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浙江工商大学2018-2019 学年第一学期考试试卷（A）课程名称：概率论与数理统计考试方式：闭卷完成时限：120 分钟班级名称：学号：姓名：一、填空题（每小题3分，共30分）：1．有五条线段，它们的长度分别为1、3、5、7、9 个单位，则从这五条线段中任取三条构成三角形的概率是。
2．已知P(A| B) = 0.4, P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, 则P(B| A) = 。
3．已知随机变量X 的密度为⎧ax+ b,0 < x< 1 f(x) = ⎨⎩0, 且P{X > 0.5} = 5 / 8 ，则a= b= 。
其它4．设X ~ N(2,σ2 ) ，且P{2 < X < 4} = 0.3 ，则P{X < 0} = 。
5．已知X ~ N(−2，0.42) ，则E(X +3) 2=。
6.设X , X ,⋯X ⋯是独立同分布的随机变量序列，且E(X ) = µ, D(X ) = σ2 ，那么1 2 n i i1 n2∑X i 依概率收敛于。
i=17.两个随机变量X 和Y 的方差分别为DX=25,DY=36 ，相关系数ρX Y= 0.4 ，则D(X + Y) = 。
8.设X , X , X , X 是来自正态总体N(0,22)的样本，令Y =(X +X )2+(X −X )2，1 2 3 4 1 2 3 4 则当C =时CY ~ χ2 (2) 。
9.设供电网有10000 盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，用切比雪夫不等式估算夜晚同时开灯数在6800 到7200 之间的概率n∑ Q = ∑(X ξ a+ 10. 设 X , X ,⋅⋅⋅, X 是来自正态总体 N (µ,σ2) 的简单随机样本， µ和σ2 均未知，记1 2nX = 1 nn i =1 X i , n 2 ii =1− X ) 2 则假设H 0 : µ= 0 的t 检验使用统计量 T ＝二、选择题（每小题 2 分，共 14 分）１.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（A ） F (x ) = 1+ 1x 2（B ） F (x ) = 1 1arctan x2 π⎧0.5(1− e −x ), x > 0 x +∞（C ） F (x ) = ⎨ ⎩0, x ≤ 0 (D) F (x ) = ∫−∞ f (t )dt ，其中∫−∞ f (t )dt = 12. 对于任意两个随机变量 X 和Y ，若满足E (XY ) = E (X )E (Y ) ，则（ ） （A ） D (XY ) = D (X )D (Y ) , (B) D (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) (C) X 和Y 相互独立， (D) X 和Y 不相互独立3. 在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有( )(A)样本值与样本容量 (B)显著性水平α (C) 检验统计量 (D) A,B,C 同时成立4. 设两个相互独立的随机变量 X 与Y 分别服从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ，则（）(A) P {X + Y ≤ 0} = 12 (C) P {X −Y ≤ 0} = 12(B) P {X + Y ≤ 1} = 12 (D) P {X − Y ≤ 1} = 125. 设随机变量 X 与Y 的概率密度函数分别为p (x ) = ⎧1, 0 < x < 1 ⎧2e −2 y , 和 p η(y) = ⎨ y ≥ 0 ⎩0, else ⎩ 0,y < 0且 X 与Y 相互独立，则E ξη = （）(A) 1 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 1/46. 设随机变量 X 的密度函数为 f (x ) ,分布函数为 F (x ) ,且 f (x ) = f (−x ) ,那么对任意 给定的a 都有(A) f (−a ) = 1− ∫ f (x )dx(B) F (−a ) = 1− ∫af (x )dx2(C) F (a ) = F (−a ) (D)1 F (−a ) = 2F (a ) −1−( x +3)2 7. 若随机变量ξ的概率密度为 f (x ) = e 4(−∞ < x < +∞) ，则在下列随机变2 π量中服从标准正态分布的是⎩（A ）ξ+ 3（B ）ξ+ 3 2（C ）ξ− 3（D ）ξ− 3 2三、商店论箱出售玻璃杯,每箱 20 只,其中每箱含 0，1，2 只次品的概率分别为 0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选 4 只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含 有一个次品的概率是多少？（本题 8 分）四、设(X ,Y )的概率密度是f (x , y ) =⎧Ay (1− x ),0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x ⎨0, 其它 求 (1) A 的值(2) 两个边缘密度(3)求Z = X + Y 概率密度（本题 12 分）22五、一系统是由n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为 0.9，且必须至少由 80％的部件正常工作，系统才能正常工作，问 n 至少为多大时，才能使系 统正常工作的概率不低于 0.95 ？（本题 8 分）（已知Φ(1.96) = 0.975 ）六、设总体 X 具有概率密度⎧ θkk −1−θx⎪ x e ⎨(k − 1)!x > 0 ⎩⎪0 其它其中k 为已知正整数，求θ的极大似然估计和距估计量．（本题 12 分）f (x ) =七、某台机器加工某种零件，规定零件长度为100cm，标准差不超过2cm，每天定时检查机器运行情况，某日抽取10 个零件，测得平均长度X = 101 cm，样本标准差S=2cm，设加工的零件长度服从正态分布，问该日机器工作是否正常（α=0.05）？（本题12分）（χ2(9) = 16.919 ，t0.025(9) = 2.2622 ）0.05八、证明题（4 分）如果P(A| B) = P(A| B) ，那么两事件A和B相互独立。
第五章 大数定律及中心极限定理注意： 这是第一稿（存在一些错误）1、 解（1）由于{0}1P X ≥=，且()36E X =，利用马尔科夫不等式，得(){50}0.7250E X P X ≥≤= （2）2()2D X =，()36E X =，利用切比雪夫不等式，所求的概率为：223{3240}1(364)10.75164P X P X <<=--≥≥-==2、解：()500,0.1iX B ，5005001211500111610%5%192.8%5000.05125i i i i D X P X ==⎛⎫ ⎪⎧⎫⎝⎭-<≥-==⎨⎬⎩⎭∑∑3、 解 ξ服从参数为0.5的几何分布，11(),(2,3,4)2n P n n ξ-⎛⎫=== ⎪⎝⎭可求出2()()3,()2n E nP n D ξξξ∞=====∑于是令()2a b E ξ+=，2b aε-=，利用切比雪夫不等式，得 有2()()1(())175%D P a b P E ξξξξεε<<=--≥≥-=从而可以求出()3()3a E b E εξεξε==-=-=+=+4、解：()()()()()()()1,,n nnX n n n x F x P X x P X x X x F x a=≤=≤≤==，()0,x a ∈。
则()()()()()11nn n X n nx p x n F x p x a--==，()0,x a ∈。
()()101n n aX n nx n E x x dx a a n -=⋅=+⎰，()()()()21222121n n aX n nx n n D x x dx a a a n n n -⎛⎫=⋅-= ⎪+⎝⎭++⎰。
()()()222121n n n P X a a n n n εε⎧⎫-≥≤⎨⎬+++⎩⎭， 所以(){}lim 0n n P X a ε→∞-≥=。
5、 解 服从大数定律。
2、解答：t=1，2，3，4，5 ，6 或t=-5，-3，-1，1，3，5 （1分）()8.07056b 6.110516821916212217706b 2222=====-⨯⨯-⨯=--=∑∑∑∑∑∑∑t ty t t n yt ty n 或者 （3分） 33.3573.296.533.356216.16212===-=⨯-=-=y a t b y a 或者 （3分） 所以，趋势方程是 t y t y c c 8.033.356.173.29+=+=或者 （1分） 预测2009年销售额：万元或者万元93.4078.033.3593.4076.173.29=⨯+==⨯+=c c y y （2分）3、解答：8.4710478104350......4228==++++==∑n x x 甲 （3分） 8.76, 76.7601)47.843(......)47.828(n )(2222==-++-=-=∑甲甲σσx x （2分） %18.3347.88.76x v ===甲甲甲σ，%04.2448.511.66x v ===乙乙乙σ （2分） 由于甲地区比乙地区空气质量的离散系数小，所以甲地区空气质量状况较好。
（1分）4、解答：销售额指数%09.129220028400011==∑∑=q p q p pq I （3分） 销售量指数%09.109220024000010===∑∑q p q p I q （3分） 销售价格指数%33.118240028401011==∑∑=q p q p p I （3分）由计算可知：该企业两种商品销售额报告期比基期增长29.09%，增加640万元。
其中，由于销售量变动使其增加9.09%，增加的绝对量为200万元；由于销售价格变动使其增加11.83%，增加的绝对量为440万元。
即：相对数方面，129.09% = 109.09% * 118.33%绝对数方面，（2840-2200 ）= （2400-2200）+（2840-2400） （2分）。
第11章在数理统计中应用Excel软件本章无课后习题．第12章随机过程及其统计描述1．利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程假设，试确定的（1）一维分布函数；（2）二维分布函数。
解：（1）由的定义这一离散型随机变量的分布律为表10－1其分布函数为同理其分布律为表10－2分布函数为（2）当时，是一个二维离散型随机变量，且当硬币出现H 时，它的取值为（0，－1）；当硬币出现T时，它的取值为（1，2），由于硬币出现H，出现T的概率均为，因此与的联合分布律为表10－3图10－1的分布函数为由图12－1知当时，当时，当时，当时，当时，所以分布函数为2．给定随机过程，x是任一实数，定义另一个随机过程试将的均值函数和自相关函数用随机过程的一维和二维分布函数来表示。
解：设随机过程的一维分布函数为，二维分布函数为，固定t时，是服从（0－1）分布的随机变量，其分布律为表10－4于是的均值为又随机变量和的联合分布律为表10－5则的自相关函数为3．设随机过程，t＞0，其中A是在区间（0，a）上服从均匀分布的随机变量，试求的均值函数和自相关函数。
解：由关于随机变量函数的数学期望的定理知道的均值函数为自相关函数为4．设随机过程（随机变量），，，试求的均值函数和协方差函数。
解：由均值和协方差函数定义知5．已知随机过程的均值函数和协方差函数是普通的函数，试求随机过程的均值函数和协方差函数。
解：的均值函数和协方差函数为6．给定一随机过程和常数a，试以的自相关函数表出随机过程，t∈T的自相关函数。
解：设的自相关函数为，按定义的自相关函数为7．设，若已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为。
浙江林学院 2006 - 2007 学年第 一 学期考试卷（B 卷）参考答案及评分标准课程名称： 概率论 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间 120分钟。
一、填空题（每小题3分，共24分） 1. 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为（结果用分数表示） 119/190 . 2.随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则()P X Y ==.5/9（结果用分数表示）.3. 设随机变量~(2,),~(3X B p YBp 若已知5(1),9P X ≥=则(1)P Y ≥= 19/27 .4. 已知D ( X ) = 4, D (Y ) = 9, D ( X -Y ) = 12, 则X 与Y 间的相关系数为 ρ =____1/12_______.5. 贝努利大数定律：设m 是n 次独立重复试验中A 发生的次数，p 是事件A 的概：p=P(A)。
则对任意正数ε，有___ _____ __. lim {||}1n mP p nε→∞-<=6．设随机变量X~N （0,1），φ（x ）为其分布函数，则φ（x ）+φ（-x ）=____1____. 7．设随机变量X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它20)1(41)(x x x f ，对X 独立观察3次，则至少有2次的结果大于1的概率为（结果用分数表示） 81/254 .8．设随机变量X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=.)(0,)63(9/2,)10(3/1)(他其x x x f 若k 满足3/2)(=≥k X P ，则k 的取值范围是 ]3,1[∈k ．第 1 页 共 6 页学院： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线 内 不 要 答 题二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在下表中。
第7章参数估计1．随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）试求总体均值及方差的矩估计值，并求样本方差．解：由已知得总体均值及总体方差的矩估计值分别为样本方差．2．设为总体的一个样本，为一相应的样本值，求下列各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值：（1），其中c>0为已知，为未知参数；（2），其中为未知参数；（3）其中为未知参数．解：（1）由已知得令，即，则的矩估计量为，矩估计值为．（2）由已知得令，即，则的矩估计量和矩估计值分别为（3）因，令，即，则的矩估计量和矩估计值分别为3．求上题中各未知参数的最大似然估计值和估计量．解：（1）由题意知，似然函数为对似然函数两边同时取对数得令得的最大似然估计值为的最大似然估计量为（2）由题意知，似然函数为对似然函数两边同时取对数得令得的最大似然估计值为得的最大似然估计量为（3）由已知得似然函数为对似然函数两边同时取对数得令得p的最大似然估计值为，其中p的最大似然估计量为4．（1）设总体X具有分布律其中为未知参数，已知取得了样本值；试求的矩估计值和最大似然估计值．（2）设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的最大似然估计量及矩估计量．（3）设随机变量X服从以r，p为参数的负二项分布，其分布律为其中r已知，p未知；设有样本值，试求p的最大似然估计值．解：（1）①由已知得令，即，解得，故得的矩估计值为．今，故的矩估计值为．②由给定的样本值，得似然函数为对似然函数两边同时取对数得令，得的最大似然估计值为．（2）①设是相应于样本的样本值，则似然函数为对似然函数两边取对数得令，得的最大似然估计值为，最大似然估计量为．②因，故的矩估计量也是（3）由题意知似然函数为对似然函数两边同时取对数得，C为常数令，得p的最大似然估计值为．5．设某种电子器件的寿命（以h计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为其中c为未知参数，自一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验．设它们的失效时间依次为．（1）求与C的最大似然估计值．（2）求与C的矩估计量．解：（1）由题意知似然函数为由题设，故相当于，因而上式相当于。
1 解：该试验的结果有9 个：(0 , a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c), (2, a),（2, b）, （2, c）。
所以，（1）试验的样本空间共有9个样本点。
（2）事件A包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。
即A所包含的样本点为（0，a）（1，a）, （2，a）。
（3）事件B包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。
即B所包含的样本点为（0，a），（0，b），（0，c）。
2、解U BC U AC或AB C U A BC U A B C U ABC；（4）（1）ABU BC u AC（5）（2）AB（6）（提示：题目等价于A，B，C至少有2个发生，与（1）相似）；U ABC U ABC ；（7）（3）ABC（8）（4）A U B U C或A BC；（9）（提示：A，B，C至少有一个发生，或者A, B，C不同时发生）；6、解设A { “两次均为红球” }，B { “恰有1个红球” }，C{ “第二次是红球” }若是放回抽样，每次抽到红球的概率是:—，抽不到红球的概率是:10(1)P(A)10 100.64 ；定相容。
4、解(1)因为 A B 不相容，所以 A , B 至少有一发生的概率为: P(A U B) P(A) P(B)=0.3+0.6=0.9⑵A ，B 都不发生的概率为：P(A U B) 1 P(A U B) 1 0.90.1 ；(3)A 不发生同时B 发生可表示为：A |B ，又因为A, B 不相容,P(A | B) P(B) 0.6 ；故A,B,C 都不发生的概率为p ABC 1 p A B C1 p A p B p C p AB p AC p BC p 11.2 0.4 0.050.155解：由题知p AB AC BC 0.3 P ABC50.05因 p AB AC BC p AB p AC p BC 2 p ABC 得,p AB p AC p BC0.3 2p ABC0.4于是ABC8 8(2)P(B) 2 10 (1 10)。
