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平面向量三角函数与解三角形第一讲平面向量课件文20191128290

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2019年专题三角函数与平面向量.ppt

2019年专题三角函数与平面向量.ppt

【解答】 (1)由 f(x)＝2 3sinxcos＋2cos2x－1，得
f(x)＝ 3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)
＝ 3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6， 所以函数 f(x)的最小正周期为 π 因为 f(x)＝2sin2x＋π6在区间 0，π6上为增函数，在区间π6，π2 上为减函数，又 f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数 f(x)在区 间 0，π2上的最大值为 2，最小值为－1.
从近两年的高考题可以看出，每年对该专题的考查主要有 两种形式：一是以小题形式考查概念、性质和公式的应用，一 般考查 2 道小题，二是以解答题的形式考查三角函数的性质以 及平面向量与三角的综合题，每年必考一大题，难度一般为中 档，总的来看，这部分题是高考中容易得分的内容．
│ 考情分析预测
预计 2013 年的考查形式不会变，解答题仍可能以向量为 载体，考查三角函数性质以及三角变换为主，其热点是恒等 变换与解三角形，特别是三角形中的三角函数问题要充分重 视，因此对该部分的复习备考应注意基础性、应用性和工具 性．
【点评】 当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称
统一，其次要把 ωx＋φ 变换成 ωx＋ωφ再确定平移的单位、
根据ωφ 的符号确定平移的方向．函数图象的平移变换规则是 “左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量 x，如 果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位 和方向．
因为函数 f(x)图象过点1π2，1，所以 2×1π2＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，
又 0≤φ<2π，∴φ＝π3，f(x)＝2sin2x＋π3－1 为所求．
(2)
2x＋π3
πห้องสมุดไป่ตู้3
π 2

高考数学新课标全国二轮复习课件3.三角函数、解三角形及平面向量1

高考数学新课标全国二轮复习课件3.三角函数、解三角形及平面向量1
的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. (2)简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公
式,但不要求记忆).
3.解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题.
途径二:先伸缩变换再平移变换
先将 y=sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的������ (ω>0)倍,再 沿 x 轴向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位长度,便得到
������ |������ |
1
y=sin(ωx+φ)的图象.
2.三角函数的单调区间 y=sin x 的递增区间是 2������π- 2 ,2������π + 2 (k∈Z),递减区间是 2������π + 2 ,2������π +
π π π
) B.向右平移12个单位 D.向右平移3 个单位
π π π
A.向左平移12个单位 C.向左平移3 个单位
π
解析:∵y=sin 4������- 3 =sin 4 ������- 12 ,∴只需将函数 y=sin 4x 的图 象向右平移12个单位即可. 答案:B
π
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点 2 三角函数的解析式 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ������ > 0,������ > 0,|������| <
π 2
在一个
周期内的图象如图所示.若方程 f(x)=m 在区间[0,π]上有两个不同的 实数解 x1,x2,则 x1+x2 的值为( )

高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形3.1平面向量课件理

高考数学二轮复习专题三平面向量三角函数三角形3.1平面向量课件理

＝(1－x，－y)，所以P→A·(P→B＋P→C)＝ (－x， 3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋

2y－

232－32，当
x＝0，y＝
23时，
P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，为－32，选择 B.
[技法领悟] (1)向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化 为三角形的某个边求其长．
答案：A
考点 2 平面向量的数量积
1．平面向量的数量积有两种运算形式： (1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ(其中 θ 为向量 a，b 的夹角)； (2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2. 2．平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角，则 cosθ＝|aa|·|bb| ＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
考点 1 平面向量的概念与线性运算
1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选 好基底，变形要有方向不能盲目转化；
2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是 第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形 减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
D．－1
【 解 析 】 (1) 易 知 |a ＋ 2b| ＝ |a|2＋4a·b＋4|b|2 ＝
4＋4×2×1×21＋4＝2 3. (2)如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC
的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，B(－1,0)，

平面向量和解三角形

平面向量和解三角形

平面向量和解三角形1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小、方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的模，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量：a ＝O ⇔｜a ｜＝O .单位向量：a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .2.向量的运算4.重要定理、公式:(1)平面向量基本定;e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O.(4)线段的定比分点公式: 设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P 1＝λ2PP ，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式： ＝21（1＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x（5）平行四边形对角线定理：)2=-+5．解三角形：⑴正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a === ⑵余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC . ⑶面积计算公式：△ABC的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4RABC第2题图④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]（4）△ABC 形状的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B ＞2π练习题1（宁夏09）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（ ）（A ）17-（B ）17 （C ）16- （D ）162.（山东09）.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A .0PA PB +=B . 0PB PC +=C . 0PC PA +=D .0PA PB PC ++=3（江苏08）．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b == ，则|5|a b -= ．4（广东09）．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，， （1）求cos C ； （2）若25=⋅，且9a b +=，求c ．5（江苏09）．设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c （1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||+b c 的最大值; （3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .。

高考数学二轮复习 高校信息化课堂 专题四 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数图象与性质课件 文

高考数学二轮复习 高校信息化课堂 专题四 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数图象与性质课件 文

5 5π π 由图象可知当 x= π时,2× + =2kπ+ (k∈Z), 12 12 2
π 即 =2kπ- (k∈Z). 3 π π π 又因为- < < ,所以 =- ,故选 A. 2 2 3
π (2)由于 y=sin 2x+cos 2x= 2 sin(2x+ ). 4 π π π 将其图象向左平移 个单位,得到 y= 2 sin[2（x+ )+ ）= 4 4 4
热点透析
突典例 熟规律
热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三 角函数的基本关系式
【例 1】 (1)如图,以 Ox 为始边作角α (0<α <π ),终边与单
3 4 π 位圆相交于点 P,已知点 P 的坐标为(- , ),则 sin(α + ) 5 5 2
的值为(
3 (A) 5
)
3 (B)5 4 (C) 5 4 (D)5
π (B)向右平移 个单位 4 π (D)向左平移 个单位 4
π 解析:y=sin 3x+cos 3x= 2 cos(3x- ),它可以由函 4
π 数 y= 2 cos 3x 向右平移 个单位得到.故选 A. 12
3 2.(2013 高考浙江卷,文 6)函数 f(x)=sin xcos x+ cos 2x 2
3.(2012 高考浙江卷,文 6)把函数 y=cos 2x+1 的图象上 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后 向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长把函数y=1+cos 2x的图象上所有点的横坐
标伸长到原来的2倍,纵坐标不变得到y=1+cos x
的最小正周期和振幅分别是( A (A)π ,1 (B)π ,2

8 三角函数、平面向量及解三角形 公开课一等奖课件

8 三角函数、平面向量及解三角形 公开课一等奖课件

失分点 12 忽视角的范围致误 1 1 例2 已知 α、β∈(0，π)且 tan(α－β)＝ ，tan β＝－ ， 2 7 求 2α－β 的值．
∵tan α＝tan[(α－β)＋β] 1 1 － tan(α－β)＋tan β 2 7 1 ＝ ＝ ＝ ， 1 1 3 1－tan(α－β)· tan β 1＋ × 2 7 ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] 1 1 ＋ tan α＋tan(α－β) 3 2 ＝ ＝ ＝1. 1 1 1－tan α· tan(α－β) 1－ × 3 2 ∵α、β∈(0，π)，∴－π<2α－β<2π， π 5π 3π ∴2α－β＝ 或 或－ . 4 4 4 错解
正解 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β] 1 1 － tan(α－β)＋tan β 2 7 1 ＝ ＝ ＝ . 1 1 3 1－tan(α－β)· tan β 1＋ × 2 7 1 π ∵tan α＝ >0,0<α<π， ∴0<α< ， 3 2 1 π ∵tan β＝－ <0,0<β<π，∴ <β<π， 7 2 ∴－π<α－β<0. 1 π 而 tan(α－β)＝ >0，∴－π<α－β<－ . 2 2 ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． tan α＋tan(α－β) ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝ 1－tanα· tan(α－β) 1 1 ＋ 3 2 ＝ ＝1. 1 1 1－ × 3 2 3π ∴2α－β＝－ . 4
三角函数、平面向量及解三角形
失分点 11 图象变换方向或变换量把握不准致误 π 例 1 已知函数 f(x)＝2cos xsin(x＋ )－ 3sin2x＋sin x· 3 cos x＋2(x∈R)，该函数的图象可由 y＝sin x(x∈R)的 图象经过怎样的变换得到？ 1 3 错解 f(x)＝2cos x( sin x＋ cos x)－ 3sin2x＋sin xcos x 2 2 ＋2 ＝2sin xcos x＋ 3(cos2x－sin2x)＋2 ＝sin 2x＋ 3cos 2x＋2 π ＝2sin(2x＋ )＋2. 3 ①保持 y＝sin x 图象上各点的纵坐标不变， 横坐标变为原 1 来的 ，得到 y＝sin 2x 的图象； 2
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题 和公式 两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问
避误 题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况，如 区 已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于
零，还要求不能反向共线
(二)创新考法
1．已知向量 a 与 b 的夹角为 θ，定义 a×b 为 a 与 b 的“向量
积”，且 a×b 是一个向量，它的长度|a×b|＝|a||b|sin θ，若 u
答案：D
2．(2019·浙江宁波期末测试)已知向量O→A，O→B，满足|O→A|＝1，
|O→B|＝2，∠AOB＝π3，M 为△OAB 内一点(包括边界)，O→M＝
xO→A＋yO→B.若O→M·B→A≤－1，则以下结论一定成立的是( )
A.23≤2x＋y≤2
B.12x≤y
C．－1≤x－3y
D.23≤x＋y≤1
破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种： 一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利 用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再 利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选 择题，常可用取特殊值的方法来快速破解．
(2018·高考天津卷)如图，在平面四边形
解析：2a＋b＝(4,2)，因为 答案：12
c∥(2a＋b)，所以
4λ＝2，得
λ＝12.
[类题通法] 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运 算．一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出 三个向量之间的关系． 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基 底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过 向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不 同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
－3 8 3时，A→E·B→E有最小值2116. 答案：A
[类题通法] 数量积的最值或范围问题的 2 种求解方法 (1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． (2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函 数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基 本不等式求最值或范围．
1．(2019·攀枝花一模)在四边形 ABCD 中，已知 M 是 AB 边上
的点，且 MA＝MB＝MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，若点 N 在
线段 CD(端点 C，D 除外)上运动，则N→A·N→B的取值范围是( )
A．[－1,0)
B.[－1,1)
C.－34，0
D.－12，1
1．三点共线的判定 (1)A，B，C 三点共线⇔A→B，A→C共线． (2)向量P→A，P→B，P→C中三终点 A，B，C 共线⇔存在实数 α，β 使得P→A＝αP→B＋βP→C，且 α＋β＝1.
2．三角形“四心”向量形式的充要条件 设 O 为△ABC 所在平面上一点，角 A，B，C 所对的边长分别 为 a，b，c，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|O→A|＝|O→B|＝|O→C|＝2sian A. (2)O 为△ABC 的重心⇔O→A＋O→B＋O→C＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔O→A·O→B＝O→B·O→C＝O→C·O→A. (4)O 为△ABC 的内心⇔aO→A＋bO→B＋cO→C＝0.
专题一 平面向量、三角函数与解三角形
第一讲 平面向量
C目录 ONTENTS
考点一 考点二 考点三 4 限时规范训练
[考情分析·明确方向] 1．平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题 或填空题)，一般出现在第 3～7 题或第 13～15 题的位置上，难 度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等， 数量积是其考查的热点． 2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其 他知识交汇综合命题，难度中等．
解析：以 O 为原点，以 OA 所在直线为 x 轴建 立平面直角坐标系，如图所示，设 A(1,0)，B(1，
3)，则有O→M＝(x＋y， 3y)，B→A＝(0，－ 3)， ∴O→M·B→A＝－3y≤－1，∴y≥13.
x≥0，
又∵点 M 在△OAB 内，∴x，y 满足的关系式为y≥13，
a＋b 在 b 上的投影为( )
A．2
B. 3
C．1
D.－1
解析：∵a＝(1， 3)，b＝－12， 23，
则 a＋b 在 b 上的投影a＋|bb| ·b＝a·b|＋b| b2＝－12＋132＋1＝2，选 A. 答案：A
[类题通法] 1.看到向量垂直，想到其数量积为零．
快审 2．看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质
||A→E|cos∠OAE
＝2|A→O||A→F|||AA→ →OF||－2|A→O||A→E|||AA→ →OE||
＝2|A→F|2－2|A→E|2
＝2×22－2×322＝72，故选 D.
答案：D
2．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝1，|b|＝2，则|3a＋b|＝( )
A. 5
的方程为
y＝
3 x ＋ 32 ， 点
E在
CD 上，所以
y＝
3
x＋
3 2
－ 23≤x≤0，A→E＝x，y＋12，B→E＝x－ 23，y，∴A→E·B→E＝
x2＋y2－ 23x＋12y＝4x2＋3 3x＋3＝4x＋3832＋2116，∴当 x＝
1．平面向量的数量积运算的两种形式 (1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角 不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转 化； (2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足 的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题 数字化．
2．夹角公式 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1xy21＋ 2·yx1y22＋2 y22. 3．模 |a|＝ a2＝ x2＋y2. 4．向量 a 与 b 垂直⇔a·b＝0.
答案：B
[类题通法] 1.平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身 份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等 式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问 题的工具，二是通过运算作为命题条件． 2．高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积 运算的频率较大，其形式体现了“新”．解决此类问题，首先 需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清 楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题的关键所在．
(一)常规考法
1．△ABC 的外心为 O，AB＝3，AC＝4，则A→O·B→C等于( )
3
5
A.2
B.2
C．3
7 D.2
解析：取 AB，AC 的中点 E，F，
则 A→O ·B→C ＝ A→O ·( A→C － A→B ) ＝ A→O ·A→C － A→O ·A→B ＝ 2 A→O ·A→F －
2A→O·A→E＝2|A→O||A→F|cos∠OAF－2|A→O
3．(2019·河北衡水中学模拟)已知 O 是平面上一定点，A，B，
C
是平面上不共线的三点，动点
P
满
足
O→P
＝
O→B＋O→C 2
＋
λ|A→BA→|cBos B＋|A→CA→|cCos C，λ∈[0，＋∞)，则点 P 的轨迹经过△
ABC 的( )
A．外心
B.内心
C．重心
D.垂心
解析：设
B. 17
C. 19
D. 21
解析：∵向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝1，|b|＝2，
∴a·b＝1×2×12＝1，
则|3a＋b|＝ 3a＋b2＝ 9a2＋b2＋6a·b
＝ 9×1＋4＋6×1＝ 19，故选 C. 答案：C
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量 a，b 满足|a|＝2|b|，且(a
解析：以 AB 所在的直线为 x 轴，以 M 为原点建立直角坐标系， 一般问题特殊化，不妨设 AB∥CD，且 CD 被 y 轴平分， ∵MA＝MB＝MD＝MC＝1，∠CMD＝120°， ∴CD＝ 3，则 M(0,0)，A(－1,0)，B(1,0)， 设 Nx，12，－ 23<x< 23， ∴N→A＝－1－x，－12，N→B＝1－x，－12，
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，
E 为 AD 的中点，则E→B＝( )
A.34A→B－14A→C
B.14A→B－34A→C
C.34A→B＋14A→C
D.14A→B＋34A→C
解析：作出示意图如图所示． E→B＝E→D＋D→B＝12A→D＋12C→B ＝12×12(A→B＋A→C)＋12(A→B－A→C)＝34A→B－14A→C. 故选 A. 答案：A
＝λ|A→B|·||AB→→BC||ccoossBπ－B＋|A→C|A→|·C|B→|cCo|scoCs
C
＝λ(－|B→C|＋|B→C|)＝0，∴DP⊥BC，∴点 P 在 BC 的垂直平分
线上，即点 P 经过△ABC 的外心．
答案：A
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝ (1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则 λ＝________.
ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，
AB＝AD＝1.若点 E 为边 CD 上的动点，则A→E·B→E
的最小值为( )
21
3
A.16
B.2
C.2156
D.3
解析：由题意知，△BCD 为等边三角形，边长为 3，建立如 图所示的平面直角坐标系，则 A0，－12，
B 23，0，D－ 23，0，C0，32，设 E(x，y)，因为直线 CD
＝(2,0)，u－v＝(1，－ 3)，则|u×(u＋v)|等于( )
A．4 3
B. 3