专题14 角平分线问题(学生版)备战2021年中考数学专题复习精讲精练

二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。

下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法图1-1B图1-2DBC来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。

但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。

自已试一试。

初中九年级数学中考复习方法技巧专题：角平分线练习题【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质：(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90。

与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90。

与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中孤、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形. (3)过角平分线上的点作边的垂线.1.(2018 -黑龙江］如图F7-1,匕8=/C=90\羽是BC的中点平分ZADG且NAOC110。

,则NAM8的度数是( )图F7 -1A.30。

B.35。

C.450D.6O02.(2018 -陕西］如图F7-2,在△A8C 中^4C=8,ZABC=60°,ZC=45°^4D±BG垂足为 D.ZABC 的平分线交 AD 于点E,则AE的长为 ()A•沌 B.2V2D.3V23.(2018 •达州］如图F7-3,AABC的周长为19,点D.E在边BC上，匕A8C的平分线垂直于A氏垂足为N、/ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若8C=7.则初V的长为( )人3 A ・-2 B.2C图F7-3D.34.如图F74在直角梯形AMD中,DC//A戏例8=90。

&丄8CM=BC,NA"的平分线分别交AZMC于点时则芸的值是 (A.\/2-lB.2+V2C./2+1D.725.(2017 -滨州］如图F7-5,点P为定角ZAOB的平分线上的一个定点，且/MPN与NAO8互补.若ZMPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA.OB相交于MJV两点，则以下结论:⑴PM=PN恒成立;⑵OM+ON的值不变;(3)四边形PMON 的面积不变；(4)MN的长不变.其中正确的个数为A.4B.3C.2D.16.(2016 -宁夏］如图F7-6,在平行四边形ABCD中,ZR4D的平分线AE交BC于点氏且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于7.(2017 -十堰］如图F7-7,AABC内接于OO,ZACB=90°,ZACB的平分线交OO于点。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯2021年中考数学九年级复习小专题专项课时练：三角形的角平分线、中线和高（一）一．选择题1．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4．则下列说法中，正确的是（）A．AD是△ABE的中线B．AE是△ABC的角平分线C．AF是△ACE的高线D．AE是△ABC的中线2．如图，在Rt△ABF中，∠F＝90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D，过点C作CE⊥AB交AB于点E，则下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AB边上的高是CEB．△ABC中，BC边上的高是AFC．△ACD中，AC边上的高是CED．△ACD中，CD边上的高是AC3．如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC 中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD4．下列说法正确的是（）A．在一个三角形中至少有一个直角B．三角形的中线是射线C．三角形的高是线段D．一个三角形的三条高的交点一定在三角形的外部5．如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△ABE的高7．下列叙述中错误的一项是（）A．三角形的中线、角平分线、高都是线段B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形D．三角形的三条角平分线都在三角形内部8．下列说法不正确的是（）A．三角形的三条高线交于一点B．直角三角形有三条高C．三角形的三条角平分线交于一点D．三角形的三条中线交于一点9．下列各图中，线段CD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．10．如图，∠CBD＝∠AEC＝90°，△ABC中，AB边上的高是线段（）A．BD B．CE C．BE D．CA二．填空题11．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝．12．如图，BD是△ABC的中线，AB＝6cm，BC＝4cm，则△ABD和△BCD的周长差为cm．13．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是．14．如图，∠CBD＝∠E＝∠F＝90°，则线段是△ABC中BC边上的高．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE 交于H，则∠CHD＝．16．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段是△ABC中AC边上的高．三．解答题17．如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．（1）写出图中所有相等的角和相等的线段；（2）当BF＝8cm，AD＝7cm时，求△ABC的面积．18．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；（3）直接写出△ABE的面积为．19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C ＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．20．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．21．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？22．已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．（1）求AB、AC的长．（2）求BC边的取值范围．参考答案一．选择题1．解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，即∠BAE＝∠CAE，∴AE是△ABC的角平分线，故选：B．2．解：∵过点C作CE⊥AB交AB于点E，∠F＝90°，∴△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AF，∴A、B两个选项说法正确，不符合题意；∵CD⊥AC交AB于点D，∴△ACD中，AC边上的高是CD，CD边上的高是AC，∴C选项说法错误，符合题意；D选项说法正确，不符合题意；故选：C．3．解：△ABC中，画AC边上的高，是线段BE．故选：B．4．解：A、一个三角形的三个内角中最多有一个直角，错误；B、三角形的中线是线段，错误；C、三角形的高是线段，正确；D、锐角三角形的高总在三角形的内部，而直角三角形和钝角三角形则不一定，错误；故选：C．5．解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选：B．6．解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，正确；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△EBC的角平分线，正确；C、∵BD是△EBC的角平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE是中线，∴∠EBD≠∠ABE，∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意；D、∵∠C＝90°，∴BC是△ABE的高，正确．故选：C．7．解：A、三角形的角平分线、中线、高都是线段，故此选项正确；B、锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的一条高在三角形的内部，两条就是直角边；钝角三角形的一条高在三角形的内部，两条高在三角形的外部．故此选项正确；C、根据B中的分析，知只有一条高在三角形内部的三角形可能是直角三角形，也可能是钝角三角形．故此选项错误；D、根据角平分线的定义，知三角形的三条角平分线都在三角形的内部．故此选项正确．故选：C．8．解：A、三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，错误；B、直角三角形有三条高，正确；C、三角形的三条角平分线交于一点，正确；D、三角形的三条中线交于一点，正确；故选：A．9．解：线段CD是△ABC的高的是．故选：B．10．解：∵∠AEC＝90°，∴△ABC中，AB边上的高是线段CE．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：∵AD为中线，∴BD＝CD，则C△ABD ﹣C△ACD＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC＝8﹣5＝3，故答案为：3．12．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝6﹣4＝2cm．故答案为：2．13．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为11，AB＝5，BC＝3，∴△BCD的周长是11﹣（5﹣3）＝9，故答案为9．14．解：∵AE⊥BC于E，∴△ABC中BC边上的高是AE．故答案为：AE．15．解：延长CH交AB于点H，在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD＝45°，故答案为∠CHD＝45°．16．解：∵BE⊥AC，∴△ABC中AC边上的高是BE．故答案为：BE三．解答题（共7小题）17．解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE．∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF．图中所有相等的角和相等的线段为：∠BAE＝∠CAE，∠ADB＝∠ADC＝90°，BF＝CF．（2）∵BF＝CF，BF＝8cm，AD＝7cm，∴BC＝2BF＝2×8＝16cm，＝BC•AD∴S△ABC＝×16cm×7cm＝56cm2．答：△ABC的面积是56cm2．18．解：（1）如图所示，线段AD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求；＝BC•AD＝4×4＝8．（3）S△ABC∴△ABE的面积＝S＝4，△ABC故答案为：4．19．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．20．解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，即，解得：，当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，所以AC＝48，AB＝28．21．解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+35°＝50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED ＝S△ABC＝×60＝15；∵BD＝5，∴EF＝2S△BED÷BD＝2×15÷5＝6，即点E到BC边的距离为6．22．解：（1）∵，AC＝10cm，∴AB＝15cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝8cm．∵AD是BC边上的中线，∴．（2）不能，理由如下：∵，AC＝12cm，∴AB＝18cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝3cm．∵AC+BC＝15＜AB＝18，∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．23．解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝10②，①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，②﹣①得，2AC＝8，解得AC＝4，∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；（2）∵AB＝6，AC＝4，∴2＜BC＜10．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

（全国通用）专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2022•武汉模拟）抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；（3）如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．【例2】（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．（1）A，B，C三点的坐标为，，．（2）连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求的值；②当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【例3】（2022•河南三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．①请用含m的代数式表示线段DF的长；②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标．【例4】（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．1．（2020•道里区二模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣+bx+3交x轴于A、B两点（点B在点A的右边）交y轴于点C，OB＝3OC．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E是第一象限抛物线上的点，连接BE，过点E作ED⊥OB于点D，tan∠EBD＝，求△BDE的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC交DE于点Q，点K是第四象限抛物线上的点，连接EK交BC于点M，交x轴于点N，∠EMC＝45°，过点K作直线KT⊥x轴于点T，过点E作EL∥x轴，交直线KT于点L，点F是抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上的点，连接ET、LF，LF的延长线交ET于点P，连接DP并延长交EL于点S，SE＝2SL，求点F的坐标．2．（2020•三明二模）如图，抛物线y＝x2+mx（m＜0）交x轴于O，A两点，顶点为点B．（Ⅰ）求△AOB的面积（用含m的代数式表示）；（Ⅱ）直线y＝kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点C作CE∥AB交x轴于点E．（ⅰ）若∠OBA＝90°，2＜＜3，求k的取值范围；（ⅱ）求证：DE∥y轴．3．（2022•杜尔伯特县一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．4．（2020•江岸区校级一模）已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．5．（2020•涡阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．6．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，P A，当＝时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021•甘肃）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．8．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．（1）求b，c的值；（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．9．（2020•陕西）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A 在点B的左侧）．（1）求抛物线L的表达式；（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB （P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．10．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF （点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．（1）求抛物线的解析式；（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．11．（2022•深圳三模）如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q（﹣4，0）作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求（3）如图3，长度为的线段CD（点C在点D的左边）在射线AB上移动（点C在线段AB上），连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．12．（2022•阿克苏地区一模）如图1．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，已知点B（4，0）．（1）若C（0，3），求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，P（﹣2，m）为该抛物线上一点，Q是x轴上一点求的最小值，并求此时点Q的坐标．（3）如图2．过点A作BC的平行线，交y轴与点D，交抛物线于另一点E．若DE＝7AD，求c的值．13．（2022•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线的表达式；（2）P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、①当MN＝AB时，求点P的坐标；②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．14．（2022•游仙区模拟）如图，抛物线与坐标轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，Q是△ABC内任意一点，求++的值．15．（2022•龙岩模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，4）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式（用含a的式子表示）；（2）当a＞0时，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，求a的值；（3）直线y＝﹣x+m与线段AB交于点P，与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），若PM•PN ＝6，求m的值．16．（2022•雷州市模拟）如图（1），抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0）、B（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方．（1）求抛物线的解析式．（2）如图（2），点D与点C关于直线MN对称，若∠CAD＝∠CAP，求点P的坐标．（3）直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明．17．（2022•马鞍山二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于C点，直线y＝kx（k＜0）交线段BC下方抛物线于D点，交BC于E点（1）分别求出a、b的值；（2）求出线段BC的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）探究是否有最大值，若存在，请求出此时k值，若不存在，请说明理由．18．（2022•南岗区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2+6ax+6与y 轴交于点B，交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点C，且S△ABC＝30．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为t，PD⊥x轴于点D，设tan∠P AD等于m，求m与t之间的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当m＝时，过点B作BN⊥AB交∠P AC的平分线于点N，点K在线段AB上，点M在线段AN上，连接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于点T，延长MT交BN 于点H，若NH＝4BH，求直线KN的解析式．19．（2022•江汉区校级模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）若C（0，﹣3），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，E是线段BC上一动点，AE交抛物线于F点，求的最大值；（3）如图2，点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求•的值．20．（2022•成都模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标及抛物线的对称轴；（2）如图1，点P（1，m），Q（1，m﹣2）是两动点，分别连接PC，QB，请求出|PC﹣QB|的最大值，并求出m的值；（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点D，过D点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，当直线l 绕点D旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21．（2022•沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，直线l：y＝kx+b经过点B，点C，点P是抛物线上一动点，连接OP交直线BC于点D．（1）求直线l的解析式；（2）当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点N是直线BC上一动点，连接ON，过点D作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD＝DF时，请直接写出点N的坐标．22．（2022•沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（3，2）和点B （，0），与x轴的另一个交点为点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）点D在线段BC上，连接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，连接AE交x轴于点F．点F不与点C 重合，射线DP⊥AE，交AE于点P，交AC于点Q．①当AD＝AF时，请直接写出∠CAE的度数；②当＝时，请直接写出CQ的长．。

专题14 尺规作图问题1．已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（）（填推理的依据）．∴∠ABP=12∠BAC．【答案】见解析。

【分析】（1）根据作法即可补全图形；（2）根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．【解析】（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），∴∠ABP=12∠BAC．故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【答案】见解析。

【分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【解析】（1）如图，①BE即为所求；②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）∵BD ＝BA ，BE 平分∠ABD ，∴点E 是AD 的中点，∵点F 是CD 的中点，∴EF 是△ADC 的中位线，∴线段EF 和AC 的数量关系为：EF =12AC ，位置关系为：EF ∥AC ．3.如图，已知△ABC ，AC ＞AB ，∠C ＝45°．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P ，使∠PBC ＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）【答案】见解析。

角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。

专题14 角平分线1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题1、角平分线的性质（1）点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。

（2）角平分线性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 （3）符号语言∵ 点P 在∠AOB 的角平分线上，PE ⊥OA ，PD ⊥OB ∴ PD = PE2、角平分线的判定 （1）定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上（2）符号语言∵ PE ⊥OA ，PD ⊥OB ，且PD = PE ∴ 点P 在∠AOB 的角平分线上B APOEDAB POEDAB P1．（2022·浙江九年级专题练习）如图，O 为直线AB 上一点，OE 平分∠BOC ，OD ⊥OE 于点O ，若∠BOC ＝80°，则∠AOD 的度数是（ ）A ．70°B ．50°C ．40°D ．35°2．（2022·广西九年级期末）如图，点O 在直线AE 上，OC 平分AOE ∠，DOB ∠是直角．若∠1=25°，那么AOB ∠的度数是（ ）．A ．65°B ．25°C ．90°D ．115°3．（2022·重庆市求精中学校）如图，直线AB CD 、相交于点O ，OE 平分BOD ∠，110AOD ∠=︒，则COE ∠度数为（ ）A ．125°B ．130°C ．135°D ．145°4．（2022·西安高新一中实验中学）如图，AOC ∠与COB ∠互余，15,COB OC ∠=︒平分AOD ∠，则BOD ∠的度数是（ ）A ．75︒B ．60︒C ．65︒D ．55︒5．（2022·全国九年级专题练习）如图所示，OB 是AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线，若70,40AOC COE ∠=︒∠=︒，那么BOD ∠=（ ）．A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒6．（2022·山东九年级一模）如图，已知EOC ∠是平角，OD 平分BOC ∠，在平面上画射线OA ，使AOC ∠和COD ∠互余，若56BOC ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A ．118︒B ．34︒C ．90︒或34︒D ．118︒或6︒7．（2022·哈尔滨市第六十九中学校九年级二模）在ABC 中，,AB AC B =∠的角平分线与AC 边所夹的锐角为60︒，则A ∠的度数等于__________．8．（2022·全国九年级专题练习）如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=_______．9．（2022·北京九年级专题练习）（1）如图1，OC 平分AOB ∠，40AOC ∠=︒．求BOC ∠的度数．（2）如图2，点O 是直线AB 上的一点，1∠与2∠互余，求DOC ∠的度数． （3）如图3，点C 是线段AB 的中点，6AD =，4BD =，求CD 的长．10．（2022·全国九年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE 的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：∵∠EOC＝90°∠COF＝34°（）∴∠EOF＝°∵OF是∠AOE的角平分线∴∠AOF＝＝56°（）∴∠AOC＝°∵∠AOC+＝90°∠BOD+∠EOB＝90°∴∠BOD＝∠AOC＝°（）。

专题14 角平分线问题1.角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.2.作角平分线角平分线的作法（尺规作图）①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．3.角平分线的性质（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴AP=BP.12（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵ AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，AP=BP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.注意：三角形的角平分线。

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上.说明：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD ＝∠DAC ＝∠BAC (或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC) . （1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.4.角平分线的综合应用21（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用．【例题1】（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°【答案】C【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG=12∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．【解析】∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG=12∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．【对点练习】（2020长春模拟）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44° B．40° C．39° D．38°【答案】C．【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再用平行线的性质解答即可．∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。

中考数学专题训练（附详细解析）角平分线1、（专题•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）2、（专题•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．3、（专题•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）4、（专题•曲靖）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE ，则∠AOE= 40° ．5、（专题成都市）如图，B 30∠=，若AB ∥CD ，CB 平分ACD ∠，则ACD=∠______度.答案：60°解析：∠ACD=2∠BCD=2∠ABC=60°6、（专题安徽省14分、23 ）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”。

其中∠B=∠C 。

（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。

（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B=∠C ，E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：ECBE DC AB（3）在由不平行于BC 的直线截ΔPBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB=EC ，请问当点E 在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）7、（专题•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．==10ADB=AB DE=8、（专题•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．。

专题1.4 角平分线的几何综合【典例1】问题情境：（1）如图1，∠AOB=90，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P 上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB 相交于点E 、F ，过点P 作PN⊥OA于点N，作PM⊥OB于点M，请写出PE与PF 的数量关系___________；变式拓展：（2）如图2，已知OC平分∠AOB，P 是OC上一点，过点P 作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，PE边与OA边相交于点E ，PF 边与射线OB 的反向延长线相交于点F ，∠MPN=∠EPF．试解决下列问题：①PE与PF 之间的数量关系还成立吗？为什么？②若OP=2OM，试判断OE、OF 、OP 三条线段之间的数量关系，并说明理由．（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≅△PNE，可得结论；（2）①过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≅△PNE，可得结论；②结论：OE−OF=OP．证明△POM≅△PON，推出OM=ON，再由△PMF≅△PNE，推出FM=EN，可得结论．（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，PN ⊥OA ，∴PM =PN ，∵∠PMO =∠PNO =∠MON =90°，∴∠MPN =360°−3×90°=90°，∵∠MPN =∠EPF =90°，∴∠MPF =∠NPE ，在△PMF 和△PNE 中，∠PMF =∠PNE PM =PN ∠PMF =∠PNE =90°，∴△PMF≅△PNE （ASA ），∴PF =PE ；（2）解：①结论：PE =PF ．理由：过点P 作PM ⊥OB 于M ，PN ⊥OA 于N ，∵OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，PN ⊥OA ，∴PM =PN ，∵∠MPN =∠EPF ．∴∠MPF =∠NPE ，在△PMF 和△PNE 中，∠PMF =∠PNE PM =PN ∠PMF =∠PNE =90°，∴△PMF≅△PNE （ASA ），∴PF =PE ；②结论：OE−OF =OP ．理由：在△OPM 和△OPN中，∠PMO =∠PNO ∠POM =∠PON OP =OP，∴△POM≅△PON （AAS ），∴OM =ON ，∵△PMF≅△PNE （ASA ），∴FM =EN ，∴OE−OF =EN +ON−(FM−OM)=2OM ，在Rt △OPM 中，∠PMO =90°，∠POM =12∠AOB =60°，∴∠OPM =30°，∴OP =2OM ，∴OE−OF =OP ．1．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD 中，BC =CD ，∠BCD =120°，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，∠ECF =∠A =60°．（1）求证：EF =BE +DF ．（2）求证：点C 在∠BAD 的平分线上．【思路点拨】（1）延长AD 至点G ，使得DG =BE ，连接CG ，利用四边形内角和，易证△BCE≌△DCG (SAS)，得到CG =CE ，∠BCE =∠DCG ，再证明△CEF≌△CGF (SAS)，得到EF =FG ，即可证明结论；（2）过点C 作CN ⊥AB 、CM ⊥AG ，易证△CNE≌△CMG (AAS)，得到CN =CM ，根据角平分线的判定定理，即可证明结论．【解题过程】（1）证明：如图，延长AD 至点G ，使得DG =BE ，连接CG，∵四边形ABCD的内角和为360°，且∠BCD=120°，∠A=60°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDG=180°，∴∠B=∠CDG，在△BCE和△DCG中，BC=CD∠B=∠CDG，BE=DG∴△BCE≌△DCG(SAS)，∴CG=CE，∠BCE=∠DCG，∴∠BCD=∠BCE+∠ECD=∠DCG+∠ECD=∠ECG=120°，∵∠ECF=60°，∴∠FCG=∠ECG−∠ECF=60°，∴∠ECF=∠FCG，在△CEF和△CGF中，CE=CG∠ECF=∠FCG，CF=CF∴△CEF≌△CGF(SAS)，∴EF=FG=DG+DE=BE+DE；（2）证明：如图，过点C作CN⊥AB交AB于点N，CM⊥AG交AG于点M，∵△BCE≌△DCG ，∴∠CEN =∠G ，CE =CG在△CNE 和△CMG 中，∠CNE =∠CMG =90°∠CEN =∠G CE =CG，∴△CNE≌△CMG (AAS)，∴CN =CM ，∴点C 在∠BAD 的平分线上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．（1）求证：∠AOC ＝90°＋12∠ABC ；（2）当∠ABC ＝90°时，且AO ＝3OD （如图2），判断线段AE ，CD ，AC 之间的数量关系，并加以证明．【思路点拨】（1）求出∠BAC +∠BCA =180°-∠ABC ，根据角平分线定义求出∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠BCA ，即可求出∠OAC +∠OCA 的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，证△AEO ≌△AMO ，△DCO ≌△NCO ，推出∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，求出∠MON =∠MOA =45°，根据角平分线性质求出MK =ML ，据此计算即可求解．【解题过程】（1）证明：∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°，∴∠BAC +∠BCA =180°-∠ABC ，∵∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O．∴∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠BCA ，∴∠OAC +∠OCA =12（∠BAC +∠BCA ）=12（180°-∠ABC ）=90°-12∠ABC ，∴∠AOC =180°-（∠OAC +∠OCA ）=180°-（90°-12∠ABC ），即∠AOC =90°+12∠ABC ；（2）解：43AE +CD =AC ，证明：如图2，∵∠AOC =90°+12∠ABC =135°，∴∠EOA =45°，在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，则在△AEO 和△AMO 中，AE =AM ∠EAO =∠MAO AO =AO，∴△AEO ≌△AMO ，同理△DCO ≌△NCO ，∴∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，∴∠EOA =∠MOA =∠CON =∠COD =45°，∴∠MON =∠MOA =45°，过M 作MK ⊥AD 于K ，ML ⊥ON 于L ，∴MK =ML ，S △AOM =12AO ×MK ，S △MON =12ON ×ML ，∴AO ON =S ΔAOM S ΔMON ，∵S ΔAOM S ΔMON =AM MN ，∴AO ON =AM MN ，∵AO =3OD，∴AO OD =31，∴AO ON =AM MN =31，∴AN =43AM =43AE ，∵AN +NC =AC ，∴43AE +CD =AC ．3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，AE 是∠BAD 的角平分线，点F 为AE 上一点，连接BF ，∠BFE =45°．（1）求证：BF 平分∠ABE ；（2）连接CF 交AD 于点G ，若S ΔABF =S ΔCBF ，求证：∠AFC =90°；（3）在（2）的条件下，当BE =3，AG =4.5时，求线段AB 的长．【思路点拨】（1）根据AE 是∠BAD 的角平分线和∠BFE =45°得2∠FBA +2∠BAF =90°，再结合AD 为BC 边上的高得出∠EBF =∠FBA 即可证明；（2）过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥AB 于点N ，证明△ABF≅△CBF ，得出∠AFB =∠CFB ，再根据∠BFE =45°，解出∠AFB =∠CFB =135°即可证明；（3）根据△ABF≅△CBF 及AD 为BC 边上的高证明△AFG≅△CFE ，得出AG =EC =4.5，再根据BE ＝3，解得BC =BE +EC =7.5，结合△ABF≅△CBF 即可求出AB =BC =7.5；【解题过程】（1）证明： ∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠BAD =2∠BAF .∵∠BFE =45°，∴∠FBA +∠BAF =45°.∴2∠FBA +2∠BAF =90°.∵ AD 为BC 边上的高，∴∠EBF +∠FBA +2∠BAF =90°.∴∠EBF =∠FBA .∴ BF 平分∠ABE .（2）过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥AB 于点N ，∵ BF 平分∠ABE ，且FM ⊥BC ，FN ⊥AB ，∴FM =FN .∵S ΔABF ＝S ΔCBF ，∴AB =BC ，∵ BF 平分∠ABE ，∴∠ABF =∠CBF ，在△ABF 和△CBF 中，AB =BC ∠ABF =∠CBF BF =BF∴△ABF≅△CBF(SAS)，∴∠AFB =∠CFB ，∵∠BFE =45°，∴∠AFB =∠CFB =135°，∴∠AFC =90°，（3）∵△ABF≅△CBF ，∴AF =FC ，∠AFC =90°，∴∠AFC =∠EFC ，∵ AD 为BC边上的高，∴∠ADE =90°，∴∠EAD +∠AEC =∠FCE +∠AEC ，∴∠EAD =∠FCE .在△AFG 和△CFE 中，∠EAD =∠FCE AF =CF ∠AFC =∠EFC∴△AFG≅△CFE （ASA ）.∴AG =EC =4.5，∵BE ＝3，∴BC =BE +EC =7.5，∵△ABF≅△CBF ，∴AB =BC =7.5.4．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＋∠BDC=180°．（1）求证：AD 为∠BDC 的平分线；（2）若∠DAE=12∠BAC ，且点E 在BD 上，直接写出BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系_______．【思路点拨】（1）过A 作AG ⊥BD 于G ，AF ⊥DC 于F ，先证明∠BAG=∠CAF ，然后证明△BAG ≌△CAF 得到AG=AF ，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；（2）过A 作∠CAH=∠BAE ，证明△EAD ≌△HAD ，得到AE=AH ，再证明△EAB ≌△HAC 中，即可得出BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系.【解题过程】证明：（1）如图1，过A 作AG ⊥BD 于G ，AF ⊥DC 于F，∵AG ⊥BD ，AF ⊥DC ，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC ，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC ，∴∠BAG=∠CAF ，在△BAG 和△CAF 中∠AGB =∠F =90∘∠BAG =∠CAF AB =AC∴△BAG ≌△CAF （AAS ），∴AG=AF ，∴∠BDA=∠CDA ，（2）BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC ，理由如下：如图2，过A 作∠CAH=∠BAE 交DC 的延长线于H ，∵∠DAE=12∠BAC ，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，∵∠CAH=∠BAE ，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH ，在△EAD 和△HAD 中∠EAD =∠HAD AD =AD ∠ADE =∠ADH，∴△EAD ≌△HAD （ASA ），∴DE=DH ，AE=AH ，在△EAB 和△HAC 中AB =AC ∠BAE =∠CAH AE =AH，∴△EAB ≌△HAC （SAS ），∴BE=CH ，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE ，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.5．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）在△ABC 和△DEC 中，AC =BC ，DC =EC ，∠ACB =∠DCE =90°．（1）如图1，当点A ，C ，D 在同一条直线上时，求证：AE =BD ，AE ⊥BD ；（2）如图2，当点A 、C 、D 不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF 并延长CF 交AD 于点G ，∠AFG 的大小固定吗？若是，求出∠AFG 的度数；若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）证明△ACE≌△BCD ，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE =∠ACE =90°，即可解答；（2）证明△ACE≌△BCD ，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA =∠BCA =90°，即可解答；（3）∠AFG =45°，如图3，过点C 作CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，垂足分别为M 、N ，由△ACE≌△BCD ，得到S △ACE =S △BCD ，AE =BD ，证明得到CM =CN ，得到CF 平分∠BFE ，由AF ⊥BD ，得到∠BFE =90°，所以∠EFC =45°，根据对顶角相等得到∠AFG =45°．【解题过程】（1）解：证明：如图1，在△ACE 和△BCD 中，∵ AC =BC ∠ACB =∠ECD =90°EC =DC，∴△ACE≌△BCD (SAS)，∴∠1=∠2，AE =BD ，∵∠3=∠4，∴∠BFE =∠ACE =90°，∴AE ⊥BD ；（2）成立，证明：如图2，∵∠ACB =∠ECD ，∴∠ACB +∠ACD =∠ECD +∠ACD ，∴∠BCD =∠ACE ，在△ACE 和△BCD中，AC =BC ∠ACE =∠BCD EC =DC，∴△ACE≌△BCD ，∴∠1=∠2，AE =BD ，∵∠3=∠4，∴∠BFA =∠BCA =90°，∴AF ⊥BD ．（3）∠AFG =45°，如图3，过点C 作CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，垂足分别为M 、N ，∵△ACE≌△BCD ，∴S △ACE =S △BCD ，AE =BD ，∵S △ACE =12AE ⋅CN ，S △BCD =12BD ⋅CM ，∴CM =CN ，∵CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，∴CF 平分∠BFE ，∵AF ⊥BD ，∴∠BFE =90°，∴∠EFC =45°，∴∠AFG =45°．6．（2023·宁夏银川·银川市第三中学校考二模）问题提出（1）如图①，已知∠AOB ，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ，分别以点M，MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C，画射线OC，连接CM，CN，MN，则N为圆心，大于12图①中与△OMC全等的是___________；问题探究（2）如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，BD，若AB+AC=2AM，求证：∠ACD+∠ABD=180°；问题解决（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板ABC，∠B=60°，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形BEFD，并要求∠EFD=120°，EF=DF．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出∠BAC的平分线AD交BC于点D，作∠BCA的平分线CE交AB于点E，AD，CE交于点F，得到四边形BEFD．请问，若按上述作法，裁得的四边形BEFD是否符合要求？请证明你的结论．【思路点拨】（1）利用SSS证明△OMC≌△ONC(SSS)即可求解；（2）过点D作DN⊥AC交AC的延长线于点N，证明Rt△ADN≌Rt△ADM(HL)，推出AN=AM，结合已知推出CN=BM，再证明△CDN≌△BDM(SAS)，据此即可求解；（3）作出如图的辅助线，利用角平分线的定义结合四边形的内角和定理推出∠EFG=∠DFH，证明△EFG≌△DFH(ASA)，据此即可证明结论．【解题过程】解：（1）△ONC，理由如下：由作法知，OM=ON，CM=CN，又OC=OC，∴△OMC≌△ONC(SSS)，故图①中与△OMC全等的是△ONC，故答案为：△ONC；（2）如图，过点D作DN⊥AC交AC的延长线于点N，∵AD平分∠CAB，DN⊥AC，DM⊥AB，∴DN=DM，∵AD=AD，∴Rt△ADN≌Rt△ADM(HL)，∴AN=AM，∵AB+AC=2AM，∴AM+MB+AN−CN=2AM，即CN=BM，∵∠DNC=∠DMB=90°，DN=DM，∴△CDN≌△BDM(SAS)，∴∠DCN=∠ABD，∴∠ACD+∠ABD=∠ACD+∠DCN=180°；（3）符合要求，证明：如图，过点F分别作FG⊥AB于点G，作FH⊥BC于点H，作FK⊥AC于点K，∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴FG=FH=FK，∵∠B=60°，∴在四边形BGFH中，∵∠GFH=360°−60°−90°×2=120°，∠FAC+∠FCA=1(180°−60°)=60°，2在△AFC中，∠AFC=180°−(∠FAC+∠FCA)=180°−60°=120°，∴∠EFD=∠AFC=120°=∠GFH，∴∠EFG =∠DFH ，在△EFG 和△DFH 中，∠EFG =∠DFH FG =FH ∠EGF =DHF =90°，∴△EFG≌△DFH (ASA)，∴FE =FD ，∴裁得的四边形BEFD 符合要求．7．（2022·全国·八年级假期作业）如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CD =BD ，点E 在CD 上，DE =DA ，连接BE ．（1）求证：BE =CA ；（2）延长BE 交AC 于点F ，连接DF ，求∠CFD 的度数；（3）过点C 作CM ⊥CA ，CM =CA ，连接BM 交CD 于点N ，若BD =12，AD =5，直接写出△NBC 的面积．【思路点拨】（1）由“SAS ”可证△BDE ≌△CDA ，可得BE =CA ；（2）过点D 作DG ⊥AC 于G ，DH ⊥BF 于H ，由全等三角形的性质可得∠DBE =∠ACD ，S △BDE =S △ADC ，由面积关系可求DH =DG ，由角平分线的性质可得∠DFG =∠DFH =45°，即可求解；（3）在CD 上截取DE =AD =5，连接BE ，延长BE 交AC 于F ，由△BEN ≌△MCN ，可得EN =CN ，由三角形的面积公式可求解．【解题过程】证明：（1）在△BDE 和△CDA 中，BD =CD ∠BDE =∠CDA =90°DE =AD，∴△BDE ≌△CDA （SAS ），∴BE =CA ；（2）如图2，过点D 作DG ⊥AC 于G ，DH ⊥BF 于H，∵△BDE ≌△CDA ，∴∠DBE =∠DCA ，S △BDE =S △ADC ，∵∠DBE +∠A =∠ACD +∠A =90°，∴∠AFB =∠CFB =90°，∵S △BDE =S △ADC ，∴12BE ×DH =12×AC ×DG ，∴DH =DG ，又∵DG ⊥AC ，DH ⊥BF ，∴∠DFG =∠DFH =45°，∴∠CFD =135°；（3）如图3，在CD 上截取DE =AD =5，连接BE ，延长BE 交AC 于F ，由（1）、（2）可得BE =AC ，BF ⊥AC ，BD =CD =12，∵CM ⊥CA ，∴BF ∥CM ，∴∠M =∠FBN ，∵CM =CA ，∴CM =BE ，在△BEN 和△MCN 中，∠FBN =∠M ∠BNE =∠MNC BE =CM，∴△BEN ≌△MCN （AAS ），∴EN =CN ，∵EC =CD -DE =12-5=7，∴CN =72，∴△NBC 的面积=12×NC ×BD =12×72×12=21，故△NBC 的面积为21．8．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图1，ΔABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，∠BAC =60°．（1）求∠BGC 的度数；（2）如图2，连接AG ，求证：AG 平分∠BAC ；（3）如图3，在⑵的条件下，在AC 上取点H ，使得∠AGH =∠BGC ，且AH =8，BC =10，求ΔABC 的周长．【思路点拨】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，两个角的和求解即可；（2）利用角平分线的判定定理证明判断即可；（3）利用两次三角形的全等证明即可．【解题过程】（1）证明：如图1，∵BE 、CF 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB ，∴∠1+∠2=12(∠ABC +∠ACB)=12(180°−∠A)=90°−12∠A ，∵∠BAC =60° ，∴∠BGC =180°−(∠1+∠2)=90°+12∠A =120°；（2）如图2，过点G 分别作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ， GQ ⊥AC 于Q ，∵BE 平分∠ABC ， GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ，∴GM =GN ，同理GN =GQ ，∴GM =GQ ，∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ，∴AG 平分∠BAC ；（3）解：∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ，GM =GQ ，∴AG 平分∠BAC ，∵又∠BAC =60°，∴∠BAG =∠CAG =30°，在BC上取点K，使BK=BA，∵BE平分∠ABC∴∠ABG=∠CBG，又∵BG=BG，∴ΔABG≌ΔKBG，∴∠BKG=∠BAG，∴∠BKG=∠BAG=30∘，∴∠GKC=180∘−30∘=150∘，∵∠AGH=∠BGC=120°，∠CAG=30°，∴∠GHC=120°+30°=150°，∴∠GKC=∠GHC，又∵CG=CG，∠KCG=∠HCG，∴ΔKCG≌ΔHCG，∴CK=CH，△ABC的周长为：AB+BC+CA=AB+(BK+KC)+(AH+CH)=2BC+AH=2×10+8=28，∴ΔABC的周长是28．9．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．∠BAC．（1）如图1，求证：∠BOC=90°+12（2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．（3）如图3，若∠BAC =60°，BD =4，CE =2，求OD OC 的值．【思路点拨】（1）由角平分线的性质得出∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，由三角形的内角和定理得出∠ABC +∠ACB =180°−∠BAC ，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，代入即可得出结论；（2）过点O 作ON ⊥BC 于N ，OM ⊥AB 于M ，OK ⊥AC 于K ，证明OM =OK ，则点O 在∠BAC 的平分线上，即可得出结论；（3）过点B 作BH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，过点O 作OF 平分∠BOC 交BC 于点F ，过点O 作ON ⊥BC 于N ，OM ⊥AB 于M ，证明∠BOF =∠BOD ，∠COF =∠COE ，由角平分线的性质得出∠OBF =∠OBD ，∠OCF =∠OCE ，由ASA 证得△BOF≌△BOD ，BF =BD =4，由ASA 证得△COF≌△COE ，CF =CE =2，求出BC =6，由S △BOD :S △BOC =12OD ⋅BH:12OC ⋅BH =OD:OC ，S △BOD :S △BOC =12BD ⋅OM:12BC ⋅ON =BD:BC ，进行计算即可得出结论．【解题过程】（1）证明：∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°，∴∠ABC +∠ACB =180°−∠BAC ，∵∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，∴∠BOC =180°−(∠OBC +∠OCB )=+12∠ACB=180°−12(∠ABC+∠ACB)=180°−12(180°−∠BAC)=180°−90°+12∠BAC=90°+12∠BAC；（2）证明：如图，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴OM=ON，ON=OK，∴OM=OK，∴点O在∠BAC的平分线上，∴OA平分∠BAC；（3）解：如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作ON⊥BC 于N，OM⊥AB于M，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=90°+12∠BAC=120°，∴∠BOD=∠COE=180°−∠BOC=180°−120°=60°，∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=∠COF=12∠BOC=60°，∴∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠OBF =∠OBD ，∠OCF =∠OCE ，在△BOF 和△BOD 中，∠OBF =∠OBD BO =BO ∠BOF =∠BOD，∴△BOF≌△BOD (ASA)，∴BF =BD =4，在△COF 和△COE 中，∠OCF =∠OCE CO =CO ∠COF =∠COE，∴△COF≌△COE (ASA)，∴CF =CE =2，∴BC =BF +CF =4+2=6，∵S △BOD :S △BOC =12OD ⋅BH:12OC ⋅BH =OD:OC ，S △BOD :S △BOC =12BD ⋅OM:12BC ⋅ON =BD:BC ，∴OD OC =BD BC =46=23．10．（2022秋·福建福州·八年级校考开学考试）在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，连接DE 、CD ，EF ⊥CD 于F ，DE ＝CE ．（1）如图1，求证：DF ＝CF ；（2）如图2，若∠AED ＝∠ABC ，EG ⊥BC 于G ，连接BE 交CD 于H ，求证：∠ABE ＝∠CBE ；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC ＝6CG ，DH ＝4，求HF的长．【思路点拨】（1）证明Rt△EFD≅Rt△EFC(HL)，可得结论．（2）证明ΔEMD≅ΔEGC(AAS)，推出EM=EG，再利用角平分线的性质定理解决问题即可．（3）如图3中，过点B作BN⊥CD于N，过点E作EM⊥AB于M，过点H作HQ⊥BC于Q，HP⊥AB于P．利用面积法证明DH:CH=2:3，求出CH，CF，可得结论．【解题过程】（1）证明：如图1中，∵EF⊥CD，∴∠EFD=∠EFC=90°，在RtΔEFD和RtΔEFC中，ED=ECEF=EF，∴Rt△EFD≅Rt△EFC(HL)，∴DF=CF．（2）证明：如图2中，过点E作EM⊥AB于M．∵EG⊥BC，∴∠EMD=∠EGC=90°，∵∠AED+∠DEC=180°，∠AED=∠ABC，∴∠ABC +∠DEC =180°，∵∠ABC +∠BCE +∠DEC +∠BDE =360°，∴∠BCE +∠BDE =180°，∵∠ADE +∠BDE =180°，∴∠ADE =∠BCE ，在ΔEMD 和ΔEGC 中，∠EMD =∠EGC =90°∠ADE =∠BCE ED =EC，∴ΔEMD≅ΔEGC(AAS)，∴EM =EG ，∵EM ⊥AB ，EG ⊥BC ，∴BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ．（3）解：如图3中，过点B 作BN ⊥CD 于N ，过点E 作EM ⊥AB 于M ，过点H 作HQ ⊥BC 于Q ，HP ⊥AB 于P ．∵ΔEMD≅ΔEGC ，∴DM =GC ，EM =EG ，在Rt △BEM 和Rt △BEG 中，BE =BE EM =EG ，∴Rt △BEM≅Rt △BEG(HL)，∴BM =BG，∵BC=6CG，∴BD=BM−DM=BG−CG=BC−2CG=4CG，∵BH平分∠ABC，HP⊥AB，HQ⊥BC，∴HP=HQ，∴SΔDBH:SΔCBH=12⋅BD⋅HP:12⋅BC⋅HQ=4:6=2:3，∵SΔDBH:SΔCBH=12⋅DH⋅BN:12⋅CH⋅BN，∴DH:CH=2:3，∵DH=4，∴CH=6，∴CD=DH+CH=4+6=10，∴CF=12CD=5，∴HF=CH−CF=6−5=1．11．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：∠AOB=60°，小新在学习了角平分钱的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．（1）如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是∠AOB 的角平分线．试根据小新的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；（2）如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，OD≠OE，但仍然出现了PD=PE，此时OP是∠AOB的角平分线吗？如果是，请说明理由．（3）如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，请判断线段OD与OE的数量关系，并说明理由．【思路点拨】（1）根据SSS证明ΔOPD≅ΔOPE(SSS)，可得结论．（2）过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．证明ΔDPH≅ΔEPK(AAS)，可得结论．（3）结论：OE =2OD ． OB 上取一点T ，使得OT =OD ，连接PT ．想办法证明PT =OT ，PT =TE ，可得结论．【解题过程】（1）解：证明：如图1中，在ΔOPD 和ΔOPE 中，OD =OE PD =PE OP =OP，∴ΔOPD≅ΔOPE(SSS)，∴∠POD =∠POE ．（2）解：结论正确．理由：如图2中，过点P 作PH ⊥OA 于H ，PK ⊥OB 于K ．∵∠PHO =∠PKB =90°，∠AOB =60°，∴∠HPK =120°，∵∠DPE =∠HPK =120°，∴∠DPH =∠EPK ，在ΔOPH 和ΔOPK 中，∠PHO =∠PKB =90°∠DPH =∠EPK PD =PE，∴ΔDPH≅ΔEPK(AAS)，∴PH =PK，则OP 是∠AOB 的角平分线；（3）解：结论：OE =2OD ．理由：如图3中，在OB 上取一点T ，使得OT =OD ，连接PT ．∵OP 平分∠AOB ，∴∠POD =∠POT ，在ΔPOD 和ΔPOT 中，OD =OT ∠POD =∠POT OP =OP，∴ΔPOD≅ΔPOT(SAS)，∴∠ODP =∠OTP ，∵PD∥OB ，∴∠PDO +∠AOB =180°，∠DPE +∠PEO =180°，∵∠AOB =60°，∠DPE =120°，∴∠ODP =120°，∠PEO =60°，∴∠OTP =∠ODP =120°，∴∠PTE =60°，∴∠TPE =∠PET =60°，∴TP =TE ，∵∠PTE =∠TOP +∠TPO ，∠POT =30°，∴∠TOP =∠TPO =30°，∴OT =TP ，∴OT =TE ，∴OE =2OD ．12．（2022秋·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）已知点C 是∠MAN 平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BP交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=2，DF=4，求线段DB的长．【思路点拨】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点C作CF⊥AD，利用AAS证明△AEC≌△AFC，从而得到CE=CF，AE=AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF=BE，结合图形解答即可；（3）在BD上截取BH=BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB=∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH=∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH=DF，计算即可．【解题过程】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵∠CBE+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△BCE和△DCF中，∠CBE =∠CDF ∠CEB =∠CFD =90°CE =CF，∴△BCE≌△DCF (AAS)，∴BC =DC ；（2）解：AD−AB =2BE ，理由如下：如图2，过点C 作CF⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，∴∠CAE =∠CAF∵CE⊥AB ，CF⊥AD ，∴∠AEC =∠AFC =90°∵∠AEC =∠AFC =90°，∠CAE =∠CAF ，AC =AC ∴△AEC≌△AFC (AAS)，∴CE =CF ，AE =AF ，∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ABC +∠CBE =180°，∴∠CBE =∠CDF ，在△BCE 和△DCF 中，∠CBE =∠CDF ∠CEB =∠CFD =90°CE =CF，∴△BCE≌△DCF (AAS)，∴DF =BE ，∴AD =AF +DF =AE +DF =AB +BE +DF =AB +2BE ，∴AD−AB =2BE ；（3）解：如图3，在BD 上截取BH =BG ，连接OH，在△OBH和△OBG中，BH=BG∠OBH=∠OBG，OB=OB∴△OBH≌△OBG(SAS)∴∠OHB=∠OGB，∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH=∠ODF，∵∠OHB=∠ODH+∠DOH，∠OGB=∠ODF+∠DAB，∴∠DOH=∠DAB=60°，∴∠GOH=120°，∴∠BOG=∠BOH=60°，∴∠DOF=∠BOG=60°，∴∠DOH=∠DOF，在△ODH和△ODF中，∠DOH=∠DOFOD=OD，∠ODH=∠ODF∴△ODH≌△ODF(ASA)，∴DH=DF，∴DB=DH+BH=DF+BG=4+2=6．13．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①直接写出∠E与∠A的数量关系___________；②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知DE=DC=AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【思路点拨】∠A，（1）①运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到∠DCE=∠ABE+12∠A；②过点E作EM⊥BA交BA延长线于点M，过点E作EN⊥AC交AC ∠DCE=∠ABE+∠E，即、可得出∠E=12于点N，过点E作EH⊥BD交BD延长线于点H，运用角平分线的性质及判定定理可证∠MAE=∠CAE，由∠MAE+∠BAE=180°，可得∠CAE+∠BAE=180°；（2）过D作DM⊥BA交BA于点M，过D作DN⊥BC交BC延长线于点N，先证四边形DMBN是矩形，再证△AMD≌△CND，最后证得CE平分∠ACN，BD平分∠ABC即可．【解题过程】∠ABC，（1）解：①∵BE平分∠ABC，即∠ABE=∠EBC=12∴∠ACD=∠ABC+∠A=2∠ABE+∠A．∠ACD，∵CE平分∠ACD，即∠ACE=∠ECD=12∠A．∴∠DCE=∠ABE+12又∵∠DCE=∠ABE+∠E，∠A．∴∠E=12②猜想：∠CAE+∠BAE=180°，理由如下：如图2，过点E作EM⊥BA交BA延长线于点M，过点E作EN⊥AC交AC于点N，过点E作EH⊥BD交BD延长线于点H，∵CE平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD，∴EN=EH，同理，EM=EH，∴EM=EN，∵EM⊥AB，EN⊥AC，∴AE平分∠MAC，即∠MAE=∠CAE，∵∠MAE+∠BAE=180°，∴∠CAE+∠BAE=180°．（2）证明：如图3，过D作DM⊥BA交BA于点M，过D作DN⊥BC交BC延长线于点N，∵DM⊥BA，DN⊥BC，∠ABC=90°，∴∠DMB=90°，∠DNB=90°，∠ABC=90°，∴四边形DMBN是矩形，∴∠MDN=90°，即∠MDC+∠CDN=90°，∵∠ADC=90°，∴∠ADM+∠MDC=90°，∴∠ADM=∠CDN，∵DM⊥BA，DN⊥BC，∴∠AMD=∠DNC=90°，在△AMD与△DNC中，∵∠AMD=∠DNC∠ADM=∠CDNAD=DC，∴△AMD≌△CND(AAS)，∴DM=DN，∵DM⊥BA，DN⊥BC，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=45°，即BD平分∠ABC，∴∠ECN=∠DBC+∠E=45°+∠E，∵∠ADC=90°，AD=DC，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴∠ACE=45°+∠DCE，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ACE=∠ECN，∴CE平分∠ACN，∵BD平分∠ABC，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD=BC．他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与全等，判定它们全等的依据是；ⅱ）由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=°；②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．（2）如图2，若∠ABC=40°，求证：BF=CA．【思路点拨】（1）先得出结论；①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论；（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE，进而判断出△BGF≌△CEA，即可得出结论．【解题过程】（1）BC=CD+BE①如图1，在BC上取一点M，使BM=BE，ⅰ）∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBF=∠MBF，在ΔBEF 和ΔBMF 中，BE =BM ∠EBF =∠MBF BF =BF，∴ΔBEF≅ΔBMF(SAS)；ⅱ）∵BD ，CE 是ΔABC 的两条角平分线，∴∠FBC =12∠ABC ，∠BCF =12∠ACB ，在ΔABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∵∠A =60°，∴∠ABC +∠ACB =180°−∠A =120°，∴∠BFC =180°−(∠CBF +∠BCF)=180°−12(∠ABC +∠ACB)=120°，∴∠EFB =180°−120°=60°；故答案为：ⅰ）ΔBMF ，SAS ；ⅱ）60；②由①知，∠BFE =60°，ΔBEF≅ΔBMF ，∴∠CFD =∠BFE =60°，∵ΔBEF≅ΔBMF ，∴∠BFE =∠BFM =60°，∴∠CFM =∠BFC−∠BFM =60°，∴∠CFM =∠CFD =60°，∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠FCM =∠FCD ，在ΔFCM 和ΔFCD 中，∠CFM =∠CFD CF =CF ∠FCM =∠FCD∴ΔFCM≅ΔFCD(ASA)，∴CM =CD ，∴BC =CM +BM =CD +BE ；（2）如图2，在ΔABC 中，∠A =60°，∠ABC =40°，∴∠ACB =80°，∵BD ，CE 是ΔABC 的两条角平分线，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =20°，∠BCE =∠ACE =12∠ACB =40°，∴∠AEC =∠ABC +∠BCE =80°，∠ABC =∠BCE ，∴BE =CE ，在ΔABC 的边AB 左侧作∠ABG =20°，交CE 的延长线于G ，∴∠FBG =∠ABD +∠ABG =40°=∠ACE ．∵∠AEC =80°，∴∠BEG =80°，∴∠G =180°−∠ABG−∠BEG =80°=∠BEG =∠AEC ，∴BG =BE ，∴BG =CE ，在ΔBGF 和ΔCEA 中，∠FBG =∠ACE =40°BG =CE ∠BGF =∠AEC =80°，∴ΔBGF≅ΔCEA ，∴BF =AC ．15．（2022秋·全国·八年级专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）【模型呈现】如图，AD 为△ABC 的中线，BE∥AC 交AD 的延长线于点E ，求证：AD =DE ．（2）【模型应用】如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ，E 是BC 中点，连接AE ，DE ，AE 平分∠BAD ，求证：DE 平分∠ADC．（3）【拓展探索】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AB交∠BAC的平分线于点E，过点E作EF⊥AE交BC于点F，若AE+EF=AC，求证：CF=2BD．【思路点拨】（1）根据平行线的性质可得∠CAD=∠E，根据AD为△ABC的中线，可得CD=BD，据此即可证得△ACD≌△EBD(AAS)，即可证得结论；（2）过点E分别作EF⊥AD于点F，EG⊥AB于点G，交DC的延长线于点H，首先由角平分线的性质可得EF=EG，再根据垂直的定义及平行线的性质，可证得∠B=∠ECH，∠BGE=∠H=90°，据此即可证得△BEG≌△CEH(AAS)，即可证得结论；（3）延长AB交FE延长线于点G，过点G作GH⊥BC交CB的延长线于点H，首先由∠BAC=90°，AE平∠BAC=45°，可求得∠AEB=∠BEG=45°，据此即可证得△ABE≌△GBE(ASA)，分∠BAC，可得∠BAE=12可得AE=GE，AB=GB，可证得AC=GF，∠ADB=∠H=90°，据此可证得△ABD≌△GBH(AAS)，AD=GH，BD=BH，再根据斜边直角边定理，可证得Rt△ACD≌Rt△GFH，据此即可证得结论．【解题过程】（1）证明：∵BE∥AC，∴∠CAD=∠E∵AD为△ABC的中线，∴CD=BD，在△ACD和△EBD中，∠CAD =∠E ∠ADC =∠EDB CD =BD∴△ACD≌△EBD (AAS)，∴AD =ED ．（2）证明：如图，过点E 分别作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AB 于点G ，交DC 的延长线于点H ．又∵AE 平分∠BAD ，∴EF =EG ，∵EG ⊥AB ，∴∠BGE =90°，∵AB∥CD ，∴∠B =∠ECH ，∠BGE =∠H =90°，∴EH ⊥CD在△BEG 和△CEH 中，∠B =∠ECH ∠BGE =∠H BE =CE∴△BEG≌△CEH (AAS)，∴EG =EH ，∴EF =EH ，∴DE 平分∠ADC ；（3）证明：如图，延长AB 交FE 延长线于点G ，过点G 作GH ⊥BC 交CB 的延长线于点H．∵∠BAC=90°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=45°，∵BE⊥AB，EF⊥AE，∴∠ABE=∠GBE=∠AEG=90°，∴∠AEB=90°−∠BAE=45°，∴∠BEG=90°−∠AEB=45°，∴∠AEB=∠BEG，在△ABE和△GBE中，∠ABE=∠GBEBE=BE∠AEB=∠GEB∴△ABE≌△GBE(ASA)，∴AE=GE，AB=GB，又∵AE+EF=AC，GE+EF=GF，∴AC=GF，∵AD⊥BC，GH⊥BC，∴∠ADB=∠H=90°，在△ABD和△GBH中，∠ADB=∠H∠ABD=∠GBHAB=GB∴△ABD≌△GBH(AAS)，∴AD=GH，BD=BH，在Rt△ACD和Rt△GFH中，AC=FG AD=GH∴Rt△ACD≌Rt△GFH(HL)，∴CD=FH，∴CD−FD=FH−FD，即CF=DH，∵DH=BD+BH=2BD，∴CF=2BD．16．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E在边AB上，连接DE、CE，∠EDA=∠EDC．（1）如图1，若CE平分∠BCD，求证：AD+BC=DC．（2）如图2，若E为AB中点，求证：CE平分∠BCD．（3）如图3，在（2）条件下，以E为顶点作∠HEF=∠CDE，∠HEF的两边与BC、DC分别交于F、H，BF=3，AD=4，DH=7，求HF的长【思路点拨】（1）过E作EG⊥DC于G，证得△BCE≌△GCE，△DAE≌△DGE利用全等三角形的性质可得CG=BC，DG=AD，再结合DC=DG+CG，代换即可求证；（2）过E作EG⊥DC于G，先利用三角形的角平分线的性质证得EG=AE，再结合E为AB中点，证得BE=EG，再加上EG⊥DC，∠B=90°，利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上即可证得结论；（3）过E作EG⊥DC于G，证得△ADE≌△GDE(AAS)可得DG=AD=4，求得GH=BF=3，延长FB至K使BK=GH=3，证得△KBE≌△HGE(SAS)，△KEF≌△HEF(SAS)，利用全等三角形的性质即可求解．【解题过程】（1）证明：过E作EG⊥DC于G，∵EG ⊥DC ，∴∠EGD =∠EGC =90°，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE =∠GCE ，在△BCE 和△GCE ，∠BCE =∠GCE ∠CBE =∠CGE =90°CE =CE∴△BCE≌△GCE ，∴CG =BC ，同理△DAE≌△DGE ，∴DG =AD ，∵DC =DG +CG ，∴AD +BC =DC（2）证明：过E 作EG ⊥DC 于G ，∵∠EDA =∠EDC ，∴DE 平分∠ADC ，∵∠A =90°，∴EA ⊥DA ，∵EG ⊥DC ，∴EG =AE，∵E 是AB 中点，∴BE =AE ，∴BE =EG ，∵∠B =90°，∴EB ⊥BC ，∴CE 平分∠BCD（3）解：过E 作EG ⊥DC 于G∵EG ⊥DC ，∴∠EGD =∠EGC =90°在△ADE 和△GDE 中，∠ADE =∠GDE ∠A =∠DGE =90°DE =DE，∴△ADE≌△GDE (AAS )，∵DG =AD =4，∴GH =DH−GD =3，∵BF =3，∴GH =BF =3，由（2）得BE =GE ，∵∠EDA =∠EDC ，在Rt △EAD 中，∠AED =90°−∠EDA ，在Rt △EGD 中，∠GED =90°−∠EDC ，∴∠BEG =180°−∠AED−∠GED =2∠CDE ，延长FB 至K 使BK =GH =3，在ΔKBE 和ΔHGE中，BE =GE ∠KBE =∠HGE =90°KB =HG∴△KBE≌△HGE (SAS)，∴∠KEB =∠HEG ，KE =HE ，∵∠HEG +∠BEF +∠HEF =2∠CDE ，∠HEF =∠CDE ，∴∠KEB +∠BEF =∠KEF =∠HEF ，在△KEF 和△HEF 中，KE =HE ∠KEF =∠HEF EF =EF，∴△KEF≌△HEF (SAS )∴HF =KF =6．17．（2023·全国·八年级专题练习）在△ABC 中，∠BAC =60°，线段BF 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB 交于点G ．（1）如图1，求∠BGC 的度数；（2）如图2，求证：EG =FG ；（3）如图3，过点C 作CD ⊥EC 交BF 延长线于点D ，连接AD ，点N 在BA 延长线上，连接NG 交AC 于点M ，使∠DAC =∠NGD ，若EB:FC =1:2，CG =10，求线段MN 的长．【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =120°，根据BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，得出∠GBC =∠GBE =12∠ABC ，∠GCB =∠GCF =12∠ACB ，求出∠GBC +∠GCB =60°，根据三角形内角和得出∠BGC +∠GBC +∠GCB =180°，即可求出结果；（2）作GH 平分∠BGC 交BC 于点H ，证明△BGE≌△BGH ，得出EG =GH ，证明△CGF≌△CGH ，得出FG =GH，即可证明结论；（3）作DP ⊥BC 交BC 延长线于点P ，作DQ ⊥AB 交BA 延长线于点Q ，作DR ⊥AC 于点R ，证明CD 平分∠ACP ，根据DR ⊥AC ，DP ⊥BC ，得出DR =DP ，根据BF 平分∠ABC ，DR ⊥AC ，DQ ⊥AB ，得出DP =DQ ，证明DR =DQ ，证明△NEG≌△CFG ，得出NG =CG =10，证明△BEG≌△MFG ，得出BE =MF ，作FL ⊥NG 于点L ，FK ⊥CG 于点K ，GW ⊥MC 于点W ，根据S △MGF =12MG ⋅FL =12MF ⋅GW ，S △CGF =12GC ⋅FK =12FC ⋅GW ，得出MG GC =MF FC =12，求出MG =5即可得出答案．【解题过程】（1）解：在△ABC 中，∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°，∵∠BAC =60°∴∠ABC +∠ACB =120°，∵BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，∴∠GBC =∠GBE =12∠ABC ，∠GCB =∠GCF =12∠ACB ，∴∠GBC +∠GCB =60°，在△BGC 中，∠BGC +∠GBC +∠GCB =180°，∴∠BGC =120°．（2）解：作GH 平分∠BGC 交BC 于点H ，如图所示：∴∠BGH =∠CGH =60°，∵∠BGE =∠CGF =∠GBC +∠GCB =60°，∴∠BGH =∠CGH =∠BGE =∠CGF ，∵∠GBC =∠GBE ，BG =BG∴△BGE≌△BGH ，∴EG =GH ，∵∠GCH =∠GCF ，CG =CG ，∴△CGF≌△CGH，∴FG=GH，∴EG=FG；（3）解：作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，如图所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACE，∵CD⊥EC，∴∠ECD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=2∠ACD，∴CD平分∠ACP，∵DR⊥AC，DP⊥BC，∴DR=DP，∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，∴DP=DQ，∴DR=DQ，∴AD平分∠QAC，∵∠BAC=60°，∴∠DAQ=∠DAC=60°，∴∠NGD=∠DAC=60°，由（1）得∠BGC =120°，∴∠BEG =∠FGC =180°−∠BGC =60°，∵∠MGF =∠ABF +∠BNG =60°，∠FGC =∠FBC +∠ECB =60°，∠ABF =∠FBC ，∴∠BNG =∠ECB ，∵∠ECB =∠ACE ，∴∠ACE =∠BNG ，由（2）得EG =FG ，∴△NEG≌△CFG ，∴NG =CG =10，∠NEG =∠CFG ，∵∠NEG +∠BEG =180°，∠CFG +∠MFG =180°，∴∠BEG =∠MFG ，∴△BEG≌△MFG ，∴BE =MF ，∵BE:FC =1:2，∴MF:FC =1:2，作FL ⊥NG 于点L ，FK ⊥CG 于点K ，GW ⊥MC 于点W ，∵∠MGF =∠CGF =60°，∴FK =FL ，S △MGF =12MG ⋅FL =12MF ⋅GW ，S △CGF =12GC ⋅FK =12FC ⋅GW ，∴MG GC =MF FC =12，∴MG =5，∴MN =NG−MG =5．18．（2022秋·吉林·八年级吉林省实验校考阶段练习）如图（1）~（3），已知∠AOB 的平分线OM 上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB=α(0°<α<180°)，∠CPD=β．（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．（3）如图（3），当α+β=180°时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．【思路点拨】（1）过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，根据角平分线的性质可得PF=PE，先证明∠EPF=∠CPD，再证明∠CPE=∠EPD，即可证明△FPC≌△EPD，则有PC=PD，∠PDC=∠PCD，则有2∠PDC=∠CPN，根据∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠CPN，即问题得解；（2）解答方法同（1）；（3）解答方法同（2）．【解题过程】（1）PC=PD，2∠PDC=∠AOB，证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°，同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，。

2021年中考数学总复习：专题14 角平分线问题1.角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.2.作角平分线角平分线的作法（尺规作图）①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．3.角平分线的性质（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴AP=BP.12（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵ AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，AP=BP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.注意：三角形的角平分线。

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上.说明：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD ＝∠DAC ＝∠BAC (或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC) . （1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.4.角平分线的综合应用21（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用．【例题1】（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°【答案】C【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG=12∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．【解析】∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG=12∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．【对点练习】（2020长春模拟）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44° B．40° C．39° D．38°【答案】C．【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再用平行线的性质解答即可．∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。

专题1.3-4线段的垂直平分线与角平分线一、知识点1、垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；2、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；3、性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；二、考点点拨与训练考点1：与线段垂直平分线相关的尺规作图典例：（2020·广东禅城初一期末）已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．（1）尺规作图：在AB边上找一点D使得DB＝DC（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）求∠ADC．方法或规律点拨本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的画法是解题关键．巩固练习1．（2020·山东岚山初二期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝70°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°2．（2019·河南伊川初二期末）如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（）A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°3．（2020·重庆南岸初二期末）如图，已知△ABC （AC ＜BC ），用尺规在BC 边上确定一点P ，使得P A +PC =BC ，则下列四种不同的作图方法中，正确．．的是（ ） A ．B ．C ． D ．4．（2020·山东中区济南外国语学校初一期末）如图，长方形ABCD 中∠DAC ＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于( )A ．34°B ．44°C ．56°D ．68°5．（2020·浙江婺城初三三模）如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若ADC ∆的周长为10，7AB =，则ABC ∆的周长为（ ）A ．7B ．14C ．17D ．206．（2020·全国初二课时练习）如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，AB ＞BC ，分别以顶点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M 、N ，作直线MN 交边CB 于点D ．若AD ＝5，CD ＝3，则BC 长是（ ）A ．7B ．8C ．12D ．137．（2019·云南初三二模）如图，分别以线段AB 的端点A 和B 为圆心大于12AB 的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线l ，在直线l 上取一点C ，使得25CAB ∠=︒，延长AC 至M ，BCM ∠ 的度数为__________．8．（2020·四川成华初一期末）如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ；作直线MN 分别交BC 、AC 于点D 、点E ，若3AE m =，ABD ∆的周长为13cm ，则ABC ∆的周长为________.9．（2020·陕西陈仓初一期末）如图，在ABC 的BC 边上求作点D ，做得ABD △与ACD △的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）10．（2020·福建宁德初一期末）如图，已知△ABC ，点 P 为 BC 上一点．（1）尺规作图：作直线EF，使得点 A 与点P 关于直线EF 对称，直线EF 交直线AC于E，交直线AB 于F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接PE，AP，AP 交EF 于点O，若AP 平分∠BAC，请在（1）的基础上说明PE=AF．11．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校初一期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，用圆规分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E．（1）根据作法判断直线DE为线段AC的线；（2）连接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度数．考点2：线段垂直平分线的性质典例：（2020·全国初二课时练习）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON 交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．方法或规律点拨本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．巩固练习1．（2020·甘肃兰州初二期末）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为（）A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm2．（2020·山东章丘初一期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm3．（2020·浙江温岭初三一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝_____．4．（2020·安徽砀山初二期末）如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN 的周长是8 cm，则线段BC的长为________ cm.5．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC 中，∠BAC＝108°，E，G 分别为AB，AC 中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．6．（2020·山东商河初二期末）如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.(1)求∠BAD的度数；(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.考点3：线段垂直平分线的判定典例：（2020·山东文登初一期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．方法或规律点拨本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.巩固练习1．（2020·陕西渭滨初一期末）如图，点A,B,C表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在（）A．△ABC三边的中线的交点上B．△ABC三内角平分线的交点上C．△ABC三内高线的交点上D．△ABC三边垂直平分线的交点上，我们知道按如图所作的直2．（2020·湖北宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF GH线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）．A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线3．（2020·河北迁西初三二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②CD是△ADC的高；③点D在AB的垂直平分线上；④∠ADC=61°．其中正确的有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2019·湖北十堰初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（2020·北京平谷初三一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG6．（2020·咸阳百灵学校初二月考）如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（）A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定7．（2020·山东郓城初二期末）已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。

新定义探究问题类型一：新定义类问题【经典例题1】阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y=3，y=x +2，y=﹣x +4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C分别在x 轴和y 轴上，抛物线n m x y +-=2)(41经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部．（1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；（2）若点D 有一条特征线是y=x +1，求此抛物线的解析式；（3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？ 【解析】(1)∵点D(m ，n)，∴点D(m ，n)的特征线是x =m ，y=n ，y=x +n−m ，y=−x +m+n ； (2)点D 有一条特征线是y=x +1， ∴n−m=1，∵抛物线解析式为y=41(x −m)2+n ， ∴y=41(x −m)2+m+1， ∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，D(m ，n)， ∴B(2m ，2m)，∴41(2m−m)2+n=2m ，将n=m+1带入得到m=2，n=3； ∴D(2，3)， ∴抛物线解析式为y=41(x −2)2+3 (3)如图，当点A′在平行于y 轴的D 点的特征线时， 根据题意可得，D(2，3)， ∴OA′=OA=4，OM=2， ∴∠A′OM=60∘， ∴∠A′OP=∠AOP=30∘， ∴MN=3OM =332， ∴抛物线需要向下平移的距离=3−332=3329-. 如图，当点A′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A′(p ，3)， 则OA′=OA=4，OE=3，EA′=73422=-， ∴A′F=4−7， 设P(4，c )(c >0)，，在Rt △A′FP 中，(4−7)2+(3−c )2=c 2， ∴c=37416-， ∴P(4，37416-) ∴直线OP 解析式为y=374-x ， ∴N(2，3728-)， ∴抛物线需要向下平移的距离=3−3728-=3721+， 即：抛物线向下平移3329-或3721+距离，其顶点落在OP 上。