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椭圆内接三角形的最大面积

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椭圆内接三角形的最大面积

最早接触到这个题目时是在一节数学课上，当时有一道特殊情况的问题：给定一点以及其切线，在椭圆上找到一条与切线平行的弦，使得弦的端点与该定点确定的三角形面积最大。讲完该题后，胡远东老师于是提出了椭圆内接三角形的最大面积的问题。循着上题的思路，我得到了关于这道题的解法。解法如下：

首先我们在椭圆上任意找两相异点A、B，连接AB

在椭圆上找一点C使得C处的切线l斜率等于kAB，存在两点C，选择使面积较大的一个C，这样以AB为一边的三角形中，三角形ABC面积最大。

平移AB，可以找到一个更大的三角形A’B’C，如果我们证明每一个这样的三角形A’B’C面积相等，那么这样的三角形A’B’C的面积都是最大面积。

反过来，若固定一个C点，作其切线l，在椭圆上找一平行于l的弦ABC，使之面积最大。那么，这样的三角形ABC与上述三角形A’B’C一一对应，所以只需证明每一个三角形ABC面积相等。

证明：设椭圆的方程为 12222byax

(a>b>0)，C点坐标为（x0，y0）。

12222byax 两边对x求导，0'2222ybyax，所以y’=yaxb22

所以0202yaxbkklAB

设AB方程为y=mxyaxb0202则

y=mxyaxb0202 （1）

12222byax （2）

1220220byax （3）

（1）（2）联立得0)(222200222022042022bmaxymxbxyaxbyba

又因为2002202*21**121)(ABABABCkymyaxbakmS

而 )(2)]([4)(44))((44))((44)(442222200220222220420224222042022202202222042022204202222042222022042022202204bmamxybybmamxbybmbamxbybmxbyabmxbybmxbybamxbbmayaxbybaymxb

204202422022042022*ybyabayaxbybaa

所以

2202222200*20*002202)(22)(bbmybmamxyabmyaymyaxbmS

30002220222022222202)()1(mbybmbybbabbbmymbybabbmybmambya

令300)(mbybmbybmh

mbybmbybbymbybmbybmbybbymbybbymbybmbybbymh020000200002030022333)('

令h‘（m）=0，则02ybm（重根舍）或022ybm（此时可验证h‘‘（022yb）＜0）

∴当022ybm有h（m）=h（m）max

此时S（m）=S（m）max=abbbba4332323 即每一个三角形ABC面积相等。

下面进一步探究这个结果S（m）max=ab433

ab是半长轴半短轴之积，而433正是边长为3的三角形的面积

而此正三角形正是单位圆中的最大三角形面积——正三角形。

此时ababSS433433max

于是想到一个更快捷但是不完善的证明：

∵12222byax (a>b>0)

令x‘=ax④，

y’=by⑤

则x²+y‘²=1

而在此三角形中最大面积为。

④⑤式可看作为一种“放缩变换”，那么椭圆最大内接三角形与此正三角形

的面积比为“放缩率”为1*1ab，即1*1*433maxbaS

∴Smax= ab

433433

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椭圆内接直角三角形斜边恒过定点

椭圆内接直角三角形斜边恒过定点

椭圆内接直角三角形斜边恒过定点

《探索椭圆内接直角三角形斜边恒过定点的奇妙之旅》

嘿，你知道吗？数学里有好多超级神奇的东西呢。今天我就想和你讲讲椭圆内接直角三角形斜边恒过定点这件事儿。

我呀，最开始接触椭圆的时候，就觉得这椭圆像个压扁了的圆，圆溜溜的可有意思了。那时候我就在想，椭圆里能有啥特别的呢？直到老师讲到椭圆内接直角三角形这个事儿，我就被深深吸引住了。

我们先来说说椭圆是啥样的吧。椭圆就像一个长长的、扁扁的圈。你可以想象一下，把一个圆使劲儿地从两边挤，它就变成椭圆啦。椭圆有好多特性呢，它有长轴、短轴，还有焦点。就好像一个神秘的宝藏，到处都藏着秘密等待我们去发现。

那椭圆内接直角三角形是怎么回事呢？就是在这个椭圆里面，有一个三角形，这个三角形的三个顶点都在椭圆上，而且有一个角是直角呢。这就像在一个特别的小岛上，三角形的三个点就像三个小房子，而且这三个小房子之间还存在着直角这样特殊的关系。

那这个斜边恒过定点是啥意思呢？这可就更有趣啦。不管这个直角三角形在椭圆里怎么变，只要它的三个顶点在椭圆上，而且有一个直角，那这个直角三角形的斜边就像被一根看不见的线牵着一样，总是会经过一个固定的点。这就好比有一群小蚂蚁在椭圆这个大操场上乱跑，只要它们组成的三角形满足条件，那连接两个小蚂蚁的那条斜边就一定会经过操场的某个特定角落。

我和我的小伙伴们在探究这个问题的时候，那可热闹啦。我的同桌小明就说：“这怎么可能呢？三角形在椭圆里动来动去的，斜边咋就能一直过一个点呢？”我就说：“嘿，你可别小瞧了数学的神奇。你看，我们之前学的好多东西，一开始看起来不也很不可思议吗？”另一个小伙伴小红也加入进来，她说：“那我们怎么才能找到这个定点呢？”这时候我们的数学小天才小刚站出来了，他说：“我们可以先从特殊情况入手呀，就像我们以前解决其他数学问题一样。”

于是我们就开始研究特殊的椭圆内接直角三角形。比如说，当椭圆的长轴和短轴上刚好有三角形的顶点的时候。我们在纸上画了又画，算了又算。有时候我们算得脑袋都大了，感觉那些数字和符号都在脑袋里打架呢。但是我们可没放弃哦。我心里想着：“哼，我就不信搞不定这个问题。”

过椭圆焦点的内接三角形的几个结论

过椭圆焦点的内接三角形的几个结论

过椭圆焦点的内接三角形的几个结论

肖秉林

【期刊名称】《中学数学教学参考：教师版》

【年(卷),期】2005(000)010

【摘 要】笔者在盐城市的一次调研考试命题过程中，曾试图设计如下一道试题：

【总页数】2页(P30-31)

【作 者】肖秉林

【作者单位】江苏省建湖高级中学

【正文语种】中 文

【中图分类】G633.6

【相关文献】

1.一个优美结论的几何本质--椭圆内接直角三角形斜边恒过定点的再探讨2.椭圆内接直角三角形的充要条件及结论推广3.由一道课本习题引发的思考 ——抛物线的内接特殊三角形的几个结论4.关于圆锥曲线内接三角形的几个结论5.抛物线内接三角形重心与焦点重合的几个结论

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椭圆内接三角形为直角三角形的一个充要条件

椭圆内接三角形为直角三角形的一个充要条件

椭圆内接三角形为直角三角形的一个充要条件

椭圆是一种非常常见的曲线，它主要用于建筑、机器、日常生活等多种用途。椭圆内接三角形是指椭圆围成的正多边形中与椭圆外接圆相切，由椭圆及其外接圆切线组成的三角形，一般也称为椭圆三角形。

一个椭圆内接三角形是直角三角形的充分条件是，椭圆母线要与直角三角形中一条边垂直。

由于椭圆是由椭圆各级别辐射线及其外接圆切线组成的，因此要使椭圆中的某边与椭圆母线垂直，那么这边的切线就必须平行于椭圆母线。而对于任意一个椭圆，它的外接圆切线都不会平行于椭圆母线，因此椭圆内接三角形不可能是直角三角形。

我们可以利用高等几何知识得出这个结论，例如，我们知道任意一个椭圆的内接多边形都是凸的，而且斜边的斜率均是恒定的。因此，由于内接三角形中的两个斜边的斜率是不同的，在此情况下内接三角形肯定不是直角三角形。

总之，从几何学的角度来讲，椭圆内接的三角形不可能是直角三角形，这是几何学定理的结论。它既蕴含着理性以及证明的方法，又能给我们提供一种立体感，以及原理知识。

椭圆的内接三角形的一个性质的简证及其推广

椭圆的内接三角形的一个性质的简证及其推广

投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ　１　６３　ｃｏｍ　数学教学通讯（教师版）一　，……一一　，…一　试题研究＞解题技巧　

有文献给出了双曲线内接三角形重　心的一个性质：即双曲线的内接三角形的　重心不可能是双曲线的中心．又有文献给　出了椭圆内接三角形重心的一个性质：即　若椭圆的内接三角形的重心与椭圆中心　重合．则内接ｊ角形的面积为定值．本文　给出该性质的另证，并证明椭圆外切三角　形的一个性质．　田富德　福建大田第一中学３６６１００　

何证明选讲，引理２与引理３易证，故证　明从略．　性质１已知ＡＡＢＣＩ￣Ｉ接于椭圆　＋　ａ－　＝ｌ（Ｄ６＞０），若其重心Ｇ与椭圆的中心０　ｂ　重合，则ＡＡＢＣ的面积为定值．此定值为　３、／３，　叻．　性质２已知△　曰ｃ外切于椭圆　＋　÷　＝１（ｎ＞６＞０），若其重心Ｇ与椭圆的中心ｏ　Ｄ　重合，则△Ａ曰ｃ的面积为定值，　芦值为　３、／　ｎ６．　证明将椭圆　＋吾＿１（ｎ＞６＞０）按　‘　Ｄ一　为椭　证明将椭　ｘ２　按　彻…，　…椭　为椭圆，若截面与圆柱底面所成的角为　，　证明将椭圆　１（ｎ＞６＞０）按　。。　投影到圆柱底面，则底面圆为椭　椭圆的长半轴ＯＡ：ｎ，短半轴ＯＢ－－ｂ（即为圆　柱底面半径），则。。　－垒Ｉ．　ａ　

图１引理图　引理２三角形重心的在面上的射影　即为三角形在面上的射影的重心．　引理３三角形的重心与外心或内心　重合，则该三角形为正三角形．　引理１的证明参见高中数学４一ｌ几　ｃ。ｓ　：鱼投影到圆柱底面．则底面圆为椭　圆在底面的射影，且半径为６，底面圆心即　圆在底面的射影，且半径为ｂ，底面圆心即　为椭圆中心在底面的射影．△ＡＢＣ在底面　的射影△Ａ　Ｂ　Ｃ　内接于底面圆．则底面圆　心为ａＡ　Ｂ　Ｃ　的外心．　又依题意０是△ＡＢＣ的重心．由引理２　知．底面圆心是△Ａ　曰　Ｃ　的重心．　再由引理３知．△Ａ　Ｃ　为底面圆的　内接正三角形．　

３ｘ／３　ｂ　一　ｓ　一　一　为椭圆中心在底面的射影．　易得△ＡＢＣ在底面的射影△Ａ　曰　Ｃ　外切于底面圆．则底面圆心为△Ａ　Ｃ　的　内・心　又依题意０是ＡＡＢＣ的重心．由引理２　知．底面圆心是△Ａ　Ｂ　Ｃ　的重心　再由引理３知．ＡＡ　Ｂ　Ｃ　为底面圆的　外切正三角形．　易求得ｓ　，＝６・　×６×　６＝　３、／　６　由射影面积可得．　５出　：一３　Ｖ＇￣１）ｂ２＝３Ｘ／３ａｂ．