椭圆中焦点三角形的性质（含答案）鞍山三中高二文科数学主题1：椭圆中焦点三角形的性质和应用b2性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2ax2y2？？1、F1和F2是它们的焦点，以及？f1pf2？60?，例1如果P是椭圆10064求△f1pf2的面积.x2y2？？1上的点F1和F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，例2我们知道P是椭圆259证明：性质二：已知的椭圆方程是xy??1(a?b?0),两焦点分别为f1,f2,设焦点三角形22ab22若pf1?pf2|pf1|?|pf2|?1，则△f1pf2的面积为（）2a.33b.23c.3d.在pf1f2中？f1pf2？？，那是什么？f1pf2？B2tan证书：2.33x2y2？？1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，点P位于椭圆示例3中的已知椭圆上169若p、f1、f2是一个直角三角形的三个顶点，则点p到x轴的距离为（）99797A。
b、 C.D.或54477x2y2性质三：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为f1,f2,设焦点三角形abx2y2例4.已知f1、f2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，椭圆上一点p使在abpf1f2中？f1pf2？？，那是因为？？1.2e2。
f1pf290，求椭圆离心率e的取值范围。
一鞍山三中高二文科数学y2x2??1上一点p与椭圆两个焦点f1、f2的连线互相垂直，1.椭圆则△f1pf2的4924主题2：偏心率的计算：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()2356a。
2b。
2c。
3d。
三2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()4321a.5b.5c.5d.53.如果椭圆的短轴长度为6，且焦点到长轴端点的最近距离为1，则椭圆的偏心率为___x2y24.已知a是椭圆A2+B2=1（a>b>0）上的移动点。
焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
例1. 若P是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积. 例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）A. 33B. 32C. 3D.33解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ.3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 和椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PFF .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PFF ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31 C ．34D ．32解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PFF ，又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PFF ⋅=⋅=∆θ，∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF .故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 和2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且√5/3，求椭圆的标准方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PFF θ，又 3522=-==a b a ac e ，∴95122=-ab ，即952012=-a. 解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y .专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点和它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )1.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 22为等腰直角三角形， ∴＝.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )2.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为．3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4， ∴椭圆的离心率为e ＝＝. 答案：4.已知A 为椭圆＋＝1(a >b >0)上的一个动点，直线、分别过焦点F 1、 F 2，且和椭圆交于B 、C 两点，若当垂直于x 轴时，恰好有1|∶2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率． 4.解：设2|＝m ，则1|＝3m ，∴2a ＝1|＋2|＝4m . 又在△1F 2中， 1F 2|＝＝2m . ∴e ＝＝＝＝.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，b )， 则△1F 2为直角三角形． 在△1F 2中，1F 2|2＋2|2＝1|2，即4c 2＋b 2＝1|2.而1|＋2|＝＋b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2.又c 2＝a 2－b 2， 所以3b ＝2a .所以＝.∴e 2＝＝＝1－＝， ∴e ＝. 法二：设椭圆方程为 ＋＝1(a >b >0)，则M (c ，b )．代入椭圆方程，得＋＝1， 所以＝，所以＝，即e ＝.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：2。
椭圆焦点三角形的重要结论 已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，P 为椭圆上一点，θ=∠21PF F . 结论1：21PF F ∆的周长为c a 22+
结论2：P PF F y c b PF PF S ===∆2tan sin 2122121θθ
结论3：当点P 位于短轴端点时，（1）顶角21PF F ∠最大；（2）21PF F S ∆也取得最大值bc
结论4：θ
cos 122
21+=⋅b PF PF 结论5：21PF PF ⋅的取值范围：
（1）因为22
21212a PF PF PF PF =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⋅（当且仅当a PF PF ==21，即点P 位于短轴端点时等号成立.）所以21PF PF ⋅的最大值为2a . （2）因为22
21cos 12b b PF PF ≥+=⋅θ
（当且仅当 0=θ，1cos =θ，即点P 位于长轴端点时等号成立）.所以21PF PF ⋅的最小值为2b .
（3）],[2221a b PF PF ∈⋅（焦点三角形中],(2221a b PF PF ∈⋅） 结论6：椭圆的离心率β
αβαsin sin )sin(222121++=+===PF PF F F a c a c e 结论6：如果椭圆上存在点P 使得θ=∠21PF F ，则离心率2cos 122θ
-≥e ，即)1,2[sin θ
∈e
另外：如果椭圆上存在点P 使得θ=∠21PA A ，则离心率2cot 122θ
-≥e ，即
)1,2cot 1[2
θ-∈e。
椭圆焦点三角形周长最小值1.引言文章1.1 概述部分的内容可以按照以下方式进行编写：概述部分旨在引入和概述本篇文章的研究内容，向读者介绍椭圆焦点三角形周长最小值的问题，并展示其重要性和研究的必要性。
首先，我们可以通过一般性的问题引入来引起读者的兴趣，如：我们经常遇到各种求解极值的问题，例如求函数的最大值、最小值，求线段或曲线的最短路径等。
而本文将探讨的椭圆焦点三角形周长最小值问题也是一种典型的极值问题。
其次，我们可以简要介绍一下椭圆的基本概念和性质，如：椭圆是一种重要的数学曲线，具有许多独特的性质和应用。
它是由一个平面上的一个点P和两个不重合的焦点F1和F2确定的，其中任意一点到两个焦点的距离之和是常数。
这个性质可以推广到焦点与某一点构成的三角形，即椭圆焦点三角形。
接下来，我们可以指出椭圆焦点三角形周长最小值的问题具有一定的理论和应用价值。
从理论上来看，研究椭圆焦点三角形周长最小值可以拓展我们对极值问题的认识，丰富极值理论的内涵。
而从应用角度来看，椭圆焦点三角形周长最小值的研究可以在许多领域中发挥重要作用，例如建筑设计、航天工程、地理测量等。
最后，我们可以提出本篇文章的目标和结构，即明确研究椭圆焦点三角形周长最小值的目的，并简要介绍本文的结构。
通过本文的阐述，我们将分析椭圆焦点三角形的定义和性质，探究椭圆焦点三角形周长最小值的求解方法，并总结研究结果，展望其在实际应用中的潜在前景。
通过以上内容的编写，读者可以初步了解本文研究的背景和意义，为后续的正文部分打下基础，激发读者的兴趣并引导他们进一步阅读。
文章结构部分的内容可以包括以下信息：文章结构部分的主要目的是为读者提供一个概览，帮助他们了解整篇文章的组织结构和内容安排。
下面是本篇文章的结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 椭圆焦点三角形的定义和性质2.2 探究椭圆焦点三角形的周长最小值3. 结论3.1 总结椭圆焦点三角形周长最小值的结果3.2 对研究的启示和应用前景进行展望在引言部分，我们会首先对椭圆焦点三角形的概念进行概述，然后介绍整篇文章的结构和目的。
