函数单调性的七类经典题型

第二讲：函数的单调性一、定义：1.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(x f y =I I D 个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,x x 21x x <),()(21x f x f <)(x f D 是增函数.区间叫的单调增区间. D )(x f y =注意：增函数的等价式子：;0)()(0)]()()[(21212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2）函数单调性的定义中有三个核心①②③ 函数为21x x <)()(21x f x f <)(x f 增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？2.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(x f y =I I D 个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,x x 21x x <),()(21x f x f >)(x f D 是减函数.区间叫的单调减区间.D )(x f y =注意：(1)减函数的等价式子：；0)()(0)]()()[(21212121<--⇔<--x x x f x f x f x f x x (2)若函数为增函数，且.)(x f )()(,2121x f x f x x <<则题型一：函数单调性的判断与证明例1.已知函数的定义域为，如果对于属于定义域内某个区间上的任意)(x f R I 两个不同的自变量都有则（ ）21,x x .0)()(2121>--x x x f x f A.在这个区间上为增函数 B.在这个区间上为减函数 )(x f )(x f C.在这个区间上的增减性不变 D.在这个区间上为常函数)(x f )(x f变式训练：定义在上的函数对任意都有，且R )(x f 120x x <<1)()(2121<--x x x f x f 函数的图象关于原点对称，若则不等式的解集为)(x f y =,2)2(=f 0)(>-x x f ___.例3.证明：函数在上是增函数.x x x f +=3)(R 变式训练：讨论的单调性.并作出当时函数的图象.)0()(>+=a xax x f 1=a 变式训练：已知并用上的单调性，在判断函数)1,0()()(,2)1(2xx f x g x x x f =-=+定义证明.题型二：函数的单调区间难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？（2）函数的单调减区间是上吗？xx f 1)(=),0()0,(+∞-∞ 例1.（图像法）求下列函数的单调区间（1）. (2).|2||1|)(-++=x x x f 3||2)(2++-=x x x f （3）.|54|)(2+--=x x x f 例2.（直接法）求函数的单调区间.xxx f +-=11)(例3.（复合函数）（2017全国二）函数 的单调递增区间2()ln(28)f x x x =--是( )A. B. C. D. )2,(--∞)1,(--∞),1(+∞),4(+∞变式训练：求下列函数的单调区间.（1） （2）312+-=x x y 652+-=x x y （3）22311x x y ---=题型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数是实数集上的增函数，令.)(x f R )2()()(x f x f x F --=(1)证明：是上的增函数；)(x F R (2)若求证：.,0)()(21>+x F x F 221>+x x 例2定义在上的函数满足下面三个条件：),0(+∞)(x f ①对任意正数，都有；b a ,)()()(ab f b f a f =+②当时，；1>x 0)(<x f ③.1)2(-=f （1）求的值；)1(f （2）使用单调性的定义证明：函数在上是减函数；)(x f ),0(+∞（3）求满足的的取值集合.2)13(>+x f x 题型四：函数单调性的应用（1）利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.①正向应用：②逆向应用：例1.在上单调递减，那么与的大小关系是__________.()x f ()+∞,0()12+-a a f ⎪⎭⎫⎝⎛43f 变式训练：已知函数且对任意的，有),1()1()(x f x f x f -=+满足)(1,2121x x x x ≠>设则的大小关系_________..0)()(2121>--x x x f x f ),3(),2(),21(f c f b f a ==-=c b a ,,（2）利用函数的单调性解不等式例2.设是定义在上的增函数，且成立，求的取值)(x f ]1,1[-)1()2(x f x f -<-x范围.变式训练.①设是定义在上的偶函数，当时，单调递减，)(x f ]3,3[-30≤≤x )(x f 若成立，求的取值范围.)()21(m f m f <-m ②（2015全国二）设函数成立的)12()(,11)1ln()(2->+-+=x f x f xx x f 则使得的取值范围是（ ）x A. B. C. D. )1,31(),1(31,(+∞-∞ )31,31(-),31()31,(+∞--∞ ③（2018全国一）设函数，则满足的x 的取值范围()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，()()12f x f x +<是（ ）A ．B ．C ．D ．(]1-∞-，()0+∞，()10-，()0-∞，（3）根据函数的单调性求参数的取值范围例1.如果函数在区间上是增函数，则实数的取1)1(42)(2+--=x a x x f ),3[+∞a 值范围是（ ）A.（1,2）B.（0，2）C.（0，1）D.[)+∞-,2变式训练：如果函数在区间上是减函数，求实数2)1(2)(2+--=x a x x f )4,[-∞的取值范围.a例2.若函数在上为增函数，则实数的取值范围⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,0,1)12()(2x x b x x b x b x f R b 是__________.例3.若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.||a x y -=]4,(-∞a 第三节：函数的奇偶性一、知识梳理1.函数的奇偶性例1（2014全国二）偶函数的图象关于直线对称，，则)(x f y =2=x 3)3(=f ___________．=-)1(f 例2（2017全国二） 已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，()f x (,0)x ∈-∞，则__________.32()2f x x x =+(2)f =例3（2012全国二）设函数的最大值为，最小值为，1sin )1()(22+++=x xx x f M m 奇偶性定 义图象特点备注奇函数★★设函数的定义域为,如果)(x f y =D 对内的任意一个,都有∈D ,且　D x x -,则这个函数叫做奇函数 ()()x f x f -=-关于原点中心对称函数是奇函)(x f 数且在处有0=x 定义,则0)0(=f 偶函数设函数的定义域为,如果对)(x f y =D 内的任意一个,都有,且D x D x ∈-,则这个函数叫做偶函数()()x f x f =-★关于轴对称y则+=______.M m 2.函数的图象(1)平移变换：“上加下减，左加右减”例4（2010全国二）设偶函数满足，则)(x f )0(42)(≥-=x x f x （ ）=>-}0)2(|{x f x A. B.}42|{>-<x x x 或}40|{><x x x 或C. D.}22|{>-<x x x 或}42|{>-<x x x 或(2)对称变换①；)()(x f y x f y x -=−−−−→−=轴对称关于②；)()(x f y x f y y -=−−−−→−=轴对称关于③；)()(x f y x f y --=−−−−→−=关于原点对称④;)10(log )10(≠>=−−−−→−≠>==a a x y a a a y a x y x 且且对称关于⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于轴对称.y (3)翻折变换★★①.|)(|)(x f y x f y x x =−−−−−−−−−−−→−=轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留例5（2010全国二）已知函数,若均不相等，且⎪⎩⎪⎨⎧+-≤<=621100|,lg |)(x x x x f c b a ,,则的取值范围是( )),()()(c f b f a f ==c b a ⋅⋅A. B. C D.)10,1()6,5()12,10()24,20(例6（2011全国二）已知函数的周期为2，当时，()y f x =[1,1]x ∈-2()f x x =那么函数的图象与函数的图象的交点共有（ ）()y f x =|lg |y x =A ．10个 B ．9个 C ．8个D ．1个★★★②.)||()()(x f y x f y y x f y y =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−=轴左侧的图象）在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（(0,)+∞）A.B ．C ．D ．3y x =||1y x =+21y x =-+||2x y -=例8（2010大纲）直线与曲线有四个交点，则的取值范围1=y a x x y +-=||2a 是____________.(4)函数图象的几种对称关系★①满足图象关于直线为轴对称；R x x f ∈),()()()(x f y x a f x a f =⇔-=+a x =例9（2018全国二）已知是定义域为的奇函数，满足)(x f ),(+∞-∞，若=2，则（ ）)1()1(x f x f +=-)1(f =++++)50(...)3()2()1(f f f f A ．﹣50 B ．0 C ．2 D ．50②图象关于为轴对称；)()()(x f x b f x a f ⇔-=+2ba x +=③函数与函数的图象关于直线对称.)(x a f y +=)(x b f y -=2ab x -= 如：和的图象，关于直线为轴对称.)(x f y =)1(x f y -=21=x 例10（2015全国二）已知函数则），的图像过点（4,1-2)(3x ax x f -==________.a 二、真题演练1.（2014全国一）设函数的定义域为，且是奇函数，是)(),(x g x f R )(x f )(x g 偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 是偶函数B. 是奇函数)()(x g x f )(|)(|x g x f C. 是奇函数 D. 是奇函数|)(|)(x g x f |)()(|x g x f 2.（2015全国一）已知函数，且，则⎩⎨⎧>+-≤-=-1),1(log 1,22)(21x x x x f x 3)(-=a f =( ))6(a f -A.- B.- C.- D.-745434143.（2015全国一）设函数的图像关于直线对称，且)(x f y =x y -=,则（ ）1)4()2(=-+-f f =a A.-1 B.1 C.2 D.44.（2017全国一）函数的部分图像大致为（ ）xxy cos 12sin -=5.（2017全国一）已知函数，则（ ）)2ln(ln )(x x x f -+=A. B.）单调递增在（2,0)(x f ）单调递减在（2,0)(x f C. D.对称的图像关于直线1)(==x x f y ）对称的图像关于点（0,1)(x f y =6.(2017全国三)函数的部分图像大致为（ ）2sin 1xy x x=++A ．B ．C ．D ．二、课后作业1.若奇函数在上是增函数且最大值为5，那么在上是（ ）)(x f []7,3)(x f []3,7--A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是5-5-C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是5-5-2.若是偶函数，则在上（ ）32)1()(2++-=mx x m x f )(x f ()1,4--A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由的值确定m 3.已知函数若为奇函数，则________.()1,21x f x a =-+()f x a =4.函数是定义在上的奇函数，且,求函数的21xb ax x f ++=）（)1,1(-5221=）（f )(x f 解析式___________.第四节：函数的零点一、知识梳理★零点：方程的解；函数图象与轴交点的横坐标.0)(=x f )(x f x 函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标.)()()(x g x f x F -=)(x f )(x g 零点存在定理：函数在定义域上连续，若，则在)(x f []b a ,0)()(<⋅b f a f )(x f 定义域上一定存在零点.[]b a ,例（2011全国二）在下列区间中，函数的零点所在的区间为()43x f x e x =+-（ ）A ． B ． C ． D ．1(,0)4-1(0,)411(,4213(,242、真题演练1.（2017全国三）已知函数有唯一零点，则=（ 211()2()x x f x x x a e e --+=-++a）A ．B ．C ．D ．112-13122.(2018全国一)已知函数，，若存在⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x a x x f x g ++=)()()(x g 两个零点，则的取值范围是__________.a 三、课后作业1.关于的方程的根所在大致区间为（ ）x 015=--x x A. B. C. D.)1,0()2,1()4,3()5,4(2.已知，若）为常数（其中）（R x c b cx bx x x f ∈-++=,,735，）（102=-f 则=________.）（2f。

巧用函数单调性妙解数学题函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。

在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。

下面举例说明。

一. 巧求代数式的值例1. 已知()x y x x y ++++=222055，求()x y +2007的值。

解：已知条件可化为()()()()x y x y x x +++=-+-2255 设f x x x ()=+5，则f x y f x ()()+=-2 而f x x x ()=+5在R 上是增函数 则有x y x +=-2，即x y +=0 所以()x y +=20070点评：本题关键是将条件转化为()()()()x y x y x x +++=-+-2255，再构造相应函数f x x x ()=+5，利用单调性求解。

拓展练习：已知方程x x+=33的根为α，方程x x +=log 33的根为β，求α+β的值。

（答案：αβ+=3）二. 妙解方程 例2. 解方程4765x x x +=解：易见x=2是方程的一个解原方程可化为4657651⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=xx而f x x ()=⎛⎝ ⎫⎭⎪465（因为46501⎛⎝ ⎫⎭⎪∈x()，）在R 上是减函数，g x x()=⎛⎝ ⎫⎭⎪765同样在R 上是减函数因此f x g x xx ()()+=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪465765在R 上是减函数由此知：当x >2时，465765465765122⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪<⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=xx当x <2时，465765465765122⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪>⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=xx这说明x >2与x <2的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解x =2。

拓展训练：解方程51222x x x -=+()。

（答：x =2）点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解x 0，然后等价转化为f x a a ()()=为常数的形式，最后根据f x ()的单调性得出原方程的解的结论。

单调性奇偶性反函数典型例题总结一：单调性类型一：函数单调性的证明。

例1：证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0则∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0∴上递减.【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1<x2，则∵0<x1<x2≤1 ∴x1-x2<0，0<x1x2<1∵0<x1x2<1故，即f(x1)-f(x2)>0∴x 1<x 2时有f(x 1)>f(x 2)上是减函数.例2：解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．总结：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二：求函数的单调区间例1.判断下列函数的单调区间； (1)y=x 2-3|x|+2； (2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()12211222121212211222111111+---+---判断函数 ＝≠ 在区间 － ， 上的单调性． f(x) (a 0) ( 1 1) axx 2 1-∴f(x)在上递增.例2：（1）y＝|x2＋2x－3| （2）(2)(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三：单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)例1：已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.例2：函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1．例3已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)时为减函数．类型四:分段函数的单调性:分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分开说明单调性．例1:例1 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)，()4－a2x ＋2(x ≤1)是R 上的单调递增．．函数，则实数a 的取值范围为________． [4,8) 【解析】 因为f (x )是定义在R 上的增函数，故y ＝a x 和y ＝()4－a2x ＋2均为增函数，所以a >1且4－a2>0，即1<a <8.又画出该分段函数图象，由图象可得，该函数还必须满足：a 1≥()4－a2×1＋2，即a ≥4. 综上，a 的取值范围为4≤a <8.当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a aa--⎧⎨⎪⎩⎪(2)f(2)f(15)与(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)二：奇偶性类型一、判断函数的奇偶性例1:判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例1:已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：．解：，又为奇函数，所以．例2: f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图例3:．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a 的取值范围. 解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|) 而|a-1|，|a|∈[0，3].类型三：分段函数的奇偶性例1．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.类型四：应用奇偶性求函数解析式。

导数的应用-单调性、极值与最值10大题型导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。

此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。

本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。

一、导数与函数的单调性相关问题及解决方法1、求函数单调区间的步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '（通分合并、因式分解）；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、已知函数的单调性求参数（1）函数()f x 在区间D 上单调增（单减）⇒）（00)(≤≥'x f 在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上存在单调增（单减）区间⇒）（00)(<>'x f 在区间D上能成立；（3）已知函数()f x 在区间D 内单调⇒)(x f '不存在变号零点（4）已知函数()f x 在区间D 内不单调⇒)(x f '存在变号零点3、含参函数单调性讨论依据：（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。

二、利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数()f x '；（2）求方程()0f x '=的所有实数根；（3）观察在每个根x 0附近，从左到右导函数()f x '的符号如何变化．①如果()f x '的符号由正变负，则0()f x '是极大值；②如果由负变正，则0()f x '是极小值．③如果在()0f x '=的根x ＝x 0的左右侧()f x '的符号不变，则不是极值点．三、函数的最值与极值的关系1、极值是对某一点附近（即局部）而言，最值时对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；2、在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；3、函数()f x 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；4、对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得。

第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结【考点分析】考点一：含参数单调性讨论①先求函数定义域；②求导，化简，通分，分解因式；③x 系数有未知数a ，先考虑x 系数0=a 的情况；再考虑0,0<>a a 情况，求出()0='x f 的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性；④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式∆，若不是二次函数可以考虑二次求导【题型目录】题型一：导函数为一次函数型题型二：导函数为准一次函数型题型三：导函数为二次可分解因式型题型四：导函数为二次不可因式分解型题型五：导函数为准二次函数型【典型例题】题型一：导函数为一次函数型【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；【例2】（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数()ln 1f x a x x =+-（其中a 为参数）．(1)求函数()f x 的单调区间；【例3】（2022·江西·二模（文））己知函数()()R a x ax x f ∈++=1ln ，讨论()f x 的单调性。

【例4】（2022·广东·模拟预测）已知函数()()()R m mx x x f ∈--=1ln ，讨论函数()f x 的单调性。

【题型专练】1.已知函数()ln R k f x x k k x=--∈，，讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；2.已知函数()ln f x x mx =+，其中m ∈R ，讨论()f x 的单调性；3.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知函数()ln f x x ax a =+-(R)a ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；题型二：导函数为准一次函数型【例1】（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数()()2e 3x R f x ax a =-+∈（e 为自然对数的底数）． 求函数()f x 的单调区间；【例2】（2022·河南安阳·高二期末（文））已知函数()2e 1x f x ax =+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；【例3】（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数()ln f x x x ax =-.讨论()f x 的单调性；【题型专练】1.设函数()e 2x f x ax =--，求()f x 的单调区间．2.已知函数()e x f x ax -=+.讨论()f x 的单调性；3.已知函数()()e 1x f x m x =++()m ∈R ，讨论()f x 的单调性.题型三：导函数为二次可分解因式型【例1】（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；【例2】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++讨论f （x ）的单调性；【例3】（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数2()ln 1(,0)x f x x a R a a=-+∈≠． 讨论函数()y f x =的单调性；【例4】（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数()()()322316R f x x m x mx x =+++∈.讨论函数()f x 的单调性；【例5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()()()21ln 2a f x x a x x a R =+--∈． 求函数()f x 的单调区间；【例6】（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈ (1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.【题型专练】1.设函数()2ln f x ax a x =--，其中a R ∈．讨论()f x 的单调性.2.已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+，求函数f (x )的单调区间；3.设函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =+--∈，讨论函数()f x 的单调性.题型四：导函数为二次不可因式分解型【例1】（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ． 讨论函数()f x 的单调性；【例2】（2022·天津南开·三模）已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x 讨论()g x 的单调性；【例3】（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；【题型专练】1.已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >，讨论()f x 的单调性；2.已知函数2()ln 31f x x x ax =+++，讨论函数()f x 的单调性；3.已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，讨论()f x 的单调性；.题型五：导函数为准二次函数型【例1】（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数()()R a ax ax ex x f x ∈-+=22， 讨论()f x 的单调性。

函数单调性方法和各种题型.一、选择题。

1. 下列函数在区间(0, +∞)上单调递增的是（）A. y = -x^2 + 2B. y = (1)/(x)C. y = x + 1D. y = (2)/(x)解析：选项A：对于二次函数y = -x^2 + 2，其二次项系数为-1<0，图象开口向下，对称轴为x = 0，所以在区间(0, +∞)上单调递减，A选项错误。

选项B：对于反比例函数y=(1)/(x)，根据反比例函数的性质，当k = 1>0时，在区间(0, +∞)上单调递减，B选项错误。

选项C：对于一次函数y = x + 1，一次项系数为1>0，根据一次函数的性质，在R 上单调递增，所以在区间(0, +∞)上也单调递增，C选项正确。

选项D：对于反比例函数y = -(2)/(x)，k=-2<0，在区间(0, +∞)上单调递增，D选项正确。

综上，答案选CD。

2. 函数f(x)=2x^2 3x + 1的单调递减区间是（）A. (-∞, (3)/(4)]B. [(3)/(4), +∞)C. (-∞, (3)/(4))D. ((3)/(4), +∞)解析：函数f(x)=2x^2 3x + 1是二次函数，二次项系数a = 2>0，图象开口向上，对称轴为x = -(b)/(2a)=-(-3)/(2×2)=(3)/(4)。

根据二次函数的单调性，开口向上的二次函数，在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。

所以f(x)的单调递减区间是(-∞, (3)/(4)]，答案选A。

二、填空题。

1. 函数y = √(x^2 2x 3)的单调递增区间是______。

解析：首先要确定函数的定义域，由x^2 2x 3≥0，即(x 3)(x + 1)≥0，解得x≥3或x≤ 1。

令t = x^2 2x 3，则y=√(t)，y=√(t)在其定义域上单调递增。

对于二次函数t = x^2 2x 3，其对称轴为x = -(-2)/(2×1)=1，开口向上。

题型归纳优选版函数的单调性知识梳理1. 单调性概念一般地，设函数()f x 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2. 单调性的判定方法（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

（2）定义法步骤；①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)；②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。

也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．例题精讲【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升?哪些区间下降？解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。

【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ;①从左至右图象上升还是下降?②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ （2）f (x )=x 2．①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 解：（1）①从左至右图象是上升的；②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．（2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小；②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？ 解：不一定，例如下图：【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---；其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.证明：设12,x x 是R 上的任意两个实数，且12x x < （取值）则1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+ （作差）123()x x =-由12x x <，得 120x x -<于是12()()0f x f x -< （定号） 所以12()()f x f x <所以，函数()32f x x =+在R 上是增函数。

必修一函数的单调性题型归纳函数的单调性与最值函数单调性的性质可以分为增函数和减函数。

对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，则函数为减函数。

此外，函数的单调性还有以下性质：函数f(x)与函数-f(x)的单调性相反；当f(x)恒为正或恒为负时，函数f(x1)-f(x2)0，函数kf(x)与函数f(x)具有相同的单调性（如果k0，则函数f(x)与函数f(-x)具有相同的单调性。

对于复合函数，判断其单调性需要使用同增异减的方法。

在证明单调性时，可以使用定义法证明单调性的等价形式：设x1,x2∈[a,b],x1≠x2，那么(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0，当且仅当f(x)在[a,b]上是增函数；(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0，当且仅当f(x)在[a,b]上是减函数。

例1：证明函数f(x)=x^2在R上是增函数。

解：对于任意x1,x2∈R，且x10，(f(x1)-f(x2))=(x1^2-x2^2)=(x1+x2)(x1-x2)>0，因此f(x)在R上是增函数。

例2：求函数f(x)=2x/(1-x)在(-1,+∞)内的单调性。

解：当x∈(-1,1)时，f(x)为增函数；当x>1时，f(x)为减函数。

因此，f(x)在(-1,+∞)内的单调性为：增-减。

例3：设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2-x)的单调区间。

解：令u=2-x，则x=2-u，代入y=f(2-x)得y=f(u)，即y=f(2-x)=f(u)。

因为y=f(x)在(2,6)上单增，所以u=2-x∈(2,4]。

因此，y=f(2-x)在[2,4)上为增函数，在(4,6)上为减函数，单调区间为：增-减。

上的增函数，且f(3)>1，解不等式f(x)>2的解集．题型二、比较函数值的大小例4、已知函数y=f(x)在[0.+∞)上是减函数，试比较f(1)与f(a-a+1)的大小。

专题06函数的单调性及最值--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力理解函数的单调性，会判断函数的单调性，会用函数的单调性的功能去求最值、解不等式、比较大小，理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.二、教学建议主要以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查，也可以抽象函数为载体，加强对函数各种性质的理解。

三、自主梳理知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二函数的最值四、真题感悟1．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为( )A ．()f x x =-B ．2()()3x f x =C ．2()f x x =D ．()f x2．（2020•海南）已知函数2()(45)f x lg x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(2,)+∞B ．[2，)+∞C ．(5,)+∞D ．[5，)+∞2．（2017•山东）若函数()( 2.71828x e f x e =⋯是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( ) A ．()2x f x -=B ．2()f x x =C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =3．（2020•新课标Ⅱ）若2233x y x y ---<-，则( ) A ．(1)0ln y x -+>B ．(1)0ln y x -+<C ．||0ln x y ->D ．||0ln x y -<4．（2017•新课标Ⅱ）函数2()(28)f x ln x x =--的单调递增区间是( ) A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞5．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是( ) A ．1(,)2-∞B ．(-∞，13)(22⋃，)+∞C ．1(2，3)2D ．3(2，)+∞五、高频考点+重点题型考点一、判断函数的单调性（增减+区间） 例1（1）函数f (x )=1-xx在（ ） A ．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增 B ．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减 C ．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增 D ．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减 （2）函数f(x)=√x 2−2x −8的单调递增区间是（ ） A. (−∞,−2] B. (−∞,1] C. [1,+∞) D. [4,+∞)（3）（2020·新课标∈）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减对点训练1．（2021·灌云县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．1()||f x x =B ．1()()3xf x =C ．2()1f x x =+D ．f (x )=lg|x |对点训练2.【多选题】设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论不一定正确的是（ ）A ．y =1|()|f x 在R 上为减函数B ．y =|f (x )|在R 上为增函数C ．y =-1()f x 在R 上为增函数 D ．y =-f (x )在R 上为减函数考点二、讨论并证明函数的单调性（解答题） 例2.（2021·广东省肇庆中学模拟）试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 对点训练1（2021·安徽蚌埠模拟）证明：函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．对点训练2.已知函数()ln f x x ax =-，a ∈R . 讨论()f x 的单调性； 考点三、已知单调性求参例3．定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3对点训练1．(2021·河北模拟)函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]对点训练2.若函数31()ln 3f x x a x =-在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞B ．(,4]-∞C ．(,8)-∞D ．(8],-∞对点训练3.（2021·湖南模拟）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 考点四、利用单调性解不等式例4（2021·江西）已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则不等式()()324f x f x +<-的解集为（ ） A ．(),3-∞- B ．3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),1-∞对点训练1（2021·湖北高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞对点训练2．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，考点五、利用单调性求最值例5、（2020·上海高三一模）设0x >，0y >，若121x y +=，则yx的（ ） A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为2D ．最大值为2对点训练1（2020·全国高三专题练习）已知函数())0f x x a =+>的最小值为2，则实数a=（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16对点训练2．(2021·山西省临汾模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >3，mx ＋8，x ≤3.若f (2)＝4，且函数f (x )()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩R a 103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，103⎛⎤ ⎥⎝⎦，1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，存在最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，3]B ．(1,2] C.⎝⎛⎦⎤0，33 D ．[3，＋∞)对点训练3．（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值 A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关考点六、利用单调性比较函数值的大小例6（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数()24xx f x -=-，若0.250.250.30.3,log 0.3,log 2.5a b c -===，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<对点训练1．(2021·安徽合肥模拟)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0对点训练2．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））已知(),0,a b e ∈，且a b <，则下列式子中正确的是（ ） A ．b a ae be <B ．b a ae be >C ．ln ln a b b a <D ．ln ln a b b a >考点七、单调性与奇偶性结合使用例7．已知函数()f x 满足()()f x f x -=-，且对任意的[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()2121f x f x x x --()2,12020f >=，则满足不等式()()202021011f x x ->-的x 的取值范围是（ ） A ．()2021,+∞B ．()2020,+∞C ．()1011,∞+D ．()1010,+∞对点训练1．已知偶函数y =f (x )在区间(,0]-∞上是减函数，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(2)(3)f f >- B ．(2)(1)f f -< C ．(1)(2)f f ->D ．(1)(2)f f -<对点训练2．已知函数()22()lg 911f x x x =++-，则满足()331log log 2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ） A ．(]0,3B ．10,[3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)3,+∞D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦对点训练3．已知定义域为R 的偶函数y ＝f （x ）﹣3x 在[0，+∞）单调递增，若f （m ）+3≤f （1﹣m ）+6m ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．[12，+∞） D ．（﹣∞，12] 巩固训练 一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，任意[)12,3,x x ∈+∞满足()()12120f x f x x x ->-，则不等式()314f x -<的解集为（ ） A ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,3D ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2020·北京东城区·高三期中）下列函数()f x 图象中，满足1(3)(2)4f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭的只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·江西吉安市·高三月考（文））下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）A ．1y x=-B ．tan()y x =-C ．xy e -=-D ．2,02,0x x y x x -+≤⎧=⎨-->⎩ 4．（2018·浙江嘉兴市·高三月考）已知m R ∈，函数()31x f x m m x +=-+-在[]2,5x ∈上的最大值是5，则m 的取值范围是（ ）A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[]2,5D ．[)2,+∞5．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．﹣16．（2021·四川高三三模（文））已知函数()x xf x e=，记()2log 13a f =，()3log 11b f =，1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>7．（2020·辽宁抚顺市·高三月考（文））已知函数()32463f x ax x x =+-+在()2,3上是减函数，则a 的取值范围是（ ）.A ．2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．5,6⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．52,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．5,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．（2021·安徽高三一模（文））意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：()cosh x f x c a c a =+=2xxa ae e a -++⋅（e 为自然对数的底数）．当0c ，1a =时，记(1)p f =-，12m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2)n f =，则p ，m ，n 的大小关系为（ ）．A ．p m n <<B ．n m p <<C ．m p n <<D ．m n p <<二、多选题9．（2020·山东高三期末）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值10．（2022·全国高三专题练习）一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”三、填空题11．（2021·辽宁朝阳市·高三一模）写出一个值域为(),1-∞，在区间(),-∞+∞上单调递增的函数()f x =______．12．（2021·湖北华中师大一附中高三月考）能使“函数()1f x x x =-在区间I 上不是单调函数，且在区间I 上的函数值的集合为[]0,2.”是真命题的一个区间I 为___________.四、解答题13．（2020·全国高三专题练习）已知函数3()f x x ax =+. （1）讨论()f x 在(,)a +∞上的单调性；（2）若3a ≥-，求不等式()()222432f x x f x -+<+的解集.14．（2021·上海高三其他模拟）已知函数()f x x . （1）若1a =，求函数的定义域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围.专题06函数的单调性及最值--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型解析 1．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为( )A ．()f x x =-B ．2()()3x f x =C ．2()f x x =D ．()f x答案：D解答：解：由一次函数性质可知()f x x =-在R 上是减函数，不符合题意； 由指数函数性质可知2()()3x f x =在R 上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知2()f x x =在R 上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知()f x R 上单调递增，符合题意． 故选：D ．2．（2020•海南）已知函数2()(45)f x lg x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(2,)+∞B ．[2，)+∞C ．(5,)+∞D ．[5，)+∞答案：D解答：解：由2450x x -->，得1x <-或5x >． 令245t x x =--，外层函数y lgt =是其定义域内的增函数，∴要使函数2()(45)f x lg x x =--在(,)a +∞上单调递增，则需内层函数245t x x =--在(,)a +∞上单调递增且恒大于0， 则(a ，)(5+∞⊆，)+∞，即5a ．a ∴的取值范围是[5，)+∞．故选：D ．3．（2017•山东）若函数()( 2.71828x e f x e =⋯是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( ) A ．()2x f x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =答案：A解答：解：当()2x f x -=时，函数()()2x x ee f x =在R 上单调递增，函数()f x 具有M 性质，故选：A ．4．（2020•新课标Ⅱ）若2233x y x y ---<-，则( ) A ．(1)0ln y x -+> B ．(1)0ln y x -+< C ．||0ln x y -> D ．||0ln x y -<答案：A解答：解：方法一：由2233x y x y ---<-，可得2323x x y y ---<-， 令()23x x f x -=-，则()f x 在R 上单调递增，且()()f x f y <， 所以x y <，即0y x ->，由于11y x -+>， 故(1)10ln y x ln -+>=．方法二：取1x =-，0y =，满足2233x y x y ---<-， 此时(1)20ln y x ln -+=>，||10ln x y ln -==，可排除BCD ． 故选：A ．5．（2017•新课标Ⅱ）函数2()(28)f x ln x x =--的单调递增区间是( ) A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞- C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞答案：D解答：解：由2280x x -->得：(x ∈-∞，2)(4-⋃，)+∞， 令228t x x =--，则y lnt =，(,2)x ∈-∞-时，228t x x =--为减函数； (4,)x ∈+∞时，228t x x =--为增函数； y lnt =为增函数，故函数2()(28)f x ln x x =--的单调递增区间是(4,)+∞， 故选：D ．6．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是( ) A ．1(,)2-∞B ．(-∞，13)(22⋃，)+∞C ．1(2，3)2D ．3(2，)+∞答案：C 解答：解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减．|1|20a ->，(f f =， 1|1|222a -∴<．1|1|2a ∴-<，解得1322a <<． 故选：C ．五、高频考点+重点题型考点一、判断函数的单调性（增减+区间） 例1（1）函数f (x )=1-xx在（ ） A ．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增 B ．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减 C ．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增 D ．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减 （2）函数f(x)=√x 2−2x −8的单调递增区间是（ ） A. (−∞,−2] B. (−∞,1] C. [1,+∞) D. [4,+∞)（3）（2020·新课标∈）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】（1）C （2）D （3）D （1）【解析】分离函数得f (x )=-1-1x -1，结合函数y =-1x在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移即可判断.【详解】f (x )的定义域为{x |x ≠1}.f (x )=1-x x =11-x -1=-1-1x -1，因为函数y =-1x在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，(x )在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增. 故选：C.（2）【解析】x 2−2x −8≥0得x ≥4或x ≤−2， 令x 2−2x −8=t ，则y =√t 为增函数，∴t =x 2−2x −8在[4,+∞)上的增区间便是原函数的单调递增区间， ∴原函数的单调递增区间为[4,+∞)，故选D.（3）【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 对点训练1．（2021·灌云县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．1()||f x x = B ．1()()3xf x =C ．2()1f x x =+D ．f (x )=lg|x |答案：A 【分析】由奇偶性的定义判断各个选项函数的奇偶性，排除B ；结合反比例函数、二次函数、对数函数的单调性即可选出正确答案. 【详解】解：因为()133xxf x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭，所以B 不正确；A,C,D 中函数定义域均关于原点对称， ()1()||f x f x x -==-，A 是偶函数；()()2()1f x x f x -=-+=，C 是偶函数； ()()lg f x x f x -=-=，所以D 也是偶函数；当(0,)x ∈+∞时，11()||f x x x==单调递减，故A 正确； 由二次函数的性质可得，此时2()1f x x =+递增，则C 不正确；()lg lg f x x x ==也单调递减，则D 不正确；故选:A.对点训练2.【多选题】设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论不一定正确的是（ ） A ．y =1|()|f x 在R 上为减函数 B ．y =|f (x )|在R 上为增函数C ．y =-1()f x 在R 上为增函数 D ．y =-f (x )在R 上为减函数【答案】ABC【解析】令()f x x =可判断出A B C 不正确，利用单调函数的定义判断可得结果.【详解】对于A ，若f (x )=x ，则y =1|()|f x =1||x ，在R 上不是减函数，A 错误； 对于B ，若f (x )=x ，则y =|f (x )|=|x |，在R 上不是增函数，B 错误；对于C ，若f (x )=x ，则y =-1()f x =-1x，在R 上不是增函数，C 错误； 对于D ，函数f (x )在R 上为增函数，则对于任意的x 1，x 2∈R ，设x 1<x 2，必有f (x 1)<f (x 2)， 对于y =-f (x )，则有y 1-y 2=[-f (x 1)]-[-f (x 2)]=f (x 2)-f (x 1)>0， 则y =-f (x )在R 上为减函数，D 正确. 故选：ABC总结：确定函数的单调区间常见方法： 1.利用基本初等函数的单调区间2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D 上单调递减.4.变换法：已知函数)(x f y =单调性，判断)(,)(1,3)(2),(x f y x f y x f y x f y ==+=-=的单调性4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.考点二、讨论并证明函数的单调性（解答题） 例2.（2021·广东省肇庆中学模拟）试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 【解析】(方法一：定义法) 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). 因为－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0.故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．()y f g x =⎡⎤⎣⎦()u g x =()y f u =()y f g x =⎡⎤⎣⎦()y f g x =⎡⎤⎣⎦()0f x '>()f x ()f x ()0f x '<()f x ()f x(方法二：导数法) f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．对点训练1（2021·安徽蚌埠模拟）证明：函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．【解析】函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．对点训练2.已知函数()ln f x x ax =-，a ∈R . 讨论()f x 的单调性；【答案】当0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减； 【详解】函数()f x 的定义域为()0+∞，，()1f x =a x '-. 当a 0≤时，()f x 0'>，()f x 在()0,∞+单调递增； 当a 0>时，令()f x 0'=，得1x 0a=>， 当1x 0,a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 0'>；当1x ,a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()f x 0'<.所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.综上所述，当a 0≤时，()f x 在()0,∞+单调递增；当a 0>时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.总结：1、定义法，2导数法 考点三、已知单调性求参例3．定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D【解析】根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.对点训练1．(2021·河北模拟)函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]【答案】B【解析】函数f (x )＝2|x －a |＋3的增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a >1. 对点训练2.若函数31()ln 3f x x a x =-在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞ B ．(,4]-∞C ．(,8)-∞D ．(8],-∞答案：D【分析】由题意可得20()af x x x'-≥=对于(2,)+∞恒成立，分离参数a 可得3a x ≤，()min3a x ≤即可求解.【详解】因为31()ln 3f x x a x =-，所以2()a f x x x'=-； 又因为31()ln 3f x x a x =-在(2,)+∞上单调递增， 所以20ax x-≥在(2,)+∞上恒成立， 即3a x ≤在(2,)+∞上恒成立，只需要()min3a x ≤，(2,)x ∈+∞因为3y x =在(2,)+∞单调递增，所以3328y x =>=，所以8a ≤. 故选：D ．对点训练3.（2021·湖南模拟）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】由函数是上的增函数，则，解得，即实数的取值范围是，故选B 。