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福建省龙岩市上杭一中2016届高三上学期12月月考数学试卷(理科) Word版含解析

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2015-2016学年福建省龙岩市上杭一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x＞0}，B={x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}，则A∪B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜1或x＞2}C．{x|1＜x＜2}D．R2．已知命题：p：函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为π；命题q：函数的图象关于原点对称，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．¬p D．（¬p）∨q3．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m⊂α则n∥αB．若m∥α，a∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β则α∥βD．若m⊥β，α⊥β，则m∥α4．当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x和g（x）=ax+a的图象只可能是（）A．B．C．D．5．设，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．86．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A．π+B．2 C．2πD．7．函数f（x）=x3﹣ax在R上增函数的一个充分不必要条件是（）A．a≤0 B．a＜0 C．a≥0 D．a＞08．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，，则的值是（）A．B． C． D．9．函数f（x）=log3（x﹣2）﹣sin2x的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．等差数列{a n}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）A．1 B． C．D．11．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）12．已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．变量x，y满足约束条件，当目标函数z=2x﹣y取得最大值时，其最优解为_______．14．过点P（1，2）的直线交圆（x﹣2）2+y2=9于两点A、B，若点P是弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程是_______．15．已知函数的最大值是_______．16．已知函数y=f（x）的图象是开口向下的抛物线，且对任意x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），若向量，则满足不等式的实数m的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的公差d＞0，其前n项和为S n，若S3=12，且2a1，a2，1+a3成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，且数列{b n}的前n项和为T n，证明：．18．已知函数，其中，．若函数f（x）相邻两对称轴的距离等于．（1）求ω的值；并求函数f（x）在区间的值域；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若（b＞c），求边b、c的长．19．如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证AE⊥平面BCE；（2）设，是否存在λ，使二面角B﹣AC﹣E的余弦值为？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．20．已知F1和F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在该椭圆上，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点A（2，0）作直线l交椭圆于不同的两点B，C，证明：不存在直线l，使得|BF2|=|CF2|．21．已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x3﹣3ax（a∈R）相切．（I）求实数a的取值范围；（II）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于．试证明你的结论．选考题（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程22．已知直线l的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（t为参数），直线l和曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．选修4-5：不等式选讲23．已知正实数a，b，c满足，求证：．2015-2016学年福建省龙岩市上杭一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x＞0}，B={x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}，则A∪B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜1或x＞2}C．{x|1＜x＜2}D．R【考点】并集及其运算．【分析】通过解二次不等式化简集合B；利用并集的定义求出A∪B．【解答】解：∵B={x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜1}∵A={|x|x＞0}，∴A∪B=R故选D2．已知命题：p：函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为π；命题q：函数的图象关于原点对称，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．¬p D．（¬p）∨q【考点】三角函数的周期性及其求法；复合命题的真假；正弦函数的对称性．【分析】判定P是否正确，判定q是否正确，即可判定p∧q，p∨q，¬p，（¬p）∨q中正确选项．【解答】解：因为p：函数f（x）=sinxcosx=sin2x，所以它的最小正周期为π，是正确的命题；命题q：函数=cosx，它的图象关于原点对称，是不正确的命题，所以p∧q，不正确；p∨q，正确；¬p，不正确；（¬p）∨q不正确；故选B．3．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m⊂α则n∥αB．若m∥α，a∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β则α∥βD．若m⊥β，α⊥β，则m∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于选项A，若m∥n，m⊂α则n∥α，可通过线面平行的判定定理进行判断对于选项B，可通过线面平行的性质定理进行判断；对于选项C，可通过面面平行的判定条件进行判断；对于选项D，可通过线面位置关系判断．【解答】解：A不正确，m∥n，m⊂α，由于n可能在α内，故推不出n∥α；B不正确，m∥α，α∩β=n，m不一定在β内，故不能推出m∥n；C正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；D不正确，m⊥β，α⊥β，由于m⊂α的可能性存在，故m∥α不正确．故选C．4．当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x和g（x）=ax+a的图象只可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据指数函数图象和性质，以及一次函数的图象和性质，即可得到答案【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x为增函数，且过定点（0，1），g（x）=ax+a图象过一二三象限，且过点（0，a），当0＜a＜1时，函数f（x）=a x为减函数，且过定点（0，1），g（x）=ax+a图象过一二三象限，且过点（0，a），故只有D符合，故选：D5．设，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】三点共线；基本不等式．【分析】根据题意首先求出和的坐标，再根据两个向量共线的性质得到2a+b=1，然后结合所求的式子的结构特征利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：由题意可得：=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），所以=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2）．又∵A、B、C三点共线，∴∥，从而（a﹣1 ）×2﹣1×（﹣b﹣1）=0，∴可得2a+b=1．又∵a＞0，b＞0∴+=（+）•（2a+b）=4+（）≥4+4=8故+的最小值是8．故选D．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A ．π+B ．2C ．2πD ．【考点】由三视图还原实物图；组合几何体的面积、体积问题．【分析】由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和． 【解答】解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知 V 圆柱=π×12×1=π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为故棱锥高为由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是底面三角形的面积是=1故=故该几何体的体积是π+故选A ．7．函数f （x ）=x 3﹣ax 在R 上增函数的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ≤0 B ．a ＜0 C ．a ≥0 D ．a ＞0 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据导数法确定函数单调性的方法和步骤，我们易求出函数f （x ）=x 3﹣ax 在R 上增函数时a 的取值范围，然后根据“谁小谁充分，谁大认谁必要”的原则，结合题目中的四个答案，即可得到结论．【解答】解：∵函数f （x ）=x 3﹣ax 的导函数为 f'（x ）=3x 2﹣a ，当a ＜0时，f'（x ）＞0恒成立，则函数f （x ）=x 3﹣ax 在R 上增函数 但函数f （x ）=x 3﹣ax 在R 上增函数时， f'（x ）≥0恒成立，故a ≤0 故选A ．8．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的三角形法则，把分别用表示出来，代替即可求得结果．【解答】解：，，且，∴===故选B．9．函数f（x）=log3（x﹣2）﹣sin2x的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．【分析】在同一坐标系内画出函数y=sin2x与y=log3（x﹣2）的图象，利用图象得结论．【解答】解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=sin2x与y=log3（x﹣2）的图象，由图得交点3个故函数f（x）=log3（x﹣2）﹣sin2x的零点个数是3．故选C．10．等差数列{a n}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）A．1 B． C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】先根据等差数列的通项公式计算出a n=a1+（n﹣1）d与a2n=a1+（2n﹣1）d，进而表达出，再结合题中的条件以及分式的特征可得答案．【解答】解：由题意可得：因为数列{a n}是等差数列，所以设数列{a n}的通项公式为：a n=a1+（n﹣1）d，则a2n=a1+（2n﹣1）d，所以．因为是一个与n无关的常数，所以a1﹣d=0或d=0，所以可能是1或．故选B．11．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）【考点】数列的函数特性．【分析】根据题意，首先可得a n通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案．【解答】解：根据题意，a n=f（n）=；要使{a n}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；故选：C．12．已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0判断函数f（x）为增函数，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）为增函数，∵f（x+1）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）关于x=1对称，即f（1）=0，则不等式f（1﹣x）＜0等价为不等式f（1﹣x）＜f（1），即1﹣x＜1，解得x＞0，即不等式f（1﹣x）＜0的解集为（0，+∞），故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．变量x，y满足约束条件，当目标函数z=2x﹣y取得最大值时，其最优解为（2，0）．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最优解．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过A（2，0）时，z最大，故答案为：（2，0）．14．过点P（1，2）的直线交圆（x﹣2）2+y2=9于两点A、B，若点P是弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程是x﹣2y+3=0．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】利用圆心和弦的中点的连线与弦垂直，可求出弦AB的斜率，用点斜式写出弦AB所在直线的方程，并化为一般式．【解答】解：点P（1，2）在圆C（x﹣2）2+y2=9的内部，∵点P是弦AB的中点，∴CP⊥AB，∴弦AB的斜率k===，∴弦AB所在直线的方程是y﹣2=（x﹣1），即：x﹣2y+3=0，故答案为：x﹣2y+3=0．15．已知函数的最大值是﹣1．【考点】定积分；三角函数的最值．【分析】利用微积分基本定理求出f（x）；然后根据辅助角公式求出函数的最值即可．【解答】解：f（x）=∫0x（cost﹣sint）dt=（sint+cost）|0x=sinx+cosx﹣1，∴f（x）=sinx+cosx﹣1=sin（x+）﹣1，∴f（x）的最大值是﹣1故答案为：﹣1．16．已知函数y=f（x）的图象是开口向下的抛物线，且对任意x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），若向量，则满足不等式的实数m的取值范围是．【考点】二次函数的性质；数量积的坐标表达式．【分析】先从条件“对任意x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x）”得到对称轴，然后结合图象把不等式中的f去掉，得不等式，不等式利用绝对值的定义去掉绝对值符号，把常数写成同底的对数，根据对数函数的单调性求解．【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），∴函数y=f（x）的图象是以x=1为对称轴的开口向下的抛物线，∵•=+2，∴|+2﹣1|＞|﹣1﹣1|，∴|+1|＞2，∴＞1或＜﹣3，∴＞或＜，∴0＜m＜或m＞8．故答案为（0，）∪（8，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的公差d＞0，其前n项和为S n，若S3=12，且2a1，a2，1+a3成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，且数列{b n}的前n项和为T n，证明：．【考点】数列的求和．【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n=（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）依题意，得，即，得d2+d﹣12=0．∵d＞0，∴d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）证明：∵，前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=，由T n递增，可得T n≥T1=，又T n＜，则．18．已知函数，其中，．若函数f（x）相邻两对称轴的距离等于．（1）求ω的值；并求函数f（x）在区间的值域；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若（b＞c），求边b、c的长．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）首先，结合平面向量数量积的坐标运算，化简函数f（x）的解析式，然后，结合周期公式，确定ω的值再结合x的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其值域．（2）根据（1），先确定A的值，然后，结合余弦定理，求解边b，c的长．【解答】解：（1），，∵，∴，可得：sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴f（x）的值域是[﹣1，2]．（2）∵，∴．∵0＜A＜π，∴，∴．∴=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，∵b+c=3，①b＞c，a=，可得：bc=2，②∴解得：b=2，c=1．故b的长为2，c的长为1．19．如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证AE⊥平面BCE；（2）设，是否存在λ，使二面角B﹣AC﹣E的余弦值为？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由BF⊥平面ACE，利用线面垂直的性质定理可得：BF⊥AE．利用正方形的性质可得：BC⊥AB，再利用面面垂直的性质定理可得：CB⊥AE．即可证明AE⊥平面BCE．（2）通过建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可得出二面角，进而解出λ．【解答】（1）证明：∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE．∵平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，BC⊥AB，∴CB⊥平面ABE．∴CB⊥AE．又BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．（2）解：以A为原点，垂直于平面ABCD的直线AG为x轴，AB所在直线为y轴，AD为z轴，如图所示建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（0，2，0），C（0，2，2）．假设存在λ，使二面角B﹣AC﹣E的余弦值为．设E（a，b，0），则，设平面AEC的一个法向量，则，即，解得令y=a，得是平面EAC的一个法向量．又平面BAC的一个法向量为，由，化简得a2=b2①，又∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，∴，即a2+b（b﹣2）=0②，联立①②，解得b=0（舍），b=1．由，，∴AE=BE．∴当λ=1时，二面角B﹣AC﹣E的余弦值为．20．已知F1和F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在该椭圆上，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点A（2，0）作直线l交椭圆于不同的两点B，C，证明：不存在直线l，使得|BF2|=|CF2|．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）通过点P（﹣1，）在该椭圆上且PF1⊥x轴可知焦点坐标，利用椭圆定义可知a=，进而计算可得结论；（2）利用反证法证明，假设满足题意的直线l方程为x=my+2，与椭圆方程联立，结合韦达定理及两点间距离公式化简可知当|BF2|=|CF2|时有m（4+3m2）=0，从而得出结论．【解答】（1）解：∵点P（﹣1，）在该椭圆上，且PF1⊥x轴，∴椭圆方程焦点为（﹣1，0），（1，0），2a=|PF1|+|PF2|=+=2，即a=，又∵b2=a2﹣c2=2﹣1=1，∴椭圆的标准方程为： +y2=1；（2）证明：假设过点A（2，0）与椭圆相交的直线l的方程为：x=my+2，并与椭圆方程联立，消去x整理得：（2+m2）y2+4my+2=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，∵|BF2|=|CF2|，F2（1，0），∴+=+，整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）=（y2﹣y1）（y2+y1），化简得：（1+m2）（y1+y2）+2m=0，∴（1+m2）•+2m=0，∴m（4+3m2）=0，解得：m=0，而此时显然|BF2|≠|CF2|，矛盾，故不存在直线l，使得|BF2|=|CF2|．21．已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x3﹣3ax（a∈R）相切．（I）求实数a的取值范围；（II）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于．试证明你的结论．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程；反证法与放缩法．【分析】（I）由直线x+y+m=0得直线斜率为﹣1，直线x+y+m=0不与曲线f（x）相切知曲线f （x）上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，得实数a的取值范围；（II）转化问题，等价于当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|max≥，设g（x）=|f（x）|，观察出g（x）在[﹣1，1]上是偶函数，只需求g（x）在[0，1]上的最大值，求函数单调性时，因为含有参数，所以要对参数进行讨论，分为两类求解，在每一类都可证明g （x ）max ≥，问题得证．【解答】解：（I ）f ′（x ）=3x 2﹣3a ∈[﹣3a ，+∞），∵对任意的实数m ，直线x +y +m=0都不与曲线f （x ）=x 3﹣3ax （a ∈R ）相切，∴﹣1∉[﹣3a ，+∞），∴﹣3a ＞﹣1，∴实数a 的取值范围为a ＜；（II ）存在，证明：问题等价于当x ∈[﹣1，1]时，|f （x ）|max ≥， 设g （x ）=|f （x ）|，则g （x ）在[﹣1，1]上是偶函数，故只要证明当x ∈[0，1]时，，①当a ≤0时，f ′（x ）=3x 2﹣3a ≥0，f （x ）在[0，1]上单调递增，且f （0）=0，g （x ）=f （x ），g （x ）max =f （1）=1﹣3a ＞1＞；②当0＜a ＜时，f ′（x ）=3x 2﹣3a=3（x +）（x ﹣），令f ′（x ）＜0，得0＜x ＜，令f ′（x ）＞0得＜x ＜1，∴f （x ）在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，注意到，且＜＜1，∴x ∈（0，）时，g （x ）=﹣f （x ），x ∈（，1]时，g （x ）=f （x ），∴g （x ）max =max {f （1），﹣f （）}，由及，解得，此时成立．∴．由及，解得，此时成立．∴．∴在x ∈[﹣1，1]上至少存在一个x 0，使得|f （x 0）|≥成立，即当x ∈[﹣1，1]时，函数y=f （x ）的图象上至少存在一点P ，使得点P 到x 轴的距离不小于．选考题（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程22．已知直线l 的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程是（t 为参数），直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】先由极坐标方程求出直角坐标方程，然后转化为参数方程吗，利用参数的应用建立方程组进行求解即可．【解答】解：由直线l的极坐标方程是，可得由直线l的直角坐标方程是，化为参数方程为（s为参数）；曲线（t为参数）可化为x2﹣y2=4．将直线的参数方程代入x2﹣y2=4，得．设A，B所对应的参数为s1，s2，，s1s2=10，所以．选修4-5：不等式选讲23．已知正实数a，b，c满足，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】a，b，c是正实数，利用基本不等式可得++≥3，a++≥3，相乘即可证明结论．【解答】证明：∵a，b，c是正实数，∴++≥3，a++≥3，∴（++）（a++）≥3•3=9，∵，∴．当且仅当a=3，b=6，c=9时，等号成立．2016年9月15日。

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[推荐学习]2016届高三数学上学期12月月考试题 理

[推荐学习]2016届高三数学上学期12月月考试题 理

山西大学附中2015—2016学年高三第一学期12月月考数学试题（理）考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）1．若bi i ai -=+1)21(，其中R b a ∈,，i 是虚数单位，则=+||bi a （ ）A.i +21542．已知{}2R y y x M =∈=，{}22R 2x x y N =∈+=，则M N =（ ）A ．()(){}1,1,1,1- B ．{}1 C ．[]0,1 D ．⎡⎣3．下列说法中正确的是（ ）A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若:p 0R x ∃∈，20010x x -->，则:p ⌝R x ∀∈，210x x --< C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠4．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23cos cos2tan 210πααα⎛⎫++== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．12 B ．13 C ．14D ．155．执行如图所示的程序框图，输出20152016s =，那么判断框内应填（ ）A ．2015?k ≤B ．2016?k ≤C ．2015?k ≥D ．2016?k ≥6．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．32BC ．12D7 . 已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则32x y x +++的取值范围是（ ）（A ）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）45,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知()621x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（R a ∈）的展开式中常数项为5，则该展开式中2x 的系数（ ）A ．252-B ．5-C ．252D ．5 9．已知函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，且当0x >时，()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为（ ）A．]35,34()32,31[⋃ C ．)32,31[]31,32(⋃--D ．随a 的值而变化10．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．π5B ．π2C ．π20D ．π411. 如图，1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2F ∆AB 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4 BC12．等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足150S >，160S <，则11S a ，22S a ，... ，1515S a 中最大的项为（ ） A ．66S a B ．77S a C ．99S a D ．88S a二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．等比数列{}n a 的前n 项和=2+2nn S a a ⋅-，则a =_______.14.如图，在边长为1的正方形C OAB 中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为 ．15．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1,AE AF ⋅=，则λ的值为16．已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为三.解答题(本大题共6小题,共70分.)17．（本小题满分12分）已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值；（2）在△ABC 中，AB=1，()1f C =，且△ABC ，求sinA+sinB 的值．18．（理）（本小题满分12分）如图，矩形ABEF 所在的平面与等边ABC ∆所在的平面垂直，2,1AB AF ==，O 为AB 的中点．（1）求证：OE FC ⊥；（2）求二面角F CE B --的余弦值．19. 已知一个袋子中有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）每次从袋中取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅱ）每次从袋中取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的数学期望()E η．20．（本小题满分12O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△2AF B 的面积为求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．21．（本小题满分12分）设函数()22ln f x x x a x =-+（1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处切的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点()1212x x x x <、，①求实数a 的范围；②证明：()123ln 22f x x >--请考生在第22、23二题中任选一题作答(在答题卡相应位置填涂)，如果多做，则按所做的第一题记分 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0ϕπ≤≤），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ=OM C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．（本题小满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+． （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 山西大学附中2015—2016学年高三第一学期12月月考数学试题（理）考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）1．若bi i ai -=+1)21(，其中R b a ∈,，i 是虚数单位，则=+||bi a (C)A.i+21542．已知{}2R y y x M =∈=，{}22R 2x xy N =∈+=，则MN =（ D ）A ．()(){}1,1,1,1-B ．{}1C ．[]0,1 D．⎡⎣3．下列说法中正确的是（ D ） A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若:p 0R x ∃∈，2010x x -->，则:p ⌝R x ∀∈，210x x --<C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠4．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23c o s c o s 2t a n 210πααα⎛⎫++==⎪⎝⎭，则（ B ）A ．12B ．13C ．14 D ．155．执行如图所示的程序框图，输出20152016s =，那么判断框内应填（A ）A ．2015?k ≤B ．2016?k ≤C ．2015?k ≥D ．2016?k ≥6．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ B ）A ．32 B．C ．12 D．7 . 已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则32x y x +++的取值范围是（ B ）（A ）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）45,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知()621x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（R a ∈）的展开式中常数项为5，则该展开式中2x 的系数（ A ）A ．252-B ．5-C ．252 D ．5 8(文).对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a =+，则a 的值等于（ B ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.59．已知函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，且当0x >时，()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为（ B ）A ．45[,)33B ．]35,34()32,31[⋃C ．)32,31[]31,32(⋃-- D ．随a 的值而变化 10．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（ A ）A ．π5B ．π2C ．π20D ．π411. 如图，1F 、2F 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B．若2F ∆AB 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）A ．4 BCD12．等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足150S >，160S <， 则11S a ，22S a ，... ，1515S a 中最大的项为（ D ） A ．66S a B ．77S a C ．99S a D ．88S a二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．等比数列{}n a 的前n 项和=2+2nn S a a ⋅-，则a =__1_____. 14.1C OAB 中任取一点，则该点落14.（文） 记集合(){}22,|16A x y x y =+≤，集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ．若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为___ 324ππ+ _．15．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1,AE AF ⋅=，则λ的值为 216．已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为 ()(),11,-∞-⋃+∞三.解答题(本大题共6小题,共70分.)17．（本小题满分12分）已知函数)()2cos sin 222x x xf x =-． （1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB=1，()1f C ，且△ABC 的面积为，求sinA+sinB 的值．解：（1）2()2sin cos222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos6x +由()π2cos 16x ++，得()π1cos 62x +=，于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． （2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =．，所以1πsin 26ab =，于是ab = ①．在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b ．由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b += ②由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或2.a b ⎧⎪⎨=⎪⎩ 于是2a b +=+．由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=+．18．(文) 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，∠ADC =0120，11AA AB ==，点1O O 、分别是上下底菱形对角线的交点． （1）求证：1A O ∥平面11CB D ； （2）求点O 到平面11CB D 的距离．A1A 1C （第18题图）又∵1AO⊄平面11CB D ，1O C ⊂平面11CB D ， ∴1A O ∥平面11CB D ． （2）法一：等积变换．设点O 到平面11CB D 的距离为h ． ∵1D D ⊥平面ABCD ， ∴1D D CO ⊥． ∵AC 、BD 为菱形ABCD 的对角线， ∴CO ⊥BD ． ∵1D DBD D =，∴CO ⊥平面11BB D D ． 在菱形ABCD 中，BC =1，∠BCD =060，CO =．∵111B D =，11OB OD ==， ∴△11OB D 的面积1112OB D S=．∴三棱锥11C OB D -的体积1113OB D V SCO =⋅=．在△11CB D 中，11111CB CD B D ===，△11CB D 的面积11CB D S．由111133CB D V Sh h =⋅==，得h =． 因此，点O 到平面11CB D的距离为．法二、作垂线．∵1AA ⊥平面1111A B C D ， ∴111AA B D ⊥．∵11AC、11B D 为菱形1111A B C D 的对角线， ∴1111B D AC ⊥． ∵1111AA AC A =， ∴11B D ⊥平面11AA C C ．∴平面11CB D ⊥平面11AA C C ．在平面11AA C C 内，作OH ⊥1CO ，H 为垂足，则OH ⊥平面11CB D ，线段OH 的长为点O 到平面11CB D 的距离.在矩形11AA C C 中，∠OCH =∠11CO C，1111sin CC CO C CO ∠==，sin OH OCH OC ∠===，∴=，OH =． 因此，点O 到平面11CB D的距离为．18．（理）（本小题满分12分）如图，矩形ABEF 所在的平面与等边ABC ∆所在的平面垂直，2,1A B A F ==，O 为AB 的中点．（1）求证：OE FC ⊥；（2）求二面角F CE B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）14-【解析】试题分析：第一问根据等边三角形，确定出OC AB ⊥，根据面面垂直的性质，得出OC ⊥平面ABEF ，从而得出OC OE ⊥，根据矩形的边长的关系，得出OF OE ⊥，从而根据线面垂直的判定定理，得出OE ⊥平面OFC ，从而得证OE FC ⊥，第二问应用平面的法向量求得二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：连接OC ,OF ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥． 又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ， 故OC ⊥平面ABEF ．因为OE ⊂面ABEF ，于是OC OE ⊥．又矩形ABEF ，22AB AF ==，所以OF OE ⊥． 又因为OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， 所以OE FC ⊥．（2）由（1）得，22AB AF ==，取EF 的中点D ，以O 为原点，,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系。

福建省龙岩市2016届高三数学一模试卷 理(含解析)

福建省龙岩市2016届高三数学一模试卷 理(含解析)

2016年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题p：∃x∈（0，+∞），≥log2x，则￢p为（）A．∀x∈（0，+∞），≥log2xB．∀x∈（0，+∞），＜log2xC．∃x∈（0，+∞），=log2xD．∃x∈（0，+∞），＜log2x2．复数（i为复数单位）的共轭复数为（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i3．若函数f（x）=，则f（f（））=（）A．﹣1B．0C．1D．34．已知{a n}是公差为的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列，则S5=（）A． B．35C． D．255．若sin2θ=，则tanθ+=（）A． B． C．2D．36．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n的值为（）A．3B．4C．5D．67．如图，正三棱锥A﹣BCD的底面与正四面体E﹣BCD的侧面BCD重合，连接AE，则异面直线AE与CD所成角的大小为（）A ．30°B．45°C．60°D．90°8．若A ，B ，C 为圆O ：x 2+y 2=1上的三点，且AB=1，BC=2，则•=（ ）A ．0B ．C ．D ． 9．安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为（ ）A ．72B ．96C ．120D ．15610．设实数x 、y 满足，则z=|x ﹣4y+1|的最大值和最小值之和是（ ）A ．2B ．3C ．9D ．1111．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n 2+a n （n ∈N *），设c n =（﹣1）n ，则数列{c n }的前2016项的和为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣12．已知A ，B 分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，P 是双曲线C 右支上位于第一象限的动点，设PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2的取值范围为（ ）A ．（，+∞）B ．（，+∞）C ．[，+∞）D ．[，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．倾斜角为45°的直线l 经过抛物线y 2=8x 的焦点F ，且l 与抛物线交于A ，B 两点，则||•||的值为 ．14．（x+y ）（x ﹣y ）8的展开式中，x 2y 7的系数为 ．15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为 ．16．若函数f （x ）=2m （1nx+x ）﹣x 2有唯一零点，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分。

2016届福建省厦门一中高三(上)12月月考数学(理)试题

2016届福建省厦门一中高三(上)12月月考数学(理)试题

福建省厦门第一中学2015—2016学年度第一学期12月月考高三年理科数学试卷2015.12.14满分为150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．已知集合{}ln(12)A x y x ==-，{}2B x x x =≤，全集U A B = ，则()UC A B = （ ）A ．(,0)-∞B ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦2．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为 （ ） A ．32- B ．12- C ．12 D ．323．若非零向量,a b 满足(4)a b a -⊥ ，()b a b -⊥，则a 与b 的夹角是 （ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．56π4．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点 P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A . 220x -280y =1B . 280x -220y =1C . 25x -220y =1 D . 220x -25y =15．已知()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则 （ ）A ．0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<-B ．0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-C ．0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-<D ．0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-6．已知命题:p “0,31x x ∀>>”的否定是“0,31xx ∃≤≤”，命题:q “2a <-”是“函数()3f x a x =+在区间[]1,2-上存在零点”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 （ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝7．把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长 AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的大致图像为 （ ）侧视图8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图,在 鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE ⊥于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ AB ．2CD 9．如图，是函数)2,0(),2sin()(πϕϕ≤>+=A x A x f []b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有2)(21=+x x f ，则 （ ）A ．()f x 在)12,125(ππ-上是增函数 B ．()f x 在)12,125(ππ-上是减函数 C ． ()f x 在)8,83(ππ-上是增函数 D ．()f x 在)8,83(ππ-上是减函数 10.已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，椭圆上两点,A B 关于原点对称，,M N 分别是线段,AFBF 的中点，且以MN 为直径的圆过原点，直线AB 的斜率k 满足03k <<，则椭圆的离心率e 的取值范围是 （）A ．⎛⎝⎭ B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．()1 D ．)1,1 11．已知函数()()()22log 11,11,x x kf x x x k x a-+-≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2， 则实数a 的取值范围是 （ A ．[]1,2 B ．(]1,2 C ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．252π C ．12π D ．414π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13. 已知,x y 满足不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为 ▲ .14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，*2()n n S a n n N =+∈，则n a = ▲ .15. 在平面直角坐标系中，圆心坐标均为()2,2的圆Ⅰ、圆Ⅱ、圆Ⅲ半径分别为4,2,1，直线334y x =+与圆Ⅰ交于点,A B ，点C 在圆Ⅰ上，满足线段CA 和线段CB 与圆Ⅱ均有 公共点，点P 是圆Ⅲ上任意一点，则△APB 与△APC 面积之比的最大值为 ▲ .16. 点P 在曲线xy e -=-上，点Q 在曲线ln y x =上，线段PQ 的中点为M ，O 是坐标原点，则线段OM 长的最小值是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17. （本小题10分）设函数1321)(+--=x x x f ，()f x 的最大值为M ，正数,a b 满足3311Mab a b+=． (Ⅰ)求M ；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得66a b +=18．（本小题12分）设ABC ∆的,,A B C ∠∠∠所对边分别为cb a ,,,满足c =且ABC ∆的面积222=4b c a S +-.(Ⅰ)求C ∠；(Ⅱ) 设ABC ∆内一点P 满足,AP AC BP CP ==，求PAC ∠的大小.19．（本小题12分）如图，四棱锥S ABCD -中， //AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====.(Ⅰ)证明：SD ⊥平面SAB ；(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值.20. （本小题12分）已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为2d 的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =．(Ⅰ)已知15815S a =，且对任意*n N ∈，有1n n a a +<恒成立，求证：数列{}n a 是等差数列； (Ⅱ)若123d d =（10d ≠），且存在正整数,m n （m n ≠），使得m n a a =． 求当1d 最大时，数列{}n a 的通项公式．21．（本小题12分）已知过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）焦点F 的直线l 倾斜角为60o且与抛物线E 交于点M ，N ，△OMN 的面积为4． (Ⅰ)求抛物线E 的方程；(Ⅱ)设P 是直线2y =-上的一个动点，过P 作抛物线E 的切线，切点分别为 A 、B ，直线AB 与直线OP 、y 轴的交点分别为Q 、R ，C 、D 是以R 为圆心RQ 为半径的圆上任意两点，求CPD ∠最大时点P 的坐标．22．（本小题12分）已知曲线()1x xaxf x be e -=++在点(0,(0))f 处的切线方程为220x y +-=. (Ⅰ)求a 、b 的值；(Ⅱ)如果当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-，求k 的取值范围.厦门一中2016届高三（上）12月月考 2015.12.14理科数学参考答案一、选择题： CABDA CDBCB AD 二、填空题：13．1-； 14．12n-； 15．32； 16．2三、解答题：17.解：(Ⅰ)当1x <-时，()4f x x =+单调递增，所以()3f x <；当112x -≤≤时，()52f x x =--单调递减，所以()max ()13f x f =-=；当12x >时，()4f x x =--单调递减，所以19()22f x f ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭；所以()f x 的最大值3M =(Ⅱ)假设存在正数,a b，使得66ab +=66332a b a b += 所以552212a b ≤；又由于33113Mab ab a b +==≥，所以552223a b ≥与552212ab ≤矛盾，所以假设不成立，即不存在,a b，使得66a b += 18.解： (Ⅰ)由余弦定理得2221=cos 42b c a S bc A +-=，又因为1sin 2S bc A =， 所以sin cos A A =，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=， 由正弦定理得sin sin c aC A=，因为c =所以sin 1C A ==， 因为()0,C π∈，所以2C π=；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,42A C ππ==所以4B AC A ππ=--==，所以b a = 设PAC θ∠=，因为,AP AC =，所以,2ACP APC πθ-∠=∠= 因为2C π=，所以,22BCP ACP πθ∠=-∠=因为在APC ∆中,AP AC = 所以2sin 2sin 2sin 222PC AC b a θθθ===，因为在BPC ∆中,BP CP = 所以2cos 2cos 2BC PC PCB PC a θ=∠==，即2cos 2a PC θ=，所以2sin 22cos 2a a θθ=，即12sin cos 222θθ=，即1sin 2θ=因为0,4PAC πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以6PAC πθ∠==综上可知，(Ⅰ) 2C π=；(Ⅱ) 6PAC πθ∠==19.解：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，SE =由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,,DE SE ⊂平面SDE ∴AB ⊥平面SDE ,因为,DE SE ⊂平面SDE 所以AB SD ⊥. 又1SD =,故222ED SE SD =+,所以SD SE ⊥. 又因为AB SE E =I ，,AB SE ⊂平面SAB所以SD ⊥平面SAB .另解:由已知易求得1,2SD AD SA ===,于是222SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB .(Ⅱ)以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B .又设(,,)S x y z ,则0,0,x y z >>(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r, 由||||AS BS =uu r u u r=故x =由||1DS =u u u r 得221y z +=,又由||2BS =得222(2)4x y z +-+=,即22410y z y +-+=,故1,2y z==于是1(1,2S 设平面SBC 的法向量(,,)n m n p =r ,则,,0,n BS n CB n BS n CB ⊥⊥⋅=⋅r u u r r u u r r u u r ru u r.又3(1,(0,2,0)2BS CB =-=uur uu r ,故30,220m n p n ⎧-=⎪⎨⎪=⎩取2p =得(n =r,设AB 与平面SBC 所成角为θ，因为(2,0,0),AB =-u u ur 所以sin cos ,7||||AB a AB n AB a θ⋅=<>==⋅uu u r ruu u r r uu u rr故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为7.20. 解：当n 为奇数时，设21n k =-，则()1111112n n a a k d d -=+-=+ 当n 为偶数时，设2n k =，则()22212(1)2n na a k d d =+-=+-(Ⅰ)当n 为奇数时，因为1n n a a +<恒成立，即121112(1)22n n d d -++<+-， 12(1)()20n d d --+>恒成立，120d d ∴-≤，当n 为偶数时，因为1n n a a +<恒成立，即212(1)122n nd d +-<+，212()102nd d d -+-<恒成立，21d d ∴-0≤且21d >． 于是有 12d d =． 15815S a =Q ，1228776814304522d d d ⨯⨯∴+++=+， 12d d ∴=2=，当n 为奇数时1112n n a d n -=+=，当n 为偶数时22(1)2n na d n =+-=， 所以对任意正整数n 都有n a n =，所以11n n a a +-=，数列{}n a 是等差数列．(Ⅱ)解：若123d d =（10d ≠），且存在正整数,m n （m n ≠），使得m n a a =，由题意得,在,m n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为mn a a =，所以12112(1)22m n d d -+=+-，因为123d d =，所以1631d m n =--， 因为m 为奇数，n 为偶数，所以31m n --的最小正值为2，此时123,1d d ==,所以数列{}n a 的通项公式为31,2211,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数．21. 解：（1）依题意，0,p F ⎛⎫⎪⎝，所以直线l 的方程为2p y =+；由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p =+=>+==-△，解)1212127,8y y x x p p MN y y p p +=++==++=，O 到MN 的距离21,42OMN p d S MN d p ===== ，所以2p =，抛物线方程为24x y =21214,42OMN p S OF x x p ===-==解法三：（略）运用定义及图形（2）设(),2P t -，221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24E x y =：得24x y =，'2x y =，则切线PA 方程为()211142x x y x x -=- 即21111242xx x y x x y =-=-，同理，切线PB 方程为112x y x y =-，把P 代入可得11222=222x t y x t y⎧--⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩故直线AB 的方程为22x t y -=-即240tx y -+=所以()0,2R ，由2402tx y y x t -+=⎧⎪-⎨=⎪⎩ 得224484Q Q t x t y t -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以r RQ =====，当,PC PD 与圆R 相切时角CPD ∠最大，此时1sin 23CPD r PR ∠==≤，等号当t =±时成立所以当()2P ±-时， 所求的角CPD ∠最大.综上，当CPD ∠最大时点P 的坐标为()2±- 解法二:同解法一得042:=+-y tx AB ，注意到AB OP ⊥2122||2||||tan||2||8CPD RQ t PQ d RQ dPQ t∠∴====∴==≤=+又当且仅当28t=即t=±22.解：(Ⅰ)()()21'()1x xxxa e axef x bee-+-=-+，依题意(0)1,1'(0)2ff=⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,122bab=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a b==，即a、b的值均为1；(Ⅱ)由(Ⅰ)得1a b==，代入()1xxxf x kee->+-得11x xx xx xe kee e--+>++-即()221111xx x xx x xk ee e e-->-=-+-，即()21x xxke e-->-，因为当0x>时0x xe e-->，当0x<时0x xe e--<，所以2x xxe e->-，所以10k->即()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，设()2,1x xm g x e e mxk-==---则0m>又()'x xg x e e m-=+-，（1）当02m<≤即0k≤时，()'20x xg x e e m m-=+-≥-≥恒成立，所以()g x在R上单调递增，所以①当0x>时()()00g x g>=，又因为此时0x xe e-->，10k->，所以()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，即()1xxxf x kee->+-成立，②当0x<时()()00g x g<=，又因为此时0x xe e--<，10k->，所以()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，即()1xxxf x kee->+-成立，因此，当0k≤时，当0x≠时，都有()1xxxf x kee->+-成立，符合题意；（2）当2m>即01k<<时，由()'0x xg x e e m-=+-=得12ln ln22m mx x==，因为2m>，所以2120,0x x x>=-<，当()20,x x∈时()'0g x<，所以()g x在()20,x上递减，所以()()00g x g<=，又因为此时0x xe e-->，10k->，所以()121x xx xke e xe e k---⎛⎫--<⎪--⎝⎭，即()1xxxf x kee-<+-与()1xxxf x kee->+-矛盾，所以不符合题意；综上可知，k的取值范围是0k≤。

2016届福建省龙岩市上杭县第一中学高三12月月考文科数学试题(word版)

2016届福建省龙岩市上杭县第一中学高三12月月考文科数学试题(word版)

2016届福建省龙岩市上杭县第一中学高三12月月考文科数学试题（word 版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|3}A x x =<，2{|log 2}B x x =<，则A B = （ ） A ．(1,3)- B ．(0,4) C ．(0,3) D ．(1,4)- 2．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“220x x --=”的必要不充分条件C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题D ．“t a n 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件3．函数2()ln(1)f x x =+的图象大致是（ ）4．函数y =）A ．[]1,2B ．[1,2)C ．1(,1]2 D ．1[,1]25．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．1C ．23 D ．136．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题，其中正确的是（ ） ①l m αβ⇒⊥ ；②l m αβ⊥⇒ ；③l m αβ⇒⊥ ；④l m αβ⊥⇒ A ．②④ B ．②③④ C ．①③ D ．①②③7．已知直线1:210l ax y ++=与直线2:(3)0l a x y a --+=，若12l l ⊥，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．1或28．直线:40l x -=与圆22:4C x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定10．已知点(2,1)A -，(4,2)B ，点P 在x 轴上，当PA PB ⋅取最小值时，P 点的坐标是（ ）A ．(2,0)B ．(4,0)C ．10(,0)3D ．(3,0) 11．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，31a =，则10a =（ ） A ．5 B ．-1 C ．0 D ．112．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体A BCD -的内切球体积为正视图侧视图俯视图`V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ） A ．14 B ．18 C ．116 D ．127第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．复数4312ii++的虚部为 ． 14．已知实数,x y 满足约束条件203501x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则212x y z +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值时为 ．15．若函数2()(1)3f x kx k x =+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ． 16．若函数()ln a f x x x =-在[]1,e 上的最小值为32，则实数a 的值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3()n n n b a n N *=⋅∈，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象．在△ABC 中，角,,C A B 的对边分别为,,a b c ，若12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2,4a b c =+=，求△ABC 的面积．19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,4)A ，离心率为35．（1）求椭圆C 的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．20．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 满足AD BC ，12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将△BAE 沿着AE 翻折成△1B AE ，使面1B AE ⊥面AECD ，,F G 分别为1,B D AE 的中点．（1）求三棱锥1E ACB -的体积； （2）证明：1B E 平面ACF ； （3）证明：平面1B GD ⊥平面1B DC ．21．（本小题满分12分）已知函数32()ln(21)2()3x f x ax x ax a R =++--∈． （1）若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；（2）若()y f x =在[3,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，函数3(1)(1)3x b y f x x-=---有零点，求实数b 的最大值． CABDEA BCDEGF第22—23题为选考题 22．（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的坐标方程是3πθ=，且直线l 圆C 交于,A B 两点，试求弦AB 的长．23．已知函数()|21||23|f x x x =++- （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()|1|f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围．参考答案一、CCACC CDBBD DD二、13．1- 14．8 15．(,0]-∞ 16．三、17．（1）∵12a =，12312a a a ++=，∴13312a d +=，即2d =．∴2(1)22n a n n =+-⋅=．（2）由已知：23n n b n =⋅ ∵2323436323n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ① 2341323436323n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ②①-②得23116(13)223232323232313n nn n n S n n ++--=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅=-⋅-∴11133313()3222n n n n S n n +++-=+⋅=+-．18．（1）2()cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==． ()()2sin 2()2sin(2)2cos 23362g x f x x x x ππππ⎡⎤=+=+-=+=⎢⎥⎣⎦，19．（1）∵椭圆经过点A ，∴4b =．又∵离心率为35，∴35c a =，∴229125b a -=，∴5a =．∴椭圆方程为：2212516x y +=．依题意可得，直线方程为4(3)5y x =-，并将其代入椭圆方程2212516x y +=， 得2380x x --=．（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为1122(,),(,)x y x y ．则由韦达定理得，123x x +=，所以中点横坐标为12322x x +=，并将其代入直线方程得，65y =-． 故所求中点坐标为36(,)25-．20．（1）由题意知，AD EC 且AD EC =，∴四边形ADCE 为平行四边形， ∴AE DC a ==，∴△ABE 为等边三角形． ∴120AEC ∠=，∴221sin1202AEC S a ∆== 连结1B G ，则1B G AE ⊥．又平面1B AE ⊥平面AECD 交线AE ， ∴1B G ⊥平面AECD且1B G =∴1132111338E ACB B AECAEC a V V B G S --∆==⋅==．（2）连接ED 交AC 于O ，连接OF ，∵AEDC 为菱形，且F 为1B D 的中点， ∴1FO B E ．又1B E ⊄面ACF ，FO ⊂平面ACF ，∴1B E 平面ACF（3）连结GD ，则DG AE ⊥．又1B G AE ⊥，1B G GD G = ，∴AE ⊥平面1B GD ．A BCDEG F又AE DC ，∴DC ⊥平面1B GD ．又DC ⊂平面1B DC ∴平面1B GD ⊥平面1B DC ．21．（1）22()2221af x x x a ax '=+--+∵2x =为()f x 的极值点，∴(2)0f '=，即22041aa a -=+，解得0a =． （2）∵函数()f x 在区间[3,)+∞上为增函数，∴22[2442]()021x ax x ax a f x ax +---'=≥+在区间[3,)+∞上恒成立． ①当0a =时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，∴()f x 在[3,)+∞上为增函数．故0a =符合题意．②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有210ax +>对3x ≥恒成立，故只能0a >，∴222(14)(42)0ax a x a +--+≥在[3,)+∞上恒成立． 令函数22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-， ∵0a >，∴1114a-<，要使()0g x ≥在[3,)+∞上恒成立，只要(3)0g ≥即可，即2(3)4610g a a =-++≥a ≤≤．∵0a >，∴0a <≤．综上所述，a 的取值范围为0a <≤． （3）当12a =-时，函数3(1)(1)3x b y f x x -=---有零点等价于方程3(1)(1)3x bf x x--=+有实根，3(1)(1)3x b f x x--=+可化为2ln (1)(1)bx x x x --+-=．问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在(0,)+∞上有解即求函数23()ln g x x x x x =+-的值域．∵函数2()(ln )g x x x x x =+-， 令函数2()ln (0)h x x x x x =+->，则1(21)(1)()12x x h x x x x+-'=+-=，∴当01x <<时，()0h x '>，从而函数()h x 在(0,1)上为增函数．当1x >时，()0h x '<，从而函数()h x 在(1,)+∞上为减函数，因此()(1)0h x h ≤=．而0x >，∴()0b x h x =⋅≤．因此当1x =时，b 取得最大值0．22．（1）圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）∴普通方程为22(1)4x y -+=，∴圆C 的极坐标方程为：22(cos 1)(sin )4ρθρθ-+=， 整理得22cos 3ρρθ-=． （2）解法1：将3πθ=代入22cos 3ρρθ-=得230ρρ--=．解得12ρρ==12AB ρρ=-= 解法2：直线l的普通方程为y =，圆心C 到直线l的距离2d ==， ∴弦AB的长为：AB = 23．（1）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或1322(21)(23)6x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩， 解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤≤-，即不等式的解集为{1,2}-； （2）∵|21||23||(21)(23)|4x x x x ++-≥+--=，∴|1|4a ->，∴3a <-或5a >．。

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