-第一节-二维随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其分布在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时抽查儿童的身高H 、体重W , 这里, H 和W 是定义在同一个样本空间==}{e S {某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量. 又如, 考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标X 和纵坐标Y . 在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难, 故我们重点讨论二维随机变量.第一节 多维随机变量的分布内容分布图示★ 二维随机变量★ 二维随机变量的分布函数 ★ 例1 ★ 二维离散型随机变量及其概率分布★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 二维连续型随机变量及其概率密度★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 二维均匀分布 ★ 例10 ★ 二维正态分布 ★ 例11★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-1内容要点：一、 二维随机变量定义1 设随机试验的样本空间为}{e S =, S e ∈为样本点，而)(),(e Y Y e X X ==是定义在S 上的两个随机变量, 称),(Y X 为定义在S 上的二维随机变量或二维随机向量.二、 二维随机变量的分布函数定义2 设),(Y X 是二维随机变量, 对任意实数y x ,, 二元函数},{)}{()}{(),(y Y x X P y Y P x X P y x F ≤≤≤≤=记为称为二维随机变量),(Y X 的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数.联合分布函数的性质: （1） ,1),(0≤≤y x F 且对任意固定的,y ,0),(=-∞y F 对任意固定的,0),(,=-∞x F x ;1),(,0),(=+∞+∞=-∞-∞F F(2) ),(y x F 关于x 和y 均为单调非减函数, 即对任意固定的,y 当),,(),(,1212y x F y x F x x ≥> 对任意固定的,x 当);,(),(,1212y x F y x F y y ≥>(3) ),(y x F 关于x 和y 均为右连续, 即 ).0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F三、 二维离散型随机变量及其概率分布定义 3 若二维随机变量),(Y X 只取有限个或可数个值, 则称),(Y X 为二维离散型随机变量.结论：),(Y X 为二维离散型随机变量当且仅当Y X ,均为离散型随机变量.若二维离散型随机变量),(Y X 所有可能的取值为),(j i y x ,,2,1, =j i 则称),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i为二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布(分布律), 或Y X 与的联合概率分布(分布律). 与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定),(Y X 取值于任何区域D 上的概率，即∑∈=∈Dy x ijj i pD Y X P ),(}),{(,特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数:.},{),(,∑≤≤=≤≤=yy x x ijj i p y Y x X P y x F四、二维连续型随机变量及其概率密度定义 设),(Y X 为二维随机变量,),(y x F 为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数),(y x f , 使对任意实数),(y x , 有,),(),(⎰⎰∞-∞-=xydsdt t s f y x F则称),(Y X 为二维连续型随机变量, 并称),(y x f 为),(Y X 的概率密度(密度函数), 或Y X ,的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数),(y x f 的性质:;0),()1(≥y x f ;1),(),()2(=+∞+∞=⎰⎰∞∞-∞∞-F dxdy y x f(3) 设D 是xOy 平面上的区域,点),(Y X 落入D 内的概率为⎰⎰=∈Ddxdy y x f D y x P ),(}),{(特别地, 边缘分布函数},{}{)(+∞<≤=≤=Y x X P x X P x F X ,),(),(⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-∞-+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡==x x ds dt t s f dsdt t s f上式表明: X 是连续型随机变量, 且其密度函数为:,),()(⎰+∞∞-=dy y x f x f X同理, Y 是连续型随机变量, 且其密度函数为:⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(,分别称)(x f X 和)(y f Y 为),(Y X 关于X 和Y 的边缘密度函数. (4) 若),(y x f 在点),(y x 连续, 则有 ).,(),(2y x f yx y x F =∂∂∂进一步, 根据偏导数的定义, 可推得:当y x ∆∆,很小时, 有,),(},{y x y x f y y Y y x x X x P ∆∆≈∆+≤<∆+≤<即, ),(Y X 落在区间],(],(y y y x x x ∆+⨯∆+上的概率近似等于.),(y x y x f ∆∆五、二维均匀分布设G 是平面上的有界区域,其面积为A .若二维随机变量),(Y X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,1),(Gy x Ay x f 则称),(Y X 在G 上服从均匀分布.六、二维正态分布若二维随机变量),(Y X 具有概率密度⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222221121122)1(21221121),(σμσμσμρσμρρσπσy y x x ey x f其中ρσσμμ,,,,2121均为常数,且1||,0,021<>>ρσσ,则称),(Y X 服从参数为ρσσμμ,,,,2121的二维正态分布.注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数ρ，亦即对给定的2121,,,σσμμ，不同的ρ对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于X 和关于Y 的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量),(Y X 的联合分布的.例题选讲：二维随机变量的分布函数例1 设二维随机变量),(y x 的分布函数为+∞<<∞-+∞<<∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x y C x B A y x F ,,3arctan 2arctan ),((1) 试确定常数.,,C B A(2) 求事件}30,2{≤<+∞<<Y X 的概率. 解 (1) 由二维随机变量的分布函数的性质, 可得 ,1)2/)(2/(),(=++=+∞+∞ππC B A F ,0)2/)(2/(),(=+-=+∞-∞ππC B A F ,0)2/)(2/(),(=-+=-∞+∞ππC B A F由这三个等式中的第一个等式知,0≠A ,02/≠+πB ,02/≠+πC 故由第二、三个等式知,02/=-πB ,02/=-πC 于是得,2/π==C B 2/1π=A 故),(Y X 的分布函数为.3arctan 22arctan 21),(2⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x y x F πππ (2) 由(1)式得}30,2{<<∞+<Y X P )0,2()3,2()0,()3,(F F F F +-+∞-+∞=.16/1=二维离散型随机变量及其概率分布例2 (讲义例1) 设随机变量X 在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值，试求),(Y X 的分布律.解 由乘法公式容易求得),(Y X 的分布律. 易知},{j Y i X ==的取值情况是: ,4,3,2,1=i 取不大于i 的正整数, 且}{}|{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======,411⋅=i ,4,3,2,1=i i j ≤于是),(Y X 的分布律为例3 (讲义例2) 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设X 为三次抛掷中正面出现的次数, 而Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求),(Y X 的概率分布及),(Y X 关于Y X ,的边缘分布.解 ),(Y X 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),8/1)2/1(}3,0{3====Y X P,8/3)2/1(3}1,1{3====Y X P,8/3}1,2{===Y X P ,8/1}3,3{===Y X P故),(Y X 的概率分布如右表.从概率分布表不难求得),(Y X 关于Y X ,的边缘分布.,8/1}0{==X P ,8/3}1{==X P,8/3}2{==X P ,8/1}3{==X P ,8/68/38/3}1{=+==Y P ,8/28/18/1}3{=+==Y P从而得右表例4 设二维随机变量的联合概率分布为求,1{≤Y X P 解 }0,1{≥≤Y X P}1,1{}0,1{=-=+=-==Y X P Y X P }1,1{}0,1{==+==+Y X P Y X P .4.002.01.01.0=+++=}0,1{}2,1{)0,0(=-=+-=-==Y X P Y X P F .4.01.03.0=+=二维连续型随机变量及其概率密度例5 设),(Y X 的概率分布由下表给出，求}0,0{},0,0{≤≤=≠Y X P Y X P |}.||{|},{},0{y X P Y X P XY P ===解 {P ,05.00=+ }0,0{=≠Y X P }0,0{}1,0{==+-===Y X P Y X P ,3.02.01.0=+=}1,1{}0,0{|}||{|-==+====Y X P Y X P Y X P }1,1{-==+Y X P .6.01.03.02.0=++=例6 一整数N 等可能地在10,,3,2,1 十值中取一个值. 设=D )(N D 是能整除N 的正整数的个数，)(N F F =是能整除N 的素数的个数（注意1不是素数）. 试写出D 和F 的联合分布律.并求分布律.解 将试验的样本空间及F D ,取值的情况列表如下:2111211110434242322110987654321F D D 所有可能取值为1,2,3,4; F 所有可能取值为0,1,2.容易得到),(F D 取),,(j i ,4,3,2,1=i 2,1,0=j 的概率, 可得D 和F 的联合分布律及边缘即有边缘分布律10/310/210/410/14321k p D10/210/710/1210kp F例7 (讲义例3) 具有概率密度设二维随机变量),(Y X⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-.,0,0,0,2),()2(其它y x ey x f y x(1) 求分布函数);,(y x F (2) 求概率}.{X Y P ≤ 解(1) ⎰⎰∞-∞-=xy dxdy y x f y x F ),(),(⎪⎩⎪⎨⎧>>=⎰⎰+-,,00,0,20)2(0其它y x dxdy e xy x y即有.,00,0),1)(1(),(2⎩⎨⎧>>--=--其它y x e e y x F y x (2) 将),(Y X 看作是平面上随机点的坐标, 即有},),{(}{G Y X X Y ∈=≤ 其中G 为xOy平面上直线x y =及其下方的部分, 如图. 于是G y x P X Y P ∈=≤),{(}{⎰⎰=Gdxdy y x f ),(⎰⎰+∞+-+∞=yy x dxdy e )2(02⎰⎰+∞+-+∞∞-=yy x dx e dy)2(2⎰+∞∞-∞+---=dy e e y x y ][2.313==⎰+∞∞--dy e y例8 (讲义例4) 设),(Y X 的概率密度是⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它,00,10),2(),(xy x x cy y x f求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度.解(1) 由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 确定.cdx dy x cy x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰01)2( ⎰-=12]2/)2([dx x x c24/5=c .5/24=c(2) ),2(512)2(524)(20x x dy x y x f x X -=-=⎰10≤≤x,2223524)2(524)(21⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-=⎰y y y dx x y y f yY 10≤≤y 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,010),2(512)(2x x x x f X.,010,2223524)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=其它y y y y y f Y二维均匀分布例9 设随机变量X 和Y 具有联合概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,0,6),(2xy x y x f求边缘概率密度),(x f X )(y f Y . 解⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(,,010),(6622⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰其它x x x dy xx⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(.,010),(66⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰其它y y y dx yy例10 (讲义例5) 设),(Y X 服从单位圆域122≤+y x 上的均匀分布, 求X 和Y 的边缘概率密度.解,,01,/1),(22⎩⎨⎧≤+=其它时当y x y x f π 当1-<x 或1>x 时，,0),(=y x f 从而.0)(=x f X 当11≤≤-x 时，⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(.12121122x dy x x-==⎰---ππOxy y x=y x =21111xy-O于是我们得到X 的边缘概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它,011,12)(2x x x f X π由X 和Y 在问题中地位的对称性, 将上式中的x 改成,y 就得到Y 的边缘概率密度.,011,12)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它y y y f Y π二维正态分布例11 (讲义例6) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度)sin sin 1(21),()(2122y x e y x f y x +=+-π试求关于Y X ,的边缘概率密度函数.解 利用Γ函数及奇偶函数的积分性质得,21),()(2/2x X e dy y x f x f -+∞∞-==⎰π .21),()(2/2y Y e dx y x f y f -+∞∞-==⎰π注: 此例说明, 边缘分布均为正态分布的二维随机变量, 其联合分布不一定是二维正态分布.课堂练习1.将两封信随意地投入3个邮筒, 设X ,Y 分别表示投入第1, 2号邮筒中信的数目, 求X 和Y 的联合概率分布及边缘概率分布.2.设向量),(Y X 的密度函数),(y x f 的密度函数为 ⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,),(y x kxy y x f求 (1) 参数k 的值；（2）),(Y X 的边缘密度.。