5-1 如图所示的系统，若运动的初始条件：,0,mm 5,0201010====x x
x t 试求系统对初始条件的响应。
解：
112211222112102,,22,0,202020cos(),cos()cos()005,k k k k k x x k k x k k x mx kx kx mx kx kx x x A t t kA t t x mm ωϕωωϕωϕω-⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+-=+-===++++==
==2带入可得运动微分方程：m,00,m 令代入原方程可得
-mA 有
时，1020120,
cos 5,sin 0,5,0
().x x A A A mm x x mm ϕωϕϕ===-=====有可得
ω有两个值
12p p =
=
15522x =+
255c o c 22x =- 5-2 图示为一带有附于质量m 1和m 2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平移 x 1和x 2为坐标，设m m m ==21，l l l ==21，021==k k ，试求系统的固有频率和主振型。
解：设1m 沿1x 方向移动1个单位，保持
2m 不动，对2m ，1m 进行受力分析，可得：
212
2()0,
m A k
l m g =--=∑2212m g k l =-
11
12111212122
111211112()()()0
m B k
k k l m m g m m m m m g
k g k k g k l l l =-+-+=++=
+-=++∑
同理使2m 沿2x 方向移动一个单位，保持1m 不变，对2m 受力分析可得：
22
222()()*0m C k
k l m g =--=∑，
22222m g k k l =+
；
刚度矩阵为
11211222,,k k k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦k ，质量距阵12,00,m m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦m ， 带入可得运动的微分方程为：mx kx F +=
12,00,m m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+11211222,,k k k k ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦12x x ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦=F ；
综上解得：⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++)()(222221222212221
2212111t F x l g m k x l g m x m t F x l g
m x g l m g l m m k x m
利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,121==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2111,k k ，列平衡方程，
对1m ：
∑=0X ，0sin sin 1221111
=---k T T k
θθ
∑=0Y ，0cos cos 1
2
2
1
1
=--g m T T θθ
对2
m ： ∑
=0X ， 0sin 2
2
21
=+θT k
∑
=0Y ， 0cos 2
22=-g m T θ
设1,021==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2212,k k ，列 平衡方程，
对1m ：
∑=0X ， 0sin 2
12
=+θT k
∑=0Y ， 0cos 1
2
1
=--g m T T θ
对2
m ： ∑=0X ， 0sin 2
2
22
=--θT k k ∑=0Y ， 0cos 2
2=-g m T θ
由，
1111tan sin l =
≈θθ，2221
tan sin l =≈θθ，1cos cos 21≈≈θθ，1cos ≈θ，
21
tan sin l =
≈θθ， 解得，
22121111)(l g m l g m m k k +++=，2221l g m k -=，2212l g m k -=，22
222l g
m k k +=
得作用力方程为
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+
--
++++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣
⎡)()()(0021212222222
212112121
t P t P x x l g m k l g m l g m l g m l g m m k x x m m l 由方程得到系统的刚度矩阵为
K =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--l mg l
mg l mg l mg
3
系统的质量矩阵为
M =⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡m m 00 由频率方程
2=-M K p ，得
0322=----m p l mg l mg l mg
m p l mg
展开为0242
222224=+-g m g m lp l m p ，解出频率为
g l p )22(1-=
g l p )
22(2+=
由特征矩阵M K B 2
p -=的伴随矩阵的第一列，
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=l mg m p l
mg adj 2)
1(B 并分别代入
