNH Ð+Ð=°Q ，DNH MHN MON BMH Ð+Ð=Ð=Ð．MHN BMH MHN \Ð=Ð-Ð．180GND BMH MHN \Ð+Ð-Ð=°，即2180MEN MHN Ð-Ð=°；（2）过点H 作//GI AB ，如答图2．由（1）可得1()2MEN BMH HND Ð=Ð+Ð，由图可知MHN MHI NHI Ð=Ð+Ð，//GI AB Q ，180AMH MHI BMH \Ð=Ð=°-Ð，//GI AB Q ，//AB CD ，//GI CD \．180HNC NHI HND \Ð=Ð=°-Ð．180180360()AMH HNC BMH HND BMH HND \Ð+Ð=°-Ð+°-Ð=°-Ð+Ð．又AMH HNC MHI NHI MHN Ð+Ð=Ð+Ð=ÐQ ，360BMH HND MHN \Ð+Ð=°-Ð．即2360MEN MHN Ð+Ð=°．150H MHN Ð=Ð=°Q ，2360150210MEN \Ð=°-°=°．105MEN \Ð=°．过点H 作//HT MP ．//MP NQ Q ，//HT NQ \．180ENQ ENH NHT \Ð+Ð+Ð=°，MP Q 平分AMH Ð，11(180)22PMH AMH BMH \Ð=Ð=°-Ð．140NHT MHN MHT PMH Ð=Ð-Ð=°-ÐQ ．1140(180)1802ENQ ENH BMH \Ð+Ð+°-°-Ð=°．12ENH HND Ð=ÐQ ．111409018022ENQ HND BMH \Ð+Ð+°-°+Ð=°．1()1302ENQ HND BMH \Ð++Ð=°．11302ENQ MEN \Ð+Ð=°．13010515ENQ \Ð=°-°=°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强．考点二、 三角形内角和定理1．（2021-2022成都实验外国语西区七下期中·20）（4分）已知AB ∥CD ，小明把△EFG 的点G 放在CD 上，∠EFG ＝90°，∠E ＝30°，若∠2＝2∠1，那么∠1的度数为 ．【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．【专题】计算题；三角形；运算能力．【分析】根据三角形内角和定理可求出∠FGE ，再根据平角的性质可知∠2+∠EGF +∠1＝180°，根据∠2＝2∠1，可以求解∠1．【解答】解：∵∠EGF ＝180°﹣∠EFG ﹣∠E ＝180°﹣90°﹣30°＝60°．由平角可知：∠2+∠EGF +∠1＝180°，∵∠2＝2∠1，∴2∠1+60°+∠1＝180°，∴∠1＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查三角形内角和定理，解题关键是熟知三角形内角和定理并根据三角形内角和定理求解三角形的内角．2．（2021-2022成都外国语学校七下期中·17）（8分）如图①，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝50°，点D，E分别在BC，AB边上，∠BDE=12∠CAD．（1）直接填空：∠ACB＝ （度）；（2）试说明：∠ADE＝∠AED；（3）如图②，若PC，PD分别平分∠ACB，∠ADE，试探究∠P与∠CAD的数量关系．【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；运算能力．【分析】(1)利用三角形的内角和定理解答即可；（2）利用外角的定义等量代换可得结果；（3）利用角平分线的定义及角的等量关系运算即可．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°,故答案为：50；（2）∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DAC,∵∠ADB＝∠ADE+∠BDE,∴∠C+∠DAC＝∠ADE+∠BDE,∵∠BDE=12∠DAC,即∠DAC＝2∠BDE,∴∠ADE＝∠BDE+∠C,∵∠AED＝∠B+∠BDE,∠B＝∠C＝50°,∴∠ADE＝∠AED；(3)∠P=34∠CAD．设∠CAD＝α,则∠BDE=12α，∠ADE＝∠AED＝∠B+∠BDE＝50°+12α，∵PD平分∠ADE,∴∠PDE=12∠ADE=25°+14α,∴∠BDP=∠PDE+∠BDE=25°+1 4α,∴∠BDP=∠PDE+∠BDE=25°+3 4α,∵PC，PD分别平分∠ACB，∠ADE,∴∠PCD=12∠ACD=12×50°=25°,∵∠BDP＝∠P+∠PCD,∴∠P=∠BDP−∠PCD=25°+34α−25°=34α,∴∠P=34∠CAD．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义等，综合运用定理是解答此题的关键．3．（2021-2022成都七中七下期中·18）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数．【考点】三角形内角和定理．【分析】求出∠ECD，∠D，利用三角形的外角的性质求解即可．【解答】解：∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°，∴∠ACD＝25°+31°＝56°．∵AD⊥BD，∴∠D＝90°，∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝28°，∴∠AEC ＝∠ECD +∠D ＝28°+90°＝118°．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题关键是熟知基础知识能根据图形选择合适的性质进行角的计算和转化．4．（2021-2022成都锦江区教育科学研究院附中七下期中·24）（8分）如图，已知ABC D 中，65B Ð=°，45C Ð=°，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC Ð的平分线，求DAE Ð的度数．【考点】7K ：三角形内角和定理【分析】由三角形的内角和定理，可求70BAC Ð=°，又由AE 是BAC Ð的平分线，可求35BAE Ð=°，再由AD 是BC 边上的高，可知90ADB Ð=°，可求25BAD Ð=°，所以10DAE BAE BAD Ð=Ð-Ð=°．【解答】解：在ABC D 中，18070BAC B C Ð=°-Ð-Ð=°Q ，AE Q 是BAC Ð的平分线，35BAE CAE \Ð=Ð=°．又AD Q 是BC 边上的高，90ADB \Ð=°，Q 在ABD D 中9025BAD B Ð=°-Ð=°，10DAE BAE BAD \Ð=Ð-Ð=°．【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟稔于心．考点三、 三角形全等的判定及性质1．（2021-2022成都天府师大一中七下期中·17）（8分）已知：如图，在ABC D 中，AD BC ^于D ，点E 是ABC D 外一点，连接AE ，且AE AB =，BAE DAC Ð=Ð，作EF AC ^于F ，EF 交BC 于H ，连接DF ．求证：FDH DFH Ð=Ð．。
人教版七年级数学下册期末复习压轴题 解答题模拟复习知识点大全一、解答题1．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．（探究1）：如图1，在ΔABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90º+12∠A ，（请补齐空白处．．．．．．） 理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=12∠ABC ，_________________， 在ΔABC 中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．∴∠1+∠2=12（∠ABC+∠ACB ）=12（180º－∠A ）=90º－12∠A ， ∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（________）=90º+12∠A ． （探究2）：如图2，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．（应用）：如图3，在RtΔAOB 中，∠AOB=90º，已知AB 不平行与CD ，AC 、BD 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，又CE 、DE 分别是∠ACD 和∠BDC 的角平分线，则∠E=_______；（拓展）：如图4，直线MN 与直线PQ 相交于O ，∠MOQ=60º，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及其延长线交于E 、F ，在ΔAEF 中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO=______．2．如图，ABC ∆中，B ACB ∠=∠，点,D F 分别在边,BC AC 的延长线上，连结,CE CD 平分ECF ∠．求证：//AB CE ．3．因式分解：（1）3a x y y x ；（2）()222416x x +-． 4．计算：（1）101223； （2）3258232a a a a a ； （3）223113x x x x x x ．5．如果a c = b ，那么我们规定（a ，b ）=c ，例如：因为23= 8 ，所以（2，8）=3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）= ，（4，1）= ，（2，14）= ； （2）若记（3，5）=a ，（3，6）=b ，（3，30）=c ，求证： a + b = c ．6．（1）已知2(1)()2x x x y ---=，求222x y xy +-的值． （2）已知等腰△ABC 的三边长为,,a b c ，其中,a b 满足：a 2+b 2=6a+12b-45，求△ABC 的周长．7．计算：（1）22(2).(3)xy xy（2）23(21)ab a b ab -+-（3）(32)(32)x y x y +-（4）()()a b c a b c ++-+8．已知△ABC中，∠A =60°，∠ACB =40°，D 为BC 边延长线上一点，BM 平分∠ABC ，E 为射线BM 上一点．（1）如图1，连接CE ，①若CE ∥AB ，求∠BEC 的度数；②若CE 平分∠ACD ，求∠BEC 的度数．（2）若直线CE 垂直于△ABC 的一边，请直接写出∠BEC 的度数．9．已知关于x 的方程3m x +=的解满足325x y a x y a-=-⎧⎨+=⎩，若15y -<<，求实数m 的取值范围．10．解方程或不等式（组）（1）24231x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）2151132x x -+-≥ （3）312(2)15233x x x x +<+⎧⎪⎨-≤+⎪⎩ 11．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c ＝10，ab+ac+bc ＝35，则a 2+b 2+c 2＝ ．（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b ）（a+2b ）长方形，则x+y+z ＝ ．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．12．分解因式(1)321025a a a ++；(2)(1)(2)6t t ++- ．13．因式分解：（1）x 4﹣16；（2）2ax 2﹣4axy +2ay 2．14．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B ＝∠C+∠D（简单应用）（2）如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，若∠ABC ＝28°，∠ADC ＝20°，求∠P 的度数（可直接使用问题（1）中的结论）（问题探究）（3）如图3，直线BP 平分∠ABC 的外角∠FBC ，DP 平分∠ADC 的外角∠ADE ，若∠A ＝30°，∠C ＝18°，则∠P 的度数为（拓展延伸）（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝14∠CAB，∠CDP＝14∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）（5）在图5中，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论．15．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝94，则x﹣y＝；（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．16．因式分解：（1）3()6()x a b y b a ---（2）222(1)6(1)9y y ---+17．在校运动会中，篮球队和排球队共有24支，其中篮球队每队10名队员，排球队每队12名队员，共有260名队员．请问篮球队、排球队各有多少支？（利用二元一次方程组解决问题）18．计算：（1）-22+30（2）(2a )3+a 8÷(-a )5（3）(x +2y -3)(x -2y +3)（4）(m +2)2(m -2)219．计算：（1）（y 3）3÷y 6；（2）2021()(3)2π--+-．20．仔细阅读下列解题过程：若2222690a ab b b ++-+=，求a b 、的值．解：2222690a ab b b ++-+=222222690()(3)003033a ab b b b a b b a b b a b ∴+++-+=∴++-=∴+=-=∴=-=，，根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知2222210x xy y y -+-+=，求2x y +的值；（2）已知2254210a b ab b +--+=，求a b 、的值；（3）若248200m n mn t t =++-+=，，求2m t n -的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．【探究1】∠2=12∠ACB，90º－12∠A；【探究2】∠BOC＝90°﹣12∠A，理由见解析；【应用】22.5°；【拓展】45°或36°．【分析】【探究1】根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，根据三角形的内角和定理可得∠1+∠2=90º－12∠A，再根据三角形的内角和定理即可得出结论；【探究2】如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义可得∠OBC＝1 2（∠A+∠ACB），∠OCB＝12（∠A+∠ABC），然后再根据三角形的内角和定理即可得出结论；【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得∠G的度数，于是可得∠GCD+∠GDC的度数，然后根据角平分线的定义和角的和差可得∠1+∠2的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出结果；【拓展】根据角平分线的定义和平角的定义可得∠EAF=90°，然后分三种情况讨论：若∠EAF=4∠E，则∠E=22.5°，根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠ABO=2∠E，于是可得结果；若∠EAF=4∠F，则∠F=22.5°，由【探究2】的结论可求出∠ABO=135°，然后由三角形的外角性质即可判断此种情况不存在；若∠F=4∠E，则∠E=18°，然后再由第一种情况的结论∠ABO=2∠E即可求出结果，进而可得答案．【详解】解：【探究1】理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．∴∠1+∠2=12（∠ABC+∠ACB）=12（180º－∠A）=90º－12∠A，∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（90º－12∠A）=90º+12∠A；故答案为：∠2=12∠ACB，90º－12∠A；【探究2】∠BOC＝90°﹣12∠A；理由如下：如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC ＝12（∠A +∠ACB ），∠OCB ＝12（∠A +∠ABC ）， 在△BOC 中，∠BOC ＝180°﹣∠OBC ﹣∠OCB＝180°﹣12（∠A +∠ACB ）﹣12（∠A +∠ABC ）， ＝180°﹣12（∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ）， ＝180°﹣12（180°+∠A ）， ＝90°﹣12∠A ；【应用】延长AC 与BD ，设交点为G ，如图5，由【探究1】的结论可得：∠G=1901352O ︒+∠=︒， ∴∠GCD+∠GDC=45°， ∵CE 、DE 分别是∠ACD 和∠BDC 的角平分线，∴∠1=12∠ACD=()11802GCD ︒-∠，∠2=12∠BDC=()11802GDC ︒-∠， ∴∠1+∠2=()11802GCD ︒-∠+()11802GDC ︒-∠=()136045157.52︒-︒=︒, ∴()1801222.5E ∠=︒-∠+∠=︒；故答案为：22.5°；【拓展】如图4，∵AE 、AF 是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，∴∠EAQ+∠FAQ=()111809022BAO GAO ∠+∠=⨯︒=︒， 即∠EAF=90°， 在Rt △AEF 中，若∠EAF=4∠E ，则∠E=22.5°，∵∠EOQ=∠E+∠EAQ ，∠BOQ=2∠EOQ ，∠BAO=2∠EAQ ，∴∠BOQ=2∠E+∠BAO ，又∠BOQ=∠BAO+∠ABO ，∴∠ABO=2∠E=45°；若∠EAF=4∠F ，则∠F=22.5°，则由【探究2】知：19022.52F ABO ∠=︒-∠=︒，∴ ∠ABO=135°， ∵∠ABO ＜∠BOQ=60°，∴此种情况不存在；若∠F=4∠E ，则∠E=18°，由第一种情况可知：∠ABO=2∠E ，∴∠ABO=36°；综上，∠ABO=45°或36°；故答案为：45°或36°．【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平角的定义和三角形的外角性质等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想是解题的关键． 2．证明见详解．【分析】根据B ACB ∠=∠，DCF ACB ∠=∠，CD 平分ECF ∠，可得B DCF ∠=∠,ECD DCF ，容易得ECD B ∠=∠，即可得//AB CE ．【详解】∵B ACB ∠=∠，DCF ACB ∠=∠，∴B DCF ∠=∠,又∵CD 平分ECF ∠，∴ECDDCF ∴ECD B ∠=∠∴//AB CE ．【点睛】本题考查了对顶角的性质，角平分线的定义和平行线的证明，熟悉相关性质是解题的关键．3．（1）3xy a ；（2）()()2222x x -+． 【分析】（1）原式先提取负号，再按提取公因式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解因式，再利用完全平方分解因式即可；【详解】（1）3a xy y x 3a xy x y 3x y a ；（2）()222416x x +-()()224444x x x x =+-++2222x x ．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 4．（1）2-；（2）624a ；（3）252x x ． 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，单项式除单项式法则，合并同类项计算即可求出值；（3）原式利用单项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；【详解】（1）101223 2132=-；（2）3258232a a a a a 66624a a a 624a ；（3）223113x x x x x x 323233332x x x x x x323233332x x x x x x 252x x ．【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（1）3；0； -2；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；（2）根据已知得出3a =5，3b =6，3c =30，求出3a ×3b =30，即可得出答案．【详解】（1）（3，27）=3，（4，1）=0，（2，14）=-2， 故答案为3；0；-2；（2）证明：由题意得：3a = 5，3b = 6，3c = 30，∵ 5⨯ 6=30，∴ 3a ⨯ 3b = 3c ，∴ 3a +b = 3c ，∴ a + b = c ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算等知识点，能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键．6．（1）2；（2）15．【分析】（1）先化简条件，再把求值的代数式变形，整体代入即可，（2）利用两个非负数之和为0的性质得到等腰三角形的两边长，后分类讨论即可得到答案．【详解】解：（1） 2(1)()2x x x y ---=， 222,x x x y ∴--+=2,y x ∴-=2222222()2 2.2222x y x xy y y x xy +-+-∴-==== （2） a 2+b 2=6a+12b-45，226912360,a a b b ∴-++-+=22(3)(6)0,a b ∴-+-=3,6,a b ∴==当3a =为腰时，三角形不存在，当6b =为腰时，三角形三边分别为：6,6,3,∴ △ABC 的周长为：15.【点睛】本题考查的是代数式的求值，熟练整体代入的方法，同时考查非负数之和为零的性质，三角形三边的关系，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．7．(1) 3512x y ；(2)3222-6-33a b a b ab +；(3) 229-4x y ；(4)2222-a ac c b ++【分析】（1）直接利用积的乘方和单项式乘单项式法则计算即可；（2）直接利用单项式乘多项式法则计算即可；（3）直接利用平方差公式计算即可；（4）先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）原式2443x y xy =⋅3512x y =；（2）原式23233ab a b ab ab ab =-⋅-⋅+2232633a b a b ab =--+；（3）原式2294x y =-；（4）原式22()a c b =+-2222a ac c b =++-．【点睛】本题考查了整式乘法和乘法公式的运用，熟练掌握整式的乘法法则及乘法公式是解决本题的关键．8．（1）①40°；②30°；(2)50°，130°，10°【解析】试题分析：（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC =80°，由角平分线的定义得到∠ABE =12∠ABC =40°，根据平行线的性质即可得到结论；②根据邻补角的定义得到∠ACD =180°-∠ACB =140°，根据角平分线的定义得到∠CBE=12∠ABC =40°，∠ECD =12∠ACD=70°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）①如图1，当CE ⊥BC 时，②如图2，当CE ⊥AB 于F 时，③如图3，当CE ⊥AC 时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．试题解析：（1）①∵∠A =60°，∠ACB =40°，∴∠ABC =80°，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABE =12∠ABC =40°， ∵CE ∥AB ，∴∠BEC =∠ABE =40°；②∵∠A =60°，∠ACB =40°，∴∠ABC =80°，∠ACD =180°-∠ACB =140°，∵BM 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠CBE =12∠ABC =40°，∠ECD =12∠ACD =70°， ∴∠BEC=∠ECD-∠CBE =30°；（2）①如图1，当CE ⊥BC 时，∵∠CBE =40°，∴∠BEC =50°；②如图2，当CE ⊥AB 于F 时，∵∠ABE =40°，∴∠BEC =90°+40°=130°，③如图3，当CE ⊥AC 时，∵∠CBE =40°，∠ACB =40°，∴∠BEC =180°-40°-40°-90°=10°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形是解题的关键．9．21m -<<【分析】先解方程组325x y a x y a -=-⎧⎨+=⎩，消去a 用含x 的式子表示y,再将x=3-m 代入y 中，从而得到用含m 的式子表示y,在根据15y -<<，解关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.【详解】解：325x y a x y a -=-⎧⎨+=⎩①②，①5⨯+②得6315x y -=即25y x =-③ 由3m x +=得3x m =-，代入③得，12y m =-又因为15y -<<，则1125m -<-<，解得21m -<<【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及二元一次方程组的解，解题时需要掌握解二元一次方程和一元一次不等式的方法．10．（1）21x y =⎧⎨=⎩；（2）1x ≤-；（3）13x -≤< 【分析】（1）根据加减消元法解答；（2）根据解一元一次不等式的方法解答即可；（3）先分别解两个不等式，再取其解集的公共部分即得结果．【详解】解：（1）对24231x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①×2，得248x y +=③，③－②，得7y =7，解得：y =1，把y =1代入①，得x +2=4，解得：x =2，∴原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩； （2）不等式两边同乘以6，得()()2216351x x --≥+，去括号，得426153x x --≥+，移项、合并同类项，得1111x -≥，不等式两边同除以﹣1，得1x ≤-；（3）对()312215233x x x x ⎧+<+⎪⎨-≤+⎪⎩①②， 解不等式①，得x ＜3，解不等式②，得1x ≥-，∴原不等式组的解集为13x -≤<．【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，属于基本题型，熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式的方法是关键．11．（1）（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；（2）30；（3）9；（4）x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c ）2；正方形的面积＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ，可得等式；（2）依据a 2+b 2+c 2＝（a+b+c ）2﹣2ab ﹣2ac ﹣2bc ，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa 2+yb 2+zab ，而（2a+b ）（a+2b ）＝2a 2+4ab+ab+2b 2＝2a 2+5b 2+2ab ，即可得到x ，y ，z 的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c ）2；正方形的面积＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ， ∴（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ，故答案为：（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；（2）∵（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ，∵a+b+c ＝10，ab+ac+bc ＝35，∴102＝a 2+b 2+c 2+2×35，∴a 2+b 2+c 2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b ）（a+2b ）＝xa 2+yb 2+zab ，∴2a 2+5ab+2b 2＝xa 2+yb 2+zab ，∴225x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z ＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x 3﹣1×1•x ＝x 3﹣x ，新几何体的体积＝（x+1）（x ﹣1）x ，∴x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x ．故答案为：x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x ．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．12．（1）()25a a +；（2）()()41t t +-． 【分析】（1）首先利用提公因式法，提出a ，再利用公式法，即可分解因式；（2）首先将两个多项式的乘积展开，合并同类项后，再利用十字相乘法即可分解因式．【详解】解：（1）()()23221025=10255a a a a a a a a ++++=+； （2）()()22(1)(2)6=3263441t t t t t t t t ++-++-=+-=+-． 【点睛】本题考查因式分解，难度不大，是中考的常考点，熟练掌握分解因式的方法是顺利解题的关键．13．（1）2(4)(2)(2)x x x ++- （2）22()a x y -【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）原式＝（x 2+4）（x 2﹣4）＝（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）；（2）原式＝2a （x 2﹣2xy +y 2）＝2a （x ﹣y ）2．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（1）证明见解析；（2）24°；（3）24°；（4）∠P=34x+14y；（5）∠P=180()2A C︒-∠+∠【分析】（1）根据三角形内角和为180°，对顶角相等，即可证得∠A+∠B=∠C+∠D（2）由（1）的结论得：∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①，∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②，将两个式子相加，已知AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，可得∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，可证得∠P=12(∠ABC+∠ADC)，即可求出∠P度数．（3）已知直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，可得∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的结论得：∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1，∠A+∠4=∠P+∠2，两式相加即可求出∠P的度数．（4）由（1）的结论得：14∠CAB+∠C=∠P+14∠CDB，34∠CAB+∠P=∠B+34∠CDB，第一个式子乘以3，得到的式子减去第二个式子即可得出用x、y表示∠P（5）延长AB交DP于点F，标注出∠1，∠2，∠3，∠4，由（1）的结论得：∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3，其中根据对顶角相等，三角形内角和，以及外角的性质即可得到∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P，代入∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3，即可得出∠P与∠A、∠C的关系．【详解】（1）如图1，∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∴∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，由（1）的结论得：∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①，∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②①+②，得2∠P+∠PAD+∠BCP=∠BAP+∠ABC +∠PCD+∠ADC∴∠P=12(∠ABC+∠ADC)∴∠ABC＝28°，∠ADC＝20°∴∠P=12(28°+20°)∴∠P=24°故答案为：24°（3）∵如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的结论得：∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1①，∠A+∠4=∠P+∠2②①+②，得∠C+180°-∠3+∠A+∠4=∠P+180°-∠1+∠P+∠2∴30°+18°=2∠P∴∠P=24°故答案为：24°（4）由（1）的结论得：14∠CAB+∠C=∠P+14∠CDB①，34∠CAB+∠P=∠B+34∠CDB②①×3，得34∠CAB+3∠C=3∠P+34∠CDB③②-③，得∠P-3x=y-3∠P∴∠P=34x+14y故答案为：∠P=34x+14y（5）如图5所示，延长AB交DP于点F由（1）的结论得：∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3∵∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P ∴∠A+360°-2∠A-2∠3-2∠P=∠C+180°-2∠3解得：∠P=180()2A C︒-∠+∠故答案为：∠P=180()2A C︒-∠+∠【点睛】本题是考查了角平分线性质及三角形内角和定理，对顶角相等，三角形任一外角等于不相邻的两个内角和等知识点，本题是典型的拓展延伸题，一般第一问得出基本结论，后面的问题将基本结论作为解题基础，进行拓展延伸．15．（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab；（2）±4；（3）-7【分析】（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2，图1的面积和图2中白色部分的面积相等即可求解．（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy，将x+y＝5，x•y＝94代入(x+y)2-(x-y)2=4xy，即可求得x-y的值（3）因为(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1，等号两边同时平方，已知(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15，即可求解．【详解】（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等∴(a+b)2-(a-b)2=4ab故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy∵x+y ＝5，x•y ＝94 ∴52-(x-y)2=4×94∴(x-y)2=16∴x-y=±4故答案为：±4（3）∵(2019﹣m)+(m ﹣2020)＝-1∴[(2019﹣m)+(m ﹣2020)]2=1∴(2019﹣m)2+2(2019﹣m)(m ﹣2020)+ (m ﹣2020)2=1∵(2019﹣m)2+(m ﹣2020)2＝15∴2(2019﹣m)(m ﹣2020)=1-15=-14∴(2019﹣m)(m ﹣2020)=-7故答案为：-7【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．16．（1）3()(2)a b x y -+；（2）22(2)(2)y y +-【分析】（1）提取公因式3(a-b)，即可求解．（2）将(y 2-1)看成一项，根据完全平方公式进行因式分解，之后再利用平方差公式即可求解．【详解】（1）原式=3()6()x a b y b a ---=3()(2)a b x y -+故答案为：3()(2)a b x y -+（2）原式=222(1)6(1)9y y ---+ =22(y 13)--=22(4)y -=22(2)(2)y y +-故答案为：22(2)(2)y y +-【点睛】本题考查了因式分解的方法，本题分别采用了提取公因式法和公式法进行因式分解，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．运用公式法因式分解，一般有平方差公式，完全平方公式，立方和公式，完全立方公式．17．篮球队14支，排球队10支【分析】根据题意可知，本题中的等量关系是“有24支队”和“260名运动员”，列方程组求解即可．【详解】设篮球队x 支，排球队y 支，由题意可得：241012260x y x y +=⎧⎨+=⎩解的：1410x y =⎧⎨=⎩答：设篮球队14支，排球队10支【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．18．（1）-3 （2）7a 3（3）x 2-4y 2+12y -9（4）m 4-8m 2+16【分析】（1）原式利用零指数幂法则及乘方的意义化简，计算即可得到结果；（2）先 利用积的乘方公式和同底数幂的除法公式计算，然后合并即可得到结果； （3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简即可得到结果；（4）原式先利用平方差方式计算，再利用完全平方公式计算即可得到结果.【详解】（1）2042331=-+-=-+；（2）()()533833()872a a a a a a ÷=+-=+-； （3） ()()()()23232323x y x y y x x y +--+---=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()2222234129x y x y y =--=-+-；（4）()()()()2222222m m m m +-+-=⎡⎤⎣⎦ ()42228146m m m =-+-=.【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（1）y 3；（2）12．【分析】（1）先计算幂的乘方，然后计算同底数幂除法；（2）分别利用负整数指数幂、零次幂、乘方计算，然后合并．【详解】解：（1）原式＝y 9÷y 6＝y 3；（2）原式＝4﹣1+9＝12．【点睛】本题考查了整式的运算与实数的运算，熟练运用公式是解题的关键．20．（1）23x y +=；（2）21a b ==，；（3）21m t n -=．【分析】（1）首先把第3项22y 裂项，拆成22y y +，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x y 、代入求得数值；（2）首先把第2项25b 裂项，拆成224b b +，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a b 、代入求得数值；（3）先把4m n =+代入28200mn t t +-+=，得到关于n 和 t 的式子，再仿照（1）（2）题．【详解】解：（1）2222210x xy y y -+-+=2222210x xy y y y ∴-++-+=22()(1)0x y y ∴-+-=010x y y ∴-=-=，，11x y ∴==，，23x y ∴+=；（2）2254210a b ab b +--+=22244210a b ab b b ∴+-+-+=22(2)(1)0a b b ∴-+-=2010a b b ∴-=-=，21a b ∴==，；（3）4m n =+，2(4)8200n n t t ∴++-+=22448160n n t t ∴+++-+=22(2)(4)0n t ∴++-=2040n t ∴+=-=，24n t ∴=-=，42m n ∴=+=20(2)1m t n -∴=-=【点睛】本题考查的分组分解法、配方法和非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，分组分解法是一个常用的方法. 首先要观察各项特征，寻找熟悉的式子，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是基础.。
11．微专题：教材P114T3拓展——与三角形角平分线相关的解题模型◆类型一 同一顶点处的角平分线、高线夹角模型【方法点拨】三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半．如图，AE ，AD 分别为△ABC 的角平分线和高线，则∠EAD ＝12(∠B －∠C )．1．如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC 于E ，∠B ＝40°，∠C ＝70°. (1)求∠DAE 的度数；(2)如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ”，其他条件不变，求∠DFE 的度数．◆类型二 与三角形内外角平分线相关的夹角模型【方法点拨】①两内角平分线的夹角的度数：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角的度数的一半．如图①，∠BOC ＝90°＋12∠A .②一内角平分线与一外角平分线夹角的度数：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于第三角的度数的一半．如图②，BA 1，CA 1分别为△ABC 的一条内、外角平分线，BA 2，CA 2分别为△A 1BC 的一条内、外角平分线，则∠A 1＝12∠A ，∠A 2＝12∠A 1，……③两外角角平分线夹角的度数：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三角的度数的一半．如图③，BO ，CO 分别为△ABC 的两条外角平分线，则∠O ＝90°－12∠A .2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究，完成所提出的问题． (1)如图①，O 是△ABC 内一点，BO ，CO 分别平分∠ABO ，∠ACO .若∠A ＝46°，则∠BOC ＝________；若∠A ＝n °，则∠BOC ＝________________；(2)如图②，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数；(3)如图③，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝70°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝35°，∴∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝75°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠DAE ＝90°－∠ADE ＝15°.(2)同(1)可得∠ADE ＝75°.∵FE ⊥BC ，∴∠FEB ＝90°，∴∠DFE ＝90°－∠ADE ＝15°.2．解：(1)113° 90°＋12n °(2)∵∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB )，而BO ，CO 分别平分∠CBE ，∠BCF ，∴∠OBC ＝12∠CBE ，∠OCB＝12∠BCF ，∴∠BOC ＝180°－12(∠CBE ＋∠BCF )，而∠CBE ＝180°－∠ABC ，∠BCF ＝∠180°－∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－12(180°＋∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BOC ＝90°－12n °.(3)∵∠BOC ＝∠OCD －∠OBD ，∠A ＝∠ACD －∠ABC ，而BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠OCD ，∠ABC ＝2∠OBD ，∴∠A ＝2∠OCD －2∠OBD ＝2∠BOC ，∴∠BOC ＝12n °.。
角平分线专题1、掌握角平分线的定义、性质及判定定理；2、掌握与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型；3、掌握角平分线的常见倒角模型及相关结论。
1、角平分线的四大基本模型；2、角平分线的常见倒角模型及相关结论。
角平分线（1）定义：从一个顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质定理：1如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角。
2在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
注意：1在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。
2角是以其平分线为对称轴的轴对称图形。
（3）角平分线的判定定理：1在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把这个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线。
2在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
（4）三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等。
类型一：角平分线倒角模型例1.如图所示，把一副三角板（30°，60°，90°和45°，45°，90°）如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于点F，斜边AB交x轴于点G，O是AC的中点，AC＝8.（1）把图（1）中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α（0°≤α＜90°）得图（2）。
此时△AGH 的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F，H，B三点的坐标。
（2）如图（3），设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，当改变α的大小时，∠N＋∠M的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其值.练习1.如图所示，已知点A是y轴上一动点，B是x轴上一动点，点C在线段OB上，连接AC，AC正好是∠OAB的角平分线，∠ABD＝∠DBx.问动点A，B在运动的过程中，AC与BD 所在直线得夹角是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值.练习2.探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图（1），∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠EDC的数量关系.探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图（2），在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图（3），在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系.探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF，如图（4），请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系.本题考查三角形内角和定理，坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积。
