人教高中数学必修一B版《等式的性质与方程的解集》等式与不等式PPT优质教学课件

例题讲评 例3.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
练习：
已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
想一想 : 在上题中,如果没有x 0这个条件, 那么两式的大小关系如何 ?
练习巩固
练习已知 a,b, m都是正数，且a<b,求证：a m a .
bm b
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？zxxk
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
500x 600y 4000
x3x0y
完成课本第39页第1题
y 0 x,y∈N
考虑到实际问题
的意义，还应有
x,y∈N
学习新知
不等式
a-b>0
<=> a > b
基本原 a - b = 0 <=> a = b
理 a - b < 0 <=> a < b
比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：
归纳逻辑过程： 作差 变形 判断符号
b
G
F
A
aHE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么

知识点2 比较实数的大小
实数可以比较大小，对于两个实数a、b， 其大小有几种可能？
知识点3 不等式的性质 性质1 a>b⇔___b_<_a__；(对称性) 性质2 a>b，b>c⇒___a_>_c__；(传递性)
性质3 a>b，c∈R ⇒__a_＋__c_>_b_＋__c___；(同加保序性)
推论：a＋b>c⇒__a_>_c_－__b___；(移项法则) 性质4 a>b，c>d⇒__a_＋__c_>_b_＋__d___；(同向相加保序性) 性质5 a>b，c>0⇒__a_c_>_b_c___，(乘正保序性)
第二章
2.1 等式性质与不等式性质
·
生活中的不等关系有哪些？能不能举例？ • 不少于、不低于、至多、至少
表达了什么数量关系？
知识点 1 不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点． (1)不等符号<，>，__≤___，__≥___或≠. (2)所表示的关系是__不__等__关_系____. (3)含有不等号的式子，叫做 “ 不等式 ”.
请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立
解：要证 a a m b bm
观察目标式，从目标式出发
只要证 ab m a mb
即证 ab am ab mb
Байду номын сангаас即证 am mb a b，m 0 am bm 得证
方法：分析法/执果索因
方法：分析法/执果索因 综合法/由因导果
a>b，c<0⇒ ac＜bc ；(乘负反序性) 性质6 a>b>0，c>d>0⇒___a_c_>_b_d__；(正数同向相乘保序性) 性质7 a>b>0⇒__a__n>_b__n __(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性)

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a≠3，故 B 错误；C.当 c＝0 时，此时ac与bc无意义，故 C 错误；故选
D.]
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2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；
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(4)4x y－2xy ＝2xy 中正确的有( 2
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4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－
5 2
ax＋a2＝0的一个根，
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则a的值为( )
A．1或4
B．－1或－4
C．－1或4
D．1或－4
B
[∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－
5 2
ax＋a2＝0的
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[解]
(1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)(x＋2)＝ 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件
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0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－
2,2}．
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(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x

x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
-136
-21
6
19
13
-1
-8
-2
4
29
98
则下列判断正确的是
.(填序号)
①函数f(x)在区间(-1,0)内至少有一个零点;
②函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点;
③函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点;
④函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点.
)
解析:
A
×
解方程x+7=0,得x=-7
B
×
解方程x2-1=0,得x=±1
C
×
解方程x3+8=0,得x=-2
D
√
无法通过方程x3-x+1=0得到零点
答案:D
探究三
用二分法求函数零点的近似值
【例3】 求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点的近似值.(精确度小于0.1)
解:由于f(1)=-2<0,f(2)=6>0,因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间.
内有且只有一个零点.( √ )
(3)如果函数零点两侧的函数值同号,那么不适合用二分法求此零点近似
值.( √ )
(4)用二分法最后一定能求出函数的零点.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
函数零点存在定理及应用
【例1】 (1)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零
[1.375,1.5]
1.5 + 1.375

从而,得x-2=0或x+1=0,所以x1=2,x2=-1.
所以方程的解集为{-1,2}.
反思感悟 因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:
①将方程右边的各项移到方程左边,使方程右边为0;
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式;
③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
2
2
本 课 结 束
果a=0时,两边都除以a,无意义,故选项D符合题意.
2.下列分解因式错误的是(
)
A.a2-5a+6=(a-2)(a-3)
B.1-4m2+4m=(1-2m)2
C.-4x2+y2=-(2x+y)(2x-y)
1 2 2
D.3ab+ a b +9=
4
1
3+ ab 2
2
答案 B
解析 A选项,根据十字相乘分解因式可知,A正确;B选项中1+4m2-4m=(12m)2,左右两边不相等,所以B错误;C选项,根据平方差公式可知C正确;D选
2 = 2,
所以 3 = 3, 即 a+b=5.
5 = + ,
5.若式子3x2-mx-2因式分解的结果是(3x+2)(x+n),试求实数m,n的值.
= 1,
3 + 2 = -,
解 ∵(3x+2)(x+n)=3x +(3n+2)x+2n=3x -mx-2,∴
∴
= -1.
2 = -2,
(1)求出m的值并画出此二次函数的图像.
(2)求此二次函数的图像与x轴的交点及函数图像顶点的坐标.
(3)x取什么值时,函数图像在x轴上方.

单的实际问题．(重点、难点)
情景 导学 探新 知
我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡 翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡 百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为 x，y，z，则
x＋y＋z＝100， 5x＋3y＋13z＝100， 当z＝81时，x＝________，y＝________．
x＋y＋z＝70，
由题意得2x0＋3y0＋4z0＝2.5，解得yx＝＝5142，，
2z0＋3y0＋4x0＝2.3，
z＝4，
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下
坡路是4 km.
列方程组解应用题的一般步骤 (1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之 间的等量关系； (2)设：恰当地设未知数； (3)列：依据题中的等量关系列出方程组； (4)解：解方程组，求出未知数的值；
(5)验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义； (6)答：写出结论．
提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程．(2)设未知 数及写结论时，都要写清单位名称．
[跟进训练] 4．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经 过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地 所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米或甲的 速度为每小时136千米，乙的速度为每小时137千米．
课堂 小结 提素 养
知识： 求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化 二元为一元，降次就是把二次降为一次．消元后求出一元二次方程 的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二 次方程，因为这样可能产生增根． 方法： 1．代入消元法． 2．加减消元法．

(empty set)，记作 ∅ .
知识点五 集合的分类 (1)有限集； (2)无限集． 知识点六 几个常用数集的固定字母表示
知识点七 集合的表示方法
集合常见的表示方法有： 自然语言
、列举法 、 描述法 、
“区间” (以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方
法)． (1)列举法：把集合中的元素 一一列举
[解析] ①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等． ②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成 集合． ③不能构成集合．因“比较接近 1”的标准不明确，所以元素不确定， 故不能构成集合． ④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”． ⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于 1 的点”．
2．集合的三个特性 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的 “点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明． (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义， 因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可 以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1.1 集合及其表示方法 1.1.2 集合的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.2.3 充分条件、必要条件
第二章 等式与不等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2.1.3 方程组的解集 2.2.1 不等式及其性质 2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用

解:(方法一)设方程x2+x+a=0的两个根分别为x1,x2,则由题意可知
= 1-4 > 0,
1 2 = < 0,
解得a<0,所以实数a的取值范围是(-∞,0).
(方法二)令f(x)=x2+x+a,依题意知,函数f(x)有两个零点,且一个零点大于0,
一个零点小于0,
= 1-4 > 0,
所以函数f(x)的大致图象如图所示:
> 0,
(0) = -1 > 0,
则实数 a 应满足 = 4( + 1)2 -4(-1) > 0,
+1

> 0,
解得a>1,所以当a>0时,例3中的方程有两个大于零的不等实数根,此时a的
取值范围为a>1.
解决此类问题可设出方程对应的函数,根据函数的零点所在的区间分析区
下面对a进行分类讨论:
当a<0时,原方程无实数解;
当a=1时,原方程实数解的个数为3;
当0<a<1时,原方程实数解的个数为4;
当a>1或a=0时,原方程实数解的个数为2.
判断函数零点个数的三种方法
(1)利用方程的根转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)利用函数的图象.画出y=f(x)的图象,判断它与x轴交点的个数,从而判断
.
4.若函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点
是
.
解析:∵3是f(x)=ax-b的零点,
∴3a-b=0,即b=3a.
∴g(x)=bx2+3ax=3ax2+3ax=3ax(x+1),

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
明确目标
发展素养
1.掌握一元二次不等式的解法． 2．能根据“三个二次”之间的
关系解决简单问题． 3．掌握一元二次不等式的实际
应用． 4．会解一元二次不等式中的恒
成立问题.
1.通过解一元二次不等式，培养数学运算 素养．
2．通过“三个二次”关系的应用，提高数 学运算和逻辑推理素养．
3．通过分式不等式的解法及不等式的恒成 立问题的学习，培养数学运算素养．
4．借助一元二次不等式的应用，培养数学 建模素养.
第一课时 一元二次不等式及其解法
(一)教材梳理填空 1．一元二次不等式：
只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是__2_ 定义
的不等式，称为一元二次不等式 一般 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常 形式 数，a≠0
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[解] 法一：由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0，且 2 和 3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ac＝6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2－a＋1ax＋1≤0⇔x－1a(x－a)≤0，
①当 0<a<1 时，a<1a，不等式的解集为xa≤x≤1a
；
②当 a＝1 时，a＝1a＝1，不等式的解集为{1}； ③当 a>1 时，a>1a，不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为xa≤x≤1a ； 当 a＝1 时，不等式的解集为{1}； 当 a>1 时，不等式的解集为x1a≤x≤a .

{x|x≠} b 2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
解一元二次 化为ax2+bx+c>0(或<0),(a>0) 不等式
ax2+bx+c>0 不是
是
(a>0)的过程:
△<0
不是
是
x1=x2
解为两根 之外（或之间）
解为x≠x1(或Ф ) 解为R(或Ф )
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2二次函数性质与应用(2)
---不等式问题
一元二次不等式的定义：
我们把只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数为2次的不等式称为一元二 次不等式。
其一般形式为：ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0
解：A∩B=A， 则A B
而A:若a≥1则1≤x≤a1≤a≤3 若a＜1则a≤x≤1那么 ∴a取值范围是1≤a≤3
A B
练习：已知A {x || x 1 | 2},
B {x | x2 4ax 3a2 0, a 0},
A B , 求a的取值范围
二.一元二次不等式应用
解:
依题意,得- b 5 1, 1
a - 1 ,b a4 .
a

5 1.
5
5
不等式x2 bx a 0为5x2 4x 1 0,
即(5x 1)(x 1) 0,
所求不等式的解集为{x | 1 x 1}. 5