椭圆内接三角形一个性质的移植

＝
Ａ Ｂ Ｃ坐标分 别为 ， ） （ ） （ ） 、、 、 ， 、 ， ． 当 Ａ在 原 点 时， 厂于 Ａ 的 直 线 ， 切 即 轴 ， 此时结论显然成立． 当 Ａ 不在原 点时， Ｙ ≠ ， 有 ｏ ０， 的方程 为
Ｙ ｏＹ＝ｐｘ＋ｘ）其 斜 率 ｋ ：Ｐ／ ｏ （ ｏ， ｌ Ｙ． ＡＢ和 ＡＣ 与 抛物 线 的 对 称 轴 夹 等 角
都 可 逆 ， 必 有 Ａ Ａ 与 厂的对 称 轴 夹 等 角 ． 故 Ｂ、 Ｃ 下 面诸 推 论 的 证 明均 不 难 ， 留给 读 者 ． 推 论 １ 设 Ａ Ａ Ｃ 内接 于双 曲线 厂， Ａ Ｂ 点 关 于 厂中 心 的对 称 点 为 Ｄ ， Ａ 、ＡＣ与 厂 则 Ｂ 的 一条 对 称 轴 夹 等 角 的 充 要 条 件 是 ＤＢ、ＤＣ 与 厂的对 称 轴 夹等 角（ 曰、Ｄ 重 合 ， 以切 厂 若 则 于 的直 线 代 替 Ｂ Ｃ、Ｄ 重 合 亦 然 ） Ｄ； ．
＋ｓ ｎ２． ｓ ｙ ｉ ＇ ｔ ，ａ ，
．
．
一
Ｓｌ 口 ｎ
立 平面直 角坐 标 系， 厂 程 为 Ｙ ＝２ ｘ， 设 方 ｐ 点
１ ｐ（ １ ２一 ２
ｓ ｎ ｉ
ｎ Ｏ（ ＇ ２一 ｒ
ｓｎ口 ｉ
）
＋ｓ ， 一．ｎ ） ｉ ，２ ｓ Ｏ ｎ （ １ｒ
．
பைடு நூலகம்
Ｓｎ， ｉ ，
§ ｋ 口＝一 ｃ§ 丝
Ｘｏ 一
２ｓ （ｉ 口＋ｓ ３ ｉ ） ｓｎ ｓ ｐ ｎ ｉ ／＋ｓ ｎ ｎ 一（ｉＯ ｉ ｒ ｎ ＋ ｉ ｌｓ ｙ＋ｓ ｙ ｉｒ） ｓ ｎｆ ｉ ｎ ｉ ｓ ｎ ｎＯ ．
又 ｓ ｉ 口＋ｓ ＋ｓｎ ｎ ｉ ｎ ｉ
＝一丝
Ｘｏ 一
ｓ Ｏｓ ｐ＋ｓｎ ｓ ｙ＋ｓ ｙ ｉＯ， ｉｒ ｉ ｎ ｎ ｉｆ ｉ ｌ ｎ ｉ ｓ ｒ ｎ ｎ
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ｌ
ｌ
ｌ 口６＋ ６ｃ＋ ｃ ａ
＝ 一 ＋ 一 ＋ 一 一一
口 ｂ ｃ
２
ｃａ
—
椭 圆 内接 三角 形一 个 性质 的移 植
四川攀 枝花市 三 中 方廷 刚 刘晓 红
＝ａ ｂ＋ｂ ｃ＋ ｃ 口一— ｂ＋ｂ ａ ｃ＋
２
＝
（ｂ ｅ ａ ￣ ａ ＋ｂ ＋ｃ ） ２
文 【】 究 了有 两 边 与 轴 夹 等 角 的椭 圆 内 ｌ研 接 三 角 形 的性 质 。 明 了 证
ｓ（ ｃ ／＝／ ｑ ｂ 。２ ３ ， ａ） ２
故 原等 式 成 立 ． 例 ４ 设 Ｏ 、 、 ∈（， ２ ， ｒ ０ｘ／）且 ｓ ＋ｓｎ ＋ｓｎ ＝ｌ求证 ｉ Ｏ ｉ ｎｒ ｉ ；
是 ｍ／ＢＣ ／ ．
定理 ２ 设ＡＡ Ｃ 内接于双 曲线 厂 ， Ｂ 则 其两边 Ａ Ｂ、ＡＣ与 厂的 对 称 轴 夹 等 角 的充 要
・２ｌ ・
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条 件 是 ： Ｂ 和 切 厂于 点 Ａ 的直 线 ，与 厂 边 Ｃ 的对称轴 夹等角．
证 设 双 曲线 厂的参 数 方 程 为 ａＳＣ ０， ｅ Ｙ＝ｂａ 其 中 为 参 数 ， ， 为 正 的 常 数 ． ｔｎ０， ａｂ 点 Ａ、Ｂ、 Ｃ 对 应 的参 数 分 别 为 、 、 ． 若 Ａ 在 厂 的一条对称轴上， Ａ 则 Ｂ、ＡＣ 与 厂的对 称 轴 夹等 角 当 且仅 当 、 Ｃ两 点关 于 该对称 轴对称，当且仅当 Ｂ 和切 厂于点 Ｃ 的直 线 ， 垂 直 于 该 对 称 轴 ， 此 时 结论 成 立 ． 都 故 若 Ａ 不 在 厂的 对称 轴 上 ， 当 Ａ 、ＡＣ 则 Ｂ 与 厂的对 称 轴 夹 等 角 时 ， 、 Ｂ、Ｃ 三 点 中无 任 何 两 点 关 于 厂的 对 称 轴 对 称 ，故 三 边 的斜 率 均 存在且非 零，且 ８＝一 ， ｃ于是 ｂｔｎ －ａ （ ａ—ｔｎｐ） ａ ａＳＣ —ｓｅ （ｅ －ｅ ｐ）
益．
一—＝— ＿ ． 一． — ｛ ： — ， ＝ ｙ 一一÷ Ｖ， ２ ＿ 一 ＋ Ｚ ： Ｖ
ｏ
＋ ｙ ｌ
ｙ ＋ Ｙ ｏ ２
§ ｋ ：
～
：
：旦
：一
．
ｘ １一ｘ２
Ｙｌ＋．２ —２ ｙ Ｙｏ
。
等价 于 Ｂ Ｃ和切 厂于点 Ａ的直 线 ， 与椭 圆 的对称轴 夹等角． 推 论 如 定理 １ 设 ， 所 并设 关 于 厂的 对 称 轴 的对 称 点 为 Ｄ，切 厂于 Ｄ 的 直 线 为 ｍ。 则 Ａ 、Ａ Ｂ Ｃ与 厂的对称轴夹等角 的充要条件
’ ．
．
左 边 ｓｎ 口＋ｓ ＋ｓ ， ， ｉ ｉ ｎ ｉ ，＝ｌ ｎ
§
ｏ
二 ：一 二
—
故原不等式成立 ．
ｙ２ Ｙ
ｙ２一
以上数 例充分显示 了这道不等 式习题 的 潜 在 价 值 和 独 特 功 效 ． 平 时 教 学 中 ， 注 意 在 要 善 于 引 导 学 生 适 当 地 探 索 和 挖 掘 课 本例 、 习 题 的 功 能 ， 书 本 知 识 适 当 延 拓 ， 仅 可 以 加 把 不 深 对 例 、 习题 和 基 础 知 识 的理 解 ， 且 可 以帮 而 助 学生 开拓 思路， 高解 决 问题能 力， 提 为解 决 数 学 问 题 开 辟 新 途 径 ． 时 对 激 发 学 生 的 学 同 习兴趣 ， 导学 生重 视课本 。 研 课本 不无裨 引 钻
ｓｎ ｉ
—
定理 设 ＡＡ Ｃ 内接 于椭 圆。 其两 边 Ｂ 则 ＡＢ和 ＡＣ 与椭 圆 的一 条对 称 轴 夹 等 角 的 充 要
条件 是 ： 边 和 切椭 圆 于 点 Ａ 的直 线 ， 与椭 圆的对称轴夹等角．
Ｚ １ Ｙ ＋ 本 文 拟 将 这 一 结 论 移 植 到 抛 物 线 和 双 曲 ｓｎ ｔ ｙ ｓｎ ｉｐ ｉ ｉａ ｎ 线上． （《 学 通 报 》 １９ （０ 数 学 问题 ９ ２ 数 ９ ４ １） １） 证 注 意 到 口＝ ＝ 时 等 号 成 立 ， （） 据 １ 定理 １设ＡＡ Ｃ 内接于抛物线 厂。 Ｂ 则其 两边 Ａ Ｂ、ＡＣ 与 厂的对 称 轴 夹 等 角 的充 要 条 式有
—
３ａ
＋ —
ｓｎ ｉ３ ｌ ｆ
—
ｓｎ ｉ３
＿ ＿ ＿
＿
．
左 边 ：ｓ ２ ｉ口 ｎ
ｓｎ ｉ
＋ｓ ｎ ｉ ｆｓ ｆ ｎ ｌ ｉ１
．
ｓｎ ｉ
件是： Ｂ 边 Ｃ和 切 厂于 点 韵 直 线 ， 厂的 对 与 称轴 夹 等 角 ． 证 ： 以 厂对 称 轴 为 轴 ， 点 为 原 点建 顶