1.2 二次函数的图象(1) 浙江省平阳县昆阳镇第二中学课件.ppt共19页文档

(2)存在满足条件的点 P.当 OA＝OP 时，∵OA＝ 22＋42＝2 5， ∴P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)；当 OA＝AP 时，过 A 作 AQ⊥x 轴于 Q， ∴PQ＝OQ＝2，∴P3(4，0)；当 PA＝PO 时，设 P 点坐标为(x，0)， 则 x2＝(x－2)2＋42，解得 x＝5，∴P4(5，0)．综上可知，所求 P 点的坐 标为 P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)，P3(4，0)，P4(5，0)
14．如图是一抛物线形的拱桥，桥顶O离水面4 m，水面宽度AB为10 m．现
有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过 ， 已知货箱长 10 m ， 宽 6 m ， 高 2.55 m(竹排与水平面持平)．问：此货箱能否顺利通过该桥？并说明理由．
解：能顺利通过．理由：以桥顶 O 为原点建立平面直角坐标系， 则点 A 的坐标为(－5，－4)．设抛物线的表达式为 y＝ax2， 4 4 2 则－4＝25a，∴a＝－25.∴y＝－25x .∵货箱高 2.55 m， ∴货箱顶部离桥顶 4－2.55＝1.45(m)． 4 2 当 y＝－1.45 时，－25x ＝－1.45，∴16x2＝145. 145 144 12 ∴2|x|＝ 2 > 2 ＝ 2 ＝6，∴货箱能顺利通过该桥
13．二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)． (1)求a，m的值； (2)写出二次函数的表达式； (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 解：(1)将(1，m)代入y＝2x－1得m＝2×1－1＝1.所以P点坐标为(1， 1)．将P点坐标(1，1)代入y＝ax2得1＝a×12，得a＝1.即a＝1，m＝1 (2)二次函数的表达式：y＝x2 (3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴
10．已知二次函数y＝－2x2与y＝2x2，关于它们的图象，下列说法正确的 B 是( ) A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．它们的最高点都是原点 D．它们没有公共点

y = 1 ( x - 2)2 2
顶点坐标(0,0)
(2,0) 对称轴:直线x=0
直线x=2
y = 1 x 2 向左平移2个单位
y = 1 ( x - 2)2
2
2
顶点坐标(0,0)
(-2,0) 对称轴:直线x=0
直线x=-2
• 请你总结二次函数y=a(xm)2的图象和性质.
y = ax 2 当m>0时,向左平移 当m<0时,向右平移
抛物线在x轴的下方（除顶点外）.
在同一坐标系中作出二次函数
x
y = 1 x2 2
-5 -4 -3 4.5
; ; y = 1 x 2 y = 1 ( x 2)2 y = 1 ( x - 2)2
2
2
2
-2 -1 0 1 2 3 4
2 0.5 0 0.5 2 4.5
4.5 y = 1 (x 2)2 2 0.5 0 0.5 2 4.5 2
y = - 1 x2 2 3
的形状相同，且顶点坐标是（４，-２）
则函数关系式是
3
4
5、已知二次函数 y = a( x 1)2 c
y
的y 图= a象x 如c图的所图示象，只则可函能数是（ ）D
-1 0
x
y
0
x
( A)
y
0
x
(B)
y
0
x
(C )
y
0
x
(D)
这节课你有什么收获和体会？
y = 1 ( x - 2)2 2
4.5 2 0.5 0 0.5 2
y = 1 ( x 2)2 2
y = 1 x2 2
请比较所画三个函数的图象,它们 有什么共同的特征?

对称轴
直线$x = - \frac{b}{2a}$。
判别式
$\Delta = b^{2} - 4ac$，决定图象 与$x$轴的交点个数。
03
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向与a的关系
当a>0时，函数图象开口向上；当a<0时，函数图象开口向下。
对称轴两侧的函数单调性
在对称轴的两侧，函数单调性相反。
二次函数二次函数的图象与 性质课件ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 特殊形式的二次函数 • 二次函数的应用 • 结论与总结
01
引言
课程背景
二次函数是数学学科中的重要内容 提高学生数学素养
为后续数学学习和应用打下基础
课程目的
掌握二次函数的图 象和性质
二次函数的图象绘制
绘制方法
通过描点法，将自变量与函数值的对应关系标在坐标系中，连成曲线。
绘制步骤
• 确定自变量取值范围，- 分别代入函数解析式求出函数值，- 描点，- 连线 。
二次函数图象的性态
开口方向
由$a$的正负决定，$a > 0$时，开 口向上；$a < 0$时，开口向下。
顶点坐标
$( - \frac{b}{2a},\frac{4ac b^{2}}{4a})$。
图象特征
二次函数的图象是一条抛物线， 有最高点(顶点)和最低点(顶点)， 图象的形状取决于$a$的值。
性质
二次函数在自变量$x$的特定范 围内具有单调性，且单调性取决 于$a$的值。
二次函数的研究展望
更深入的研究
可以进一步研究二次函数的性质、图象和在实际问题中的应用。

解：(1)二次函数的解析式为y＝(x－2)2 －1，一次函数的解析式为y＝x－1
(2)1≤x≤4
18．(12分)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C， 点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数 y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
解：(1)∵AB＝8，由抛物线的对称性可知 OB＝4，∴B(4，0)，0＝16a
－4，∴a＝14 (2)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 为 F，∵a＝14，∴y
＝14x2－4，当 x＝－1 时，m＝14×(－1)2－4＝－145，∴C(－1，－145)，∵点 C 关于原点的对称点为 D，∴D(1，145)，∴CE＝DF＝145，S△BCD＝S△BOD＋S △BOC＝12OB·DF＋12OB·CE＝12×4×145＋12×4×145＝15，∴△BCD 的面积 为 15 平方米
个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( A )
A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3
4．(3分)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下 平移3个单位后所得抛物线的解析式为 ( )
A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6 D C．y＝x2＋6 D．y＝x2 5．(3分)下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且 经过点(0，1)的是 ( C ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3 1 (0,61．) (3分)抛物线y＝x2＋1的最小值是____，顶点坐标是

1.2 二次函数的图象 （第2课时）
知识回顾:
二次函数y=ax²的图象及其特点？
1、顶点坐标？ （0，0）
2、对称轴？ y轴（直线x=0）
3、图象具有以下特点： 一般地，二次函数y=ax²（ a 0 ）的图象是一条抛物线: 当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点,
抛物线在x轴的上方（除顶点外）; 当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点,
抛物线在x轴的下方（除顶点外）.
在同一坐标系中作出二次函数
x
y = 1 x2 2
-5 -4 -3 4.5
; ; y = 1 x 2 y = 1 ( x 2)2 y = 1 ( x - 2)2
2
2
2
-2 -1 0 1 2 3 4
2 0.5 0 0.5 2 4.5
4.5 y = 1 ( x 2)2 2
2
0.5
0
0.5 2 4.5
y = 1 ( x - 2)2 2
4.5 2 0.5 0
y = 1 ( x 2)2 2
y = 1 x2 2
请比较所画三个函数的图象,它们 有什么共同的特征?
0.5 2
y = 1 (x - 2)2 2
y = 1 ( x 2)2 2
y
y = 1 x2
2
y = 1 ( x - 2)2
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
的形状相同，且顶点坐标是（４，-２）
则函数关系式是
3
4
5、已知二次函数 y=a(x1)2c
y
的y图=a象x 如c图的所图示象，只则可函能数是（ ）D
-1 0
x

二次函数图像的基本形状是一个U形或倒U形的抛物线。它的开口方向取决于二次项系数 a 的正负。
U形抛物线
当二次项系数 a > 0 时，函数图像呈现为U形抛物线，开 口向上。
倒U形抛物线
当二次项系数 a < 0 时，函数图像呈现为倒U形抛物线， 开口向下。
二次函数图像的参数
通过改变二次函数的参数 a、b、c，可以调整图像的位置、形状和大小。
2
表Hale Waihona Puke 式和图像特点掌握二次函数的标准形式、顶点、对称轴等图像特点。
3
回顾知识点和技巧
复习重要知识点和解题技巧，巩固对二次函数的理解。
结束语
1 鼓励继续学习
鼓励学生继续学习数学知识，深入理解二次函数及其应用。
2 提供建议和资源
提供实用的学习建议和资源，帮助学生进一步提升数学能力。
3 感谢参与和学习
感谢学生对本次课程的参与和学习，祝愿他们在数学学习中取得更大的成就。
1
a 的影响
改变 a 的值将扩大或压缩抛物线的形状，同时改变开口方向。
2
b 的影响
改变 b 的值将使抛物线水平平移，改变对称轴的位置。
3
c 的影响
改变 c 的值将使抛物线垂直平移，改变顶点的位置。
练习与应用
通过绘制二次函数图像的练习题，帮助学生巩固对二次函数图像的理解。同时介绍二次函数在物 理学和经济学中的实际应用。
二次函数图像呈现为抛物线形状，具有顶点、对称轴和开口方向。它的图像可以是开口向上或开 口向下，取决于二次项系数 a 的正负。
顶点
抛物线的最高点或最低点，对应函数的最小值或最大值。
对称轴
抛物线的中心线，对称地分割抛物线。
开口方向

线F，它的开口向上，它的顶2点是O'（1，0），它的
对称轴是过点O'（1，0）且平行与y轴的直线l ' ，直
线l'是有横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l '记
做直线x =1，抛物线 y 1 x -12 的开口向上.
2
类似地，我们可以证明下述结论：
二次函数 y ax - h2 的图像是抛物线，它的对称
“列表，描点，连线”三个步骤.
画函数 y (x 2)2
的
图象.
解 抛物线 y (x 2)2
顶点坐标是（2，0）
的对称轴是 x=2，
列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.
x
2 2.5 3 4 5
y (x 2)2 0 0.25 1 4 9
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.
利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:
对称轴是 直__线__x=h
顶点坐标是 _(_h_,_0_)_____。
练习:
对于二次函数
y 1 (x 4)2 3
请回答下列问题：
1、把函数 y 1 x2 的图象作怎样的平移
3
变换，就能得到函数 y 1 (x 4)2 的图象。
3
2、说出函数 y 1 (x 4)2 的图象的顶点坐标 和对称轴。 3
直线x=h
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最小值为k.

3
对称轴是
，顶点坐标是
点是这条抛物线的最 点；
， ，顶
（2）抛物线
y
1 3
x2的开口方向为
，
对称轴是
，顶点坐标是
，顶
点是这条抛物线的最
点.
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像 经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图像的位置.
y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
yy=2x22x2 ... -6 8 1.5 2 0 2
3
3
3
3
1.5
8 3
-6
...
y 1 x2 2
y 2x2
列表参考
y 2 x2 3
y 2x2
函数图象画法
描点法
列表
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
x
y x2
y1 x
描点 连线
y x2
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y 1 x2 2
y 2x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向
最值
y=2x2
（0，0）
y轴 在x轴的上方 （除顶点外）

顶点坐标
y =2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
向上 向下 向下
直线x=-3 直线x=1 直线x=3
( -3 , 0 ) (1,0)
( 3, 0)
填空：
1、由抛物线y=2x²向 左
平移 1 个单位可得
到y= 2(x+1)2
2、函数y= -5(x -4)2 的图象。可以由抛物
线 y=-5x 2
向 右 平移 4 个单位而得到的
例 题 学习
用描点法在同一直角坐标系中画出函数
y 1 (x2)2 2
y12(xy2)212(3x的2)图2 象3 .
3 2
y 1 (x2)2
2
1
驶向胜利
-2 -1 0 1 2
的彼岸
-1
-2
由
y

1 2
x2
合作学习:
图象经过怎样平移得到 y
a＜0时，开口向下；a时＜，0y时最，大当值x为=00。
yaxm2(-m,0)
直线x=m
同上
a＞0时，当x=-m 时，y最小值为0。
a＜0时，当x=-m 时，y最大值为0。
例题学习:
例2 对于二次函数 请回答下列问题：
m:左加右减自变量
y 1 (x 4)2 3
1、把函数
y


1 3
可得到二次函数 ya(xm)2k的图象， 因此，二次函数 ya(xm)2k 它的形状、对称轴、顶点坐标和开口方向
与 a,m,k 的值有关。
它们的形状、大小、开口方向一致 由于a相同
课内练习: ya(xm)2k 的图象：
对称轴是 _直__线__x_=__-_m____， 顶点坐标是 _(_-_m_,_k_)____。

物线的函数关系式为（ D ）
A、 y 3x 2 3 B、 y 3(x 3)2
C、y 3x 2 3 D、y 3(x 3)2
4、抛物线 y (x 1)2 是由抛物线 y=-X2 向 右 平
移 1 个单位得到的，平称后的抛物线对称轴
是 直线x=1 ，顶点坐标是 (1,0) ，当x= 1 时，
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( C ) 牛刀小试
A. y 2x2 2 B. y 2x2 2
C.
y
1 (x 2)2 2
2
D. y 5(x 2)2 6
2.抛物线 y 2(x m)2 n 的顶点坐标是( C )
A. (m，n)
B. (m，-n)
-2
2
-3
y


1 2
x
2向下平移 1个单位
y


1 2
x2
1
-4 -5 -6
向左平移 y 1 (x 1)2 1
1个单位
2
-7
-8 -9
平移方法2:
-1x0=－1
y


1 2
x2向1个左单平位移y

1 (x 1)2 2
向下平移 1个单位
y

1 (x 1)2 2
1
一般地,抛物线y=a(x－m)2＋k与y=ax2形状相
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
-2
-3
-4
2
4
6
它们的开口方向,对
称轴及顶点.
y 1 (x 2)2 向左平移
2